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2022-06-24
英文标题:
《Variants of the Smith-Wilson method with a view towards applications》
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作者:
Thomas Viehmann
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最新提交年份:
2019
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英文摘要:
  We propose two variants of the Smith-Wilson method for practical application in the insurance industry. Our first variant relaxes the Smith-Wilson energy and can be used to incorporate less reliable market data with a certain weight rather than disregarding it completely. This is particularly useful for deriving yield curves in the IFRS 17 accounting regime, where there is a mandate to incorporate all available market data.   A second variant incorporates the requirement to reach the ultimate forward rate at a prescribed term into the problem formulation. This provides a natural way to fulfil the Solvency II convergence requirement and is more elegant than the current methodology adapting the term-scale parameter to control convergence.
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中文摘要:
我们提出了Smith-Wilson方法的两种变体,用于保险业的实际应用。我们的第一个变体放松了Smith-Wilson energy,可用于将不太可靠的市场数据合并到一定的权重中,而不是完全忽略它。这对于在IFRS 17会计制度中推导收益率曲线特别有用,因为该制度要求纳入所有可用的市场数据。第二种变体将在规定期限内达到最终远期利率的要求纳入问题公式。这提供了一种自然的方式来满足Solvency II的收敛要求,并且比当前采用期限规模参数来控制收敛的方法更加优雅。
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分类信息:

一级分类:Quantitative Finance        数量金融学
二级分类:Risk Management        风险管理
分类描述:Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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2022-6-24 04:42:39
Smith-Wilson方法的变体及其应用Thomas Viehmann*摘要我们提出了史密斯-威尔逊方法的两种变体,用于保险业的实际应用。我们的第一个变体放松了Smith-Wilson能量,可用于将可靠性较低的市场数据合并到一定的权重中,而不是完全忽略它。这对于在IFRS 17会计制度中推导收益率曲线尤其有用,因为该制度要求合并所有可用的市场数据。第二种变体将在规定期限内达到最终远期利率的要求纳入问题公式。这为满足Solvency II convergencerequirement提供了一种自然的方式,并且比当前采用期限尺度参数控制收敛的方法更加优雅。AMS主题分类:91G80在Solvency II的背景下,Smith和WilsonSW[5]的行业标准收益率曲线拟合方法已成为在高流动性掉期(或债券)市场条件下进行收益率曲线外推的首选方法。由于Smith-Wilson方法被选为Solvency II的利率校准方法,因此对其性质进行了广泛的讨论。有关Solvency II实际应用的详细说明以及该方法优缺点的讨论,请参阅技术注释[2]。
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2022-6-24 04:42:42
我们简要回顾了该方法的关键要素和背景在最近的IFRS 17《保险合同会计准则》中进行了回顾。IFRS 17【3】实施指南B44要求:一个实体应最大限度地使用可观察的输入,并且不得替代其自身对可观察市场数据的估计,除非IFRS 13《公允价值计量》第79段中有所描述。与IFRS 13一致,如果需要衍生变量(例如,因为不存在可观察的市场变量),则变量应尽可能与可观察的市场变量一致。丢弃最后一个流动点以外的所有信息的通常方法可以被视为与本指南不一致,可能会限制te Smith-Wilson方法在IFRS 17中的应用。因此,我们在SectionSection\\u vsw\\u weighted2中开发并求解Smith-Wilson公式的加权变量,并在SectionSection\\u vsw\\u application3中展示从掉期数据推导贴现曲线的示例应用程序。史密斯-威尔逊公式的第二个扩展涉及Solvency II规范。因此,希望远期利率达到规定期限(表示为T)的最终远期利率。在当前的EIOPA方法规范中,这大致是通过修改平滑度参数IOPATD的方法实现的【1,第7.D节】。在Section\\u vsw\\u convergence4中,我们使用变量解释推导了Smith-Wilson方法的一种变体,该变体明确包括在问题规范中回归到最终远期利率。*MathInf GmbH,tv@mathinf.eu1简要回顾Smith-Wilson方法SEC\\U reviewSmith和WilsonSW【5】描述了给定asP(t):=e的零息票债券价格的收益率曲线-f∞t+NXk=1ζkW(t,tk)。
