采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

2022-6-24 00:26:56

采用CSA贴现和初始保证金基础设施SCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAMarch 4的XVA统一方法，2021年摘要。在本文中，我们沿着三个方向扩展了关于xVA的现有文献。首先，我们加强了当前基于BSDE的xVA框架，以在出现违约时包括初始保证金。接下来，我们解决了当银行前台使用不同于xVA前台采用的贴现率的交易规格贴现曲线（CSA贴现）时出现的一致性问题。最后，我们阐明了几个交易子投资组合的合并对最终全球投资组合的xVA估值的影响，并研究了相关的非线性效应。1、引言由于2007-2009年金融危机，学者和从业者正在从几个方面重新审视金融产品的估值。特别是，产品的价值应考虑交易中涉及的任何代理人违约的可能性。巴塞尔协议III/IV和Emir等金融法规也在推动方法学的发展。所有这些问题都通过引入价值调整（xVA）在估值方程层面上表示，价值调整是在没有上述摩擦的情况下计算的理想参考价格的进一步加上或减去，以获得交易的最终价值。在本文中，我们的目标是提供一个统一而全面的框架，用于使用xVA对交易对手风险进行定价，并通过使用BSDEs技术在差异描述的市场中评估融资成本。然后，我们考虑了xVA定价方程和CSA折扣方程之间的一致性问题，这一问题源于市场标准工具的报价机制，并利用线性bsde的不变性来解决。

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2022-6-24 00:27:00

此外，我们将我们的方法扩展到包括全球投资组合的定价，该投资组合可能由多个索赔子集组成，并研究xVA费用增量带来的非线性效应。为了更好地说明我们的贡献，我们首先简要回顾了有关xVA的文献。由于对xVA的研究非常广泛，我们的概述还远远不够详尽。杜菲和黄（1996）对这一主题的第一个贡献。在2007-2009年金融危机之前，Brigo andMasetti（2005）和Cherubini（2005）的著作首次分析了信用估值调整（CVA）的概念。Brigoet al.（2011）和Brigo et al.（2014）对交易双方违约的可能性进行了调查，其中包括债务估值调整（DVA）的引入。除了违约风险问题外，从业者和学者关注的另一个重要来源是资金成本。在金融危机期间和之后，出现了一系列平行的文献，对估值方程进行概括，以说明抵押协议的存在等特征。在BlackScholes经济中，Piterberg（2010）提供了存在或不存在2010年数学科目分类的估值公式。91G30、91B24、91B70。JEL分类E43，G12。关键词和短语。CVA、DVA、FVA、CollVA、xVA、EPE、Basel III、抵押品、初始保证金。2 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Oliva协议。Piterbarg（2012）概括了多货币经济中的问题，另见Fujii et al.（2010）、Fujii et al.（2011）和Gnoatto and Sei ffert（2020）。在信贷支持附件（CSA）的几种备选假设下，融资估值调整（FVA）源自Allavicini等人。

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2022-6-24 00:27:03

（2011），而Brigo和Pallavicini（2014）也讨论了中央交易对手在融资成本方面的作用。Bielecki和Rutkowski（2015）提供了半鞅环境下融资问题的一般方法。融资和违约风险都需要在一个独特的定价框架中加以统一。Brigo et al.（2018）通过所谓的贴现方法对此做出了贡献。在一系列论文中，Burgard和Kjaer概括了经典的Black-Scholes复制方法，包括许多影响，参见Burgard和Kjaer（2011b）和Burgard和Kjaer（2013）。Cr'epey（2015a）、Cr'epey（2015b）、Bichuch等人（2018a）和Bichuchet等人（2018b）提供了一种更通用的BSDE方法。Brigo等人（2018）证明了贴现和基于BSDE的复制方法之间的等效性。xVA的重要性体现在该主题的专著数量不断增加，见。g、 Brigo等人（2013年）。Cr'epey等人（2014年）提供了一种基于BSDE的先进治疗方法。Green（2015）、Lichters et al.（2015）和Sokol（2014）对如何构建交易对手风险模拟的大型混合模型进行了详细分析，而Gregory（2015）则对该主题的大部分方面进行了介绍。本文沿着以下方向对xVA文献作出贡献：在理论方面，我们统一处理了不同作者以综合方法分别处理的xVA的不同方面；另一方面，我们对当前市场实践中xVA计算和管理中出现的实际问题进行了严格的数学处理。更准确地说，我们在Diffusions描述的市场中提出了一个使用BSDEs技术的xVA框架。

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2022-6-24 00:27:06

我们的BSDE是在逐步扩大的过滤条件下引入的，具体到arandom时间范围，由交易对手的违约时间、银行的违约时间和合同到期之间的最小值确定。为了简单起见，我们首先讨论了BSDE对于包含未定权益的投资组合的适定性。我们的方法综合了现有文献的一些贡献。首先，我们在BSDE驱动因素asin Agarwal et al.（2018）中包含初始利润，但我们通过包含默认值来扩展其设置。此外，我们考虑了不同的贴现规则，而没有像Bichuch et al.（2018a）那样采用衡量变化的方法。最后，我们按照Cr'epey（2015a）、Cr'epey（2015b）和Bielecki and Rutkowski（2015）的思路，考虑与参考过滤F相关的违约前BSDE，提供了一个净价值和调整过程方面的价格分解。关于贴现规则，目前公认的是，交易活动是由不同的流动性来源提供资金的。更准确地说，不同融资曲线的存在导致了xVA定价方程与所谓的CSA贴现规则之间的一致性问题。后者源于市场标准工具的报价机制。此类工具的报价是基于其完全抵押的假设。由于完全抵押的交易由抵押品提供者提供资金，因此用于评估市场工具的贴现率由抵押品利率给出，抵押品利率通常与隔夜利率相对应。抵押品利率存在多种假设，这意味着报价与不同的贴现率共存，通常与xva定价BSDE规定的贴现率不一致。

