鉴于第2节和第3节中的设置，我们将I=（0，∞) And d预期收益f（2.10）现在采用公式j（x，R）=αinfσ∈[σ，σ]，b∈以弗所-rTR（K- Xx，b，σTR）+i+（1- α） supσ∈[σ，σ]，b∈以弗所-rTR（K- Xx，b，σTR）+i，（4.2），其中tri定义类似于（3.2）TR：=inf{t>0:Xx，b，σt∈ R} 。我们的目标是刻画所有（闭合）平衡，并找到其中最好的一个；回想备注3.3，我们可以关注当前设置中的闭合平衡。为此，我们需要引入均衡的非最优标准。对于任何R∈ E、 we定义neV（x，R）：=g（x）∨ J（x，R），x个∈ 一、 定义4.1。^R∈ E称为最优平衡，如果对于任何R∈ E、 我们有v（x，^R）≥ V（x，R），x个∈ 一、 Huang和Zhou（2019）提出的这一标准相当强大：它需要一个亚博弈完美纳什均衡来支配整个状态空间上的任何其他均衡。对于n指数折扣下的停止问题，Huang和Zhou（20192020）建立了最优均衡的一般一致性，当折扣的作用导致不耐烦的减少。在概率失真下的最优停车示例中，Huang et al.（2020）推导出了最优均衡；见其中第4.3节。对于当前模型模糊下的实物期权定价问题，我们将证明在适当的条件下也存在最优均衡。备注4.1。对于时间不一致的停止问题，可以如本文所述定义公平（即定义2.1，基于Huang和Nguyen-H uu（2018））中的定点方法，如Christensen和Lindensj¨o（2018）（基于Ekeland和Lazrak（2006））中控制问题平衡的标准定义），或如Bayraktar等人（2020年）（基于Huang和Zhou（2018年）关于控制问题的“强均衡”）。

正如Bayraktar et al.（2020）和Huang and Zhou（2018）所述，第三种定义最准确地抓住了子博弈完美纳什均衡的概念：它可以防止从今天开始的很短时间间隔内偏离当前策略，这是一种可能无法通过第一种或第二种均衡实现的理想属性。在连续时间马尔可夫链模型中，Bayraktar等人（2020）详细分析了这三种类型的均衡，表明第一类最优均衡（即定义为4.1）实际上是第三类均衡。如果结果可以推广到扩散模型（这仍然是一个开放的问题），则最优平衡指数4.1将自动具有上述理想性质。让我们从描述（0，K）中包含的闭合平衡开始。最后，我们会发现，对（0，K）的关注完全没有限制性。引理4.1。假设b≥ 0.对于任何R∈ E是封闭的，并且包含在（0，K）中，对于某些a，R=（0，a∈ （0，K）.证明.定义a：=sup{x:x∈ R}≤ K、 通过矛盾，假设存在x∈ （0，a）使得x/∈ R、 考虑者P：=支持{y∈ R：y<x}和q：=inf{y∈ R:y>x}，（4.3），其中，如果不存在y，则取上确界为0∈ 因此y<x。通过R的闭合，我们有p<x<q，因此ρR>0 p-a.s。在（4.2）的视图中，这意味着j（x，R）<αinfσ∈[σ，σ]，b∈[b，b]EP[K- Xx，b，σTR]+（1- α） supσ∈[σ，σ]，b∈[b，b]EP[K- Xx，b，σTR]=αinfσ∈[σ，σ]，b∈【b，b】K- EP【Xx，b，σTR】+ (1 - α） supσ∈[σ，σ]，b∈【b，b】K- EP【Xx，b，σTR】≤ α（K- x） +（1- α） （K）- x） =K- x=g（x），（4.4），其中最后一个不等式来自Xx，b，σ是所有σ的P-子鞅∈ [σ，σ]和b∈ [b，b]，多亏了b≥ 0

