在Dynkin游戏中与鬼魂玩耍

2022-6-23 23:20:36

在《天使与埃里克·埃克斯特》中与鬼魂玩耍。研究了一类竞争对手不确定的抢先型最优停止对策（Dynkin对策）。这种设置非常适合tomod el，例如，在投资者不想公开他们对某个商业机会的兴趣的情况下，实物期权。我们证明了在随机停止时间中存在一个N平衡点，该平衡点用相应的单人博弈明确描述。1、介绍背景。自Dynkin在[10]中的工作开始，停止博弈在随机控制文献中就受到了极大的关注。在双人游戏的标准模型中（由于Neveau[22]），玩家的得失取决于他们都观察到的随机过程X。他们的目标是通过找到允许博弈中纳什均衡的停止规则来实现收益最大化（或损失最小化）。两个玩家都知道游戏的结构，并且都有关于p进程X的详细信息。许多真实世界的应用程序需要关于游戏结构和/或潜在随机过程的不完整和/或不对称信息。特别是，在本文中，我们感兴趣的是确定两人Dynkin对策的均衡，其中每个参与者都不确定竞争对手的存在。在进一步详细描述我们的贡献之前，我们花了几句话在现有文献上，以便将问题背景化。很难提供一份详细的文献综述，以公正地评价在标准框架（即Full和symmetricinformation）中对Dynkin游戏的众多贡献，这超出了我们的介绍范围。

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2022-6-23 23:20:39

例如，对于零和博弈的情况，可以参考[20]和[12]分别了解鞅和马尔可夫设置的一般处理，并参考[17]将金融博弈选项简化为停止博弈。本文的其他开创性贡献可以在[2]、[25]和[27]中找到。对于非零和对策的情况，可以参考文献[3]了解此类对策与变分不等式之间的联系，参考文献[13]了解鞅方法在一般设置中存在一个临界点，参考文献[1]和[8]了解一维差命中时间到三个临界点的纳什均衡存在（和唯一）的充分条件。在本文中，我们将讨论一类与非零和Dynkin对策有相似之处的问题。然而，我们偏离了标准设置，加入了竞争不确定性这一关键特征。在这方面，我们借鉴了关于不完全/不对称信息博弈的文献，其主要共同点是参与者需要向竞争对手隐藏其信息。从数学上讲，这可以转化为使用一个显性停车时间；后者可以是非正式日期：2019年5月17日。2010年数学学科分类。91A15、60G40、60J60。关键词和短语。Dynkin游戏；不确定竞争；随机策略；纳什均衡；反思策略。致谢：T.De Angelis感谢EPSRC赠款EP/R021201/1以及克努特和爱丽丝·沃伦伯格基金会E.Ekstrom的支持。这项工作的一部分是在试验期间进行的。德安吉利斯访问乌普萨拉大学和埃克斯特罗姆访问利兹大学。

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2022-6-23 23:20:42

我们感谢两家机构的盛情款待。2 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom被理解为停车规则，规定根据某种“强度”停车；例如，在离散时间设置中，这意味着每次都可能以一定的概率发生停止。这类游戏的另一个关键特征是，需要考虑玩家对那些他们无法观察到的参数的信念的动态演变（换句话说，玩家通过观察游戏中发生的事情来更新他们对“世界状态”的个人观点，并且需要跟踪这些更新）。我们在游戏中加入了一个状态变量，用∏表示，其动态是从两个玩家的随机停止策略开始构建的（见下文第4节）。近年来，关于信息不对称/不完全的Dynkin对策的文献开始受到关注。我们意识到的第一个贡献是Gr–un【15】。在[15]中，考虑了关于支付函数信息不对称的零和停止博弈。在一种情况下，其中一个参与者具有了解Payoff函数的信息优势，而另一个参与者只知道可能的Payoff函数的分布，则获得博弈的值（随机停止时间），并将其描述为非线性变分问题的粘性解。随后，在【14】中，作者利用动态规划的方法研究了一个零和停止博弈，在该博弈中，玩家可以获得由两个不同过程的动态生成的不同过滤。本文献中的显式可解示例仍然是r are，第一个示例在[6]中给出（我们在第6 f节中为我们的游戏提供了另一个示例）。

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2022-6-23 23:20:45

[6]中的作者研究了一个零和停止博弈，该博弈具有关于潜在扩散过程漂移参数的不对称信息。得到了一个显式的纳什均衡，其中非信息p层使用正常停止时间（纯策略），而知情者使用随机停止时间（混合策略）。为完整起见，在不作进一步阐述的情况下，我们还提到存在大量关于信息不对称的随机微分博弈的文献，感兴趣的读者可以查看[4]和[5]以及其中的参考文献。在特工们玩捉迷藏的战略背景下，如果玩家不能确定竞争的存在，那么问会发生什么似乎很自然。一些现实世界的情况属于这一类，例如，（a）不想对特定商业机会（所谓的实物期权）表现出兴趣的投资者，（b）不知道会提出多少其他建议（以及以多快的速度）的潜在购房者，（c）可耗竭资产/商品的买家（如廉价机票），等等。不确定竞争的特征确实已经在拍卖理论的静态环境中得到了解决，参见，例如[16]和[21]，以及最近的[11]。然而，据我们所知，目前还没有关于动态环境下不确定竞争的研究，尤其是对Dynkin博弈理论似乎没有任何贡献。通过本文，我们旨在填补这一差距，并鼓励在这方面进行进一步研究。我们的贡献。在这里，我们研究了两个对同一资产感兴趣的玩家之间的联合停止/抢占博弈。排名第一的玩家将获得全额支付，根据代表资产的潜在马尔可夫过程X定义。

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2022-6-23 23:20:48

该博弈是一个非零和Dynkin博弈，但与经典设置相比，在我们的模型中，参与者面临不确定竞争，即每个参与者都不确定另一个参与者是否存在。在游戏开始时，每个p层估计竞争的概率。也就是说，玩家1认为自己与概率有竞争，而玩家2认为自己与概率p有竞争。随着游戏的发展，两个玩家都根据自己的信念过程∏i的动态调整自己的信念，i=1，2。这种调整是基于两个关键因素的组合：（i）观察到不平衡的资产和（ii）另一方没有采取行动。直觉上，如果与流动资产价值相关的报酬变大，这对双方都有吸引力；因此，从玩家1的角度来看，玩家2还没有达到s的顶点，这表明在DYNKIN游戏3中，玩家2可能根本不存在。（这也是我们论文的标题。）在这种情况下，使用随机停车时间源于两个观察结果。一方面，它允许玩家隐藏他们在游戏中的参与，以“愚弄”他们的对手。另一方面，很明显，由于游戏的抢占特性，使用纯停止时间（相对于资产产生的过滤）不可能达到非平凡的平衡。事实上，如果玩家1选择了一个停止时间τ，那么玩家2可能会在τ之前停止，以获得全部报酬。在本文中，在不损失一般性的情况下，我们考虑p≤ p、然后，我们证明了在策略方面存在一个纳什均衡，其性质完全取决于参与者1的初始信念。

