我们从（3.28）开始，应用乘积规则，hencedXt=d十五AtJt+ d{τ<T}τ= dXV At∧τ+XV AtdJt- θtdJt。通过（3.22），我们得到dxt=hf（t，^V- XV A，C，IT C，IF C）+（rt+λC，Qt+λB，Qt）XV At+λC，QtθCt- λB，QtθBtidt+dXi=1'Zkt{t<τ}dWk，Qt-θt- 十五在dJt。我们注意到，过程Pdi=1R·'Zku{u<τ}dWk，Quis a（G，Q）-鞅，因为由于浸入假设，Z在H2，d（Q）中。根据Cr'epey et al.（2014）中的引理5.2.9，我们推断该过程以不同的形式表达-（θt- XV At）dJt+λC，Qt(-θCt- XV At）dt+λB，Qt（θBt- XV At）dt（3.31）也是（G，Q）-局部鞅。此外，我们观察到∈ S（Q），也称为C∈ S（Q），C是^V的Lipschitz函数。此外，根据假设，初始保证金（无论是过账还是收到的）为H（Q）。总之，θ带θC和θ都属于空间H（Q）。另一方面，XV A∈ S（Q）。回顾λC，qa和λB，qa都有界，因此补偿跳跃项（3.31）是一个平方可积鞅。因为可预测的representationproperty对于Wj，Q，Mj，Q，j在G中成立∈ {B，C}，在测度Q下，我们得到存在▄UB，▄UC∈ H2,2λ（Q）满足（3.30）。我们得出结论，流程XV A解决了过滤G下的xVA BSDE（3.29）。我们最终可以将干净值的BSDE（3.22）的解与命题3.15的结果相结合，以求解G-BSDE（3.10）。定理3.16。设Vt：=^Vt- XV At，t∈ [0，T]，在{τ>T}上，其中^V和XV A分别在（3.14）和（3.15）中定义。然后，在假设2.14和3.12下，三元组（V，Z，U）∈S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q）求解V=^V的G-BSDE（3.10），其中Z和U由Zkt=^Zkt给出-Zkt，k=1，d、 （3.32）Ujt=-Ujt，j∈ {B，C}。（3.33）此外，过程V满足（3.11）。证据

根据假设2.1，在{t<τ}上，我们有^Vt（ν）=BrtEQ“Z（t，t）]dauburFt#=BrtEQ“Z（t，t）dauburGt#。所以我们考虑G下的^V。我们还观察到，在{t<τ}上，我们有'At=At。利用（3.13）和（3.29），我们在{t<τ}上写出了V的动力学-dVt=d’At+hf（t，^V- XV A、C、IT C、IF C）dt- rt公司^Vt- 十五在idt公司-dXk=1^Zkt-ZktdWk，Qt-Xj公司∈{B，C}-UjtdMj，qt，终端条件为τVτ=^Vτ- XV Aτ=^Vτ-θτ-^Vτ= θτ.因为Z=^Z-Z∈ H2、d（Q）和U=-U∈ H2,2λ（Q），根据定理3.5和命题3.15，我们得出（V，Z，U）解G-BSDE（3.10）并满足所需的可积条件。最后，我们现在能够证明（3.11）等同于（3.10）。这里我们假设只在{τ>t}上工作。因为Vt=^V- XV A由于定义3.9，我们有Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--Brτ20弗朗西斯卡·比亚吉尼、亚历山德罗·格诺阿托和伊玛科拉塔·奥利瓦-1{τB<τC}（1- RB）^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+Brτ-Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-布鲁杜-Zτt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-乌布鲁杜-Zτt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBruduGt#。通过（3.9c），我们得到Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--Brτ-1{τB<τC}（1- RB）^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+Brτ+Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu燃气轮机.假设3.8和（2.8）确保Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ“Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+θτ（^V（Д），C，IT C，IF C）-^Vτ（Д）BrτGt#。现在，我们应用（3.14）、塔的性质和假设2.1，使得vt（ν）=BrtEQ“Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+1{τ≤T}θτ（^V（Д），C，IT C，IF C）BrτGt#+BrtEQ“Z（t，t）Daubur-Z（t，t）dAuBrτGt#。最后，通过（2.8），我们得到vt（ν）=BrtEQ“Z（t，t]d'AuBru+Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+θτ（^V（ν），C，IT C，IF C）BrτGt#。我们现在提供了过滤F下价值调整的明确公式。

从计算角度来看，这种表示法特别有用：风险因素可以在较小的过滤F下模拟，价值调整的计算不需要模拟默认时间。这是提案3.14的直接后果。推论3.17。允许XV A，Z是F（3.22）下预默认xVA BSDE的唯一解决方案。确定流程▄r=（▄rt）t∈[0，T]通过设置▄r：=r+λC，Q+λB，Q。在假设2.14和3.12下，随机过程XV A允许以下表示。XV At=-CV At+DV At+F V At+ColV At+M V At，（3.34），其中CV At：=BrtEQ(1 - RC）ZTtB▄ru^Vu（Д）- 铜+如果铜-λC，Qudu英尺,XVA 21DV在：=BrtEQ时的BSDE(1 - RB）ZTtB▄ru^Vu（Д）- 铜- IT Cu+λB，Qudu英尺,F V At：=BrtEQ“ZTt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-BruduFt#，ColV At：=BrtEQ“ZTt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-uBruduFt#，MV At：=BrtEQ“ZTt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBrudu英尺#。文献中对FVA和DVA之间可能存在的重叠问题进行了激烈的辩论，参见Hull and White（2012）、Andersen et al.（2019）、Brigo et al.（2019）以及其中的参考文献。然而，这个问题是由于会计不一致导致的，会计不一致不会影响定价方程。我们仅限于提及Brigo等人（2019年）对该问题的合理处理，他们的解决方案可以嵌入到我们的框架中，而代价是进一步标注。3.3. xVA CSA一致性问题。我们在此为《美国证券交易法》贴现实践提供了一个无套利的框架，即使用特定于未定权益的贴现制度的实践。在第3.1节中，我们假设净价值是指理想化的完全抵押交易，其中抵押利率仅为r。实际情况更为复杂。

