仅长期不可知分配组合的情况

2022-6-24 04:18:49

仅长期不可知分配案例——PortfoliosPierre Alain Regeron、Vincent Nguyen、Stefano Ciliberti、Philip Seager、Jean-Philippe BouchaudCapital Fund Management 23 rue de l\'Université，75007 Paris，FranceWe提倡使用不可知分配构建仅长期股票投资组合。我们表明，不可知分配投资组合（AAP）是一系列基于风险的投资组合中的特殊成员，这些投资组合能够缓解经典投资组合构建方法的某些极端特征（过度集中、高周转率、强烈暴露于低风险因素），同时实现类似的性能。因此，AAP代表了一个非常有吸引力的基于风险的投资组合构建框架，可以在不同的情况下实施，无论是否有活跃的交易信号。一、简介基于风险的投资组合（RBP）依赖于预测不可知的投资方法，自全球金融危机以来，RBP越来越受欢迎。他们的成功反映出人们越来越不相信积极管理者交付阿尔法的能力，同时也越来越强调风险是投资政策的核心组成部分。这些限制性商业惯例都试图通过考虑风险相关数量，有效地捕获一个或多个资产类别中的一些超额溢价，而对预期回报没有任何具体的看法。本文讨论的是只做多股票投资组合的情况。我们认为，许多记录良好的限制性商业惯例属于“基于风险的连续体”，我们从中分离出不可知分配组合（AAP）[1]作为特殊利益的特例。

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可人4

2022-6-24 04:18:52

使用特征向量分解，我们激发了AAP的自然扩展，我们称之为“特征稀疏”，避免了投资低风险、高成本的模式，这些模式只应在有特定、高信念预测的情况下进行交易。我们从夏普比率和总回报的角度表明，AAP可以与标准RBP竞争，甚至超越标准RBP，同时显著缓解了依赖协方差矩阵的方法的记录缺陷，即过度集中和过度营业额，以及暴露于低风险因素。二、基于风险的投资组合：短期优先股确定RBP依赖于明确的加权方案，如市值加权投资组合或等风险预算投资组合。另一些依赖于风险相关目标函数的优化。在大多数情况下，当添加投资约束（如仅多头约束或最大仓位约束）时，此类优化方案没有闭合形式的解，参见例如[4、9、10]。在本节中，我们简要回顾了一些记录良好的RBP。我们将考虑n个股票的宇宙i=1，N、时间t时的价格Si（t）。股票i的（日）回报率ri（t）定义为：ri（t）=Si（t）Si（t-1)-1.（1）这些收益的特征是其协方差矩阵C，定义（理论上）asCi，j=E[（ri-E【ri】（rj-E【rj】】。（2）对角线元素的平方根定义了股票波动性的向量：σi=pCi，i。当然，“真实”（前瞻性）协方差矩阵C在投资时并不已知，必须根据过去的数据尽可能“猜测”——详见下文附录B中关于该主题的内容。我们将调用投资组合中股票i的权重。该权重在完全固定的长结构下考虑，例如0≤ wi公司≤ 1和PNI=1wi=1。A.

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何人来此

2022-6-24 04:18:57

明确权重o市值-市值“MC”指数是所有指数中最微不足道的，因为它只是根据市值Mi:wi=MiPjMj分配股票权重。（3）如果CAPM假设有效，则市值指数是均值-方差有效的。然而，众所周知，这离现实很遥远（参见示例[12]和参考文献）o等权重-等权重“1/N”投资组合【8】在所有股票中均匀分配：wi=N（4）投资组合在工具权重方面的差异最大。更准确地说，它最小化了最终指数H，定义灰分：=NXi=1wi=N（5）这是一个有效的投资组合，假设所有股票都具有相同的预期回报率和波动率，并且所有成对的相关性都相等等波动率-另一个简单的投资组合构建相当于分配给股票的权重与其波动率成反比：wi=σ-1iPjσ-1j（6）假设所有股票都具有相同的夏普比率，并且所有成对相关性均为零，则这是有效的投资组合。B、基于目标函数的投资组合这些方法通常会最小化涉及股票收益协方差矩阵的二次型最小方差-最小方差投资组合（MVP）（[2，3]）是将事前波动性最小化的投资组合，考虑到股票之间的相关性。因此，这是一个基于目标函数的投资组合，遵循以下优化程序：w*= arg minww>cw服从1>w=1,0≤ wi公司≤ 1（7）其中1是大小为N的向量（1，1，…，1），C是股票收益的协方差矩阵。如果所有股票的预期回报都相等，则该投资组合是有效的。