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2022-6-24 00:27:08

我们工作的另一个贡献在于，通过依赖线性盲源数据集的不变性，解决了一致性问题。这是通过引入XVA 3价值调整条款的进一步BSDES实现的，称为贴现价值调整（DiscVA），表示与前台正式接受的价格调整相比的净价格调整。此外，交易对手可能与其他实体有经济关联，母子公司关系或专用子投资组合的存在就是一个典型的例子。这种情况导致产生的全球投资组合具有多层层次结构，这也考虑到上述各金融实体实施的可能不同的融资政策。我们研究了这种层状结构对定价方程公式的影响。在现实情况下，银行和缔约方之间的全球头寸组合通常是多个债权子集的集合，其结构由两个代理之间生效的法律协议决定。我们允许存在多个保证金交换协议（保证金集）和多个净额结算集。我们将我们的xVA框架调整为聚合级别的任意配置，同时保持基础BSDE的适配性。最后，我们提出了拟议xVA框架下新潜在交易的增量xVA费用：考虑到价值调整计算中存在投资组合效应，并且考虑到现有的K个交易组合，新潜在（K+1）交易的xVA费用计算为两个投资组合的xVA差异。更准确地说，这对应于扩展投资组合（包括（K+1）交易）的xVA与基本投资组合K交易的xVA费用之间的差异。

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2022-6-24 00:27:11

通过这种方式，我们能够描述整个投资组合估值的非线性。Burgard和Kjaer（2013年）、Castagna（2013年）、Castagna（2014年）对交易现金流量增量对债务资产负债表的影响进行了讨论。鉴于我们关注贴现和聚合水平，本文中我们不讨论资本估值调整（KVA）。最近的论文如Albanese和Cr'epey（2017）、Albanese et al.（2016）和Albanese et al.（2017）对该问题进行了论述，另见Andersen et al.（2019）中正在进行的讨论。这超出了本论文的范围，留待将来研究。本文的组织结构如下。在第2节中，我们用数学术语形式化了与xVA框架相关的主要财务概念。第3节首先描述了仅考虑一笔交易时，与xVA评估相关的结果，将分析扩展到CSA贴现。此外，我们还研究了当投资组合包含多个合同时的xVA框架，并研究了非线性所起的作用。第4节提供了一个示例和一些数值结果，说明了第3节的结果。在附录A中，我们从用于得出主要结果的文献中收集了一些结果。2、财务设置确定时间范围T<∞ 用于交易活动。我们考虑两个代理人，分别是银行（B）和交易对手（C）。除非另有说明，在本文中，我们假设银行的视角，并将银行称为套期保值者。所有过程都在概率空间上建模(Ohm, G、 P）。LetWP公司=WPt公司t型∈ [0，T]是上的d维布朗运动(Ohm, G、 P）与相关的自然过滤。我们分别用τB表示。根据τC，银行违约时间，分别为。

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2022-6-24 00:27:15

交易对手和byHjt的：=1{τj≤t} ，j∈ {B，C}，关联的跳转进程。默认时间τBandτCare假设为指数分布的随机变量，与时间相关的强度Γjt=Ztλj，Psds，j∈ {B，C}，t∈ [0，T]，4 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivawwhereλjare非负有界F-适应过程。设Hj=（Hjt）t∈ [0，T]，j∈ {B，C}，分别是HB和HC的自然过滤。在上(Ohm, G、 P）我们认为过滤G=F∨ H、所有过滤都需要满足完整性和正确连续性的通常假设。在本论文中，我们将广泛使用所谓的浸入假设。假设2.1。任何局部（F，P）-鞅都是局部（G，P）-鞅。注意，根据假设2.1，wp也是G-布朗运动。通过Bielecki和Rutkowski（2004，推论5.2.4），我们得到了关于toW，MB，MC的可预测表示性质在G中成立，其中mjt：=Hjt-Zt公司∧τjλjudu，t∈ [0.T]，对于j∈ {B，C}。从现在起，我们设置（2.1）τ：=τB∧ τC∧ T、 2.1。基本交易资产。我们现在介绍市场模型。对于d≥ 1，我们用Si表示，i=1，d风险资产的除息价格（即价格）以及相关的累积除息过程Di。所有Siare均假设为c\'adl\'ag F-半鞅，而累积dividendstreams是有限变化的F-适应过程，Di=0。我们考虑以下系数函数：u：R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd，B研发部,σ :R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd×d，BRd×d,κ :R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd+，B研发部+,（2.2）假设满足标准条件，确保布朗运动WP驱动的SDE强解的存在唯一性。矩阵过程σ在任何时刻都是可逆的。我们假设dSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWPtS=s∈ [0，T]上的Rd（2.3）。请注意，我们并不是假设这些过程是积极的。

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kedemingshi

2022-6-24 00:27:18

股息过程通过（2.4）（Dt，…，Ddt）>=Ztκ（u，Su）du，t指定∈ [0，T]，对于（2.2）中给出的κ，rt |κ（u，Su）| du<∞ P-a.s.与第i项资产相关的累计股息价格由（2.5）Si给出，cldt：=Sit+BitZ（0，t）dDiuBiu，i=1，…d，t∈ [0，T]。我们假设存在一个指数现金账户族（Bx）x∈ 一、其中随机过程rx：=（rxt）t≥0是有界的，且F适用于所有x∈ 一、指数集I体现了交易对手为缓解交易对手信用风险而建立的协议类型。我们稍后将详细说明上述指数的特征。XVA 5所有现金账户的BSDE，在时间0时具有单一值，假设为严格正的连续过程，其形式为：x x t=xZtrxsds, t型∈ [0，T]。（2.6）我们引入了两种期限为T？≤ T和收益率'rj+λj，j∈ {B，C}，由银行和交易对手分别发行，动态CSDPJT=\'rjt+λjtPjtdt- Pjt公司-dHjt，j∈ {B，C}。（2.7）金融合同的支付流由一个适应F的c\'adl\'ag的收入分配过程a=（At）t表示∈ [0，T]，如Cr'epey（2015b）中所述。我们使用符号At：=At- 在-对于跳转A.为了包括违约事件的存在，我们定义了流程A=“”在t型∈ [0，T]通过设置（2.8）(R)At：=1{T<τ}At+1{T≥τ}Aτ-.注意Aτ-表示违约前的最后一笔付款，另见Brigo和Morini（2018）。2.2. 回购交易和抵押。根据现有文献，我们假设风险资产的交易活动是抵押的。这意味着与风险证券相关的借贷活动通过证券借贷或回购市场进行融资，见Bichuch et al.（2018a）。由于回购市场上的交易由风险资产进行抵押，回购利率低于无担保融资利率。