计算清洁价格所采用的市场实践涉及多种贴现曲线。当前市场实践中可能出现的例子有：o银行可以通过银行特定的融资曲线和相关的短期利率rf（这可能对应于属于Libor小组的银行的Libor利率）对完全无抵押衍生工具的（净）价值进行贴现，参见例如Piterberg（2010）。o以外币为抵押的衍生工具的（净）价值在市场上以基于跨货币基础的利率进行贴现，参见Ingnotto和Seiffert（2020）的公式和推导。人们很自然会问，为什么银行会对净价值采用许多贴现制度，以及最重要的xVA修正。主要原因纯粹是务实和非数学的：从交易台的角度来看，通过不同的贴现制度来处理CSA是很方便的，因为这允许通过传统的交易台技术来处理投资组合市场风险，如曲线交易（即在曲线上不同的桶/期限上购买/出售利率掉期）。Hedging在实践中对积分（如FVA术语）的期望要复杂得多。一种可能的近似处理方法是将时间积分离散化，并将得到的黎曼-萨姆韦时间作为一个索赔组合处理。鉴于上述困难，市场运营商倾向于获得附加价格表示，其中贴现曲线用于降低（融资相关）xVA条款的幅度，这更难对冲。从现在起，我们假设该银行有两个内部办公桌，分别称为前台和xVA办公桌。前台负责计算清洁价值，并负责对冲清洁价值市场风险所需的交易活动。

xVA服务台负责计算和对冲所有价值调整，并根据银行内部规则，被迫对每笔交易采用前台规定的净价值。xVAdesk是一个干净的价值接受者，这意味着在计算xVAs时需要小心，以避免重复计算的影响。22 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivatha xVA交易台必须处理同一笔交易的两个不同的净价值。一方面，它通过F-BSDE（3.13）计算净价值来执行无套利定价。另一方面，它必须使用前台功能规定的清洁值，该值构成银行内部接受的官方清洁值。然后，xVA部门面临以下挑战：问题3.18（xVA CSA一致性问题）。根据清洁值和xVA对V进行价格分解，以便（i）V的表示与G-BSDE（3.10）一致，以及（ii）清洁价格对应于front-o-ce函数规定的价格。现在，我们使用第3节的结果提供问题3.18的解决方案。备注3.19。为了提供一个具体的例子，请考虑以下情况：银行交易台与两个不同的交易对手进行了两次完全抵押的交易，第一个交易对手是LCH等清算所，另一个交易对手是asEurex等其他清算所。尽管这两项交易的索赔股息流程相同，但与Eurex的交易和与LCH的交易所提供的抵押报酬是不同的。EUREX和LCH之间的共同薪酬差价称为EUREX LCH基础，更多详细讨论请参见Mackenzie Smith（2017）。

这将导致通过不同贴现率计算两个净价值。综上所述，根据特定交易抵押品利率对现金流进行贴现的市场实践简化了以下内容：在银行内部，一笔交易将至少根据两种不同的制度进行贴现。最初，前台通过理想市场抵押品利率贴现现金流来确定净价值。因此，前台净价值P=（Pt）t∈ [0，T]从F-BSDE获取-d^Pt=-Pdk=1^Z*,ktdWk，Qt+dAt- ^r^Ptdt，^PT=0。（3.35）在另一侧，xVA桌面首先计算清洁值^V=（^Vt）t∈ [0，T]作为脱离BSDE（3.13）的解，即通过解（3.36）-d^Vt=-Pdk=1^ZktdWk，Qt+dAt- rt^Vtdt，^VT=0。从估值角度来看，如果净价值代表实际交易的价格，那么不同贴现规则的存在将立即意味着市场上存在微不足道的套利机会。只有（3.36）中的内生价格^V与第3节的无套利设置兼容。另一方面，xVA部门被迫提供前台实施的折扣制度方面的结果。这两种方法可以结合在一个无套利的设置中，通过线性盲分离节点的以下不变性。引理3.20。设（^V，^Z，…，^Zd）为F-BSDE（3.36）的唯一解。根据A的假设3.4，价值过程^V允许两个等效表示si）xVA贴现表示^Vt=BrtEQ“Z（t，t）dAtBruFt#，（3.37）XVA的BSDE 23ii）CSA贴现表示（3.38）Vt=Pt- DiscV At，其中DiscV At表示贴现估值调整，定义为（3.39）DiscV At：=B^rtEQ“ZTt（ru- ^r）^VuB^ruduFt#，且^P是溶液中的值过程（^P，^Z*,1.^Z*,d） F-BSDE（3.35）（3.40）^Pt=B^rtEQ“Z（t，t）dAtB^ru英尺#。证据