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可人4

2022-6-24 04:19:00

该投资组合的一个记录良好的特征【4，10】是其倾向于将权重严重集中在一小部分股票上，远远小于可用的交易范围。这也是其他投资组合的共同特征，这些投资组合依赖于涉及协方差矩阵的水旱形式最小化最大多元化——在【7】中引入的最大多元化投资组合（MDP）是最大化多元化比率的投资组合：w*= arg maxww·∑pw>cw根据1>w=1,0≤ wi公司≤ 1（8）从直觉上看，假设股票与同一投资组合的实际风险不相关（即w·σ），但考虑到相关性，多元化比率比较了投资组合的风险。当这个比率变大时，构成这个投资组合的股票变得更加“有效地不相关”。当所有股票的预期夏普比率相同时，或者当每只股票的预期回报率等于某个共同系数乘以其波动率时，MDP也可以被视为有效的投资组合等风险贡献——在【5】中提出了另一种结构，即等风险贡献投资组合（ERC）。使用齐次函数上的欧拉定理（此处，投资组合方差作为权重的函数），最终分配问题如下*wi（Cw）i=wj（Cw）j，i、 J服从1>w=1,0≤ wi公司≤ 1（9）III.目标投资组合方法A。一般设置目标函数的优化，如前一节中考虑的优化，必须考虑一些约束，如权重的正性（仅长）。此类优化问题缺乏封闭形式的解决方案，但可以将其重新表述为更一般的跟踪错误问题。必须首先在没有约束的情况下构建最佳投资组合。我们称之为“目标投资组合”wt。

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能者818

2022-6-24 04:19:06

最优纯长期投资组合w*然后可以描述为唯一的长期投资组合，将其跟踪误差最小化到wt:w*= arg最小值（w-wt）>C（w-wt）以0为准≤ wi公司≤ 1（10）例如，在MVP的情况下，目标投资组合很容易在WTMV=ωC时获得-1（11）由于非约束目标投资组合wtM是一个多空投资组合，均值-方差最优投资组合（在1用作不可知预测的情况下）倾向于将权重配置为“市场中性”配置。ω是一个比例因子，我们设置该比例因子，使无约束解具有100%的净风险敞口，以便为问题提供一个维度。最优投资组合w*具有任意大小，因此需要重新缩放到Portfolio的交易级别。ω=πjC-1i j=>·C-1·1（12）MDP问题对应于以下目标投资组合：w*****P=ωC-1∑1，（13）其中∑是N×N对角矩阵，使得∑i，i=σi。因此，W*****PI是均值-方差优化问题的无约束解，适用于对应于股票波动率的隐式预测收益向量∑1。B、目标投资组合的连续体将基于风险的索引方法重新制定为无约束目标投资组合的跟踪误差最小化，使我们能够生成一系列潜在的有趣的长期投资组合。通过将目标投资组合的表达式写为WTA、b、c=ωc，可以将此想法推广到MVP或MDP-a∑bMc1，（14），其中M是N×N对角矩阵，因此Mi，i=Mi是股票i的市值。相应的长期投资组合，w*a、以wta、b、cas为目标，从优化问题（10）中获得的CI。该算法的代码和文档将由作者根据要求提供。在此一般情况下，可以恢复以前大多数基于风险的投资组合。

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2022-6-24 04:19:09

例如，a=b=0，c=1对应于市值指数组合；a=b=c=0是等权投资组合；a=c=0，b=-1是等波动率投资组合。b=c=0，a=1是标准平均方差投资组合，而c=0，a=b=1对应于最大多元化投资组合。更一般而言，3个参数a、b、c有以下解释：oa：接近零的值使投资组合对协方差视而不见。接近1的值将分配给低风险（通常为市场中性）的股票组合（在对角线基础上，反向协方差矩阵用作相应模式方差的倒数的乘法）。这就产生了目标投资组合，对于这些投资组合来说，唯一的长期约束更加严重，这反过来又转化为更加集中的最终配置b是一个波动性系数：增加b等于相信高波动性股票有更大的预期回报c是市值系数参数。价值观≈ 1表示倾向于更大的市值。该参数在实践中可用于通过支持大额资本化来降低交易成本。C、风险分解将风险的标准分解回顾到协方差矩阵C的特征模式上是有用的。引入按降序排列的特征值λk（k=1，…，N），并将k作为相应的特征向量，其中：C=Xkλku>kuk（15）引入与等式（14）对应的有效预测值p，定义为pi：=σbiMci，权重wi可以写成wi=ωXkλ-ak（uk·p）（uk）i，（16），因此目标投资组合的风险给定为：ωXkλ1-2ak（英国·p）。（17）最后一个等式有助于进行深入的解释，下一节将进一步讨论。

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nandehutu2022

2022-6-24 04:19:12

我们可以看到，当a<1/2时，第k个模式对风险的贡献是通过预测因子在该模式上的投影乘以随该模式风险λkof增加的因子得出的。相反，当a>1/2时，预测值的自然投影随着λkis的减小而增强。例如，a=1的MVP就是这种情况。众所周知，马科维茨倾向于过度分配小风险模式。最后，当a=1/2时，投资组合的风险与预测因子的预测成比例分配，没有进一步的大风险或小风险模式的偏差。D、基于风险的连续性的统计研究在本小节中，我们研究了参数a对实践中具有参数重要性的特征的影响：贝塔/与基准的相关性、仅基于风险的多头组合的投资组合集中度和周转率，以及对相应目标组合中空头头寸的偏好。在本次讨论中，我们使用了~ 2000只美国股票，其连续价格历史超过3500天（2005年8月至2018年12月）。这在我们的工具库中引入了生存偏差；然而，这不是统计特性研究的问题。在本文中，我们交替使用“均值-方差”和“马科维茨”。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0a0.40.60.81.0Beta/Correlation to indexx验证：Betaempirical：Betax验证：相关性实证：相关性0.120.140.160.180.200.22年化波动率实证：Ann。Volatilityx已验证：Ann。挥发性图1。b=c=0时，年化每日波动率、贝塔值以及与市值基准的相关性作为a的函数。基于风险的投资组合。