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2022-6-24 04:42:45
(1) eq\\u sw\\u bond\\u price这里,t是术语,tkar是校准仪器的现金流时间,f∞是(连续复合的)最终远期利率,zetakare系数与Wilson的核函数W。核函数本身定义为t,τ>0 asW(t,τ):=e-(t+τ)f∞αmin{t,τ}- e-αmax{t,τ}sinh(αmin{t,τ}). (2) 方程wilsons\\u函数当从N个零息票债券(ZCB)P(tj)拟合一条曲线时,系数ζkar作为线性系统的解wζ=(P(tj)- e-f∞tj)Nj=1(3)eq\\u smithwilson\\u coeff\\u系统,对称矩阵Wjk:=W(tj,tk)。ZCB价格函数最小化泛函W(P):=2αZ∞t(ef∞tP(t))dt+2αZ∞t(ef∞tP(t))dt,根据P(tk)=Pkat tk和P(0)=1的值,参见例如SW【5】,也可参考inSheldonSmith【4,第3.1.7节】。实际上,泛函是凸的,直接计算表明,核函数是分布Euler-Langrange方程α在τ处奇点的基本解-3.t(ef∞tW(t,τ))- α-1.t(ef∞tW(t,τ))=λΔτ(t),适当的边界条件为t=0,极限行为为t→ ∞ 确保功能不受限制,价格不受限制。这里,Δτ是τ处的狄拉克分布,λ是施加满足现金流量值的条件所需的长范围乘数。注意,在奇点之外,函数f(t):=ef∞tW(t,τ)满足αtf=α因此,tfand是分段的,奇点将各部分分开,线性组合F(t)=aeαt+be-αt+ct+d.2一个平滑的Smith-Wilson公式,平衡了不太可靠市场价格的平滑度和拟合优度,C\\u vsw\\u加权计算表明Smith-Wilson方法与观测仪器的价格完全匹配,即它是一种内插/外推方法。
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2022-6-24 04:42:48
虽然这通常是需要的,但在某些情况下,我们希望部分地放宽这一硬约束。其中一个例子是上述最新的IFRS 17《保险合同会计准则》。IFRS 17的基石是最大限度地利用市场信息。对于贴现曲线,这就引出了一个问题,即如何处理那些被认为不具有完全流动性的市场的价格。在本节中,我们放宽了需要准确确定校准仪器价格的条件。相反,我们在函数中添加(加权)二次惩罚项。Smith-Wilsonfunctional isEVSW(P)的这种变体:=ESW(P)+XlwlXkcfl(tk)P(0,tk)- P rl.自然,它与原来的功能性ESW有许多相同的特性。特别是,第一个变化的绝对连续部分是相同的,并且第一个变化的单数部分在现金流时间tk集合中再次得到支持。事实上,当仪器价格不完全匹配时,通过定义函数定义,将Smith-Wilson问题重新定义为一个纯粹的最小化问题,这一增强的Smith-Wilson功能化了变量EvSW的变化(Γ-)极限。因此,我们可以允许wl最终为正,按照惯例,如果wl=∞ 如果pkcfl(tk)P(0,tk)=P rl,则函数中的对应项为零,否则为零。和以前一样,可以用威尔逊函数来写极小值,我们对方程形式的极小值感兴趣(eq\\u sw\\u bond\\u price1)。为了解决涉及有限权重的最小化问题,我们需要确定SmithWilson函数ESW的值。
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2022-6-24 04:42:51
为此,我们引入标量乘积hp,PiSW=2αZ∞t(ef∞tP(t)t(ef∞tP(t))dt+2αZ∞t(ef∞tP(t))t(ef∞tP(t))dt。观察涉及利率价格曲线P(t)=exp的产品(-tf公司∞) 消失,我们看到,对于P(t),如方程(eq\\u sw\\u bond\\u price1)中所示,ESW(P(t))=XkXlζkζlhW(.,τk),W(.,τl)iSW=:XkXlζkζlEWkl。系数ewklc可以通过数值计算,也可以通过基本但有点繁琐的分析计算,我们在附录中会这样做。鉴于工具现金流cfei(tk)和价格P REI=1。。。,Nethat我们希望准确地确定现金流cfei(tk)和价格P rWif或i=1。。。,如果我们想用相应的误差权重wi进行拟合,我们将确定剩余价格fp rwi:=√wiP rwi-Xkcfwi(tk)exp(-f∞tk)!andfP rei:=P rei-Xkcfei(tk)经验(-f∞tk)。我们将现金流量大小和矩阵CW和CEWILSON函数与entriesCwil相结合:=√wiXkcfwi(tk)W(tk,tl)Ceil:=Xkcfei(tk)W(tk,tl)。我们想解决二次最小化问题evsw(P(t))=ζTEWζ+Cwζ-fP rw=ζT(EW+(Cw)TCw)ζ- (fP-rw)TCwζ+kfP-rwk,约束条件为ζ=fP-re。最后一项不取决于优化,可以省略。这是一个只有不等式约束的二次极小问题。解和拉格朗日乘子λ由ζλ给出=EW+(Cw)TCw(Ce)TCe!-1(Cw)T(fP rw)fP re!。这使我们能够解析地解决史密斯-威尔逊问题的松弛变量,即最小化EV SW。我们将在下一节中考虑一个实际应用示例。3部分流动市场的应用程序SEC\\U vsw\\U应用程序通常使用流动数据点(在Solvency 2的情况下,通常是深层流动和透明的一部分)。流动性可以通过买卖价差、未偿付量(如债券)或交易量来衡量。
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