积分表示（3.37）是直接的。为了获得（3.38），我们重写了F-BSDE（3.36）加上和减去项^r^Vt，即。，-d^Vt=-Pdk=1^ZktdWk，Qt+dAt- （rt- ^rt）^Vtdt- ^rt^Vtdt^VT=0。解的取值过程由^Vt=B^rtEQ“Z（t，t）dAtB^ru给出英尺#- B^rtEQ“ZTt（ru- ^ru）^VuB^ruduFt#，其中我们将第一个期望值视为^P，而第二个期望值提供DiscV A。Q下V动力学的G-BSDE可写为-dVt（Д）=d'At+f（t、V、C、IT C、IF C）- rtVt（Д）dt公司-Pdk=1ZktdWk，Qt-Pj公司∈ {B，C}UjtdMj，Qt，Vτ（ν）=θτ^V，C，I,（3.41）对于t≤ τ、 如（2.8）中定义，则为Zt=Zt，Zdt公司, 和Ut=UBt，UCt, 表示G-可预测过程给出的控制过程，f（t，V，C，IT C，IF C）是（3.9c）给出的G-BSDE驱动程序。收尾条件为vτ（Д）=^Pτ+1{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Pτ- Cτ-+ 如果Cτ-- DiscV Aτ-- 1{τB<τC}（1- RB）^Pτ- Cτ-- IT Cτ-- DiscV Aτ+.（3.42）通过使用定理3.16给出的相同参数并考虑定义3.9，我们借助引理3.20得到以下结果。提案3.21。在假设3.4和3.12下，G-BSDE（3.41）允许唯一解（V、Z、U）∈ S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q），其中vt（Д）=B^rtEQ“Z（t，t）涂抹英尺#- XV At=^Pt-\\XV At，（3.43）对于t<τ，其中XV A：=XV A+DiscV A，（3.44）24 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAwithXV At：=F V At+ColV At+M V At- CV At+DV At=F V At+ColV At+M V At- BrtEQ公司{τ<T}{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- Cτ-+ 如果Cτ-- DiscV Aτ-燃气轮机+ BrtEQ公司{τ<T}{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- Cτ-+ IT Cτ-- DiscV Aτ+燃气轮机（3.45）和Discv At：=B^rtEQ“ZTt（ru- ^ru）^VuB^ruduFt#，其中FVA、ColVA、MVA根据定义3.9定义。证据（3.41）解的存在性和唯一性遵循第3节的规定。

CSA贴现对衍生工具风险敞口的影响表现为CCA中存在^P和（3.45）中的DVA条款。此外，分解（3.45）显示了分别在r或^r下的投资组合中的敞口比例。3.4. xVA多重聚合级别。在本节中，我们为银行的全球投资组合提供了一个G-BSDE，该投资组合由多个子交易组合汇总而成。当前的市场实践表明，银行与交易对手之间的交易集通常可以分为几个子类，反映出多个聚合级别。可以区分融资/保证金集和净额结算集。保证金（或融资）集合M是一组索赔，其累计净价值（风险）全部或部分由CSA（抵押品协议）覆盖。我们用NM表示投资组合a中保证金的数量。净额结算集N是一组保证金集，其保证金后敞口可以聚合。我们用NN表示投资组合a.CounterpartyNettingSet 1e中的净额结算集数量。g、 a FirstSubsidaryNettingset 2e。g、 第二个辅助保证金集合2美元抵押交易保证金集合1未治愈交易保证金集合3欧元抵押交易保证金集合每月Margin调用。新EURMargin设置每日追加保证金通知。图1：。聚合级别的可能层次结构。XVA 25的BSDE示例3.22。资金/保证金集在银行和共享相同资金政策的交易对手之间进行交易。这对应于不同的CSA：例如，一个CSA（保证金集2）可以将抵押品以美元交换的所有交易分组（例如。

而另一个CSA（保证金集3）可能与所有以欧元为抵押的工具相关。最后，未抵押但风险敞口相互抵消的交易也可以分组在单独的保证金/资金集中，对应于图1中的保证金集1。然而，抵押协议提供的保护可能并不完善，因此银行与交易对手之间的法律协议可能允许对不同保证金组合产生的剩余抵押后风险敞口进行净额结算。这与图1中的净额结算集1相对应。多个聚合级别的另一个典型来源是法律协议的历史分层：在图1中，我们有第二个净额结算集，对应于母交易对手的第二个子公司，其中传统交易由涉及每月追加保证金的旧CSA协议涵盖，然而，在某一日期之后进行的所有交易都包含在涉及每日保证金催缴的较新CSA协议中。备注3.23。当母公司和子公司有不同的违约时间时，可能会出现更高的复杂性：这在建模关闭条件时会带来更多的复杂性，因为可能会出现子公司违约由母公司承担的情况。这些问题留给未来研究。从实际角度来看，很难找到违约概率的校准工具，因为子公司通常不享有流动的CDS市场。我们假设银行与交易对手之间的交易组合A由K笔交易组成，我们通过各自的支付流程确定，即A=A.AK公司. 我们再次使用^vm表示权利要求Am，m=1。K、 在使用抵押品之前也代表其信用风险敞口。对于每个索赔Am∈ A、 m=1。

. . K、 我们假设初始保证金和变动保证金的保证金集包括在内。投资组合的结构如图1所示，其中第一行将所有保证金集的组成描述为债权组，第二行将净额结算集描述为保证金组。因此，A={A，…，AN}{z}M∪ {AN+1，…，AN}{z}M∪ . . . ∪ {ANNM-1+1, . . . , ANNM}{z}MNM={M，…，MM}{z}N∪ {MM+1，…，MM}|{z}N∪ . . . ∪ {MMNM-1+1, . . . , MMNM}{z}NNN（3.46），其中NNM=K。我们现在使用第3.1节的结果，为（3.46）中第m个净额结算集级别的投资组合提供G-BSDE。不同保证金集合的存在通过引入不同的抵押账户来表示。多个净额结算集通过对所有净额结算集的价值调整求和来计算，每个净额结算集可能具有多个保证金集。为此，我们对所涉及的过程采用多索引表示法。特别是，wedenote by\'Am，m，mtt投资组合A中属于第m个净额设定水平和第m个保证金设定水平的第m个未定权益。相同的符号适用于控制过程Zk、m、mt和Uj、m、mt，对于k=1，d和j∈ {B，C}。因此，与26个FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAm th netting set相对应的价值过程VMT，m=1，NN，满足以下第m个净额结算集水平BSDE-dVmt（Д）=| Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1d'Am，m，mt+hft、 Vm，（CMm，Nm）m=1|Nm |，，（IMm，Nm）m=1|纳米|- rtVmt（Д）idt-|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1dXk=1Zk，m，mtdWk，Qt-|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1Xj∈ {B，C}Uj，m，mtdMj，Qt，（3.47）对于m=1，NN。通过应用定理3.21，我们得到以下命题3.24。