下面是x∈ SR，R是平衡的矛盾。要获得引理4.1的逆解，其中a>0，集R=（0，a）是一个平衡，需要对映射x进行详细分析→ J（x，（0，a））。对于每个a∈ （0，K），我们定义∧（x，a）：=J（x，（0，a））=（K- a） αinfσ∈[σ，σ]，b∈以弗所-rTx，b，σai+（1- α） supσ∈[σ，σ]，b∈以弗所-rTx，b，σai！，对于≤ x<∞,式中，Tx、b、σa定义如（3.2）所示。由于Borodin和Salminen（2002）第628页的公式，以弗所-rTx、b、σai=斧头rbσ-+2rσ+bσ-. （4.5）可通过直接计算检查map（b，σ）7→sbσ-+2rσ+bσ-在b中严格增加，在σ中严格减少。因此∧（x，a）=（K- （a）α斧头m+（1- α)斧头m级, 对于≤ x<∞, （4.6）其中m：=sbσ-+2rσ+bσ-> 0和m：=sbσ-+2rσ+bσ-> （4.7）让我们也介绍一下*:=mα+m（1- α） 1+mα+m（1- α） K级∈ （0，K）。（4.8）下一个结果收集了∧（x，a）的有用性质。引理4.2。函数∧：{（x，a）∈ (0, ∞)×（0，K）：x>a}→ （4.6）中的R满足以下特性。首先，对于任何a∈ （0，K），（i）x 7→ ∧（x，a）在（a，∞), 其中∧（a，a）=K- a和Limx→∞∧（x，a）=0；（ii）如果a<a*, 两个函数x 7→ ∧（x，a）和x 7→ （K）- x） +在somex正好相交一次*∈ （a，K），其中∧（x，a）<（K- x） +开（a，x*) 和∧（x，a）>（K- x） +开（x*, ∞);（iii）如果≥ 一*, 然后∧（x，a）>（K- x） +开启（a，∞).此外，对于任何x≥ 一*,（iv）a 7→ ∧（x，a）在（a）上严格递减*, x个∧ K） 。证据可直接从第（4.6）个第（i）个货舱进行检查。对于（ii）和（iii），需要检查∧（x，a）在x=a时的斜率。因为↓a∧x（x，a）=limx↓一-K- 斧头mα斧头m+m（1- α)斧头m级= -K- aa（mα+m（1- α） ），我们有limx↓a∧x（x，a）<-1当且仅当a<a*.

现在，对于（i）中的性质，如果a<a*,林克斯↓a∧x（x，a）<-1表示∧（x，a）与（K）相交- x） +在某个x点正好一次*∈ （a，K）；ifa≥ 一*, 林克斯↓a∧x（x，a）≥ -1表示∧（x，a）始终高于（K- x） +开启（a，∞).证明（iv），fix≥ 一*. 鉴于（4.6），对于任何∈ （a）*, x个∧ K） ，λa（x，a）=-ah（1- α)一- m（K- （a）斧头m+α一- m（K- （a）斧头惯性矩。（4.9）a>a*,一- m（K- a） >（mα+m（1- α） ）K- m（K- a） （1+mα+m（1- α） ）1+mα+m（1- α） >（mα+m（1- α） ）K- mK1+mα+m（1- α） =α（m- m） K1+mα+m（1- α） ，（4.10），其中第二条线从（mα+m（1- α） ）K<（1+mα+m（1- α） ）a，相当于a>a*. 类似的计算yieldsa- m（K- a） >（mα+m（1- α） ）K- mK1+mα+m（1- α)=-(1 - α） （m）- m） K1+mα+m（1- α). （4.11）乘以（4.10）和（4.11），（4.9）得出∧a（x，a）<-α(1 - α） （m）- m） Ka（1+mα+m（1- α） ）h斧头m级-斧头惯性矩。当m时，a的m>0且X<1∈ （a）*, x个∧ K） ，以上表示∧a（x，a）<0，如需要。现在可以建立（0，K）中封闭平衡的完整表征。命题4.1。假设b≥ 然后，E（0，K）：={（0，a）]：a*≤ 一≤ K} 是（0，K）中包含的所有闭合平衡的集合。此外，对于任何*< 一≤ K、 J（x，（0，a*]) > J（x，（0，a）），对于所有x>a*.证据根据引理4.1，为了证明第一个断言，必须证明（0，a）∈ E当且仅当a≥ 一*. 观察（0，a）∈ E当且仅当J（x，（0，a）]）≥ g（x）=（K- a） +对于所有x>a。当J（x，（0，a））=λ（x，a）时，引理4.2断言当且仅当a≥ 一*.设置^R：=（0，a*] 取任意R=（0，a）和*< 一≤ K、 对于任何a*< x个≤ a、 引理4.2（iii）表示J（x，^R）=∧（x，a*) > K- x=J（x，R）。对于任何x>a，Lemm a 4.2（iv）意味着J（x，^R）=∧（x，a*) > ∧（x，a）=J（x，R）。因此，我们得出结论：对于allx>a，J（x，^R）>J（x，R）*.现在，我们证明关注（0，K）中包含的平衡决不是限制性的。引理4.3。假设b≥ 0