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2022-6-23 23:20:51

在这里，我们仅描述了平衡结构的主要思想，但我们强调，在更深层次上，我们发现了参与者最优策略的几个显著特性，这些特性将在第5.3节中进行更详细的描述（因为他们需要更广泛的数学讨论）。结果表明，二维过程（π，X）的状态空间分为三个不相交的区域：无作用区域（C）、作用区域（C′）和停止区域（S）。如果（π，X）s在无动作区域（注意∏=p），则平衡包括在边界之前无动作（来自任一玩家）区域的C已调整（请注意，对于i=1，2，没有任何作用导致∏ibeing常数）；然后，玩家2采用随机策略，使过程（π，X）沿边界反映C向s向C内部移动（作为∏减小的影响）；同时，玩家1将遵循一种（均衡）策略，即以玩家2的“停止强度”的分数p/pof停止。相反，如果最初的信念是（π，X）从C′开始，那么玩家2会采用一种策略，即以一定的概率立即停止。这使得过程（π，X）严格进入无作用区C的内部。在这一初始跳跃之后，采用了上述反射策略。同样，在这种情况下，玩家1将遵循玩家2的“停止强度”的分数p/pof停止的（均衡）策略。最后，如果（π，X）s在停止区域s内，那么均衡策略包括两个参与者立即停止。

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mingdashike22

2022-6-23 23:20:54

在这种情况下，玩家平均分配奖金。值得注意的是，无行动区和行动区的边界可以根据相应的无竞争的单人游戏明确规定。这允许在所有这些游戏中构建明确的随机停止时间，在平衡状态下，其中一个玩家对应物是明确可解的。（例如，关于一维差异最佳停止的文献中有很多这样的例子，参见例[23]。）特别是，在第6节中，我们提供了一个不确定竞争的实物期权博弈的显式解，以说明我们的结果。如上所述，我们的工作是第一个解决动态环境中不确定竞争的工作。我们发现了一个令人惊讶的明确而丰富的平衡策略结构，它允许收集一些有趣的考虑因素（详见第5.3节）。简言之，我们观察到，最活跃的玩家是对对手的存在有着最大初始信念的人，她是从随机化中受益最多的人；我们将此功能称为“警惕的本意”。此外，玩家2在游戏开始时采用的策略是（π，X）∈ C′有点令人惊讶：在停止文献中，区域C′没有类似物，在单数控制迭代中（这也与当前工作相关），人们不应该期望在无行动区域C的内部出现严格的跳跃（至少在没有固定控制成本的情况下）。最后，我们有可能将我们构建的策略与进入时间概念与“r an domined”集合进行比较。这也是相当令人惊讶的，因为从一开始，我们就寻找纳什均衡，而不受随机停止时间的任何限制。论文的其余部分组织如下。

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2022-6-23 23:20:57

游戏设置在第2节，在第2节中，我们还定义了随机停车时间，并回顾了我们4 TIZIANO de ANGELIS和ERIK EKSTR–OMcontext中的纳什均衡概念。在第3节中，我们推导了两个参与者的预期报酬的一些性质，这些性质是后续分析所需的。第4节涉及信念过程的构建、集合C（对应于C加上其边界的一部分）、C′和S的规定，以及适当反映的信念过程的构建。第5节导出了纳什均衡的存在性和主要附加事实。在第6.2节中，我们用一个完全解决的例子来结束本文。设置upLet(Ohm, P、 F）是承载以下内容的概率空间：（a）连续的、Rd值的、stron g马尔可夫过程X，它是正则的（对于初始点X=X的任何值，它可以在有限时间内以正概率到达任何开集）；（b）两个伯努利分布随机变量θi，i=1，2；（c）两个均匀（0，1）-分布的随机变量Ui，i=1，2。此外，我们假设这些过程和随机变量相互独立，并且P（θi=1）=1- P（θi=0）=π∈ （0，1）.我们用FX={FXt}0表示≤t型<∞由X生成的filtration的右连续增广，我们将T设为FX停止时间的集合。下面我们用符号Px（·）：=P（·| X=X）和Ex[·]：=E[·| X=X]f或X表示∈ Rdto表示对过程X初始状态的依赖。下面我们考虑两个参与者（参与者1和参与者2）之间的最优停止博弈，其中每个参与者都不知道另一个参与者是主动的还是被动的。“主动玩家”是指通过cho osin ga（随机）停站时间积极参与停站游戏的玩家；“被动玩家”不会参与游戏，也不会停止。

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mingdashike22

2022-6-23 23:21:00

从数学上讲，玩家i使用随机变量θi，i=1，2来建模另一个玩家，玩家（3- i），是主动的或被动的。具体来说，如果θ=1，玩家1有积极竞争，如果θ=0，则没有竞争；如果θ=1，玩家2有主动竞争，如果θ=0，则没有竞争。为了描述这类游戏中的策略，我们首先引入了随机停车时间的概念（参见[19]、[26]和[6]）。定义2.1。（随机停止时间。）设A为右连续非递减FX适应过程的集合，Γ={Γt；0- ≤ t<∞} 满足Γ0-= 0和Γt≤ 所有t均为1≥ 设U为随机变量，与X无关，其中U~ 均匀（0，1）。U-随机停止时间γ是γ=inf{t形式的随机变量≥ 0：Γt>U}（1）对于某些Γ∈ A、此外，我们说γin（1）是由Γ生成的。上述（c）中介绍的i=1、2和Ui的Ui随机停止时间集合表示为tri。此外，为了将来的参考，我们还引入了停止时间γu：=inf{t≥ 0：Γt>u}，u∈ [0，1]，（2）带Γ∈ A、最后，我们注意到Γt：=Γt- Γt-对于t≥ 0和Γ∈ A、让g：Rd→ [0, ∞ ) 是一个连续函数，这样SUPX∈Rdg（x）>0。（3）我们的游戏现在规定如下。每个玩家选择一个随机停止策略：玩家1选择τ∈ TRand P第2层选择γ∈ TR.玩家1在时间τisR（τ，γ）的支付：=g（Xτ）1{τ<γ}+g（Xτ）1{τ=γ}{τ<∞},（4）式中（5）^γ：=γ1{θ=1}+∞1{θ=0}.在DYNKIN游戏5中与鬼魂玩耍同样，在时间γ时，玩家2收到AMOUNT（τ，γ）：=g（Xγ）1{γ<τ}+g（Xγ）1{γ=τ}{γ<∞},（6）式中：=τ1{θ=1}+∞1{θ=0}.在这里，第二学期的一半表明，在两名球员同时停赛的情况下，他们之间的奖金将平均分配。