存在唯一的解决方案（Vm、Zm、m、Um、m）∈ S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q）至G-BSDE（3.47），收尾条件Vmτ=θmτ=| Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ+ 1τC<τB（1- 钢筋混凝土）|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ- CMm，Nmτ-- IT C，Mm，Nmτ--- 1τB<τC（1- RB）|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ- CMm，Nmτ-- 如果C，Mm，Nmτ-+.（3.48）备注3.25。很容易看出，由K项索赔组成的投资组合的价值VK（Д）由（3.49）VKt（Д）=KXm=1^Pmt给出-\\十五AKt，t≤ τ，其中每个Pm，m=1，K、 满足形式（3.35）的BSDE，而（3.50）XV AKt：=XV AKt+NNXm=1 | Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1 discv Am，m，mt，和（3.51）XV AKt：=F V AKt+ColV AKt+m V AKt- CV AKt+DV AKt，用于t≤ τ. 我们进一步观察到，每个XV-AKin（3.51）的形式为PNNM=1XV Am，其中XV表示G-BSDE（3.47）解决方案中出现的估值调整。3.5. 增量xVA费用。G-BSDE（3.47）包含两个层次的复杂性。首先是存在几个子投资组合，我们已经在上面讨论过了。其次，利率中存在的买入价差，加上FVA条款的递归性质，意味着K笔交易组合的XVA与单个K笔交易的XVA之和并不一致。这决定了xVA估价中的非线性影响，如下所述。现在让我们假设交易对手希望与该银行进行进一步（K+1）交易。如果输入，新引入的第（K+1）项索赔将增加银行与交易对手之间投资组合的全球风险。考虑到已经存在的XVA 27索赔的KBSDE，很自然会问银行对新引入的第（K+1）项索赔应该收取多少费用。

当前的市场实践涉及计算xVA增量费用，其中比较了两种不同的情况。（i） 基本情景：投资组合的价值由VK（Д）给出，如公式（3.49）所示。这与包含候选新交易之前的投资组合价值相对应。（ii）完整情景：投资组合的价值由VK+1（Д）给出，根据公式（3.49）计算。这对应于包含候选（K+1）项或有权益后的投资组合价值。银行将向交易对手收取的价格确定为完整情景下的投资组合价值与增量价值给出的基本情景下的投资组合价值之间的差异VK+1t（Д）：=VK+1t（Д）- VKt（Д）。（3.52）我们可以通过考虑VK+1t（Д）=VK+1t（Д）- VKt（Д）=K+1Xm=1^Pmt-\\XV AK+1吨-KXm=1^Pmt+\\XV AKt=^PK+1t-XV AK+1吨- 十五AKt- DiscV AK+1t=^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1t，（3.53）用于t≤ τ、 其中，在最后一步中，我们隐式定义了xVA增量费用（3.54）XV At：=XV AK+1t- XV AKtas考虑到投资组合中已经存在的K索赔，对第（K+1）项索赔进行的调整。我们获得了定义为非线性的非线性效应VK+1:= VK+1t（^1）- VK+1t（Д），t≤ τ，（3.55），其中VK+1是仅由第（K+1）个索赔和VK+1t（Д）是（3.52）中定义的增量费用。事实上，非线性效应与递增xVA电荷和仅与第（K+1）项权利要求相关的xVA的差异一致VK+1= VK+1t（^1）- VK+1t（^1）=^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1吨-^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1吨= 十五在- 第十五条。（3.56）在目前的情况下，或有债权的净价值仍然是线性的，因此投资组合的净价值仍然对应于单个债权的净价值之和，但一般而言十五在-XV At6=0。

第（K+1）项权利要求的独立xVA高于XV A.此外，NLtVK+1= 只有在没有投资组合/净额结算影响时才为0。4、示例和数值说明我们通过使用单个风险资产的对数正态模型给出一个示例来结束本文。在前面章节的设置和假设下，我们考虑单个风险资产S=（St）t∈[0，T]以κ=（κT）T的利率支付股息∈ [0，T]，股息过程Dt=RtκsSsds，T∈[0，T]。28 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAUnder鞅测度Q风险资产根据St=St演化（rrt- κt）dt+σtdWQt,（4.1）式中，rr=（rrt）t∈[0，T]是与资产S相关的回购利率。我们现在考虑一个简单的或有目标，即资产S上的远期。索赔a的股息过程=（At）T∈[0，T]，由at=1{T=T}（ST）给出- K） ，Ka正常数为（4.2）。我们记得，净价值^V满足（3.13）表示在完美抵押方案的假设下，索赔的有效价值过程，该方案可消除对方风险，见假设3.4。根据定理3.6，远期无套利价格为^Vt（Д）=EQ“BrtZ（t，t]dAuBruFt#=BrtEQ装货单- KBrT公司英尺.（4.3）假设银行与交易对手签订远期合约，没有任何抵押品协议，也没有任何以前的交易：没有变动交换或初始保证金，这意味着C=IT C=IF C=0，dQ dt-a.s。

此类交易的风险敞口将由银行内部财务部门提供资金，因此，根据银行的内部规则，前台部门决定通过综合无担保贴现曲线对现金流进行贴现，相关短期利率过程rf=（rft）t∈[0，T]通过rf=rf，l+rf，b定义。因此，从银行角度来看，官方清洁价格为^Pt=EQ“BftZ（T，T）dAuBfuFt#=BftEQ“ST- KBfT公司英尺#。（4.4）根据银行的内部政策，xVA交易台被迫采用（4.4）作为交易的官方净价。然而，使用命题3.21可以计算出一致的价格，该价格由Vt（Д）=Vt（Д）=^Pt给出- 十五在- DiscV At，其中xv At=-CV At+DV At+F V At=-BrtEQ公司{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- DiscV Aτ-燃气轮机,+ BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- DiscV Aτ+燃气轮机,+ BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#，（4.5），而贴现调整为ISCV：=BftEQ“ZTt（ru- rfu）^VuBfudu英尺#。（4.6）XVA 29的BSDE（4.5）求解的G-BSDE如下所示：-dXV At=-hf（t，^V- XV A，0，0）+rtXV Atidt-Pdk=1？ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，Qt，XV Aτ=^Vτ（Д）- θτ（^V，0，0）。（4.7）我们观察到非线性效应NLt（V）=0当然是零，因为银行和交易对手之间的投资组合由单个或有债权组成。假设交易对手对第二种产品感兴趣，例如。