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2022-6-24 04:19:15

此外，这种设置不会受到影响实际投资组合的交易池中的进入或退出的影响（但在关于经验结果的第4节中有适当的内容）。为了显示去噪、可读的结果，我们使用了一种自举方法：我们在可用的范围内选择nboot=10个随机样本，共250只股票。对于这些样本中的每一个，我们计算所有再平衡天数t（此处，每隔一个月末）对应于给定值a的目标组合∈ [0，1]其中b=c=0。协方差矩阵C是前一时期测量的经验协方差矩阵[t- 2.- T、 T型- 2]. 两天的移动可确保因果关系，T被选择为2N=500。我们运行了两个测试：a）一个使用原始协方差矩阵，b）第二个使用“清理”协方差矩阵，基于附录b.1中回顾的交叉验证RIE方法。波动性、相关性和BetaAn基于风险的投资组合的预期特征是作为趋势的波动性降低。图1（黑色符号）中的结果证实了这一点。与市场的相关性是a的单调递减函数，这转化为市场贝塔曲线，也表现为a.2的非单调递减函数。目标投资组合的空头头寸随着数量的增加，目标投资组合的空头头寸越来越多。图2显示了这一点：对于。0.2，几乎没有任何空头头寸，因此只有多头的投资组合将几乎完全跟踪目标投资组合。当a达到MVP值1时，目标投资组合中的空头头寸数量几乎为N/2.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0A020406080100120空头数量X验证协方差矩阵经验协方差矩阵图2。

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2022-6-24 04:19:18

基于风险的目标投资组合的平均空头头寸数量，作为a的函数，b=c=0。这个量对经验协方差矩阵的清洗不是很敏感。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0A50100150200250位置数量X验证：有效位置螺旋：有效位置X验证：位置螺旋：位置图3。b=c=0时，基于风险的优化投资组合的有效持仓数量Nef和非零持仓数量，作为a的函数。同样，这些量对经验协方差矩阵的清理不是很敏感。3、集中度与目标投资组合的空头头寸偏好同时，仅多头优化投资组合的集中度随着a的增加而增加。仅多头均值方差投资组合的集中度是最大多元化投资组合所共有的一个有案可稽的特征，这本身就是一个有趣的悖论。在这里，我们通过所谓的有效头寸数Neff来描述投资组合的集中度：=1/hw，其中H是她的最终指数H=Piwi。对于权重相等的投资组合，wi=1/N，因此Neff=N。图3显示了基于风险的投资组合的有效头寸neffo数，作为0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0a0.000.050.100.150.200.25Γx验证协方差矩阵经验协方差矩阵图4的函数。目标投资组合的变化速度Γ作为a的函数。正如预期的那样，Γ是a的递增函数。请注意，与RIE清理协方差矩阵的情况相比，使用原始协方差矩阵会导致Γ的值更大。a、我们看到，这是一个单调的递减函数，从Neff=N=250开始，对于a=0（对应于相等的权重），到非常低的Neff值结束≈ 15~ a=1（MVP）时为N/20。对于b和c的不同值，发现对A的依赖性相似。

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2022-6-24 04:19:22

转换除了集中度之外，依赖逆协方差矩阵的基于风险的投资组合也会导致过度的转换，参见示例【6】。使用与上述相同的bootstrappingmethod，我们可以研究a对营业额的影响。我们在时间tn测量目标投资组合随着两个连续投资组合之间的距离而变化的速度-1和Tn：Γ=NrebNrebXn=1NXi=1 | w*i（n）- w*i（n-1） |，，（18）其中Nrebis是再平衡事件的数量（这里每两个月进行一次再平衡）。结果如图4所示。正如所料，Γ是a的单调函数，在a=0和MVP情况a=1之间增加10到20倍。一个有趣的结果是营业额显著减少（减少了一个因素~ 2）当使用干净的协方差矩阵而不是其更易波动的原始对应矩阵时。四、不可知分配：一种特殊利益的特殊情况在前一节中提出的目标投资组合的连续统中，一个参数的选择起着特殊的作用，并导致所谓的不可知分配投资组合（AAP）。在这一节中，我们回顾了Benichou和al。A、在目标投资组合的构建中，普通AAPAAP对应于A=1/2，b=c=0，longonly版本将被要求尽可能紧密地跟踪。如第三节C所述，a=1/2对应于风险按比例分配到预测因子在本征模式上的自然投影的情况。为了证明这一选择的合理性，Benichou等人提出从对称性而非优化的角度来思考投资组合多元化[1]。让我们考虑带有协方差矩阵C的回报率r和带有协方差矩阵Q的预测值p。其想法是创建一组独立的、规范化的合成资产及其相应的预测值。