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2022-6-23 23:21:03

在同时停车的情况下，支付的替代规范显然是可能的，我们在本文中开发的方法可以扩展到涵盖各种情况。然而，为了简单起见，我们避免讨论这些扩展。参与者1（2）的目的是选择随机停止时间τ（γ），以最大化其预期贴现收益，由j（τ，γ；p，x）定义：=Ex[e-rτr（τ，γ）]（J（τ，γ；p，x）：=Ex[e-rτr（τ，γ）]），其中贴现率r≥ 0是给定常数，x∈ Rd.通过θifromfx的独立性，我们可以重写参与者1的预期支付asJ（τ，γ；p，x）=（1- p） Ex[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}]（7） +pEx[e-rτg（Xτ）1{τ<γ}]+pEx[e-rτg（Xτ）1{τ=γ<∞}].一个类似的表达式适用于玩家2的预期收益J，用pand替换pw，以明显的方式交换τ和γ。定义2.2。（纳什均衡。）给出n x∈ Rdand pi∈ （0，1），i=1，2，一对（τ*, γ*) ∈ TR×TRis a纳什均衡ifJ（τ，γ*; p、 x）≤ J（τ*, γ*; p、 x）andJ（τ*, γ; p、 x）≤ J（τ*, γ*; p、 x）对于所有对（τ，γ）∈ TR×TR.给定平衡对（τ*, γ*) ∈ TR×TRwe定义了平衡支付asvi（pi，x）：=Ji（τ*, γ*; pi，x），对于i=1，2。（8）备注2.1。在上面的公式中，每个参与者都是主动参与者，但我不确定另一个参与者是主动参与者还是被动参与者。另一种公式是，仅当伯努利随机变量θ3-它将值设为1（即，如果玩家i确实处于活动状态）。更准确地说，支付给参与者1的报酬为R（τ，γ）：=g（Xτ）1{τ<γ}+g（Xτ）1{τ=γ}{^τ <∞}= 1{θ=1}R（τ，γ）（和Player 2的类似表达式）。然后，根据独立性，相应的预期贴现付款（τ，γ；pi，x）：=Ex[e-rτ^Ri（τ，γ）]，i=1，2，满足^Ji（τ，γ；pi，x）=p3-iJi（τ，γ；pi，x）。

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2022-6-23 23:21:06

特别是一对策略（τ，γ）∈ TR×TRis是具有预期payoff s^Jiif且仅当它是具有预期payoff s Ji的博弈的纳什均衡时的纳什均衡，因此从博弈论的角度来看，这两个公式是等价的。备注2.2。我们的建立和本文的结果可以推广到考虑域I上的连续强M arkov过程，前提是X的边界行为我被仔细地解释了。当X是一个开放区间I上的正则维离散时，这种扩展很简单 R具有自然边界。6 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–OM3。一些关于游戏收益的有用观察在本节中，我们做了一些一般性的观察，为两个玩家的均衡收益结构提供了一些直觉。3.1. 单人游戏的有效值范围。用（9）V（x）表示：=supτ∈特克斯[东]-rτg（Xτ）1{τ<∞}]相应单人停止游戏的值函数。（对于单个玩家游戏，不需要随机，因此，我们注意到，supremumin（9）将取代停止时间。）为了将来参考，我们表示（10）τ*五： =inf{t≥ 0：V（Xt）=g（Xt）}。从现在起，我们做出以下长期假设。假设3.1。可积条件（11）Ex支持≥0e-rtg（Xt）< ∞, x个∈ Rd、holds和函数V:Rd→ [0, ∞ ) 是连续的。此外，（12）lim支持→∞e-rtV（Xt）1{τ*五=+∞}= 0、备注3.1。已知V的连续性在关于最优停止的文献中讨论的几乎所有示例中都成立。可积性条件（11）和条件（12）保证停止时间τ*关于（9）中的最佳停车时间，请参见示例[23]。

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2022-6-23 23:21:10

此外，进程y：=e-rtV（Xt），t∈ [0, +∞]和Y∞:= 0是一个超鞅，mt：=e-r（t∧τ*五） V（Xt∧τ*五），t∈ [0, +∞)是一致可积鞅。虽然（12）对于我们在本文其余部分中开发的方法不是必需的，但这是一个方便的假设，有助于我们保持简单的阐述，避免定理5.1证明中的长局部化论点。从（7）中可以清楚地看出，J（τ，γ；p，x）≤ Ex[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}] 对于任何（τ，γ）∈ TR×TR.此外，对于τ∈ TRwe haveEx[电子版]-rτg（Xτ）1{τ<∞}] =ZEx[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}|U=U]du（13）=ZEx[e-rτug（Xτu）1{τu<∞}] 杜邦≤ V（x），其中τu∈ T的定义如（2）所示。因此，在单玩家游戏中允许随机分组并不会降低该值，我们有以下上限SUPτ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ supτ∈特雷克斯-rτg（Xτ）1{τ<∞}] = V（x）（14）表示任意γ∈ TR.同样的界限显然适用于玩家2的预期收益。接下来，我们得到有用的下界。首先，对于任何给定的γ∈ TRPlayer 1可以选择τ=τ*（10）中定义的Vde。因此，使用（7）我们得到supτ∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）≥ (1 - p） Exhe公司-rτ*Vg（Xτ*五） 1{τ*五<∞}i（15）=（1- p） V（x）。在DYNKIN游戏中玩鬼魂7秒钟，使用τ=0，P-A.s.，是一个允许的停止规则∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）（16）≥ infγ∈TRn（1- p） g（x）+pg（x）p（γ>0）+pg（x）p（γ=0）o=1.-pg（x）表示任意x∈ 总结（14）-（16），我们有（17）max{（1- p） V（x），（1- p/2）g（x）}≤ supτ∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ V（x）和类似的参数也导致tomax{（1- p） V（x），（1- p/2）g（x）}≤ supγ∈TRinfτ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ V（x）。（18）从（17）-（18）得出，（19）V（pi，x）：=max{（1- pi）V（x），（1- pi/2）g（x）}是参与者i的“安全水平”。更准确地说，任何纳什均衡（τ）的均衡m值（见（8））*, γ*) ∈ TR×TR必须满足vi（pi，x）≥ V（π，x）。3.2. 更明确的预期回报形式。