风险资产S的第二个远期合约，到期日为T，方向相反，因此at=1{T=T}（K- ST）。（4.8）根据前面的推理，从xVA桌面和前台的角度来看，清洁值分别为^Vt（Д）=BrtEQK- STRBRT公司英尺,^Pt=BrtEQ“K- STBfT公司英尺#。（4.9）考虑到投资组合中存在第一个远期合约，投资组合的全部价值，现在包括第二个索赔，isVt（Д）=^Pt+^Pt- 十五在- DiscV在- DiscV At，其中xv At=-CV At+DV At+F V At=-BrtEQ公司{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ+^Pτ- DiscV Aτ- DiscV Aτ-燃气轮机,+ BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ+^Pτ- DiscV Aτ- DiscV Aτ+燃气轮机,+ BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#、（4.10）和DiscV Ais由DiscV给出：=BftEQ“ZTt（ru- rfu）^VuBfudu英尺#。G-BSDE的解决方案-dXV At=-hf（t，^V- XV A，0，0）+rtXV Atidt-Pdk=1？ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，QtXV Aτ=^Vτ（Д）+^Vτ（Д）- θτ（^V+^V，0，0）（4.11）由（4.5）给出。鉴于投资组合中存在第一项索赔，第二项索赔的xVA费用为XV A=30 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAXV A- XV A，而非线性效应由nlt（V）=XV At+BrtEQ给出{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- DiscV Aτ-燃气轮机,- BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- DiscV Aτ+燃气轮机,- BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#。（4.12）注意，在（4.12）中出现的最后一个FVA术语中，我们有V，即仅涉及第二个索赔的组合：第（4.12）中的所有预期代表第二个或有索赔的独立xVA更正。在（4.10）中，我们观察到V的存在，即第一个和第二个索赔的组合。

通过观察^Pt+^Pt，可以看出净值效应在降低价值调整的总体影响方面的作用- （DiscV At+DiscV At）=BftEQ“BfT英尺#- BftEQ公司ZTt（ru- rfu）BruBfuEQ快速公交傅杜邦英尺!（K）- K） =Br（t，t）（K- K） ，（4.13）式中，Br（t，t）表示到期日为t、短期利率为r的零息票债券的时间t价格。这表明两个远期合约的组合风险敞口明显独立于资产的波动性。我们最后强调，给定一个允许估计条件预期V演变的数字方案，例如，回归估计器在蒙特卡罗模拟的情况下，xVA桌面可以立即估计DiscVA，因此实施时只需要进行r贴现方面的模拟。4.1. 数字插图。最后，我们给出了两个数值例子。第一部分旨在为上一部分的最后一项主张提供证据，即DiscVA的估算是一项可行的任务。我们假设风险资产按照（4.1）演变。为了简单起见，我们假设所有参数都是常数，我们设置rr=r=0.01，κ=0，σ=0.25，S=100。根据上一节，我们考虑了1000个S单位的远期合同（4.2），履约K=80，T=1。对于这样一个简单的索赔，我们可以计算价格，而无需借助模拟。特别是，XVA部门根据（4.3）计算价格，即通过假设抵押率为r的完美抵押获得的价格^V=20795.22欧元。然而，索赔是完全无抵押的，因此前台函数采用无担保贴现率rf=0.05进行估值，Hencec根据（4.4）计算价格包。前端价格为P=19980.62欧元。

正如我们已经看到的，前台价格与xVA交易台的整个投资组合估值不一致，但是xVA交易台可以通过计算（4.6）中的DiscV Aas来解决一致性问题。在这个非常简单的例子中，DiscV Acan可以用闭合形式计算，我们有DiscV A=-814.70.然而，请注意，在更一般的情况下，可以通过蒙特卡罗方法（通常用于xVA模拟）在无额外成本的情况下进行DiscV A的计算。我们示例的源代码可在https://github.com/AlessandroGnoatto/BiaginiEtAlExamplesBSDES在XVA 31中，我们提出的第二个实验旨在展示XVA计算中投资组合效应的相关性。同样，一个简单的例子将有助于提供足够的直觉。为了说明这个问题，我们简化了处理方法，假设在所有估值中都有一个唯一的无风险利率r。我们再次考虑银行像以前一样在股票S上交易两个远期合约。我们再次假设T=1，并设置K=S=100。我们假设远期合约是在1000个股票单位上写的，只有交易对手可以违约。综上所述，整个xVA调整仅由TCVA提供。我们假设交易对手的风险率λC为常数，Q=0.04，回收率rc=0.4。我们考虑的基本情况是，上述远期在银行和交易对手之间的投资组合中唯一存在。使用我们为之前的数值测试开发的相同蒙特卡罗框架，我们再次模拟底层S的路径。之后，我们对正向的暴露进行横向模拟，然后对所有路径的时间和平均值进行数值积分。该程序根据推论3.17，对过滤F下的CVAUN进行蒙特卡罗估计。

我们获得了CV A=148.17欧元的估计值。现在让我们介绍上面提到的第二个正向，其中我们再次假设T=T=1，并设置K=90。我们还假设第二次转发写在相同数量的股票上，即1000股。我们观察到，由于不同的打击，第二前锋并没有完美地设置第一前锋。我们首先假设第二个远期是投资组合中的唯一债权，因此获得了309.22欧元的独立CVA估计值，因此两个远期的CVA之和（忽略投资组合影响）为457.49欧元。该值明显高估了银行与交易对手之间的未偿信贷风险。在上述相同假设条件下，通过蒙特卡罗模拟，我们计算了投资组合范围内的CVA，即CV a，并得出估算值CV a=232.69欧元。我们观察到，增量CVA，CV A=84.52欧元。最后，通过N L（V）=232.69估计（3.55）的非线性- 84.52=148.17欧元。我们提出的例子非常清楚地表明了组合效应的相关性：如果xVA桌面忽略组合效应，则xVA费用将为457.49欧元。通过对xVAcharge应用增量方法，当第二个远期包括在投资组合中时，只需额外支付84.52欧元。这是因为这两个信贷风险部分相互补偿。在图2中，我们进一步展示了投资组合效应。我们计算了所考虑远期信用敞口正负部分的蒙特卡罗样本平均值：这些数量通常被称为预期负（或正）敞口。此外，我们还计算了曝光的95%分位数。红线对应于第一前锋的K点，绿线对应于第二前锋的K点。