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2022-6-24 04:19:25

使用对称参数，唯一合理的配置是以下特征风险平价投资组合（ERP）：wtERP=ωC-1/2季度-1/2p（19）该投资组合使得风险在协方差矩阵C的所有特征模式上均匀分布【1】——因此被称为ERP。设置Q≡ 只有在确定预测的长期超额回报率（p）在统计上的表现与回报率r本身相似的情况下，才有理由使用C。在这种情况下，可以恢复标准的马科维茨规则wtERP=wtMVP=ωC-1便士。然而，由于特殊的过度回归是难以捉摸和短暂的，对它们的相关性作出假设是危险的。Benichou等人[1]认为，“不可知论”选择Q=1是一种更安全的选择。例如，在两个相关资产A、B的相关系数ρ和一个仅对资产A亮起且对资产B为零的预测器的情况下，马科维茨分配会对交易利差A的风险产生影响（1+ρ）/2-B、打赌预测值的差异将在未来实现。不可知分配更为保守，只分配价差权重的50%。这种简单的方法在期货交易替代贝塔策略（如趋势跟踪或利差交易）时表现非常好。在目前的工作中，我们也提倡对只做多的股票投资组合进行这样的投资组合构建。下面，我们将在long-only情况下对AAP进行更详细的描述。我们讨论了这种组合结构的各种优点，并将其与其他组合结构进行了比较。如图3-4所示，与MVP相比，a=1/2会显著提高港口集中度和营业额。B

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2022-6-24 04:19:29

本节中，我们希望进一步调整AAP，限制其暴露于低风险模式，对于低风险模式，统一预测值p=1没有直观的解释。实际上，让我们研究p=1是如何在协方差矩阵的本征模上分解的。正如所料，1对C，u的顶部特征向量有很大的敞口。这通常被称为“市场模式”，其绝大多数成分在所有股票上都有相同的符号。让我们定义与uas正交的p=1的归一化分量。剩余预测值res:res=1-（1·u）u | 1-（1·u）u |（20）其在C isPres（k）的第k个本征模上的投影：=（1res·uk）（21）-5.-4.-3.-2.-1 0 1对数（λ）-10-8.-6.-4.-2日志（Pres）日志（1+√2N）日志（1N）项目配置图5。1的二次投影Pres（k）对C的特征向量的对数，作为相应特征值λk的对数的函数。N=500，T=3500，美国股票，300个随机选择。这两条垂直线分别对应于对数（1/N）和对数（（1+p2）/N）。λ的值≈ 1.5其中，预交叉值（1+p2）/N对应于k=k*≈ 25、k＞k时*, 重叠被视为不重要。我们想研究Pres（k）作为k的函数≥ 2、如果1个预测值和UK完全独立（即预测值1与第k个模式正交），则会发现压力，k~ 1/N。在这种情况下，基于预测值1res投资于模式k没有什么意义。Pres（k）的依赖关系如图5所示。为了获得稳健的结果，我们再次使用bootstrap方法，在已经使用的相同股票池中选择300个样本，其中N=500个美国大盘股。图5揭示了以下有趣的特征（另见第6节【13】：oPres（k）对于模式k具有可比的量级。

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2022-6-24 04:19:32

25;o 然后，压力（k）有明显的规律性下降，下降到k和25在1-sigma水平（1+p2）/N下的“随机”阈值以下在其他地理区域进行时，阈值K也会出现类似的行为*对应于≈ 池大小N的5%。这些观察结果促使我们截断k以上的AAP结构*为了避免暴露在长时间可预测性很低的模式上。有趣的是，这也具有不交易大k、小风险模式的效果，这些模式会产生巨大的影响成本。因此，我们的最终特征稀疏不可知分配目标投资组合为：wtS AA=ωk*Xk=1（1·uk）ukpλk（22），带k*= 5%×N。此目标投资组合可输入最优跟踪问题（10），以获得我们提倡的仅长AAP。五、仅长期AAP：经验结果A。方法学在本节中，我们比较了AAP与其他基于风险的方法在5个主要投资组合中的表现和特点：美国大盘股、欧洲（包括英国）、日本、澳大利亚和加拿大。交易池的构建详见附录A。竞争方法有：o不可知分配投资组合（AAP）o（特征-）稀疏不可知分配投资组合（S-AAP）o最大多元化投资组合（MDP）o最小方差投资组合（MVP）o等权投资组合（1/N）o市值投资组合（MC）每两个月重新平衡一次，并且所有共享相同的协方差矩阵的后向和干净估计量（详见附录B）。在long onlyconstraint的基础上，我们在所有方法中增加了3%的单一仓位限制，以确保投资组合不会过度集中于任何单一名称的股票。附录C更详细地描述了优化过程。我们使用weeklyreturns计算所有性能指标，但月度回报也会导致非常相似的结果。B