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2022-6-23 23:21:13

接下来，我们将提供一种重写问题的便捷方法，这将为我们在第4节中构建均衡提供信息。正如预期的那样，我们期望在与递增过程相关的随机策略中找到平衡。然而，暂时忘记平衡的考虑，如果玩家i玩一个随机的停止时间，那么根据上面（13）中的论点，玩家3- i的最佳响应可以在正常停车时间的类别中找到。特别是，让τ∈ TRandγ∈ TRbe任意一个hassupζ∈TRJ（ζ，γ；p，x）=supζ∈TJ（ζ，γ；p，x），（20）supζ∈TRJ（τ，ζ；p，x）=supζ∈TJ（τ，ζ；p，x）。（21）虽然这一论点通常不会导致均衡，但它表明，考虑到参与者i的随机策略，我们可以将注意力限制在参与者3的预期回报上- 我在正常停车时间进行了评估。在下一个命题中，我们给出了此类支付的明确公式。命题3.1。对于i=1，2 letΓi∈ A、让τ∈ TRandγ∈ 分别由Γ和Γ生成TRbe。对于任何ζ∈ T和x∈ Rdwe haveJ（ζ，γ；p，x）=（1- p） Exhe公司-rζg（Xζ）1{ζ<+∞}i（22）+pExhe-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<+∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γζ{ζ<+∞}iandJ（τ，ζ；p，x）=（1- p） Exhe公司-rζg（Xζ）1{ζ<+∞}i（23）+pExhe-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<+∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γζ{ζ<+∞}i、 8 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–公司。根据对称性，可以考虑i=2的情况。因此我们让γ∈ TRbegenerated byΓ∈ A、我们要展示的是（22）个老人。从（7）中回忆出j（ζ，γ；p，x）=（1- p） Ex[e-rζg（Xζ）1{ζ<∞}] + pEx[e-rζg（Xζ）1{ζ<γ}]（24）+pEx[e-rζg（Xζ）1{ζ=γ<∞}],（24）右侧sid e的第一项与（22）的第一项相同。

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2022-6-23 23:21:16

第二学期，根据定义2.1，我们有-rζg（Xζ）1{ζ<γ}]=排气-rζg（Xζ）Pxζ < γFXζ{ζ<∞}i=排气-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<∞}i、对于最终的表达，我们将其用于任何t≥ 0它容纳{t<U} {γ>t} {Γt≤ U} 。（25）（24）givesEx中的最终术语-rζg（Xζ）1{ζ=γ<+∞}] = Exhe公司-rζg（Xζ）Pxζ = γFXζ{ζ<+∞}i、（26）现在我们注意到th atPxζ = γFXζ= 二甲苯γ ≥ ζFXζ- 二甲苯γ > ζFXζ= limδ→0Pxγ > ζ - δFXζ- (1 - Γζ）=limδ→0(1 - Γζ-δ) - (1 - Γζ) = Γζ，结合（26）得出我们的证明。4、构建候选战略4.1。调整信念。为了找到游戏的平衡点，我们研究了（游戏期间）玩家关于其对手存在的谎言的演变。换句话说，如果γ∈ Γ生成的TRis∈ A、然后，玩家1动态评估玩家2处于活动状态的条件概率为∏t：=P（θ=1 | FXt，γ>t）=P（θ=1 | FXt）P（θ>t | FXt，θ=1）P（γ>t | FXt）（27）=pP（γ>t | FXt）1- p+pP（γ>t | FXt）=p（1- Γt）1- pΓt提供p∈ （0，1），其中我们回忆起^γ=γ1{θ=1}+∞1{θ=0}如（5）所示。这里，我们在第三个等式中使用了γ和dθ的独立性，在最后的等式中，我们使用了p（γ>t | FXt）=1- Γt由于（25）。同样，如果τ∈ Γ生成的TRis∈ A、然后，玩家2将玩家1处于活动状态的条件概率评估为∏t：=P（θ=1 | FXt，^τ>t）=P（1- Γt）1- pΓt（28）提供p∈ (0, 1).注意，Γ3之间有一对一的对应关系-iand∏i，对于i=1，2。事实，（29）Γ3-it=pi- ∏itpi（1- πit），i=1，2。此外，等式（30）（1- pi）=（1- piΓ3-it）（1- πit），i=1，2，在DYNKIN游戏中与鬼魂玩9次。下面我们将看到这些公式如何成为我们游戏分析中的关键因素。4.2. 一个经过反思和调整的信念过程。我们现在给出一个右连续过程（Z，X）的构造，该过程必然在[0，1）×Rd（下面表示dc）的特定子集中演化。

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2022-6-23 23:21:19

过程Z将扮演调整信念过程∏的角色，对应于适当构造的递增过程Γ（通过关系式（29）从Z获得），见下文引理4.2。我们首先介绍不相交集合C：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p） V（x）≥ g（x）}（31）C′：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p/2）克（x）<（1- p） V（x）<g（x）}（32）S：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p） V（x）≤ (1 - p/2）g（x）}（33），注意C∪ C′∪ S=（0，1）×第7页以来的第三次→ (1 - p） V（x）是不存在的，如果（p，x），我们有∈C、然后（0，p）×{x} C、定义（x）：=inf{p∈ [0, 1] : (1 - p） V（x）≤ g（x）}∈ [0, 1].同样，第7页→ (1-p） V（x）-(1-p/2）g（x）是非递增的，所以如果（p，x）∈ C′然后（b（x），p）×{x} C′，we definec（x）：=inf{p∈ [0, 1] : (1 - p） V（x）≤ (1 - p/2）g（x）}∈ [0, 1].然后b（x）≤ c（x）代表x∈ Rd，我们有c={（p，x）∈ （0，1）×Rd:p≤ b（x）}，（34）C′={（p，x）∈ （0，1）×Rd:b（x）<p<c（x）}（35）and={（p，x）∈ （0，1）×Rd:c（x）≤ p} 。引理4.1。功能b、c：Rd→ [0，1]是连续的。此外，（i）b（x）=c（x）=0<==> V（x）=g（x）；（ii）b（x）=c（x）=1<==> g（x）=0。证据我们首先注意到RDX上的V>0，因为X是正则的，（3）成立。此外，V>g/2 on Rd（因为如果g（x）=0，则V（x）>0=g（x）/2，如果g（x）>0，则V（x）≥ g（x）>g（x）/2）。p 7的严格单调性和连续性→ (1 - p）V（x）表示对于anyx∈ Rd b（x）的值由（1）唯一确定- b（x））V（x）=g（x），（36）和严格m关于p7的耳鸣性和连续性→ (1 - p） V（x）- (1 - p/2）g（x）（因为V>g/2on Rd）表示c（x）由（1）唯一确定- c（x））V（x）=（1- p/2）克（x）。（37）因此，b（x）=1-g（x）V（x）（38）和C（x）=V（x）- g（x）V（x）- g（x）/2。（39）因此，b和c的连续性遵循假设3.1。最后，（i）和（ii）从V>0和V≥ g。提案4.1。Let（p，x）∈C给出并确定Px-a.s。