最后，两个远期组合产生的投资组合用蓝线表示。我们可以清楚地观察到，结合这两种说法在减少暴露方面有好处：特别是我们观察到95%的分位数是恒定的。附录A.BSDE的存在性和唯一性在本节中，我们回顾了一些关于BSDE存在性和唯一性的结果。我们的主要参考文献是Nie和Rutkowski（2016），这反过来又扩展了Carbone et al.（2008）和Agarwal et al.（2018）的结果。让M=MMd公司>是过滤概率空间上的d维实值连续平方可积鞅(Ohm, F、 F，Q），其中假设过滤满足通常的32 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO，和IMMACOLATA Oliva1预期的负性暴露ene1 ENE2 ENEptf0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Time-17000-16000-15000-14000-13000-12000-11000-10000-9000-8000-7000-6000-5000-4000-3000-2000-10000预期的正性暴露epe1 EPE2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1time010002000400060000008000001100095未来暴露PFE1 PFE2 PFEptf0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10000-5000050001000150002000025000300003500040004500050000图2。两个远期组合的预期正面和负面敞口以及潜在的未来敞口。红线和绿线分别表示第一个和第二个远期，而蓝线表示包含两个债权的投资组合。我们假设（F，Q）-鞅的可预测表示性质对于M成立。我们使用hMi表示M的二次变化。假设A.1（Nie和Rutkowski（2016）假设3.1）。

存在一个Rd×d值过程m和一个F适应的、连续的、有界的、递增的过程Q，Q=0，这样，对于所有t∈ [0，T]，hMit=Ztmum>udQu。（A.1）如果M=W是一维标准布朗运动，则Qt=t，而M对应于单位矩阵。接下来，我们通过以下假设A.2介绍BSDE的驱动因素（Nie和Rutkowski（2016）假设3.2）。设h：Ohm ×【0，T】×R×Rd7→ R bean F B（[0，T]） B（R） B（Rd）-可测函数，使得h（·，·，y，z）是任何固定（y，z）的F适应过程∈ R×Rd.从金融应用的角度来看，感兴趣的BSDE是向前向后SDE（FBSDE）。继Nie和Rutkowski（2016）之后，我们引入了一个通用（正向）因子矩阵值过程，给出了XVA 33byXt的SDES：=Xt0。00 Xt。0.........0 0 . . . Xdt公司, t型∈ [0，T]，其中辅助过程Xi，i=1，d、 假设为F自适应。这些过程代表市场风险因素或交易资产。我们假设假设A.2的函数h可以写成h（ω，t，y，z）=g（ω，t，y，Xtz），因为g满足假设A.2。定义A.3（Nie和Rutkowski（2016）定义4.1）。我们说，如果存在常数∧>0且dxi=1，则Rd×d值过程γ满足椭圆度条件γtγ>tIjaij公司≥ ∧kak（A.2）表示所有A∈ RDT和t∈ [0，T]。假设A.4（Nie和Rutkowski（2016）假设4.2）。（A.1）中的Rd×d值F-适应过程m由mtm>t=Xtγtγ>tX>t给出，其中γ=[γ]ij是满足椭圆条件（A.2）的F-适应过程的d维方阵。在下文中，我们回顾了Nie和Rutkowski（2016）的一些定义。定义A.5。

我们说函数h：Ohm ×【0，T】×R×Rd7→ R满足o均匀Lipschitz条件，如果存在常数L，则对于任何t∈ [0，T]和所有y，y∈ R、 z，z∈ Rd | h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤ L（| y- y |+kz- zk）；o一致m-Lipschitz条件，如果存在常数^L，则对于任何t∈ [0，T]和所有y，y∈ R、 z，z∈ Rd | h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤^L|y- y |+m> t（z- z）;o 一致X-Lipschitz条件，如果存在常数L，则对于任何t∈ [0，T]和所有y，y∈ R、 z，z∈ Rd | h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤L（| y- y |+kXt（z- z） k）。引理A.6（Nie和Rutkowski（2016）引理4.2）。如果假设A.4成立，且生成器h是一致的X-Lipschitz，则h是一致的m-Lipschitz，且^L=L maxn1，λ-o、 其中∧是（A.2）中定义的常数。定理A.7提供了与我们的目的相关的存在性和唯一性结果。定理A.7（Nie和Rutkowski（2016）定理4.1）。假设函数h可以表示为h（t，y，z）=g（t，y，Xtz），其中函数g：Ohm ×【0，T】×R×Rd7→ 满足uniformLipschitz条件。设过程h（·，0，0）属于空间h（Q），随机变量η属于34 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAto L（FT，Q），U是实值F-适应过程，使得U∈ H（Q）和UT∈ L（英尺，Q）。假设对于某些常数∧>0，过程满足假设A.4。然后是BSDEdYt=Z>tdMt- h（t，Yt，Zt）dQt+dUt，Yt=η，（A.3）具有唯一的解（Y，Z），使得（Y，m>Z）∈ H（Q）×H2，d（Q）。此外，过程Y和U满足“支持”∈[0，T]| Yt- Ut |#<∞.假设A.8（Agarwal et al.（2018）假设）。