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2022-6-24 04:19:35

结果和解释我们在表一中显示了我们对欧洲股票和其他区域的结果，见附录D。在性能方面，我们的重点是：1。超过无风险利率的年化超额收益率（ER）2。年化总回报（TR）3。年化波动率（Vol）4。相应的夏普比率（SR）在集中度和营业额方面，我们报告：1。非零位置的平均数量2。平均有效位置数Neff3。年化营业额，如下所述。营业额=NrebNrebXn=1NXi=1 | Z（n）w*i（n）- zi（n）w*i（n-1）），（23），其中zi（n）是库存i在再平衡n之间的复合因子- 1和n:zi（n）：=QTn-1<t≤Tn（1+ri（t）），而Z：=Pizi/N是平均复合因子。这种定义是指市值。基于固定股票池的投资组合的营业额为零。欧元，1999年12月-2018年12月AAP S-AAP MDP MVP 1/N MCER 6.4%6.8%4.8%6.5%5.7%2.7%TR 8.4%8.8%6.9%8.5%7.8%4.7%Vol 15.9%16.8%16.2%12.6%20.2%19.8%SR 0.40 0.30 0.51 0.28 0.13号。位置831 861 88 79 868 860Ne f f338 544 50 45 868 158营业额146.4%118.8%235.2%205.4%74.8%16.2%ρ93.7%94.4%82.9%82.5%96.3%100.0%β75.3%80.1%67.6%52.2%98.1%100.0%α4.4%4.6%3.0%5.1%3.1%0.0%表一。欧洲股票库不同投资组合结构的绩效指标。不同的资产组合对应不同的投资组合，每2个月重新平衡一次，并根据流动性不断发展的股票池。ER：超额回报率（无风险利率），TR：总回报率，Vol：波动率，SR：夏普比率。No.Pos：投资组合中非零头寸的平均数量。营业额：平均年营业额，由公式（23）定义。ρ、 β，α：与市值相关的相关性、β和超额回报。basedportfolio（MC）。

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2022-6-24 04:19:39

请注意，当股票进入和退出池时，营业额（MC）为正值。我们结果的显著特点是：o就年化回报和总回报而言，表现最好的是S-AAP（欧洲）、1/N和S-AAP（美国）以及较小区域的MVP。然而，请注意，1/N和MVP在波动性、集中度和营业额方面具有完全相反的性质1/N具有最大的波动性、最大的有效资产数量（按定义）和最小的营业额（MC投资组合除外）；-另一方面，MVP具有最小的波动性（从定义上讲），但也具有最强的集中度（低Neff）和较大的营业额相应地，MVP在所有方面都具有最高的风险调整回报率，即Sharperatios。但这是以以下因素为代价的：1。高营业额，这可能会大大降低成本后的回报2。高度集中，这使得这些投资组合容易受到特殊的“黑天鹅”的影响。这也是“最大化多样化”投资组合的困境，这些投资组合也是最大化集中的！3、“低风险”因素的高风险敞口。从表I中报告的MVP的低平均β中可以清楚地看出这一点，并在附录E中进一步阐述。众所周知，1/N投资组合在样本中表现出奇地好【8】。它们的交易量也很小，但它们的波动性很高，以至于它们的夏普比率总是小于我们的AAP替代方案AAP和更稀疏的AAP显示了所有期望特性之间的有趣折衷，即超额和总回报、集中度和营业额。对于除澳大利亚以外的所有地区（澳大利亚是最小的投资池），S-AAP的波动性小于市值（MC）投资组合的波动性，总回报更大，同时保持合理的营业额、集中度和低风险因素敞口水平。六、

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2022-6-24 04:19:42

结论不可知分配投资组合代表了两大类基于风险的投资组合之间的良好折衷：一类是结构上分配给整个投资领域的投资组合，另一类是在寻求最小化风险相关数量的同时进行一些股票选择的投资组合，通常依赖于收益协方差矩阵的倒数。我们在理论上支持（本征）稀疏不可知分配投资组合构建，并在经验上证明，只有多头S-AAP，没有进一步的信号，比MDP或MVP等标准替代方案提供类似更好的风险调整绩效，尤其是对于大型池。此外，S-AAP的集中度远低于其基于优化的竞争对手，因此其面临的特殊风险较少。最后，S-AAP在投资组合周转率和交易成本方面的要求要低得多（同时仍在交易~ 每年100%的资产）。我们还关注了实施效率：通过使用充分清理的协方差矩阵，可以大幅减少集中效应和过度交易。我们认为，我们的一般不可知分配框架（最初在[1]中设计）与许多其他情况相关。例如，我们在本文中没有考虑添加主动定量股票策略（例如，动量或价值）。人们可以期望AAP超越其马科维茨对手（有关期货领域趋势跟踪的讨论，请参见[1]）。另一个有趣的应用程序是使用整个期货合约领域创建一个仅长期不可知分配策略。我们将这些扩展留给将来的工作。感谢G.Azevedo、R.Benichou、A.Beveratos、L.De Leo、S.Gualdi、C.Lehalle、M.Potters、G。