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kedemingshi

2022-6-24 00:27:21

正如Cr'epey（2015a）所述，假设所有资产都通过回购市场进行交易并不具有限制性。如果交易完全抵押，则转换为以下等式ξitSit+ψitBit=0，i=1，d、 t型∈ [0，T]，（2.9），其中B，B是与风险资产相关的现金账户，Sd。值得注意的是ξIt，i=1，d、可以是正的，也可以是负的。这里ξit>0意味着我们处于多头头寸，必须通过抵押融资。另一方面，ξit<0意味着第i项资产被做空，因此全部抵押品都存放在无风险资产中。条件（2.9）在排除不同现金账户之间的琐碎套利机会方面起着重要作用。在银行内部，交易台向财政部借贷资金。借贷利率允许不同，因此我们用rf、b、rf、L表示交易台分别向财资部门借贷的利率。在与（2.6）相同的符号中，我们引入相关的现金账户Bf，b，Bf，l。这意味着如果交易台的头寸为负，即ψf=ψf，b<0，则交易台以rf，b的利率向财资台借款。相反，如果交易台的头寸为正，即ψf=ψf，l>0，则交易台以rf的报酬向财资台借钱，l、由于不允许同时从国库部门借贷，我们将（2.10）ψf，ltψf，bt=0∈ [0，T]。就金融合同而言，抵押是一种利用保证金将交易对手违约造成的损失降至最低的方法。

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2022-6-24 00:27:24

在金融术语中，保证金代表经济价值，6 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAeither以现金或风险证券的形式在金融交易对手之间交换，以减少其风险敞口。根据当前的市场惯例，我们区分了初始保证金和抵押品（或变动保证金），如下所示。2.2.1. 变更保证金。在银行和交易对手之间张贴抵押品，以减轻交易对手风险。并行过程C=（Ct）t∈ 假设[0，T]是G-适应的。我们遵循Bichuch et al.（2018a）和Cr'epey（2015a）的约定：o如果Ct>0，我们说银行是抵押品提供者。这意味着交易对手对银行的风险敞口为正，因此它是银行的潜在贷款人，因此银行提供/出借抵押品以减少其风险敞口如果Ct<0，我们说银行是抵押品接受者。这意味着银行衡量对手的正面风险敞口，因此它是对手的潜在贷款人，因此对手提供/贷款抵押品以减少其风险敞口。设V=（Vt）t∈ [0，T]是一个通用的G适应流程，代表交易价值（包括交易对手风险和融资调整）或净价值流程，稍后将予以澄清。我们假设Ct：=f（Vt），t∈ [0，T]，其中f:R→ R是一个Lipschitz函数。这一假设涵盖了现实的抵押品规格，参见Lichters等人。

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能者818

2022-6-24 00:27:28

（2015）和Ballotta等人（2019）。如果银行与交易对手之间存在抵押品协议（或多项协议），在评估投资组合动态时，我们需要区分投资组合的价值和银行的财富，这两个概念是有区别的，因为银行不是抵押品的合法所有人（违约前）。在本文中，抵押品始终以现金的形式过账，符合当前市场的标准惯例。此外，我们假设再抵押，这意味着抵押品持有人可以使用现金为其交易活动融资。这与隔离相反，收到的现金抵押物必须保存在单独的账户中，不能用于为购买资产融资。我们将以下利率与抵押品账户关联：orc，l与Bc，l账户，代表向交易对手提供抵押品的银行收到的抵押品金额的利率。orc，b，账户Bc，b，代表银行从交易对手处收到抵押品时支付的抵押品金额的利率。我们只需设置rc=rc，l=rc，如果抵押品利率没有价差。抵押品利率的可能选择是，例如，欧元交易为EONIA，美元交易为Fed Fund，BP交易为SONIA。此类利率为隔夜利率，内含风险成分可忽略不计。选择近似无风险利率作为抵押品利率是出于市场共识。然而，两个交易对手可能签订一份抵押品协议，该协议涉及抵押品报酬或其选择的任何其他风险利率。在此，我们不假设对抵押品利率有任何要求。这使我们能够涵盖CSA中两个交易对手之间约定的抵押品利率的非常常见的情况，其中包括一些市场公共观察利率的实际价值价差，例如。