对于任何R∈ 闭合的E，se t'a：=su p{x∈ R:x≤ K} 。那么，我们有R∩ （0，K）=（0，a）∈ E和J（x，（0，\'a]）≥ J（x，R）表示所有x∈ 一、 证明。请注意，R∩ （0，K）6= 必须保持。如果不是，我们将得到J（x，R）=0<K- 对于所有0<x<K，x=g（x），与R矛盾∈ E、 因此，“a”与“0”定义得很好≤ K、 显示R∩ （0，K）=（0，a），相反，假设存在x∈ （0，(R)a）使x/∈ R、 与引理4.1的证明类似，通过考虑（4.3）中的p和q并进行（4.4）中的计算，我们得到J（x，R）<K- x=g（x），与R相矛盾∈ E、 显示（0，(R)a）∈ E、 it部门需要批准≥ 一*, 感谢提案4.1。相反，假设“a<a*. 考虑\'q:=inf{x∈ R:x>K}≥ K、 对于任何x∈ （\'a，\'q），注意以弗所-rTRg（Xx，b，σTR）i=EPhe-rTx，b，σ′ag（\'a）1{Tx，b，σ′a<Tx，b，σ′q}i≤ 以弗所-rTx，b，σ′ag（\'a）i=EPhe-rT（0，\'a]g（Xx，b，σT（0，\'a]）i，σ>0，b∈ R、 （4.12）因此，J（x，R）≤ J（x，（0，’a）），对于所有x∈ （\'a，\'q）。引理4.2（ii），\'a<a*意味着存在足够小的δ>0，使得J（x，（0，a））=λ（x，a）<（K- x） +=g（x）表示x∈ （\'a，\'a+δ）。因此，我们有J（x，R）≤ 对于x，J（x，（0，’a）<g（x）∈ （\'a，\'a+δ），与R相矛盾∈ E、 为了显示最后一个断言，请注意，如果'a=K，那么对于所有x，J（x，R）=J（x，（0，'a）），它只适用于普通情况∈ 一、 现在，假设“a<K”，并如上所述考虑“q”。很明显，对于allx，J（x，R）=J（x，（0，\'a]）∈ I \\（\'a，\'q）。对于任何x∈ （\'a，\'q），通过与（4.12）中相同的计算，我们得到J（x，R）≤ J（x，（0，’a））。然后我们得出结论J（x，R）≤ J（x，（0，’a）），对于所有x∈ 一、 引理4.3表明，每个闭合平衡都由（0，K）中包含的另一个平衡所支配。因此，在寻找最优平衡的术语中，集中于（0，K）就足够了。这与引理4.1和命题4.1一起，立即产生以下结果。定理4.1。假设b≥ 0

然后，R：=（0，a*], 用一个*如（4.8）所示，是最佳均衡。备注4.2。如果一个人看到*in（4.8）作为α的函数∈ [0，1]，可以很容易地检查*正在严格增加。也就是说，α越大（即，歧义规避程度越高），最优平衡（0，a）越大*]. 直观地说，如果一个代理相当厌恶模糊性（即，有一个大的α），那么在我们当前的环境中，他有强烈的意图通过停止来退出模糊的环境。因此，他更喜欢大的停止阈值a*, 因此，当X略微漂移到低K>0时，他可以快速停止，这会产生一个正的（但很小的）回报- 一*. 另一方面，如果一个代理非常喜欢模糊性（即，有一个小的α），他有强烈的意愿留在模糊的环境中，以充分利用X的向下潜力。因此，他通过选择一个小的停止阈值a来延迟停止*.备注4.3。回顾“风险中性措施下的未定权益分析”是实物期权估价的两个主要框架之一；见本节第二段。该框架规定贴现率r>0应为无风险利率，且（4.1）中X的漂移应为b=r，符合通常的风险中性定价程序。因此，漂移不确定性在b=b=r的情况下不起作用。这在很大程度上简化了m、最小（4.7）tom=2rσ和m=2rσ。特别是，这表明定理4.1与标准风险中性定价结果一致，没有歧义。事实上，如果我们还有σ=σ=σ>0（即，没有波动不确定性），那么m=m=2rσ。

