Wang获得了澳大利亚ZF研究培训计划（RTP）奖学金的支持。1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5删除0.080.10.120.140.160.180.2 T=1校准的OT LSVUncalibrated OT LSV市场期权的隐含波动率（IV）IV 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5删除0.080.10.120.160.180.2 T=3校准的OT LSVUncalibrated OT LSV市场期权的隐含波动率（IV）IV图6：1个月内未校准和校准的OT LSV模型产生的隐含波动率（IV）偏差外汇市场数据示例中的3个月到期日。0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2交易0.080.10.120.140.160.180.2隐含波动率（IV）IV（T=2 Y校准的OT LSVUncalibrated OT LSV市场期权）0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2交易0.080.10.120.140.160.180.2隐含波动率（IV）IV（T=5 Y校准的OT LSVUncalibrated OT LSV市场期权）图7：未校准和校准的OT LSV市场期权产生的隐含波动率（IV）偏差2的T LSV模型外汇市场数据示例中的年和5年到期日。附录A。引理A.1引理A.1。定义Φ：Cb（λ，X）→ R∪ {+∞} byΦ（r，a，b）=（如果r+F，则为0*（a、b）≤ 0,+∞ 否则如果我们限制其凸共轭Φ的域*: Cb（λ，X）*→ R∪ {+∞} 到M（λ，X），然后Φ*（ρ，\'A，\'B）=Z∧Fd’Adρ，d’Bdρdρifρ∈ M+（λ）和（\'A，\'B）<< ρ,+∞ 否则证据让我们确定Φ*< +∞. 对于任何（ρ，\'A，\'B）∈ Cb（λ，X）*, 利用凸共轭的定义，我们得到Φ*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）{h（r，a，b），（ρ，a，b）i；r+F*（a、b）≤ 0}.如果我们限制Φ的域*至M（λ，X） Cb（λ，X）*, 然后Φ*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）Z∧r dρ+a·d'a+b：d'b；r+F*（a、b）≤ 0.表明可以限制为ρ∈ M+（λ，X）如果Φ*< +∞, 我们假设存在一个可测集E ∧使得ρ（E）<0。由于cb在L中是稠密的，因此存在一系列的负函数ζn∈ 共收敛到1E的Cb（λ）∈ L（dρtdt）。

让我们构造一个序列（rn，an，bn）=(-kζn，外径×1，外径×d）∈ Cb（λ，X），其中k是一个任意的正常数，Om×ndente是一个大小为m×n的空矩阵。很明显，约束r+F*（a、b）≤ 0在（r，a，b）=（rn，an，bn）处满足为F*（外径×1，外径×d）≤ 然后，根据支配收敛定理，我们得到Φ*（ρ，\'A，\'B）≥ 画→+∞Z∧rndρ+an·d'A+bn：d'B=Z∧limn→+∞rndρ=-kZ∧limn→+∞ζndρ=-kρ（E）。如果我们将k发送到单位，函数Φ*bec是无限的。表明有必要有（\'A，\'B）<< ρifΦ*< +∞, 我们假设存在一个可测集E，使得（\'a，\'B）（E）6=0，但ρ（E）=0。同样，由于Cb在L中是稠密的，因此存在函数ζn的序列∈ Cb（λ），使得ζn取值在0和1之间，序列收敛到1E∈ L（dρtdt）。这种序列可以通过使用标准正则化kernel进行1e的卷积来找到。让我们构造一个序列（rn，an，bn）=(-F*（kId×1，kId×d）ζn，kζnId×1，kζnId×d）∈Cb（λ，X），其中k，kare任意常数和Im×ndentes是大小为m×n的全一矩阵。由F的凸性决定*事实上F*（外径×1，外径×d）≤ 0，很明显，约束r+F*（a、b）≤ 0满足（r、a、b）=（rn、an、bn）。然后，根据支配收敛定理，我们得到Φ*（ρ，\'A，\'B）≥ 画→+∞Z∧rndρ+an·d'A+bn：d'B=Z∧limn→+∞rndρ+Z∧limn→+∞an·d'A+Z∧limn→+∞bn：d’B=-Z∧limn→+∞F*（kId×1，kId×d）ζndρ+Z∧limn→+∞kζnId×1·d'A+Z∧limn→+∞kζnId×d:d'B=kXi（'A（E））i+kXi，j（'B（E））ij函数Φ*如果我们发送k，kto，则转到实体+∞ 或-∞, 根据PI（\'A（E））iandPi，j（\'B（E））ij的符号。现在，由于Φ中积分的被积函数*在（r、a、b）中是线性的，如果Φ*是有限的，上确界必须出现在边界处。