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何人来此

2022-6-24 00:27:31

伊奥尼亚-50个基点，其中bps代表基点。对于抵押品账户，我们有以下方程式：（i）如果Ct>0，则银行已将抵押品账户的ψCt=ψc，lt<0个单位借给了缔约方，即，（2.11）ψc，ltBc，lt=-C+t，t∈ [0，T]；XVA 7的BSDES（ii）如果Ct<0，则银行已从缔约方借入抵押品账户的ψCt=ψc，bt>0单位，即（2.12）ψc，btBc，bt=c-t、 t型∈ [0，T]。值得注意的是，我们使用以下约定：x+：=max{x，0}，x-:= 最大值{-x、 0}因此x=x+-x个-. 请注意，这与Burgard和Kjaer（2011a，2013）通过的公约相反。2.2.2. 初始保证金。由于风险现象的保证金期限：违约的交易对手停止提供抵押品，以变动保证金为代表的抵押品不完善。然而，破产程序需要一定的时间间隔（通常为10天或20天），然后才能进行结清付款。这导致在没有调整抵押品账户的情况下，交易价值发生波动，从而产生风险敞口。这是引入初始保证金的原因之一，初始保证金构成了另一种形式的抵押品。根据EMIR条例，从2020年开始，参与OTC交易的大多数代理人将被迫提供初始保证金，这构成了额外形式的抵押品。根据Garcia Trillos et al.（2016）的说法，初始保证金是一个用词不当的词，因为初始保证金不仅是初始保证金，而且在交易生命周期内定期更新。

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2022-6-24 00:27:34

从某种意义上说，它是指从初始时间点开始提供覆盖范围，在该时间点，伴随交易对手违约。重要的是要强调，与变异裕度不同，初始裕度不能被重新稀释，而是被隔离。从财富动态的角度来看，这意味着交易台无法将从交易对手处获得的初始保证金用作投资组合价值的组成部分。然而，收到的初始保证金代表来自缔约方的贷款，必须予以偿还，因此与初始保证金相关的融资成本将出现在自我融资条件中，详情请参见（2.18）和（3.6）。备注2.2。初始保证金通常通过使用适当的风险度量进行量化，如风险价值或预期差额，我们将在（3.24）中详细说明。预期差额是计算信用衍生品初始保证金的一种流行选择，因为它是一种连贯的风险度量。最近，国际掉期和衍生品协会（ISDA）提出了一种新的方法，即所谓的标准初始保证金模型（SIMM），见ISDA（2018）。

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2022-6-24 00:27:37

SIMM提供了一些标准化的公式来评估未清算衍生品的初始保证金，其基础是使用投资组合敏感性而不是历史模拟。我们用G-适应过程IT C=（IT Ct）t对初始利润率建模∈ [0，T]，如果C=（如果Ct）T∈ [0，T]和BI，x，x的wedenote∈ {l，b}，与之相关联的现金账户C，如果分别是C。如果银行是初始保证金提供者，银行将其Cto过账给交易对手（TC），即（2.13）ψi，ltBI，lt=-IT Ct，t∈ [0，T]或等效值（2.14）- ψI，ltdBI，lt=rI，ltIT Ctdt。如果银行是初始保证金接受者，则银行从交易对手（FC）处收到IF Cf，即（2.15）ψi，btBI，bt=IF Ct，t∈ [0，T]，8 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAor等效（2.16）ψI，btdBI，bt=rI，btIF Ctdt。我们强调，与变动幅度的情况相反，根据当前的市场惯例，如果Care同时活跃且不相互抵消，则可以。在续集中，我们使用I=（It）t∈ 【0，T】作为提交或收到的初始保证金的简写。现在，我们在市场模型中介绍自我融资战略的定义。我们记得，我们从银行（即套期保值者）的角度出发。定义2.3。动态投资组合，用Д表示，由Д表示=ξ, . . . , ξd，ξB，ξC，ψ，ψd，ψB，ψC，ψf，B，ψf，l，ψC，B，ψC，l，ψI，B，ψI，l,式中（i）ξ，ξdare G-可预测过程，表示风险主要资产的股份数量，Sd。（ii）ξB，ξCare G-可预测过程，表示风险债券PBandPC的股份数。（iii）ψ，ψd，ψB，ψCare G-适应过程，表示回购账户的股份数量B。

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2022-6-24 00:27:40

Bd、BB、BC。（iv）ψf，bis a G-adapted process，表示无担保融资借贷现金账户Bf，b的股数。（v）ψf，lis a G-adapted process，表示无担保融资借贷现金账户Bf，l的股数。（vi）ψc，bis a G-adapted process，表示收到的现金抵押品的抵押品借贷现金账户Bc，b的股数。（vii）ψc，lis a G-adapted process，表示已过账现金抵押品的抵押品借贷现金账户bc，lf的股份数。（viii）ψI，bis a G-调整过程，表示从交易对手处收到的初始保证金的初始保证金借款现金账户BI，b的股份数。（ix）ψI，lis是一个G适应的过程，表示初始保证金借贷现金账户BI，LF的股份数，用于过账给交易对手的初始保证金。以上介绍的所有过程都使得后继中的随机积分得到了很好的定义。考虑到动态投资组合，我们将其与金融合同相关联，在文献中称为信贷支持附件（CSA），参见BCBS（2014）。定义2.4。银行和交易对手之间的CSA由一对（C，I）表示，其中C是变动保证金，I是初始保证金。定义2.5。与抵押合同A和CSA（C，I）相关的抵押套期保值者的交易策略是一个五元组x、 ^1、(R)A、C、I, 其中x∈ R是初始捐赠，Д是定义2.3中的动态投资组合，I是初始保证金。定义2.6。