因此*in（4.8）降低toa*=2r/σ1+2r/σK。这正是永久美式看跌期权经典定价问题的最佳停止阈值，即supτ∈TEP【e】-rτ（K- Xx，r，στ）+]；例如，见Karatzas和Shreve（1998）中的定理2.7.2。我们的分析很容易适应贴现率的额外不确定性。备注4.4。假设r>0只存在于[r，r]，对于某些giv en 0<r<r<∞.通过取r=r in和r=r in min（4.7），所有后续分析仍然有效。也就是说，定理4.1仍然成立：（0，a*] 是一个最优平衡，其中*如（4.8）所述，在更新后的需求m.备注4.5中定义。当b<0时，研究定理4.1是否仍然成立是很有意义的。初步研究表明，本节中的相同分析不够充分。实际上，当b<0时，不再保证（4.1）中的X是子鞅。因此，平衡作为单侧区间（引理4.1）的便捷表征不再成立。具体而言，通过数值实验，我们发现，在b<0的情况下，可能存在“双边”平衡，即（0，p]∪ [q，∞ ) ∈ E对于某些0<p<q。一些示例包括o取r=0.2，b=-8，b=-2，σ=0.2，σ=0.8，K=10，α=0.9，我们得到≈ 0.0989，米≈ 0.0240和a*≈ 0.8375. 此外，数值计算表明（0，p]∪ [q，∞) = (0, 0.93] ∪ [5, ∞ ) ∈ E、 o取r=0.7，b=-10，b=-2.5，σ=1.2，σ=4，K=0.8，α=0.9，我们得到≈ 0.2077，米≈ 0.0382和a*≈ 0.1282. 此外，数值计算表明（0，p]∪ [q，∞) = (0, 0.3] ∪ [0.6, ∞) ∈ E、 在这两个例子中，我们都有（0，p）∪ [q，∞) ∈ E，p>a*. 注意“（0，a）∈ E代表所有a≥ 一*” b<0时仍然成立，因为J（x，（0，a））=λ（x，a）和引理4.2不依赖于b的符号。现在，取a∈ （p，q）在上述两个示例中。

然后，（0，p）∪ [q，∞) 和（0，a）是两个平衡点，两者都不支配另一个：J（x，（0，p）∪ [q，∞)) > K- x=J（x，（0，a）），对于x∈ （p，a），而J（x，（0，a））=λ（x，a）>（K- x） +=J（x，（0，p）]∪ [q，∞)) 对于x∈ （q，∞).也就是说，在b<0的情况下，平衡可以是单侧的或双侧的，并且在任何两个平衡中都不需要有一个主导平衡。这与情况b相反≥ 本节研究了0，其中平衡都是单侧的，并且在两个平衡中必须有一个占主导地位的平衡。有鉴于此，本节中的许多参数不适用于b<0的情况。我们预计b<0需要多种不同的技术，这将留给未来的研究。4.1一个例子：最优平衡的不存在从定理4.1的角度来看，很自然地会问，在模型模糊的情况下，最优平衡的存在是否是一个普遍的事实。我们通过提供一个反例来说明情况并非如此。具体而言，我们考虑（4.1）中的状态过程X和下面（4.1）中指定的相同模型模糊性。重点关注的Payoff函数是g（x）：=x。对于每个σ>0，b∈ R、 a>0，考虑函数κσ，b（x，a）：=a·EPhe-rTx，b，σai=axa公司rbσ-+2rσ-bσ+，对于0<x≤ a、 其中，第二个等式来自Borodin and Salminen（2002）第628页的公式。副定义，limx↓0κσ，b（x，a）=0和κσ，b（a，a）=a.（4.13）此外，可以通过直接计算检查κσ，bxx（x，a）<0当且仅当ifqbσ-+2rσ-bσ-< 0，wh ich等于b>r。也就是说，κσ，bxx（x，a）<0<==> b>r.（4.14）引理4.4。假设b>r。然后，[a，∞) ∈ E表示所有a>0。证据修复a>0并设置Ra：=[a，∞). 对于每个σ>0和b>r，观察-rρRaXx，σ，bρRai=κσ，b（x，a）>x，0<x<a，（4.15），其中不等式来自（4.13）和（4.14）。