T hus，假设ρ∈ M+（λ，X）和（\'A，\'B）<< ρ、 我们有Φ*（ρ，\'A，\'B）=supr+F*（a，b）=0Z∧r+a·d’Adρ+b:d’Bdρdρ=sup（a，b）Z∧a·d'Adρ+b:d'Bdρ- F*（a、b）dρ≤Z∧sup（a，b）a·d'Adρ+b:d'Bdρ- F*（a、b）dρ=Z∧Fd’Adρ，d’Bdρdρ。最后一个等式成立，因为凸和下半连续函数F与其双共轭函数F重合**根据Fenchel–Moreau定理（参见Brezis，2011，定理1.11）。相反，通过Cbin L的密度，让我们选择一系列函数（an，bn）∈ Cb（λ，Rd×Sd）收敛到F（d’Adρ，d’Bdρ）=arg sup（a，b）a·d'Adρ+b:d'Bdρ- F*（a、b）in L（dρtdt，Rd×Sd）。应用支配收敛定理，我们得到Φ*（ρ，\'A，\'B）=sup（A，B）Z∧a·d'Adρ+b:d'Bdρ- F*（a、b）dρ≥ 画→+∞Z∧an·d’Adρ+bn：d’Bdρ- F*（安，bn）dρ=Z∧limn→+∞an·d’Adρ+bn：d’Bdρ- F*（安，bn）dρ=Z∧sup（a，b）a·d'Adρ+b:d'Bdρ- F*（a、b）dρ=Z∧Fd’Adρ，d’Bdρdρ。证明已完成。A、 2引理A.2在这一节中，我们证明了在这种特殊情况下，空间cb和M之间的对偶可以推广到非紧空间[0，T]×rdi。Villani（2003年，附录1.3）对经典最优运输的Kantorovich二重性进行了类似的论证。引理A.2。用Ko表示Cb（λ，X）中的（r，a，b）集，可以用一些（φ，λ）inBV（[0，T]，Cb（Rd））×rm表示，其中φ（T，·）=0（关于“表示”的定义，请参见定理3.5的证明）。LetΦ*: Cb（λ，X）*→ R∪ {+∞} 和ψ*: Cb（λ，X）*→ R∪ {+∞} 由Φ定义*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）{h（r，a，b），（ρ，a，b）i；r+F*（a、b）≤ 0},Ψ*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Ko（h（r，a，b），（ρ，a，b）i-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）。然后，inf（ρ，\'A，\'B）∈Cb（λ，X）*(Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）=inf（ρ，\'A，\'B）∈M（λ，X）（Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）。（31）证明。设C（λ，X）是∧上连续函数的空间，其值在X上，且在单位内消失。

我们分解（ρ，’A，’B）=（ρ，’A，’B）+（Δρ，δ′A，δ′B），使其满足（ρ，’A，’B）∈ M（λ，X）和h（φρ，φ′A，φ′B），（Δρ，δ′A，δ′B）i=0（φρ，φ′A，φ′B）∈ C（λ，X）（读者可参考Villa ni（2003，附录1.3）了解此类装饰的存在。）。因为，M（λ，X）是Cb（λ，X）的子集*, 然后是INF（ρ，\'A，\'B）∈Cb（λ，X）*(Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）≤ inf（ρ，\'A，\'B）∈M（λ，X）（Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）。接下来，我们证明了上述不等式的逆也是有效的。如果Φ*≡ +∞ 或ψ*≡ +∞, 那么证据就微不足道了。因此，我们假设Φ*和ψ*取一些（ρ，’A，’B）的有限值∈ Cb（λ，X）*.对于Φ*, 自C（λ，X）起 Cb（λ，X），我们有Φ*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）{h（r，a，b），（ρ，a，b）i；r+F*（a、b）≤ 0}≥ sup（r、a、b）∈C（λ，X）{h（r，a，b），（ρ，a，b）i；r+F*（a、b）≤ 0}（32）=sup（r、a、b）∈C（λ，X）Z∧r d|ρ+a·d|a+b:d|b；r+F*（a、b）≤ 0.Letχn∈ C（λ）是一系列具有0≤ χn≤ 1在∧和χn上→ 1作为n→ ∞. 序列（χn）的存在源于Urysohn引理（Rudin，1987，引理2.12）。让我们构造一个序列（rn，an，bn）=(-F*（a，b）χn，aχn，bχn）∈ C（λ，X）对于某些（a，b）∈ Cb（λ，Rd×Sd），然后（rn，an，bn）→ (-F*（a，b），a，b）∈ Cb（λ，X）为n→ ∞. F的完整性*（a，b）由F的矫顽力保证。通过F的凸性*事实上F*（外径×1，外径×d）≤ 0，其中Om×ndente表示大小为m×n的空矩阵，很明显，（rn，an，bn）满足rn+F*（安，bn）≤ 0、由于（32）的las t线中的SUPREUM接管了所有（r、a、b）∈ C（λ，X），我们有Φ*（ρ，\'A，\'B）≥ s向上（a、b）∈Cb（λ，Rd×Sd）limn→∞Z∧rnd▄ρ+an·d▄A+bn：d▄B= sup（a、b）∈Cb（λ，Rd×Sd）Z∧-F*（a，b）d▄ρ+a·d▄a+b:d▄b= sup（r、a、b）∈Cb（λ，X）Z∧r d|ρ+a·d|a+b:d|b；r+F*（a、b）≤ 0= Φ*（|ρ，|A，|B）。上述第一个等式由支配收敛定理证明。