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可人4

2022-6-24 04:19:45

Simon寻求帮助、灵感和富有洞察力的评论。附录A：计算以下地理区域的仪器池结果。对于每个地区，我们每年根据3个月的回顾性流动性过滤器更新工具组合。在每个再平衡日，我们只考虑在用于计算协方差矩阵的回溯期（1000天）内，可用回报率为95%的股票美国：我们认为罗素3000指数中流动性最强的1000只股票加拿大：我们考虑前500大市值股票，我们从中提取200个最具流动性的股票欧洲：除欧洲大陆的发达市场外，该区域还包括英国。我们考虑2000只最大市值股票，然后从中选择1000只流动性最强的股票日本：我们选择TOPIX指数中流动性最强的1000只股票。o澳大利亚：我们选取500只市值最大的股票，然后从中选出200只流动性最强的股票。附录B：交叉验证的特征值和算法协方差矩阵是基于目标的投资组合构建的关键。由于“真实”协方差矩阵永远不为人所知，并且在缺乏良好先验的情况下，我们必须依靠过去的数据来衡量。如果ri（t）是股票i在时间t的每日回报，那么股票i和j超时t（忽略每日平均回报）的经验协方差写为：CEi，j=TtXt=1ri（t）rj（t），（24），我们以矩阵形式asCE=TR R>（25）R是N×T的矩形返回矩阵。在特征向量的对角基中，onehasCE=NXk=1λEkuE>kuEk（26），其中λE≤ λE≤ ... ≤ λEN≤ 0是与特征向量uE、uE、…、。。。，uENofCE。q=不适用时→ 0，也就是说，当回报数据覆盖很长的历史时，经验方差矩阵预计会收敛到真正的协方差矩阵（如果存在这种情况！）。

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2022-6-24 04:19:48

对于真实样品（即~ T），时间序列的有限性在计算特征值时引入了噪声和系统误差。最小特征值被系统地低估，导致次优投资组合，错误地过度分配给低风险配置。这些也会导致更高的集中度和营业额。清洁相关矩阵的益处已明确确立，且有多种方法可用：有关综述，请参见示例[11]和其中的参考文献。在本文中，我们使用基于交叉验证的特征值估计[14]。它的适应性特别强，因为它允许我们覆盖T<N的情况，并确保特征值严格为正值，而不考虑潜在的缺失数据问题。下面是一个用于计算交叉验证数据值的伪代码算法。设R是N个工具在T周期内的标准化收益矩阵。整个周期内的非规范化协方差矩阵是bci j=TXtri（t）rj（t）=（RR>）i j（27）。该算法在每个时间步计算收益时间序列中某一保留部分的方差的独立估计。在每次迭代中，我们随机抽取10%天不更换的样本（Tout），以构建一个新的回报矩阵Rout∈ RN×Tout。然后，我们可以计算保留天数的非标准化协方差矩阵。bCouti j=ToutXτri（τ）rj（τ）=（RoutRout>）i j（28）“主要”（非保留）周期的协方差矩阵是bcini j=T- 吹牛TXtrtirtj-ToutXτrτirτj（29）=T- 吹牛（RR>）i j-（RoutRout>）i j（30）我们计算特征向量bunkofbcinan，然后计算它们在“遗漏”回报上的方差，从而提供buink特征值的“样本外”估计：bλk：=ToutToutXτNXk（buinkrτk）（31）。该过程重复T次。所得样本外特征值的平均值为。

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nandehutu2022

2022-6-24 04:19:51

我们将交叉验证的特征值作为样本内特征值的函数进行等渗拟合，以便将测量的特征值的层次结构施加在全样本上【15】。图6显示了该过程的结果。Python代码将根据要求在笔记本中提供。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5特征值0.000.250.500.751.001.251.501.752.00清洁的特征值SRAW特征值验证特征值声回归图6。“清洁”特征值作为“样本中”特征值的函数。红色：没有清洁。蓝色：交叉验证。黑色：使用等张平滑进行交叉验证。这是对低风险特征值的放大，使我们能够看到小特征值（低估）和大特征值（高估）的修正。附录C:AAP和基于目标函数的PortfoliosReturns的投资组合构建协议我们依赖于附录A中所述的资产范围，以及CFM的全球股票回报数据库，该数据库是为生产目的精心组装的。为AAP和其他基于优化的方法计算的协方差矩阵使用总回报ri（t）（即，根据股息和其他公司行为进行调整），其横截面归一化为ERI（t）。这是一种典型的调整，试图对回报时间序列进行“stationnarize”，避免对样本中的高波动期进行过度加权。更准确地说；eri（t）：=ri（t）玟PNi=1（ri（t））（32）对于所有区域，我们使用美元回报，因此将自己置于美国投资者的地位。重新平衡和优化为了进行比较，我们每隔一个月底为每个地理区域运行一次所有优化方法。