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2022-6-23 23:21:23

进程zt：=p∧ inf0≤s≤tb（Xs）。（40）那么Px-a.s.10 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom（i）Z是非递增的和连续的；（二）（Zt、Xt）∈C代表所有t≥ 0;（iii）我们有dzt=1{（1-Zt）V（Xt）=g（Xt）}dZt（41）作为（随机）度量。证据自x 7起→ b（x）和t 7→ X连续，立即验证（i）是否成立。此外，根据定义Zt≤ b（Xt）代表所有t≥ 0，因此表示（ii）。为了检查（iii）是否保持we fixω∈ Ohm （在空集之外）并取任意t≥ 0，以便（1- Zt（ω））V（Xt（ω））>g（Xt（ω））。根据b的定义，上述严格不等式意味着Zt（ω）<b（Xt（ω））。然后通过t 7的连续性→ b（Xt）存在δt，ω>0，使得Zt（ω）<b（Xt+s（ω）），对于所有s∈ （0，δt，ω）。HenceZt+s（ω）=Zt（ω）∧ inf0<u≤sb（Xt+u（ω））=Zt（ω），对于所有s∈ （0，δt，ω）。后一个方程表示（41）中需要的dZt（ω）=0。我们指出，在Zt=Zp时，th取决于初始点（p，x）。与上面的Z关联，我们现在构造一个进程Γ∈ A、这将用于生成博弈中纳什均衡的随机终止时间。特别是，在下一个引理中，我们将重新调用（27）和（28）中介绍的信念过程。引理4.2。对于（p，x）∈C、定义流程Γt：=Γp，xt：=p- Zp，xtp（1- Zp，xt），t≥ 0，（42），带Zp，x=Z，如（40）中所示。则Γ=Γp，xis连续，Γ∈ A和由Γ生成的调整后置信过程，即过程∏t：=p（1- Γt）1- pΓt，（43）满意度∏Γ=Z，Px-a.s.因此（πΓt，Xt）∈C代表所有t≥ 0，Px-a.s.此外，如果τ∈ TRis由Γ生成，然后是τ≤ τ*五、证明。对于第一项权利要求，通过比较g（42）和（43），可以立即检查∏Γ=Z。仍需验证Γ∈ A.

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2022-6-23 23:21:26

这是因为Γ是连续的，通过Z的连续性和d，它是非递减的，因为过程Z和映射Z 7→ （p- z） /[p（1- z） ]不增加。对于第二个要求，我们有引理4.1和（40），τ*V=inf{t≥ 0：V（Xt）=g（Xt）}（44）=inf{t≥ 0：b（Xt）=0}=inf{t≥ 0：Zt=0}=inf{t≥ 0：Γt=1}，由此得出τu=inf{t≥ 0：Γt>u}≤ τ*V或u∈ [0，1）.依次为τ≤ τ*五、 Px-a.s。纳什均衡的构造在不损失一般性的情况下，我们假设pdominates p，即0≤ p≤ p≤ 1、我们首先对两种极端情况p=0和p=1进行了评论。如果p=1，则p=1（因为p≤ p），因此两个玩家都确定另一个玩家处于活动状态。在这种情况下，很明显imm mediate stopping，即（τ*, γ*) := （0，0），提供了一个纳什均衡，每个参与者对应的均衡值为g（x）/2。在DYNKIN游戏11中玩鬼魂如果p=0，则玩家1确定玩家2未处于活动状态，并将随后玩最优策略τ*= τ*Vfrom单人游戏。如果p=0，那么玩家2的最佳反应也是使用γ*= τ*五、对于每个玩家，相应的均衡值由V（x）给出。相反，如果p>0，则情况会稍微复杂一些：玩家2的最佳响应是通过在τ之前停止来抢占玩家1*V（在τ处*五、-); 然而，这不是一个随机的停止时间，在这种情况下不存在平衡。在本节其余部分中，我们施加条件0<p≤ p≤ 1和p<1，因此排除了上述两种情况。然后，我们利用前两部分的结果为我们的博弈构建纳什均衡。一个有趣的特性是，我们的构造自然分为三个场景。也就是说，我们得到的平衡的定性性质取决于（p，x）所属的三个区域C，C′和S中的哪个区域。

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2022-6-23 23:21:29

最引人注目的似乎是p的初始值∈ [p，1]对我们的建设的质量方面并不重要。我们将在下面的第5.3节对此功能进行更广泛的评论。在同一节中，我们还将讨论导致我们构建以下定理5.1和5.2中详述的平衡的心理学。5.1. （p，x）的平衡∈C∪C′。我们考虑的这一部分（p，x）∈ C∪C′。我们首先定义*:=p1.-(1 - p） V（x）g（x）+q：=p（1- Γ*)1.- pΓ*（45）并注意（46）（1）- pΓ*)(1 - q） =1- p、引理5.1。对于（p，x）∈C∪ C′我们有（i）0≤ Γ*< 1，（ii）0<q≤ b（x）。此外，对于（p，x），0<q<b（x）∈ C′。证据如果p≤ b（x）然后Γ*= 0和q=p∈ （0，b（x）]，s o（i）-（ii）保持。如果p∈ （b（x），c（x））然后Γ*=p1.-(1 - p） V（x）g（x）∈ （0，1）so（i）成立且q>0。此外，（45）中的第一个等式为（1- p） V（x）=g（x）1.-pΓ*.（47）结合后者和（46）我们得到（1- q） V（x）=1-pΓ*1.- pΓ*g（x）>g（x）（48），因为引理4.1中的（ii）必须是g（x）>0（否则p≤ b（x）=1）。因此，（q，x）位于setC的内部，因此q<b（x），这意味着（ii）。回顾命题4.1和引理4.2中介绍的过程Z和Γ，以及调整的信念过程∏Γ。定义2，*asΓ2，*t： =Γ*+ (1 - Γ*)Γq，xt，t≥ 0，（49）带Γ*如（45）和Γq，引理4.2中的xas，但对于p=q，让Γ1，*t： =ppΓ2，*t{t<τ*五} +1{t≥τ*五} ，（50）12 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR¨OMand let∏1，*t： =p（1- Γ2,*t） 1个- pΓ2，*t玩家1的调整信念对应于Γ2，*（回忆（27））。提案5.1。对于（p，x）∈C∪ C′以下性质成立：（i）（Γ1，*, Γ2,*) ∈ A.（ii）我们有Px-a.s。Γ2,*t型=Γ*, t=0,0，t>0；（iii）我们有Px-a.s。Γ1,*t型=ppΓ*, t=0,1- p/p，t=τ*V<∞,0，否则；（iv）（π1，*t、 Xt）∈C代表t≥ 0.证明。