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2022-6-24 00:27:43

考虑到初始捐赠x，抵押套期保值者的交易策略x、 ^1、(R)A、C、I与抵押合同相关的A和CSA（C，I）被称为自融资，如果∈ [0，T]，财富过程Vt（φ）由Vt（φ）给出：=ψf，btBf，bt+ψf，ltBf，lt-ψc，btBc，bt+ψc，ltBc，lt+ψI，ltBI，lt,（2.17）XVA 9Satifiesvt（ν）=x+dXi=1Z（0，t）ξiuui（u，Su）du+dXk=1σi，k（u，Su）dWk，Pu+κi（u，Su）du+dXi=1ZtψiudBiu+Xj∈{B，C}ZtξjudPju+ψjudBju-\'At+Ztψf，budBf，bu+Ztψf，ludBf，lu-Ztψc，budBc，bu-Ztψc，ludBc，lu-ZtψI，budBI，bu-ZtψI，ludBI，lu。（2.18）（2.18）中的最后两项表示收到的初始保证金的现金。通常，我们假设初始捐赠为零，x=0，即Vt（ν）=Vt0，Д，(R)A，C，I为了简单起见。请注意，（2.17）中最后一项前面的正负号取决于我们对抵押品的约定。此外，我们没有将收到的初始保证金包括在现金账户中。这是因为收到的初始保证金过账在一个单独的账户中，因此无法作为融资资产提供给交易台。定义2.7。如果抵押套期保值者的交易策略是自我融资的，且关联价值过程V（ν）从下方有界，则其交易策略是可接受的。我们提供以下无套利策略的定义。定义2.8。市场模型是无套利的，如果对于任何形式（0，Д，0，0，0）的可接受套期保值者交易策略，我们的P[Vτ（0，Д，0，0，0）=0]=1或P[Vτ（0，Д，0，0，0）<0]>0。备注2.9。在Bielecki和Rutkowski（2015，定义3.3）中，作者介绍了amarket的概念，该概念被称为针对一类或有债权的套期保值者无套利。他们的定义是根据净财富过程制定的，这对应于涉及索赔a的长期-短期策略，其中第一个头寸是对冲的，第二个头寸是非对冲的。

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kedemingshi

2022-6-24 00:27:46

另一方面，在Bichuch et al.（2018a）中，关于没有套利的问题首先在只考虑基本交易资产的情况下得到了回答。这在Bielecki et al.（2018）中也被称为对无效合同无异议。在我们的环境中，这两种方法是相互关联的。假设2.10。我们假设rf，lt≤ rf、bt、dP dt-a.s.我们现在证明，在我们的环境中，市场模型不存在套利。提案2.11。假设2.10成立。此外，假设存在一个概率测度~ P使得贴现资产价格处理▄Si，cldt：=Si，cldtBit，i=1。d、 Pjt：=PjtBjt，j∈ {B，C}，（2.19）是局部鞅。然后，市场模型没有套利机会。证据见附录A第A.1节。从现在起，我们假设如下。10 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAAssumption 2.12。存在一个等价鞅概率测度Q~ P下的过程▄Si，cldt，▄Pjtin（2.19）是动态的局部鞅d▄Si，cldt=位dSit- ritSitdt+dDit=dXk=1σi，k（t，St）BitdWk，Qt，i=1，d、 d▄Pjt=BjtdPjt公司- rjtPjt-dt公司= -Pjt-dMj，Qt，j∈ {B，C}，其中mj，Qt：=Hj，Qt-Zt公司∧τjλj，Qsds，带λj，Qt：=rft- λj，Pt- rjt，t∈ [0，T]，j∈ {B，C}。通过Aksamit和Fontana（2019），我们得出，在将度量值更改为Q后，对于WQ、Mj、Q、j，G中的可预测表示性质仍然成立∈ {B，C}。定义2.13。Letβ≥ 0、所有Rd值、F-适应过程X的子空间，使得中兴通讯βt | Xt | dt< ∞（2.20）用H2、dβ、T（Q）表示。我们设置H2，d（Q）：=H2，d0，T（Q）和（2.21）kXkH2，dβ，T：=sEQ中兴通讯βt | Xt | dt.所有Rd值、F适应过程X的子空间，使得eq“supt”∈ [0，T]eβT | Xt |#<∞（2.22）由S2、dβ、T（Q）表示。

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2022-6-24 00:27:50

我们设置S（Q）：=S2,10，T（Q）和（2.23）kXkS2，dβ，T：=VuTeq“supt∈ [0，T]eβT | Xt |#。我们用H2,2λ（Q）表示F适应过程X的空间，其值在Rsuch thatEQ中ZT公司Xt公司λB，Qt+Xt公司λC，Qtdt< ∞（2.24）带（2.25）kXkH2,2λ=序列ZT公司Xt公司λB，Qt+Xt公司λC，Qtdt.假设2.14。假设支付流A∈ S（Q）。3、xVA框架本节的主要贡献是多方面的。一方面，在无套利框架中，我们确定G-BSDE的唯一解决方案，以评估套期保值组合（x，Д，\'A，C，I），XVA 11的BSDE，包括无风险和风险资产、可违约债券和或有债权。另一方面，我们通过引入新的价值调整，为清洁价值提供了一个无套利框架，并提供了使用或有目标特定贴现制度（CSA贴现）的市场实践。最后，我们研究了在投资组合具有子投资组合的层级结构的现实情况下G-BSDE的形状，并考虑了投资组合估值中的非线性影响。根据假设2.12，自我融资抵押交易策略的动态x、 ^1、(R)A、C、IisdVt（Д）=dXi=1ξitBitdSi，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’At+ψf，ltdBf，lt+ψf，btdBf，bt- ψc，ltdBc，lt- ψc，btdBc，bt- ψI，ltdBI，lt- ψI，btdBI，bt.（3.1）通过使用回购约束（2.9），（2.11），（2.12）和（2.14），组合价值满足度vt（Д）=ψf，ltBf，lt+ψf，btBf，bt+Ct+IT Ct，t∈ [0，T]，因为如果CI隔离。由于（2.10），我们得到了等式ψf，lt=Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+Bf，lt-1，（3.2）ψf，bt=-Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-Bf，bt-t为1（3.3）∈ [0，T]。观察（2.11）和（2.12）-ψc，ltdBc，lt=-ψc，ltrc，ltBc，ltdt=+rc，ltC+tdt，（3.4）-ψc，btdBc，bt=-ψc，btrc，btBc，btdt=-钢筋混凝土，btC-tdt，（3.5）。