因此，当b>r时，J（x，Ra）=αinfσ∈[σ，σ]，b∈[b，b]κσ，b（x，a）+（1- α） supσ∈[σ，σ]，b∈[b，b]κσ，b（x，a）>x，0<x<a.（4.16）这表明Ra∈ E、 下一个结果表明，模型模糊度的某些配置（即b、b、σ和σ的条件）不允许存在最优平衡。提案4.2。假设b>r且b<r+σ。那么，就不存在最优均衡。证据通过矛盾，假设存在一个最优平衡点。如果R 6=, 然后对于任何x∈R、 我们有J（x，R）=x<J（x，[a，∞)) 对于所有a>x，其中不等式如下（4.16）。然而，作为[a，∞) ∈ 对于引理4.4得出的所有a>0，上述违反了R是非最优平衡的事实。因此，我们必须有r=. 这很容易产生矛盾，因为 甚至不平衡。事实上，在b>r和b<r+σ的情况下，总是y b∈ [b，b]满足r<b<r+σ/2所有σ∈ [σ, σ]. 因此，对于任何σ∈ [σ，σ]和b∈ [b，b]，e-rtXx，σ，bt=xe（b-σ-r） t+σWt→ 0作为t→ ∞, x>0。这与（2.11）一起意味着对于任何σ∈ [σ，σ]和b∈ 【b，b】，EP【e】-rρXx，σ，bρ] = 0表示所有x>0。因此J（x，) = 0<x表示所有x>0，这表明 /∈ E、 备注4.6。当没有模型歧义（即σ=σ=σ和b=b=b）时，只要r<b<r+σ/2，引理4.4和命题4.2的证明中的相同论点很容易表明不存在最优平衡。换言之，位置4.2中的条件“b>r和b<r+σ/2”用于保持无歧义设置中得出的不存在结果。尽管有这样的观察，但值得注意的是，没有歧义，就没有时间上的不一致，根本不需要讨论平等性。

也就是说，最优均衡的（非）存在结果，如命题4.2，只有在模型模糊的情况下才有意义。5广义可测投影定理可测投影定理通常涉及两个可测空间的乘积，并研究乘积空间中可测集的投影是否仍然可测。经典结果，参见Crauel（2002）的定理2.12或定理III。Castaing和Valadier（1977）的23都要求这两个空间中的一个空间是具有Borelσ-代数的Borel空间。正如备注2.5所指出的，这不符合我们在引理2.2证明中的需要，因为在引理2.2中，Borel可测性是难以捉摸的。本节致力于建立一个新的广义可测投影定理，该定理适用于任意两个一般可测空间；参见下面的定理5.1，这是本文的主要贡献之一。让我们从分离的可测空间的概念开始。给定一个集合M，子集合M的集合C被称为分离M的点，如果对于任何不同的y，y∈ M，存在一个∈ C中正好包含y和y中的一个。下一个定义取自Cohn（1993）第8.6节。定义5.1。如果A分离了M的点，则称可测空间（M，A）是分离的，如果存在{Ai}i，则称可数生成的空间（M，A）是分离的∈使A=σ（{Ai}i∈N） 。备注5.1。如果可测空间（M，a）是可数生成的，则可以证明a分离M的点当且仅当{Ai}i∈n分离M的点；参见例如Castaing和Valadier（1977）的Lemma III.24。因此，（M，A）被分离和可数生成与Castaing和Valadier（1977）定义III.24中定义的“可分性”概念相同。（M，A）被分离并可数生成的好处是，它可以更容易地进行分析，就像被赋予了Borelσ-代数一样。