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2022-6-23 23:21:32

回顾（42）中表示Γq，x和Zq，xin的表达式（40），立即验证Γq，x∈ [0，1]它是连续的。因此，Γ2，*∈ [0，1]并且它是正确的，在时间零点唯一可能的跳跃。因此（Γ1，*, Γ2,*) ∈ Aso（i）持有。（ii）和（iii）中的表达式表示Γ2,*和Γ1,*是（49）和（50）的中间结果。此外，关于{τ*V<∞} 对于t>τ，我们有Γq，xt=1*Vby（44），所以Γq的连续性，x乘以Γq，xτ*五、-= 1、因此Γ1,*τ*V=1-ppΓ2，*τ*五、-= 1.-pp，完成了（iii）的证明。对于（iv），回顾调整后信念∏1的表达式（27），*对于玩家1，simplealgebra产生∏1，*t=p（1- Γ2,*t） 1个- pΓ2，*t=p（1- Γ*)(1 - Γq，xt）1- pΓ*- p（1- Γ*)Γq，xt（51）=q（1- Γq，xt）1- qΓq，xt=∏q，xt。现在（51）表示（1），*t、 Xt）∈C代表t≥ 0，Px-a.s.根据引理4.2，so（iv）成立。我们现在准备制定我们的主要结果。定理5.1。Let（p，x）∈C∪ C′是给定和固定的（相当于，p<C（x）），和定义（Γ1，*, Γ2,*) ∈ 上述（50）和（49）中的Aas。然后是策略对（τ*, γ*) 生成者（Γ1，*, Γ2,*) 是纳什均衡。此外，双方的均衡报酬为（1- p） V（x）。证据考虑p进程{Nt，t≥ 0}定义如下：对于固定（p，x）∈ C∪ C′letNt：=1.-pΓ*g（x）1{t=0}+~Nt{t>0}（52），其中▄Nt：=（1{θ=0}+1{θ=1，U≥Γ*})(1 - q） e类-rtV（Xt），注意（45），（47）和（52）表示（53）N=g（x）∧ ((1 - p） V（x））。使用符号Yt：=e-备注3.1中引入的rtV（Xt），在{Yt，0≤ t型≤ ∞}和Y∞:= 0是一个超级鞅。

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2022-6-23 23:21:35

因此，根据（46）和可选的samp-ling定理，对于任何τ∈ T，我们有ex[Nτ]=N{τ=0}+1{τ>0}（1-pΓ*)(1-q） Ex公司e-rτV（Xτ）1{τ<∞}在DYNKIN游戏中玩鬼魂13=N{τ=0}+1{τ>0}（1-p） Ex公司e-rτV（Xτ）1{τ<∞}≤ N{τ=0}+1{τ>0}（1-p） V（x），其中我们使用Px（τ=0）=1{τ=0}和Px（τ>0）=1{τ>0}乘以0- 1-法律。最后，回顾（53），我们得到了≤ (1 - p） V（x），对于所有τ∈ T（54）重复上述相同步骤，并使用Mt=Yt∧τ*对于一致可积鞅（注3.1），我们还得到了exhnτ∧τ*Vi=（1- p） V（x），对于所有τ∈ T，τ>0，τ=0，如果Γ*> 现在我们分两步进行。第1步。（τ的最优性*.) 首先，我们显示SUPτ∈TJ（τ，γ*; p、 x）≤ supτ∈TEx[Nτ]。（56）回顾命题3.1和唯一可能的Γ2跳跃，*发生在t=0（命题5.1）时，对于任何τ∈ T，J（τ，γ*; p、 x）=Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}+pg（x）Γ*{τ=0}（57）=1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}+ 1{τ=0}g（x）1.- pΓ*+pΓ*=1{τ=0}N+1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}.根据定义（见（49）），我们有1- pΓ2，*τ= 1 - pΓ*- p（1- Γ*)Γq，xτ=（1- pΓ*)(1 - qΓq，xτ），其中第二个等式来自（45）。替换（57）中的最后一个表达式，并使用该g（Xτ）≤ (1 - Π1,*τ） V（Xτ）（见第5.1项中的（iv）我们到达j（τ，γ*; p、 x）≤1{τ=0}N（58）+1{τ>0}（1- pΓ*)前任e-rτ（1- qΓq，xτ）（1- Π1,*τ） V（Xτ）=1{τ=0}N+1{τ>0}（1- pΓ*)(1 - q） Ex公司e-rτV（Xτ）=Ex【Nτ】，其中在第一个等式中，我们使用（1- qΓq，xτ）（1- Π1,*τ) = (1 - q），由于（51），第二个从（52）开始。因此，我们已经证明了（56）。将后者与（54）和（20）givessupτ结合∈TRJ（τ，γ*; p、 x）≤ (1 - p） V（x）。（59）现在取τ*（2）中的uas，但带有Γ1，*而不是Γ。然后，从Γ1开始，*t=1表示t≥ τ*V（by（44）），我们有τ*u≤ τ*V对于所有u∈ [0, 1).

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可人4

2022-6-23 23:21:39

此外，我们声称（60）（1- Π1,*τ*u） V（Xτ*u） 1{τ*u型<∞}= g（Xτ*u） 1{τ*u型<∞}.事实上，要看到（60）成立，首先假设u∈ 【0，p/p】。第n条，回顾第2条，*对于t>0和Γ2是连续的，*< t<τ时为1*五、我们有τ*u=inf{t≥ 0 : Γ1,*t> u}=inf{t≥ 0 : Γ2,*t> （p/p）u}=γ*（p/p）u。因此（60）成立，因为τ*Ui是增加2的时间，*和t 7→ dΓ2，*在{t上受支持≥ 0 : (1 - Π1,*t） V（Xt）=g（Xt）}14 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom（见建议4.1和Lemm a 4.2）。另一方面，如果u∈ [p/p，1），th enτ*u=τ*五、和（1- Π1,*τ*u） V（Xτ*u） =（1）- Π1,*τ*五） V（Xτ*五） =V（Xτ*五） =g（Xτ*五）关于{τ*V<∞} 自∏1起，*τ*V=Zp，xτ*由于引理4.2证明中的（44），V=0。然后，把τ=τ*uin（57），（58）中的不等式变为等式，我们发现j（τ*u、 γ*; p、 x）=Ex[Nτ*u] =（1）- p） V（x），（61），其中最终等式来自（55）。u的集成∈ [0，1）并回顾τ*= inf{t≥ 0 : Γ1,*> U} （见定义2.1）我们最终获得j（τ*, γ*; p、 x）=（1- p） V（x）≥ supτ∈TRJ（τ，γ*; p、 x）。因此，τ*是对γ的最佳响应*.第2步。（γ的最优性*.) 需要检查γ*是玩家2对玩家1使用τ的最佳反应*. 从（23）开始，对于任何ζ∈ T我们得到j（τ*, ζ; p、 x）=排气-rζ（1- pΓ1，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i（62）+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i=Exh{ζ<τ*五} e类-rζ（1- pΓ1，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（1- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i=Exh{ζ<τ*五} e类-rζ（1- pΓ2，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e-rζ（1- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（p- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i、对于第三个等式，我们使用pΓ1，*ζ=pΓ2，*事件{ζ<τ时的ζ*五} 。