对于任意y、z、λ∈ R×Rd×R，f（·，y，z，λ）是一个f适应的随机过程，其值在R中，并且存在一个常数Cf>0，使得P-a.s.，对于所有（s，y，z，λ），（s，y，z，λ）∈ [0，T]×R×Rd×R，| f（s，y，z，λ）- f（s，y，z，λ）|≤ Cf（| y- y |+| z- z |+|λ- λ|) .此外，EhRT | f（s，0，0，0）| dsi<∞.A、 1。命题2.11的证明。由于我们只交易基本风险资产，初始保证金中的头寸为零，因此，通过（2.9）和（2.17），价值过程的形式为vt（Д）=ψf，btBf，bt+ψf，ltBf，lt，t∈ [0，T]。（A.4）回顾不允许同时借贷，我们通过（A.4）得出ψf，l=（Vt（ν））+Bf，lt-1，ψf，b=- （Vt（Д））-Bf，bt-1，t∈ [0，T]。此外，我们可以将一般第i项风险资产的融资期限改写为以下ztψiudBiu=-ZtξiuSiuBiudBiu=-ZtriuξiuSiudu，t∈ [0，T]。在自我融资条件（2.18）下进行替换后，我们得到dvt（Д）=dXi=1ξitdSit+dDit- 里西特+Xj公司∈{B，C}ξjtdPjt公司- rjtPjt-dt公司- rf，bt（Vt（Д））-dt+rf，lt（Vt（Д））+dt。现在我们使用不等式rf，lt≤ rf，Bt根据假设2.10，hencedVt（Д）=dXi=1ξitdSit+dDit- 里西特+Xj公司∈{B，C}ξjtdPjt公司- rjtPjt-dt公司+ rf，lt（Vt（Д））+dt- rf，bt（Vt（Д））-dt公司≤dXi=1ξitdSit+dDit- 里西特+Xj公司∈{B，C}ξjtdPjt公司- rjtPjt-dt公司+ rf，ltVt（Д）dt。引入▄Vlt（Д）：=Bf，lt-1Vt（Д），我们就得到了不等式dVlt（Д）≤dXi=1ξitBf，lt-1.dSit+dDit- 里西特+Xj公司∈{B，C}ξjtBf，lt-1.dPjt公司- rjtPjt-dt公司XVA 35或同等标准的BSDE，dVlt（Д）≤dXi=1ξitBitBf，ltdSit+dDit- 里西特钻头+Xj∈{B，C}ξjtBjtBf，ltdPjt公司- rjtPjt-dt公司Bjt，因此，在（2.19）之前，我们得出了不等式dVlt（Д）≤dXi=1ξitBitBf，ltdSi，cldt+Xj∈{B，C}ξjtbjbjbf，ltdPjt，（A.5）我们观察到，（A.5）中的右侧是一个局部鞅，它由定义2.7从下方开始有界，因为rfis有界。这意味着前面提到的右侧是可分割的。

没有套利遵循通常的路线。致谢我们要感谢审稿人的有用评论，这些评论帮助我们改进了工作。我们还感谢达米亚诺·布里戈（Damiano Brigo）、阿戈斯蒂诺·卡波尼（Agostino Capponi）、安德烈亚·帕拉维奇尼（Andrea Pallavicini）以及多伦多金融数学与工程学会（TheSeam Conference on Financial Mathematics&Engineering），苏黎世第二十届定量金融研讨会（XX Quantitative Finance Workshop）和牛津大学数学与计算金融内部研讨会（OxfordUniversity）。任何错误都是我们的责任。参考文献：Agarwal，A.、De Marco，S.、Gobet，E.、L’opez Salas，J.、Noubiagain，F.和Zhou，A.（2018）。初始保证金要求中产生的后向随机微分方程。预印hal-01686952v2。Aksamit，A.和Fontana，C.（2019年）。概率绝对连续变化下的鞅空间及其表示。概率电子通信，24（无）：1–13。Albanese，C.、Caenazzo，S.和Cr'epey，S.（2016）。资本估值调整和资金估值调整。ArXiv电子打印，第ArXiv页：1603.03012。Albanese，C.、Caenazzo，S.和Cr'epey，S.（2017年）。双边投资组合的信贷、融资、保证金和资本估值调整。概率、不确定性和定量风险，2（1）：7。Albanese，C.和Cr'epey，S.（2017年）。资产负债表中的XVA分析。预印本。Andersen，L.、Duffee，D.和Song，Y.（2019年）。资金价值调整。《金融杂志》，74（1）：145–192。Ballotta，L.、Fusai，G.和Marazzina，D.（2019年）。信贷价值调整的综合结构方法。《欧洲运筹学杂志》，272（3）：1143–1157。BCBS（2014）。衡量交易对手信用风险敞口的标准化方法。技术报告279。巴塞尔委员会文件。Bichuch，M.、Capponi，A.和Sturm，S.（2018a）。无套利XVA。

数学金融，28（2）：582–620。Bichuch，M.、Capponi，A.和Sturm，S.（2018b）。强健的XVA。arXiv电子打印，第arXiv页：1808.04908。Bielecki，T.和Rutkowski，M.（2004年）。信用风险：建模、估价和对冲。财务工程解释。斯普林格金融公司。Bielecki，T.和Rutkowski，M.（2015年）。具有融资成本和抵押的合同估值和对冲。暹罗J.Finan。数学6(1):594–655.Bielecki，T.R.，Cilenco，I.，和Rutkowski，M.（2018）。非线性市场模型中衍生品的无套利定价。概率、不确定性和定量风险，3（1）：2.36 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVABrigo，D.、Buescu，C.、Francischello，M.、Pallavicini，A.和Rutkowski，M.（2018）。不同融资成本、违约和抵押下的风险中性估值。ArXiv电子打印。Brigo，D.、Capponi，A.和Pallavicini，A.（2014年）。无套利双边交易对手风险评估在抵押和信用违约掉期应用下。数学金融，24（1）：125–146。Brigo，D.、Francischello，M.和Pallavicini，A.（2019年）。信贷、融资和保证金下的非线性估值：存在唯一性、不变性和解纠缠。欧洲运筹学杂志，274（2）：788–805。Brigo，D.和Masetti，M.（2005年）。交易对手风险的风险中性定价。Pykhtin，M.，编辑，《交易对手信用风险建模：风险管理、定价和监管》。风险账簿，伦敦。Brigo，D.和Morini，M.（2018）。双边交易对手风险的危险：退出协议的根本影响。http://arxiv.org/abs/1011.3355v1.Brigo，D.、Morini，M.和Pallavicini，A.（2013）。交易对手信用风险、抵押品和融资。威利金融。Wiley，第一版。Brigo，D.和Pallavicini，A.（2014）。