这一点在下一个结果中得到了准确的阐述，该结果摘自Castaing和Valadier（1977）的命题III.25和Cohn（1993）的推论8.6.4。引理5.1。设（M，A）是一个分离的可数生成的可测空间。然后，存在一个{0，1}的子集K，该子集（M，a）同构于（K，B（K））。在引理5.1的基础上，对于两个可测空间分离并可数生成的特殊情况，可以很容易地建立一个广义可测投影定理。为了恰当地陈述结果，让我们引入额外的符号。给定一个可测空间（M，a），我们用au表示a通过u-空集的扩充，对于（M，a）上的任何有限度量u。设^A是A的普遍完成式，即^A：={Au：u是（M，A）}的有限度量。引理5.2。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间，它们是分离且可数生成的。对于任何G∈ A. A、 其投影projM（G）属于^A.Proof。根据引理5.1，存在同构i：（M，A）→ （K，B（K））和i：（M，A）→ （K，B（K）），对于某些K，K {0，1}N。然后，我们得到了一个一对一的对应关系，该对应关系由映射iand i导出，在a中的元素之间 A和B（K）中的 B（K）。此外，根据Castaing和Valadier（1977）的引理III.26，iis不仅（A，B（K））-可测，而且（^A，G（K））-可测，其中G（K）表示由K的解析子集生成的σ-代数。现在，假设G′∈ B（K） B（K）对应于G∈ A. A、 那么，projM（G）=i-1.项目（G′）. 根据Bertsekas和Shreve（1978）的命题7.39，projK（G′）是K的分析子集-1.项目（G′）∈^A.扩展引理5.2以容纳任意两个可测空间需要以下技术结果。引理5.3。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间。

对于任何G∈ A. A、 存在一个∈ a和一个集值函数Φ：a→ a得出（i）G是Φ的G图；（ii）对于任何y，z∈ A满足所有C的1C（y）=1C（z）∈ A、 我们有Φ（y）=Φ（z）。证据考虑集合Γ：={G∈ A. 答： A.∈ A和Φ：A→ a确认（i）和（ii）保持}。首先，观察到Γ包括形式为H=A×B的所有集合，其中A∈ A和B∈ A、 实际上，常数s集值函数Φ（y）：=B，对于所有y∈ A、 显然，H是它的图形，而满意度（ii）是以一种平凡的方式。现在，我们声称Γ是σ-代数。如上所述，M×M∈ Γ. 接下来，对于任何G∈ Γ，拿一个∈ A和Φ：A→ a检查（i）和（ii）是否正确。定义设定值函数ψ：M→ Abyψ（y）：=（（Φ（y））c，如果y∈ A.M、 如果y∈ Ac.定义的ψ与Φ满足（ii）一样。还可以检查ψ的图形是否为Gc。简化Gc∈ Γ. 最后，对于任何{Gn}n∈NinΓ，取{An}n∈Nin a和Φn：An→ Asuch thatGnisΦnandΦnsatis fies（ii）f或所有n的图形∈ N、 设A：=序号∈南安∈ A、 并定义集值函数|ψ：A→ Aby￠ψ（y）：=[n∈N、 y型∈AnΦn（y），y∈ A、 对于所有n，Φn满足（ii）∈ N、 §ψ的定义也满足（ii）。也可以检查|ψisSn的图形∈NGn。这意味着∈下一代网络∈ Γ. AsΓ是一个σ-代数，包含所有a的H=a×b∈ A和B∈ A、 我们必须有一个 A. Γ，这会产生所需的结果。现在，我们准备介绍本节的主要结果。定理5.1。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间。对于任何G∈ A. A、 其投影projM（G）属于^A.Proof。修复G∈ A. A、 Con-siderCi：={Ci Ai:ci是一个可数生成的σ-代数}，i=1，2。首先，我们声称G∈ C C对于某些C∈ 坎德C∈ C、 注意a A=[{C C： C类∈ C、 C类∈ C} 。

（5.1）事实上，因为（5.1）的右侧是σ-代数，它包含形式为H=a×b的所有集合，其中a∈ A和B∈ A（这是因为H∈ C C、 对于任何C∈ 包含A和anyC的C∈ c包含B），我们得到“” （5.1）中的关系。因为“” 关系微不足道，（5.1）已建立。O因此，我们的索赔得到证实。定义Mas上的等效关系如下：对于任何y，z∈ M、 y型~ z当且仅当所有C的1C（y）=1C（z）∈ C、 （5.2）设置M′：=M/~, 由~, 定义：M→ M′byИ（y）=[y]：={z∈ M： z~ y} ，则，y∈ M、 （5.3）可以从（5.2）和（5.3）中推导出，对于任何C，C∈ C、 如果C6=烛光（C），则Д（C）6=Д（C）∩ ^1（C）= 如果是C∩ C=.让我们检查C′：=Д（C）是M′上的σ-代数。第一 = φ() ∈ C′。同样，对于任何{C′i}i∈在C′中，存在{Ci}i∈对于所有i，C′i=Д（Ci）∈ N、 因此，（i）Si∈NC′i=Si∈NД（Ci）=Д（Si∈NCi）∈ C′，其中第二个等式源自定义的Д；（ii）因为（C）∪Д（Cc）=M′和Д（C）∩^1（Cc）=, 我们有（C′）C=（Д（C））C=Д（Cc）∈ C′。因此，我们认为C′是σ-代数。因为：M→ M′是满射，Cis可数生成，C′=ν（C）是不可数生成的。同样，对于任何不同的[y]，[z]∈ M′，存在C∈ C如y所示∈ C丁字裤/∈ C即Д（C）∈ C′包含[y]，但不包含[z]。这表明C′分离了M′的点。因此，度量空间（m′，C′）被分离并可数生成。以类似的方式，我们可以在（5.2）中定义Mas的等效关系，用C代替。然后，ν：M→ M′可以如（5.3）中所述引入，其中Mand M′替换为MandM′：=M/~. 上述相同的参数意味着（M′，C′）与C′：=Д（C）分离并可数生成。回想一下G∈ C C、 根据引理5.3，存在C*∈ C和a集值函数Φ：C*→ C、 使得G是Φ的图，且Φ（y）=Φ（z），每当y~ z