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2022-6-23 23:21:42

重新校准p≤ p、我们有exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（p- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i（63）=-pExh{ζ≥τ*五} e类-rζ（1- p/p）g（Xζ）1{ζ<∞}我≤ -pExh{ζ≥τ*五} e类-rζΓ1,*ζg（Xζ）1{ζ<∞}i、不平等使用的地方Γ1,*ζ{ζ≥τ*五} =Γ1,*ζ{ζ=τ*五} =（1）- p/p）1{ζ=τ*V}≤ (1 - p/p）1{ζ≥τ*五} 在{ζ<∞} （iii）在提案5.1中。将（63）与（62）结合起来给出j（τ*, ζ; p、 x）≤ Exhe公司-rζ（1- pΓ2，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pΓ1，*g（x）1{ζ=0}-佩克斯-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ=τ*五<∞}我在DYNKIN游戏中与鬼魂玩耍15回想起来，*仅在时间零点和τ处跳跃*五、接下来，回顾命题5.1中的（ii），并使用g（22）和pΓ1，*= pΓ*我们得到j（τ*, ζ; p、 x）≤ J（ζ，γ*; p、 x）-佩克斯-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ=τ*五<∞}我≤ J（ζ，γ*; p、 x）。然后，如（59）（也可称为（21））中所示，其SUPζ∈TRJ（τ*, ζ; p、 x）≤ (1 - p） V（x）。（64）为了证明等式成立，我们选择ζ=γ*u、带γ*（2）中的uas，但带有Γ2，*代替Γ。我们注意到J（τ*, γ*up、 x）（65）=排气-rγ*u（1- pΓ2，*γ*u） g（Xγ*u） 1{γ*u型<∞}i+pg（x）Γ2，*{γ*u=0}=J（γ*u、 γ*; p、 x）我们使用pΓ1的地方，*γ*u=pΓ2，*γ*u、自γ起*u<τ*Von{τ*V<∞}, Px-a.s.适用于u∈ [0，1）。接下来，很明显，（60）与γ保持一致*uinτ的位置*ubecauseγ*u=τ*ppu。最后，让τ=γ*uin（57），导致（61）的相同论点，结合（65），给出了j（τ*, γ*up、 x）=（1- p） V（x）。u上积分∈ [0，1）并回顾γ*= inf{t≥ 0 : Γ2,*t> 我们最终得出结论，SUPγ∈TRJ（τ*, γ; p、 x）=J（τ*, γ*; p、 x）=（1- p） V（x）。因此，γ*是对τ的最佳响应*, 这就完成了证明。5.2. （p，x）的平衡∈ S、只剩下考虑从（p，x）开始的博弈均衡∈ S、定理5.2。Let（p，x）∈ 给出并确定。然后是策略对（τ*, γ*) =（0，0），Px-a.s.是纳什均衡。此外，第i个玩家的均衡收益（1- pi/2）g（x），对于i=1，2。证据固定（p，x）∈ S和假设γ*= 0

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2022-6-23 23:21:45

那么对于任何τ∈ T我们有j（τ，0；p，x）=（1- p） Ex公司e-rτg（Xτ）1{τ<∞}+pg（x）1{τ=0}（66）=（1- p） 1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）1{τ<∞}+1.-pg（x）1{τ=0}≤ (1 - p） 1{τ>0}V（x）+1.-pg（x）1{τ=0}≤1.-pg（x），其中最终不平等如下（1- p） V（x）≤ (1 - p/2）克（x）。由于（66）和（20），我们得到了supτ∈TRJ（τ，0；p，x）≤1.-pg（x）。现在很容易验证，如果我们选择oseτ=0，Px-a.s.，soτ，等式成立*= 0是对γ的最佳响应*= 0。类似的参数允许验证γ*= 0也是对τ的最佳响应*= 实际上，如（66）中，我们有f或γ∈ T thatJ（0，γ；p，x）=（1- p） 1{γ>0}Exe-rγg（Xγ）1{γ<∞}16 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom+1.-pg（x）1{γ=0}≤ (1 - p） 1{γ>0}V（x）+1.-pg（x）1{γ=0}≤1.-pg（x）自（1- p） V（x）≤ (1- p/2）g（x）和p≥ 使（1）起鸡皮疙瘩- p） V（x）≤ (1- p/2）克（x）。此外，γ=0的等式成立，因此（τ*, γ*) = （0，0）是一个纳什均衡。备注5.1。请注意，公式uilibrium值f或P layer 2在patc（x）中不是连续的。事实上，对于p<c（x）<1，玩家2的平衡值是（1- p） V（x）（见定理m 5.1），而定理5.2中p=c（x）的平衡值为（1-p/2）克（x）≤ (1 - p/2）g（x）=（1- p） V（x），其中当p>p.5.3时，不等式是严格的。对我们的结果和经验的评论。谨慎的好处。在未知竞争的情况下，即p=p=1，两个玩家立即停止提供纳什均衡，在没有竞争的情况下，应该使用单人停止策略τ*五、有鉴于此，直觉上很清楚，比玩家1更“警惕”（或意识到）竞争的玩家2应该是更渴望提前停止的玩家。

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2022-6-23 23:21:48

定理5.1证实了这种直觉；事实上，玩家2更积极的角色是由她以“广义强度”（p/p）停止的f动作来量化的，这是玩家1的（p/p）倍。玩家2的均衡策略是令人惊讶的，因为它会产生平均回报（1- p） V（x），严格大于她的“安全”水平（1- p） V（x），如果p<p（见（19））。相反，参与者1的均衡策略只产生“安全”水平（1- p） V（x）。有趣的是，这意味着玩家1并没有因为公开展示更高的游戏参与度而变得更糟糕。事实上，考虑两个分别具有参数（p，p）和（p，1）的博弈（并假设p<c（x），因此我们处于定理5.1的设置中）。那么在这两种情况下，两个参与者的均衡报酬都是（1- p） V（x）。平衡策略的跳跃。从数学角度来看，一个真正显著的特征是平衡过程Γ2中初始跳跃的大小，*对于初始信念∈ （b（x），c（x））。事实上，我们已经在定理5.1中看到，这种跳跃推动（π1，*, 十）严格位于setC内部（见L emma 5.1）。如果我们考虑到我们的设置与具有比例控制成本的奇异控制的非零和博弈的框架有相似之处，这有点出乎意料（参见，例如，[7]）。在这些问题中，最优控制的初始跳变将最优控制过程驱动到动作s等的边界。因此，在我们的设置中，我们可能预期跳变到setC的边界。我们注意到，我们在均衡状态下观察到的最优控制结构可能源于这样一个事实，即如果同时停止，则参与者将分配报酬。启发式定理5.1。为了简单起见（并遵循导致我们得出结论的实际路线），我们考虑了具有对称初始信念的玩家的情况，即。