在信贷、融资和错误方式风险下，对ccp清算或csa双边交易进行非线性一致估值，初始保证金。《金融工程杂志》，01（01）：1450001。Brigo，D.、Pallavicini，A.和Papatheodorou，V.（2011年）。利率产品双边交易对手风险的无套利估值：波动性和相关性的影响。《国际理论与应用金融杂志》，14（06）：773–802。Burgard，C.和Kjaer，M.（2011a）。在天平上。风险，11月：72–75。Burgard，C.和Kjaer，M.（2011b）。具有双边交易对手风险和融资成本的衍生品的偏微分方程表示。《信贷风险杂志》，7（3）：1-19。Burgard，C.和Kjaer，M.（2013年）。融资成本、融资策略。风险，2013年12月：82–87。Carbone，R.、Ferrario，B.和Santacroce，M.（2008年）。由c\'adl\'ag鞅驱动的倒向随机微分方程。理论概率。应用程序。，52(2):304–314.Castagna，A.（2013年）。融资估值调整（fva）和企业理论：将融资成本纳入财务合同评估的理论依据。可获得的athttp://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2278595.Castagna，A.（2014年）。建立银行产品内部估值和转让定价理论：资金、信用风险和经济资本。可用位置：http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2392772.Cherubini，U.（2005年）。衍生工具和抵押品政策中的交易对手风险：复制投资组合方法。《金融机构资产负债管理》编辑Tilman，L。机构投资者账簿。Cr'epey，S.（2015a）。融资约束下的双边交易对手风险第一部分：定价。数学金融，25（1）：1-22。Cr'epey，S.（2015b）。融资约束下的双边交易对手风险第二部分：Cva。MathematicalFinance，25（1）：23–50。Cr'epey，S.，Bielecki，T。

S、 ，和Brigo，D.（2014）。《交易对手风险与融资：两个谜团的故事》，查普曼和霍尔出版社《金融数学》系列第31卷。Chapmanand Hall/CRC，第一版。Cr'epey，S.，Sabbagh，W.，和Song，S.（2020年）。当资本是资金来源时：x值调整的预期反向随机微分方程。《暹罗金融数学杂志》，11（1）：99–130。XVA 37Duffee，D.和Huang，M.的BSDES（1996年）。掉期利率和信贷质量。《金融杂志》，51（3）：921–949。El Karoui，N.、Peng，S.和Quenez，M.C.（1997）。金融中的倒向随机微分方程。数学金融，7（1）：1-71。Fujii，M.、Shimada，A.和Takahashi，A.（2010年）。关于构建有无抵押品的多重掉期曲线的注释。预印本（可在http://ssrn.com/abstract=1440633).Fujii，M.、Shimada，A.和Takahashi，A.（2011年）。在抵押品和多种货币存在的情况下，具有dynamicbasis利差的利率市场模型。威尔莫特，54:61–73。Garcia Trillos，C.A.、Henrard，M.P.A.和Macrina，A.（2016）。在多曲线利率框架下估计未来初始保证金。SSRN图书馆。Gnoatto，A.和Seiffert，N.（2020年）。多重曲线期货中的跨货币估值和套期保值。arXiv电子打印，第arXiv页：2001.11012。Green，A.（2015年）。XVA：信贷、融资和资本估值调整。威利金融。约翰·威利父子公司，奇切斯特。Gregory，J.（2015）。xVA挑战赛。威利金融。威利，第三版。Hull，J.和White，A.（2012年）。fva辩论。风险，25（7月）：83–85。ISDA（2018年）。Isda simm方法，2.1版。技术报告。Lichters，R.、Stamm，R.和Gallagher，D.（2015年）。现代衍生品定价和信用风险分析：CSA和XVA定价的理论与实践、风险模拟和后验。应用定量金融。

Palgrave Macmillan，第一版。Mackenzie Smith，R.（2017）。银行在欧元兑lch基准波动上保持冷静。Nie，T.和Rutkowski，M.（2016）。多维鞅驱动的BSDE及其在有融资成本的市场中的应用。理论概率。应用程序。，60(4):604–630.Pallavicini，A.、Perini，D.和Brigo，D.（2011年）。融资估值调整：一个一致的框架，包括CVA、DVA、抵押品、净额结算规则和再抵押。ArXiv电子打印，第ArXiv页：1112.1521。Piterbarg，V.（2010年）。贴现以外的融资：抵押品协议和衍生品定价。RiskMagazine，2:97–102。Piterbarg，V.（2012年）。用抵押品烹饪。风险杂志，2:58–63。Sokol，A.（2014）。长期投资组合模拟：对于XVA、限额、流动性和监管资本。风险账簿，伦敦。（弗朗西丝卡·比亚吉尼）莱姆·蒙岑，数学研究所，特里森斯特。德国慕尼黑D-80333 39电子邮件地址：Francesca Biagini：biagini@math.lmu.de（Alessandro Gnoatto）维罗纳大学经济系，via Cantarane 24，37129维罗纳，意大利电子邮件地址，Alessandro Gnoatto:Alessandro。gnoatto@univr.it（Immacolata Oliva）罗马萨皮恩扎大学经济、领土和金融方法与模型系Via del Castro Laurenziano 9，00161 Rome，Italy电子邮件地址，Immacolata Oliva:Immacolata。oliva@uniroma1.it