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2022-6-24 04:19:54

结果不会受到每月（或每日）更新的重大影响，但更频繁的更新会导致更高的年营业额（以及成本）。在每个优化日期，我们计算1000个前交易日（4年）交易池中工具的协方差矩阵。长期回顾期是有利的，因为它自然会减少营业额。我们引入了一个安全的2天延迟，确保使用优化日期可用的信息。包含在交易池中但不可用价格超过50（5%）的股票不包括在投资组合中。为了将所有方法放在平等的基础上，我们使用附录B中描述的交叉验证方法计算所有方法的协方差矩阵。如本文正文所述，这对投资组合的营业额有着显著的影响，特别是对于“a=1”方法（MVP和MDP）。对于相关目标投资组合wt，在每个优化日期解决的优化问题是（10），更严格的单名约束为3%：这是基于风险的投资组合的区域性实施的合理水平。该约束将主要影响“a=1”方法，帮助他们避免极度集中的配置。可以轻松添加与不同司法管辖区（如UCITS）的浓度限制相对应的约束。w*= arg最小值（w-wt）>C（w-wt）以0为准≤ wi公司≤ 0.03NXj=1wj（33）根据要求，此优化问题的Python代码和文档也将在笔记本中提供。附录D：美国、日本、加拿大和澳大利亚的表格说明：见表IUS，1993年12月至2018年12月AAP S-AAP MDP MVP 1/N MCER 7.1%7.3%5.0%6.7%7.5%6.0%TR 10.1%10.3%7.9%9.6%10.5%8.9%Vol 14.3%16.6%15.4%11.2%19.6%17.1%SR 0.5 0.44 0.32 0.6 0.38 0.35No。销售时点情报系统。

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2022-6-24 04:19:58

765 812 117 82 819 816Neff279 500 56 44 819 167营业额143.1%139.9%231.8%172.7%92.8%19.9%ρ93.4%94.6%80.5%76.9%95.6%100.0%β77.9%91.7%72.7%50.1%109.7%100.0%α2.4%1.8%0.7%3.7%0.9%0.0%JP，1997年9月至2019年1月亚太地区S-AAP MDP MVP 1/N MCER 2.0%1.9%-1.6%2.8%1.8%0.0%TR 4.4%4.3%0.7%5.2%4.2%2.3%Vol 18.2%18.8%20.5%15.4%21.0%19.8%SR 0.11 0.1-0.08 0.18 0.09 0.0否。位置472 474 62 53 474 474Neff232 346 44 39 474 100营业额133.2%119.9%213.5%170.1%85.7%12.4%ρ94.0%94.8%85.0%79.3%95.4%100.0%β86.3%90.0%87.6%61.7%100.7%100.0%α2.0%2.0%1.6%2.8%1.8%0%CAN，1999年12月-2018年12月AAP S-AAP MDP MVP 1/N MCER 8.4%7.0%10.3%6.6%7.0%TR 10.5%9.8%9.1%12.5%8.7%9.1%Vol 17.7%20.0%19.7%14.9%22.2%20.3%SR 0.47 0.38 0.36 0.69 0.3 0.34否。位置164 164 62 49 164 161Neff97 133 43 38 164 47营业额115.4%105.4%193.8%134.9%92.7%16.7%ρ95.3%96.4%89.4%89.7%96.0%100.0%β83.0%94.9%86.7%65.8%104.8%100.0%a 2.6%1.0%1.0%5.7%0.0%AUS，1999年12月-2018年12月AAP S-AAP MDP MVP 1/N MCER 8.6%8.1%6.5%10.0%7.4%9.2%TR 10.7%10.2%8.6%12.1%9.5%11.3%Vol 22.0%23.4%25.9%19.4%23.7%22.5%SR 0.39 0.34 0.25 0.52 0.31 0.41否。位置157 157 49 50 157 154Neff109 143 39 157 27营业额123.7%102.2%211.7%170.1%87.3%19.1%ρ95.1%96.0%88.6%92.6%96.3%100.0%β92.8%99.8%101.8%79.7%101.3%100.0%α0.1%1.1%2.8%2.7%1.9%0%附录E：低风险和低风险因素我们分析了限制性商业惯例中引入的低风险偏好这篇文章，旨在说明MPV在风险调整后回报方面的表现优于MPV。低风险异常被记录为一个稳健且持久的业绩表现因素【16，17】，尽管主要由基于股息的价值因素解释（参见。

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2022-6-24 04:20:01

[18]).定义我们衡量被测试投资组合对两个记录良好的“低风险”因素的敞口：低vol和低beta。为了构建这些因素的回报时间序列，我们基本上遵循了[18]中所述的程序。波动率（σi）和beta（βi）每种股票的收益率都是以股票收益率的100天滚动标准差来衡量的。beta是通过每个区域（指数）中每只股票对MC投资组合的协方差除以指数方差来衡量的，这两个方差都是在100天内计算出来的。我们考虑方差和协方差的3天回报来解释任何超前滞后效应，我们将这些值滞后20个交易日，以排除短期反转。然后对波动率和贝塔值进行排序和移位，以确保信号的中立性：si（t）=Nrankσi（t）-1（34）然后，我们构建相应的收益时间序列。为了补偿低风险投资组合的结构性做空市场偏差，我们计算了这些时间序列对相应MC投资组合的100天贝塔系数，并有2天的滞后，以确保因果关系。此外，为了使损益保持平稳，我们使用标记的100天滚动波动率估计将其波动率控制在10%（任意）的目标。风险敞口和解释我们衡量每个低容量和低贝塔系数的相关性：o所有竞争风险投资组合的回报率（ρ）。o所有竞争投资组合的回报率根据其（2天滞后滚动100天）贝塔调整为MC投资组合（ρ*), 因此，代表了每个投资组合的“特殊”超额回报。我们总结了以下主要结果：o在所有地理区域，两个低风险因素都与MVP高度相关。这表明这种投资组合构建方法具有一致的低风险偏向。