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2022-6-23 23:21:51

p=p=：p。在这种情况下，玩家应该使用s ame策略Γ1，*= Γ2,*= Γ*. 此外，ifPlayer 2使用r和domined timeγ*生成人Γ*, 然后，为了优化，参与者1应该在策略τ之间有所不同*u=inf{t≥ 0 : Γ*t> u}如（2）中的u∈ [0，1）（见第3.1节）。特别是，我们可以预期J（τ*u、 γ*; p、 x）独立于U∈ [0，1），因此平衡m值应通过j（τ）给出*u、 γ*; p、 x）=limu↑1J（τ*u、 γ*; p、 x）=J（τ*五、 γ*; p、 x）=（1- p） V（x）（其中第二个和第三个等式可以直观地理解）。考虑到这一候选平衡值，定理5.1中的构造自然而然地遵循。在DYNKIN游戏17中玩鬼魂，我们接下来对Γ的规格进行评论*在b（x）<p<c（x）的情况下。我们再次考虑具有对称初始信念的玩家，即p=p=：p，这样，在平衡时，他们应该使用相同的策略。假设玩家2选择以概率Γ立即停止。要使这成为一种非平衡策略，玩家1必须在停止和继续之间保持中立（这样，任何此类策略的线性组合都会给出最佳答案）。差异条件为（1- p） g（x）+p（1- Γ）g（x）+pΓg（x）=（1- p+p（1- Γ))(1 - q） V（x）（67）式中，在等式的左侧，我们有玩家1在即时映射情况下的支付，在右侧，如果继续，则有玩家1的支付。特别注意q=p（1- Γ)1 - pΓ（定义见（45））是玩家1在玩家2未立即结束游戏时的调整信念（见（27））。在（67）的右侧，我们有（1- q） V（x）因为我们预计，如果比赛不立即结束，信念将更新为（q，x）∈C、求解Γ的差异方程得到（45）中的第一个方程。调整后信念的演变。

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2022-6-23 23:21:54

定义∏2，*t： =p（1-Γ1,*t） 1个-pΓ1，*t、很容易检查∏2，*t=（1- p） ∏1，*t+p- p1级- p、因此，0≤ Π2,*t型- Π1,*t=p- p1级- p（1- Π1,*t）。因此，在平衡状态下，两种既判信念都是非递增的，但它们之间的差异（相当明显）是非递减的。与障碍策略的联系。如定理5.1所示，如果（p，x）∈C、仅当t 7时，进程X停止（处于平衡状态）→ b（Xt）达到新的最小值。也就是说，在第一次到达Rd中的新区域时，X停止（具有某种普遍的强度）。这是一个显著的特征，表明如果游戏是特定的，因此策略集仅由（随机）集的进入时间组成，那么将获得相同的平衡。结论更容易在一维状态空间中可视化（如下一节中的示例）。如果X∈ R我们会有阈值策略（可能是双边的）产生的纳什均衡，随机阈值。然而，请注意，我们的方法表明（τ*, γ*) 事实上，这是由所有随机时间组成的更大类别策略中的纳什均衡。这一事实远非微不足道，因为如果我们将游戏中的均衡视为每个玩家对对手策略的最佳反应的一个执行点，那么就没有理由期望均衡阈值策略应该出现在我们考虑的更广泛的类别中。6、具有未知竞争的实物期权在本节中，我们考虑了具有不确定竞争的实物期权的一个例子（对于没有竞争的实物期权的经典情况，参见[9]，对于不完全竞争信息下的实物期权定价的相关问题，参见[18]）。为此，设g（x）=（x- K） +，p=p=：p∈ （0，1）对于某些常数K>0、u<r和σ>0，ddXt=uXtdt+σxtdwt。

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2022-6-23 23:21:57

这里，X代表进入某个商业机会的未来收入现值，K是进入的沉没成本，andr是贴现率。然而，商业机会受制于竞争，18 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–om我们假设每个主动代理都估计了主动竞争对手成为bep的可能性（因此没有竞争的可能性为1- p）。这种对称设置在玩家“相似”的应用中是合理的（例如，生产相同od的类似规模的公司）。众所周知（例如[9]），值v（x）：=supτEx[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}]在相应的游戏中，一人游戏由V（x）给出=（B）- K）（x/B）η，对于x∈ （0，B），g（x），对于x∈ [B，∞),式中η=σ- 2u2σ+sσ- 2u2σ+2rσ∈ (1, ∞)和B：=ηK/（η）- 1). 由于V和B是显式的，回顾（38）和（39）可以得到边界x 7的显式公式→ b（x）和x 7→ 设置c的c（x）和（34）和（35）中的c′。事实上，b（x）=1-g（x）V（x）=1 x∈ （0，K）1-（十）-K）（B/x）ηB-Kx公司∈ （K，B）0 x∈ [B，∞)andc（x）=V（x）- g（x）V（x）- g（x）/2=1 x∈ （0，K）1-（十）-K） 2（B）-K）（x/B）η-x+Kx∈ （K，B）0 x∈ [B，∞).有关这些功能的图示，请参见图1。根据引理4.1，我们注意到limx→Bb（x）=limx→Bc（x）=0和limx→Kb（x）=limx→Kc（x）=1。此外，很容易检查b和c是否不增加，它们在（K，b）上是否急剧减少。因此，对于任何（p，x）∈C我们还有zp，xt=inf0≤s≤tb（Xxs）=bsup0≤s≤tXxs型, t型≥ 0，（68）乘以（40）。多亏了这些公式，我们现在可以用非常明确的形式写出纳什均衡。我们给出了游戏开始时的一些细节，其他情况也可以类似地处理。给定初始点（p，x）∈ C（即。

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2022-6-23 23:22:00

p≤ b（x）），定理5.1适用于Γ*= 此外，我们注意到Γ1，*= Γ2,*=: Γ*, 由于玩家的对称信念。感谢（68）和（42），并回顾τ*和γ*由Γ生成*, 我们有τ*= inf{t≥ 0 : Γ*t> U}=inf{t≥ 0:Zt<p（1- U） /（1- pU）}=inf{t≥ 0:Xt≥ B*},和γ*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*}, 随机变量（69）B*i： =b-1.p（1- Ui）1- pUi公司, i=1，2，其中b-1是b在DYNKIN游戏中玩鬼魂的反函数19C’s图1。图中显示了曲线p=b（x）（下一个）和p=c（x）（上一个）。参数值为K=1和η=2，因此B=2。参考文献[1]Attard，N.布朗运动最优停止的非零和对策中的纳什均衡。高级应用程序。概率。，49（2017），第2号，第430-445页。[2] Bimit，J.M.Sur u n probleme de Dynkin。Zeitschrift f¨ur Wahrscheinlichkeitsforerie und VerwandteGebiete，39（1977），第1期，第31-53页。[3] Bensoussan，A.和Friedman，A.具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策。变速箱。美国。数学Soc。231（1977），第2号，第275-327页。[4] Cardaliaguet，P.D.信息不对称的微分博弈。暹罗J.控制优化。46（2007），第3号，第816-838页。[5] Cardaliaguet，P.和Rainer，C.具有不对称信息的随机微分对策。应用程序。数学Optim公司。59（2009），第1期，第1-36页。[6] De Angelis，T.、Ekstrom，E.和Glover，K.Dynkin不完全和不对称信息博弈。ArXiv:1810.07674。[7] DeAngelis，T.和Ferrari，G.《随机非零和博弈：奇异控制和最优停止之间的新联系》。高级应用程序。概率。，50（2018），第2号，第347-372页。[8] De Angelis，T.、Ferrari，G.和Moriarty，J.两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡。安。应用程序。概率。，28（2018），第1号，第112-147页。[9] Dixit，A.K.和Pindyck，R.S.不确定性投资。

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