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2022-6-24 00:27:53

通过（3.2），（3.3），（3.4），（3.5），（2.14）和（2.16），我们可以将财富动态改写为followsdvt（ν）=dXi=1ξitBitdSi，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’At+hrf，ltVt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- rf，btVt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+rc、ltC+t- 钢筋混凝土，btC-t+rI，ltIT Ct- rI，btIF Ctidt。（3.6）为了方便起见，我们现在引入辅助人工利率过程r=（rt）t∈ [0，T]，假设为右连续、有界和F-适应。该利率不一定与交易资产挂钩，但可以解释为利率水平，用于将所有其他利率表示为与该法定利率的利差。必要时，我们将明确说明利率r何时成为市场利率。使用人工利率r，我们可以方便地将投资组合动态改写为如下：Dvt（Д）=dXi=1ξitBitd￠Si，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’’在+h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Ct+rtVt（Д）idt12 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVA=dXi，k=1ξitσi，k（t，St）dWk，Qt-Xj公司∈{B，C}ξjtBjtPjt-dMj，Qt- d’At（3.7）+h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Ct+rtVt（Д）idt，其中我们添加和减去术语rtVt（Д）dt，并使用假设2.12。备注3.1。术语（rI，lt- rt）它衡量的是公布的初始利差超过参考利率水平r的融资收益。我们想强调的是，一般而言，r的利差可能为负，这表示我们可能会有融资成本，即使银行是抵押品提供者。银行面临这种情况，它们与伦敦清算所（LCH）进行掉期清算。如果选择r代表EONIA隔夜利率，则LCH应用的利率为rI，l=r- 58bps，其中bps代表基点。

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2022-6-24 00:27:56

除此之外，银行还需要考虑筹集资金的成本，因此，从资金筹集和抵押品报酬的角度来看，初始保证金可以在两个方向上产生融资成本，从而为银行带来重要的成本来源。在违约情况下，存续代理人和违约代理人的清算人之间交换现金流。在这里，我们使用术语代理作为银行或交易对手的占位符。由于在违约时间进行现金流交换，代理人需要在平仓条件代表的随机时间对头寸进行估值，见Bichuch et al.（2018a）第3.4节。分析的对象可以是在没有交易对手风险的情况下的价值（在文献中称为无风险平仓）或交易价值，包括因交易对手风险和融资而进行的价格调整（风险平仓），参见Brigo和Morini（2018）。有风险的平仓条件保证存续的交易对手可以理想地用与另一个具有相同信用质量的交易对手进行的新交易完全替代交易。这是以估价公式的复杂性大幅增加为代价的。目前的市场实践和现有文献主要集中在无风险平仓价值的案例上。定义3.2。设0<Rj<1，j∈ {B，C}，分别为银行和交易对手的回收率。从银行角度表示的收尾条件θτ（V，C，IT C，IF C）定义为（3.8）θτ（V，C，IT C，IF C）：=Vτ+1{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）Vτ- Cτ-+ 如果Cτ--- 1{τB<τC}（1- RB）Vτ- Cτ-- IT Cτ-+.我们以BSDE的形式重述Q下的投资组合动态。

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2022-6-24 00:27:59

我们设置ZKT：=Pdi=1ξitσi，k（t，St）位，（3.9a）Ujt：=-ξjtPjt-,（3.9b）f（t，V，C，IT C，IF C）：=-h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-（3.9c）+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Cti。看见https://www.lch.com/risk-collateral-management/ltd-collateral-management/ltd-fees-collateralBSDES在交割条件（3.8）下的XVA 13中，Q下（3.7）中投资组合动态的G-BSDE的形式如下-dVt（Д）=d'At+f（t、V、C、IT C、IF C）- rtVt（Д）dt公司-Pdk=1ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，QtVτ（Д）=θτ（V，C，IT C，IF C），（3.10）表示t≤ τ. 我们在定理3.16中证明了G-BSDE（3.10）存在唯一解（V，Z，U），并且过程V在{τ>t}Vt（ν）=BrtEQ“Z（t，τ）上呈现以下形式∧T]d’AuBru+Zτ∧Ttf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+1{τ≤T}θτ（V，C，IT C，IF C）BrτGt#，（3.11），其中Brt：=expRtrudu公司, t型∈ [0，T]。备注3.3。G-BSDE（3.10）符合xVA当前的市场惯例。破产程序中的监管变化可以通过终端条件（即亏损条件）的变化进行编码，而新的融资政策可以通过适当调整破产人来获取。为了解决（3.10），我们首先必须指定收尾条件下V的选择（3.8）。为此，我们需要以下部分的结果。3.1. F.A金融产品的净价值可在任何两个交易对手之间交易。由于每个代理都有不同的信贷质量和不同的融资成本，这通常意味着单一产品（如10年期欧元掉期）的潜在价值与市场上代理的可能组合数量一样多。经纪人为所有可能的交易对手发布所有可能的市场报价是非常不切实际的。

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2022-6-24 00:28:02

数据提供商提供的公开可观察市场报价不考虑xVA摩擦，通常由一个称为净价的单一值（更准确地说是出价和出价）给出。我们现在为清洁价格提供无套利估值，与市场报价的当前市场惯例一致。干净的价格是理想的价值流程，在两个达成完美共同交易的代理人之间是可以接受的。然而，完美的抵押不足以产生一个干净的价格：我们还需要明确假设进入交易的两个代理是无违约的。这是必要的，因为即使存在完美的理想抵押品协议，交易对手风险也不会完全消除：当交易对手违约时，她会停止提供抵押品。然而，违约并非自动得到法律承认：通常，破产程序要求在交易结束付款之前的几天（例如10或20天）。这创造了一段时间，交易对手没有正式违约，但没有任何抵押品调整。这段时间被称为风险保证金期。在这段时间内，索赔的价值偏离了抵押品账户的价值，从而产生了信贷风险。因此，为了排除保证金风险期并获得理想的净价格过程，我们考虑了一个具有完美抵押但无违约风险的平行市场模型。一些作者批评了根据清洁价值和调整过程进行价格分解的想法，参见例如Bielecki et al.（2018）。给出了分解不合理的情况，例如：。