请注意，Φ可以通过设置Φ（y）= 对于y/∈ C*. 定义ψ：M′→ Mas如下：对于任何[y]∈ 对于某些z，M′，letψ（[y]）：=z∈ M带z~ y、 然后，我们从（5.2）推导出，对于任何C∈ C、 ψ-1（C）=Д（C）∈ C′；也就是说，ψ是（C′，C）-可测的。定义ψ：M′→ 最小相同方式：f或任意[y]∈ 对于某些z，M′，letψ（[y]）：=z∈ M带z~ y、 类似地，ψ是（C′，C）-可测的。现在，通过将Д看作Cto C′的函数，我们将集值函数ψ从M′引入C′：ψ（[y]）：=Д（Φ（ψ（[y]））∈ C′，【y】∈ M′。设H表示ψ的图形。观察H={（[y]，[z]）∈ M′×M′：【z】∈ ψ（[y]）}={（[y]，[z]）∈ M′×M′：ψ（[z]）∈ Φ（ψ（[y]）}={（[y]，[z]）∈ M′×M′：（ψ（[y]），ψ（[z]））∈ G} =（ψ×ψ）-1（克）∈ C′ C′，其中第二个等式是从（5.2）推导出来的，由C代替。引理5.2，这意味着projm′（H）∈^C′。由于Castaing和Valadier（1977）的引理III.26，Д不仅是（C，C′）可测量的，而且是（^C，^C′）可测量的。因此，p rojM（G）=Д-1.projM′（H）∈^C^A.A引理3.3Fix x x的证明∈ 一、 考虑者P：=支持{y∈ R： y<x}和q：=inf{y∈ R： y>x}，其中取p=l （分别为q=r）如果r中没有y<x（分别为y>x）。类似地，定义：=sup{y∈ Rn：y<x}和qn：=inf{y∈ Rn:y>x}，n∈ N、 As R=序号∈NRnand{Rn}n∈Nis不减损，我们有pn↑ p和qn↓ q、 （3.11）的证明。关于集{ρ=∞}, ρn=ρ=∞ 适用于所有n∈ N、 因此（3.11）基本成立。关于集合{ρ<∞}, Bρ=p或q。我们假设Bρ=p而不丧失一般性。如果p∈ R、 然后∈ RN对于所有足够大的n。因此，对于足够大的所有n，ρn=ρ。如果p/∈ R、 然后BHA进入该区域(l, p） 紧接ρ之后。作为pn↑ p、 这意味着ρn↓ ρ. 因此，（3.11）成立。（3.12）的证明。固定ε>0。首先，注意如果n足够大，pn=p，qn=q，那么ρn=ρonOhm对于所有足够大的n，其中（3.12）跟在s后面。