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2022-6-24 04:20:04

低β暴露高于低容量暴露。另一方面，MDP对低风险有强烈的负面暴露，尤其是在低容量因素下。该方法的一个预期特征是强调相对于MVP的高挥发性股票1/N投资组合的剩余部分与两个低风险因素都有很强的负相关，因此反映出其相对于基准的较高小盘股风险敞口总体而言，S-AAP和AAP都表现出对低风险因素的中性暴露。AAP S-AAP MDP MVP 1/NEURρLV4.2%3.8%~0.8%20.1%~3.2%ρ*LV-7.9%~9.5%~12.0%~26.1%~42.0%ρLβ8.9%~7.6%~9.8%~26.6%~2.1%ρ*Lβ20.3%17.4%14.5%45.5%~19.7%USρ5.1%3.0%~7.5%24.8%~5.2%ρ*LV-14.6%~23.7%~28.9%~31.7%~61.0%ρLβ7.3%~4.8%~0.6%~26.0%~4.8%ρ*Lβ2.3%-7.1%-10.0%38.5%-48.7%JPρ12.1%11.4%2.2%31.8%5.3%ρ*LV-6.0%~9.6%~22.2%~40.2%~38.6%ρLβ19.2%~17.8%~16.8%~40.2%~9.1%ρ*Lβ22.2%17.7%9.7%57.9%~19.7%可ρLV-0.4%~4.3%~14.0%17.0%~13.4%ρ*LV-13.2%~29.5%~38.9%~32.5%~64.0%ρLβ4.1%~0.5%~4.1%19.8%~9.7%ρ*Lβ2.9%~14.0%~15.9%~39.6%~49.3%AUSρLV0.6%~0.1%~18.0%13.8%~2.5%ρ*LV-31.7%~39.4%~57.5%~10.5%~49.6%ρLβ5.2%~2.6%~5.9%17.0%~0.0%ρ*Lβ-4.6%~15.6%~25.0%~28.3%~26.2%表二。低vol（LV）和低beta（Lβ）因子与每种投资组合构建方法的相关性（ρ），以及它们在MC投资组合上的残差（ρ*).[1] Benichou，R.、Lemperiere，Y.、Sérié，E.、Kockelkoren，J.、Seager，P.、Bouchaud，J.P.&Potters，M.《不可知风险平价：驯服已知和未知未知》。《投资策略杂志》。6.10.21314，（2016）[2]Haugen，R.和Baker，N.资本化加权股票组合的有效市场失效。投资组合管理杂志。17（3），35–40，（1991）[3]Clarke，R.，de Silva，H.和Thorley，S.美国股市中的最小方差投资组合。投资组合管理杂志。33

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2022-6-24 04:20:07

10-24., （2006）[4]Clarke，R.、De Silva，H.和Thorley，S.最小方差投资组合构成。《投资组合管理杂志》，31（2）：31-45（2011）[5]Maillard，S.，Roncalli，R.&Teiletche，J.《等权重风险贡献投资组合的性质》。《投资组合管理杂志》，36，60-70。，（2010）[6]Demey，P.、Maillard，S.和Roncalli，T.基于风险的指数化。Lyxor白皮书。https://ssrn.com/abstract=1582998，（2010）[7]Choueifaty，Y.&Coignard，Y.走向最大多元化。投资组合管理杂志。35.40-51., （2008）[8]Windcliff，H.和Boyle P.，1/n养老金计划之谜，北美精算杂志。8.32-45，（2004）[9]Michaud，R.O.，马科维茨优化之谜：是否“优化”了？。《金融分析师杂志》，45（1），31-42。（1989）[10]Lehalle，C.A.和Simon G.，《具有主动策略的投资组合选择：仅约束多长时间形成成功》。工作文件，（2019年）【11】Bun，J.、Bouchaud，J.P.&Potters，M.，《清洁相关矩阵》，风险杂志，（2016年）【12】Fernandez，P.CAPM：荒谬的模型。《商业估价评论》，2015年，第34卷，第1期，第4-23页。[13] Allez，R.，&Bouchaud，J.P.，《特征向量动力学：一般理论和一些应用》。PhysicalReview E，86（4），046202（2012）[14]Bun，J.，Bouchaud，J.P.，&Potters，M.，相关随机矩阵特征向量之间的重叠。《物理评论》E，98（5），052145（2018）[15]M.Potters等人，《准备中》（2019）。[16] Ang，A.、Hodrick，R.J.、Xing，Y.，&Zhang，X.《波动率和预期收益的横截面》。《金融杂志》，61（1），259-299（2006）。[17] Ang，A.，Hodrick，R.J.，Xing，Y.，&Zhang，X.。高特质波动率和低回报：国际和美国的进一步证据。《金融经济学杂志》，91（1），1-23（2009）。[18] Beveratos，A.，Bouchaud，J。

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