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2022-6-24 00:28:05

通过或有权益，其分割过程以非线性方式取决于完全非线性市场中套期保值者的策略，在该市场中，我们在所有利率中都有出价差，包括资产回购利率（在我们的情况下为零）。然而，市场上的支付交易通常不具有这种非线性效应。此外，公开市场报价不受交易对手信用风险的影响。14 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAAssumption 3.4（清洁市场）。F项下无出价差价的清洁市场定义为：（i）资金账户中无出价差价，即rf、lt=rf、bt=rf；（ii）抵押品账户中无投标价差，即rc、lt=rc、bt=rc；（iii）抵押利率等于实际利率，即rc=r；（iv）没有违约，即τB=τC=∞ 风险债券被排除在市场之外；（v）没有交换初始保证金；（vi）完善的抵押，即≡ Ct，适用于所有t∈ [0，T]，其中，我们使用^V表示无违约风险的活跃市场中担保对冲策略的价值过程。注意，假设3.4中的（vi）意味着现金账户中的投资组合权重为ψct=-^VtBct，ψft≡ 0，对于所有t∈ [0，T]，意味着头寸完全由抵押计划提供资金，而^V=（^Vt）[0，T]是anF适应的过程。由（3.7）和假设3.4得出的净投资组合价值^V的动态由d^Vt（Д）=dXk=1^ZktdWk，Qt给出- dAt+rt^Vt（Д）dt，其中^Zkt：=dXi=1^ξitσi，k（t，St）。（3.12）插入终端条件^VT=0，我们可以将Q下的^V的F动力学（3.12）重写为经典F-BSDE形式-d^Vt（Д）=dAt- rt^Vt（Д）dt-Pdk=1^ZktdWk，Qt^VT（Д）=0。（3.13）我们现在证明（3.13）的解的存在唯一性。定理3.5。

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2022-6-24 00:28:08

在A上的假设2.14下，存在唯一的解决方案^V，^Z∈ S（Q）×H2，d（Q）至干净的F-BSDE（3.13）。证据我们注意到，干净的BSDE（3.13）类似于El Karouiet al.（1997）中研究的线性BSDE，其中驱动力是多维布朗运动W1，Q，Wd，Q>.我们可以应用Nie和Rutkowski（2016，定理4.1），通过观察M=WQ，Qt=t，U=A，^V=Y和h（t，Yt，Zt）=-rt^Vt，这明显符合统一的Lipschitz条件。还有条件h（·，0，0）∈ S（Q）非常满意。我们还观察到X=S=diag（S，…，Sd），因此我们有mt=σ（t，St），因此γt=S-1σ（t，St），γ满足椭圆度条件（A.2）。根据定理A.7，我们有^V∈ H（Q）和^V- A.∈ S（Q）。现在，假设2.14允许我们得出结论∈ S（Q）。接下来，我们展示了定理3.5中的过程^V为合同提供了无套利价格，现金流为XVA 15定理3.6中的A.BSDES。让Q~ P是一个等价的概率度量，使得所有过程▄Si，cld，i=1，d、是局部Q-鞅。允许^V，^Z是（3.13）的唯一解决方案。然后，在A上的假设2.14下，我们有^Vt（ν）：=EQ“BrtZ（t，t）dAuBru英尺#，对于所有t∈ [0，T]。（3.14）证明。证明如下，因为^Z∈ H2，d（Q）根据定理3.5，B是有界的，这要归功于假设2.14。从现在起，我们假设使用c\'adl\'ag版本的^V。备注3.7。在这里，我们通过在现实的理想化市场中复制战略，引入清洁价值的概念。我们的建设性方法符合当前的市场标准和Bichuch等人（2018a）的第三方估值概念。公式（3.14）编码了CSA贴现的思想。由于利率r是风格化的完美抵押协议中抵押物的报酬，我们不需要假设无风险利率的存在。Bichuch等人。

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2022-6-24 00:28:11

（2018a）通过引入与Q不同的额外估值指标来定义净价值。使用定价指标Q还可以避免在不同指标下估计参数的问题。到目前为止，我们对清洁市场的讨论集中在参考过滤F下规定的股息流程上。正如在Cr'epey（2015b）中强调的那样，这种假设限制性太强，无法涵盖信用衍生品或错误方式风险。尽管如此，我们的目标是关注多个聚合级别和不同的贴现制度，因此我们选择避免涉及浸入假设概述的技术性问题。3.2. 通过G-BSDE进行投资组合估值。现在，我们按照Cr'epey（2015b）的方法讨论G-BSDE（3.10）解的存在性和唯一性。为此，我们使用第3.1节的净值结果和以下假设。假设3.8。我们假设F下的无风险收尾估值，即我们在收尾条件（3.8）下设置Vt=^Vt（Д）。定义3.9。我们定义了以下估值调整：CV At=BrtEQ{τC<τB}（1- RC）Brτ^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--燃气轮机,DV At：=BrtEQ{τB<τC}（1- RB）Brτ^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+燃气轮机,F V At：=BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-布鲁杜Gt#，ColV At：=BrtEQ“Zτt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-乌布鲁杜Gt#，MV At：=BrtEQ“Zτt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBruduGt#。在{τ>t}上，我们定义为：=-CV At+DV At+F V At+ColV At+M V At，（3.15）16 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivaaand set（3.16）XV Aτ=-θτ+^Vτ在{τ上≤ t} ，其中θτ在（3.8）中定义。请注意，定义3.9中的FVA术语具有递归性质，另请参见Piterberg（2010）。曝光量与交易V的全部价值成比例，而不仅仅与清洁价值^V成比例。这意味着数值格式的复杂性很高。