仍需处理以下情况：（i）PNI严格增加，或（ii）qnis严格减少。对于任意n∈ N、 定义An：={ω∈ Ohmx： |ρn- ρ| ≥ ε}. 根据（3.11），（An）n∈Nis非递增andTn∈NAn=. 对于（i）和（ii）都成立的情况，请注意 Fn，其中Fn：={ω∈ Ohmx： ρ<∞, 英国电信∈ 【pn，qn】t型∈ (ρ, ρ+ ε),s∈ （ρ，ρ+ε）s.t.Bs=pnor qn}，n∈ N、 根据Fn的定义，我们有pxb，σ（Fn）=P（Xx，b，σt）t≥0∈ Fn公司= 0, （b，σ）∈ ∏（x）。（A.1）实际上，作为{（Xx，b，σt）t≥0∈ Fn}由样本路径组成，这样Tpn(l,pn）>0或Tqn（qn，r）>0，根据备注3.2，它必须是P-null集。此外，Fn∩ Fm= 对于所有n<m的情况，Pn严格增加，qnis严格减少。如下所示\\n∈南安\\n∈N（An）∪ Fn）=\\n∈NAn=. （A.2）Denis et al.（2011）中的引理7，因为P（x）相对紧凑（引理3.2），对于闭集Cn的每个序列↓  我们有supP∈P（x）P（Cn）↓ 因此，通过（A.1）和（A.2），补充∈P（x）P（An）=供应∈P（x）P（An）↓ 0，（A.3），正好是（3.12）。现在，对于（i）和（ii）中只有一个成立的情况，我们假设（i）成立，但不丧失一般性。设Ap，qndente表示前一种情况下（i）和（ii）均成立的集合，而apn表示当前情况下仅（i）成立的集合。请注意，Ap，qn=Ap，q，1n∪ Ap，q，2n，其中p，q，1n：={ω∈ Ohmx： Bρ0=p，|ρn- ρ| ≥ ε} ，Ap，q，2n：={ω∈ Ohmx： Bρ0=q，|ρn- ρ| ≥ ε}.观察Apn=Ap，q，1n，我们在当前情况下得到∈P（x）P（|ρn- ρ| ≥ ε） =支持∈P（x）P（Ap，q，1n）≤ 支持∈P（x）P（Ap，qn）↓ 0，其中（A.3）中确定了收敛。也就是说，（3.12）r emains有效。（3.13）的证明。固定0<ε<q- p、 首先，注意如果n足够大，pn=p，qn=q，那么ρn=ρonOhm当ce（3.13）跟在后面时，对于足够大的所有n。对于（i）PNI严格增加，或（ii）qnis严格减少的情况，仍有待解决。对于任意n∈ N、 定义An：={ω∈ Ohmx： | Bρn- Bρ0 | 1{ρn<∞}≥ ε}.

根据（3.11），（An）n∈n足够大且tn∈NAn=. 我们首先处理（i）和（ii）都成立的情况。对于足够大的n，使得m ax{| pn- p |，| qn- q |}<ε，观察 Fn：=Fn∪ Fn，其中Fn：={ω∈ Ohmx： Bρ=q，Bt≤ qn公司t型∈ （ρ，ρ{pn}）， s∈ （ρ，ρ{pn}）s.t.Bs=qn}，Fn：={ω∈ Ohmx： Bρ=p，Bt≥ pn编号t型∈ （ρ，ρ{qn}）， s∈ （ρ，ρ{qn}）s.t.Bs=pn}。请注意，（A.1）在当前上下文中适用，其参数与下面的（A.1）相同。此外，根据Fn和Fn的定义，Fn∩ Fm= 对于所有n<m的情况，Pn严格增加，qnis严格减少。因此，通过再次使用Denis et al.（2011）中的引理7，我们得到了（A.3），即（3.13）。对于（i）和（ii）中只有一个成立的情况，我们可以遵循（3.12）证明的最后部分中的相同论点，得出（3.13）仍然有效的结论。参考Savellaneda，M.、Levy，A.和Par'as，A.（1995），“波动不确定市场中的衍生证券”，应用数学金融2，73–88。Barberis，N.（201 2），“赌场赌博模式”，《管理科学》58（1），35–51。Bass，R.F.（2010），“命中时间的可测量性”，概率电子通信15，99–105。Bayraktar，E.、Karatzas，I.和Ya o，S.（2010），“动态凸风险度量的最优停止”，IllinoisJournal of Mathematics 54（3），1025–1067。Bayraktar，E.和Yao，S.（2011a），“非线性期望的最优停止-第一部分”，随机过程及其应用121，185–211。Bayraktar，E.和Yao，S.（2011b），“非线性期望的最优停止第二部分”，对随机过程及其应用121，212–264。Bayraktar，E.和Yao，S.（2014），“关于鲁棒最优停车问题”，暹罗控制与优化杂志523135–3175。Bayraktar，E.和Yao，S。

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