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2022-6-24 00:28:14

一些从业者的论文，如Burgard和Kjaer（2013），通过对融资策略的特别选择来避免递归性问题，例如称为“无违约差额的半复制”的融资策略。然而，银行通常需要为净价值和价值调整提供资金。因此，在一个全面的数学模型中无法忽略这一特征。示例3.10。如果Ct=0，rf，b=rf，l=rf，rc，b=rc，l=rcandτC=τb=∞. 然后，完整BSDE的驱动程序由（3.17）f（t，V，C，0）给出：=-（rft- rt）（Vt（Д）- Ct）+（rct- rt）Ct, t型∈ [0，T]。在这种情况下，V的积分表示（3.11）的形式为vt（Д）=BrtEQ“Z（t，t）daubur+ZTtf（u，V，C，0）Brudu英尺#，t∈ [0，T]。（3.18）如果我们设置rt=rftdP dt-a.s.然后我们通过（3.17）得到vt（Д）=BrftEQ“Z（t，t）dAuBrfu+ZTt（rfu- rcu）库布杜英尺#，t∈ [0，T]。（3.19）这对应于皮特堡（2010）中的方程式（3）。如果我们设置rt=rctdPdt-a.s.在（3.17）中，我们得到vt（Д）=BrctEQ“Z（t，t）dAuBrcu-ZTt（rfu- rcu）（Vt（Д）- Cu）Brcudu英尺#，t∈ [0，T]，（3.20），对应于皮特堡（2010）中的方程式（5）。根据假设3.8，我们得到V=^V。由于^V是一种适应F的c\'adl\'ag过程，我们从Cr\'epey（2015b，引理2.1）中了解到在F和G之间的假设2.1下，^Vτ=0。对于抵押品过程C，同样的假设成立，我们假设它是清洁值的Lipschitz函数，对于初始保证金I，无论是过账还是收到的。从现在起，我们确定cleanvalue^V、抵押品过程C和初始保证金I及其左极限。我们设置θCt：=（1- 钢筋混凝土）^Vt- Ct+如果Ct-,θBt：=（1- RB）^Vt- 计算机断层扫描- IT Ct+,（3.21）定义3.11。

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2022-6-24 00:28:17

我们将[0，T]上的以下F-BSDE称为预设xVA BSDE，T中的终端条件为空：-dXV At=(R)f（^Vt- XV At）dt-Pdk=1'ZktdWk，QtXV=0，（3.22），其中'f（^Vt- XV At）：=-f（t，^V- XV A、C、IT C、IF C）- （rt+λC，Qt+λB，Qt）XV At- λC，QtθCt+λB，QtθBt，（3.23）XVA 17的BSDE对于θB，θCde定义如（3.21）和λj，Qt=rft- λj，Pu- rjt，t∈ [0，T]，j∈ {B，C}。现在我们讨论（3.22）解的存在性和唯一性。在下面，我们使用格式t的下标来表示从t到t的进程路径的依赖性。首先，我们观察到驱动因素（3.23）也取决于初始裕度。我们设置（3.24）Iis：=ρs（^Vs:T- XV组件：T）s∈ [t，t]，i∈ {T C，F C}，其中XV At:T：=（XV As）s∈ 【t，t】是确定违约前价值调整的过程，且^Vt:t：=（^Vs）s∈ [t，t]是假定为S（Q）中给定的外生过程的净价值，这两个值都是在合同到期之前进行评估的，因为它们用于衡量潜在的未来风险敞口。对于每个∈ [0.T]，ρT=ρ（ω，T；x），是一个风险度量。为了简单起见，我们假设bothi的ρ相同∈ {T C，F C}。这一假设很容易推广。我们还假设以下假设3.12。（i）对于任意X，Y∈ S（Q），过程（ρt（Xt:t-Yt:T））T∈ [0，T]在H2,1（Q）中。存在一个常数Cρ>0和一系列测度（νs）s∈ R上的[0，T]，使得νT（[T；T]）=1，对于每T∈ [0，T]和，对于任何x，y，y∈ S（Q），我们有（3.25）ρt（xt:t- yt:T）- ρt（xt:Y- yt:T）≤ CρEZTt | ys- ys |νt（ds）英尺, dt公司 dP a.e.（ii）我们假设f满足假设a.8，y=^V- XV Ai，z=C，λ=ρi，fori=1，2。引理3.13。

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2022-6-24 00:28:20

Let（十五爱，子）∈ S（Q）×H2，d（Q），i=1，2，F-BSDE（3.22）的be溶液，含FI（t，^V- XV Ai，C，ρi）满足假设3.12，对于i=1，2。此外，定义δXV A：=XV A- XV A，δZ：=Z- Z、 δf：=f（^V- 十五A）- f（^V- XV A），Δρ：=ρs（^Vs:T- XV组件：T）- ρs（^Vs:T- XV As:T），对于任何s∈ [t，t]。然后，存在一个常数c>0，使得对于u>0，我们有对于β大的enoughδXV AkSβ，T≤ ceβTE|δξ|+ukδfkH2，dβ，T+CfkδρkH2，dβ，T,（3.26）kδZkH2，dβ，T≤ ceβTE|δξ|+ukδfkH2，dβ，T+Cf | |ΔρkH2，dβ，T,（3.27）式中，kδXV AkSβ，Tand kδZkH2，dβ，皮重分别在（2.23）和（2.21）中定义。证据首先，我们观察到fi（^V-XV Ai），i=1，2，在（3.23）中给出，由三个术语组成。Firstone是（3.9c）中给出的完整G-BSDE驱动因素f，用抵押品C表示，抵押品C是定义的净价值的aLipschitz函数，以及（过账/收到的）初始保证金I，其isLipschitz为（3.24）和（3.25）。第二项取决于短速率r和跳跃强度λB，Q，λC，Q，它们以定义为界。最后一项依赖于（3.21）中的收尾条件θB，θCgiven，这是Lipschitz函数，遵循与前面相同的参数。因此，驱动因素满足假设A.8。

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