上述第二个等式成立，因为如果Φ*是有限的，则上确界必须出现在边界处。对于ψ*, 如果我们将它的域限制为（|ρ，|A，|B）∈ M（λ，X），然后ψ*= 如果（|ρ，|A，|B）满足（14）和（15）或ψ，则为0*= +∞ 否则回想一下，在Ko中，r=-tφ-Pmi=1λiGiδi，a=-xφ和b=-xφ。每当ψ*最后，通过（14）和（15），我们得到z∧r d|ρ+a·d|a+b:d|b-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici=0（r、a、b）∈ 击倒取胜（33）方程式（33）尤其适用于子集合Ko中的（r，a，b）∩C（λ，X）。还有，自从Ko∩C（λ，X）Ko，我们有ψ*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Ko（h（r，a，b），（ρ，a，b）i-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）≥ sup（r、a、b）∈击倒取胜∩C（λ，X）（h（r，a，b），（ρ，\'a，\'b）i-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）=sup（r，a，b）∈击倒取胜∩C（λ，X）（Z∧r dρ+a·da+b：db-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）=sup（r，a，b）∈Ko（Z∧r d|ρ+a·d|a+b：d|b-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）=ψ*（|ρ，|A，|B）。因此，inf（ρ，\'A，\'B）∈Cb（λ，X）*(Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）≥ inf（ρ，\'A，\'B）∈M（λ，X）（Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）。这就完成了证明。A、 3算法2算法2：使用政策迭代的LSV校准数据：欧洲期权的市场价格结果：匹配所有市场价格的校准OT-LSV模型1为k=NT设置初始λ2 do3- 1.

，0 do/*求解HJB方程*/4，如果tk+1等于任何校准选项的成熟度，则5φtk+1← φtk+1+Pmi=1λiGi1（tk+1=τi）6结束/*策略迭代*/7让φnewtk=φtk+18 do9φoldtk← φnewtk10通过φ=φoldtk11求解（26）近似σtkb在t=tk时用ADI方法求解HJB方程（25），并将解设为φnewtk12，而kφnewtk- φoldtkk>13φtk← φnewtk14结束/*计算模型价格和梯度*/15求解（28）通过ADI方法计算模型价格16计算梯度J（λ）乘以（27）17通过L-BFGS算法更新λ18，而kJ（λ）k∞> A.4外汇期权数据到期日期权类型行使隐含VOL M到期日期权类型行使隐含VOL到期日期权类型行使隐含VOL到期日期权1.3006 0.0905买入1.4563 0.1069买入1.2800 0 0.0898买入1.3627 0.10521m买入1.2578 0.0915 1Y买入1.2715 0.1118卖出1.2344 0.0966卖出1.1701 0.1278卖出1.2110.1027卖出1.0565 0.1491买入1.3191 0.0897买入1.5691 0.11001 0.0896买入1.4265 0.10962m呼叫1.2588 0.0933 2Y呼叫1.28890.1168Put 1.2243 0.1014 Put 1.1421 0.1328Put 1.1882 0.1109 Put 0.9863 0.1540Call 1.3355 0.0912 Call 1.6683 0.1109 Call 1.2987 0.0908 Call 1.4860 0.11223m Call 1.2598 0.0955 3Y Call 1.3113 0.1200Put 1.2160 0.1058 Put 1.1308 0.1352 Put 1.1684 0.1185 Put 0.9468 0.1547 Call 1.3775 0.0960 Call 1.7507 0.1107 4呼叫1.3213 0.0953呼叫1.5351 0.11276m呼叫1.2633 0.1013 4Y呼叫1.3306 0.1210输入1.1973 0.1145卖出1.1226 0.1365而卖出1.1236 0.1316卖出0.9152 0.1554卖出1.4068 0.1013卖出1.8355 0.1111卖出1.3329 0.1005卖出1.5835 0.11379m卖出1.2583 0.1068 5Y卖出1.3505 0.1220卖出1.1745 0.1215卖出1.1180 0.1379卖出1.0805 0.1407卖出0.8887 0.1571表4：截至2012年8月2日的欧元/美元期权数据。

现货价格S=1.257美元/欧元。在每个到期日，期权c对应10个delta看涨期权、25个delta看涨期权、50个delta看涨期权、25个delta看涨期权和10个delta看涨期权成熟度1m 2m 3m 6m 9m 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y国内收益率0.41 0.51 0.66 0.95 1.19 1.16 0.60 0.72 0.72 0.72国外收益率0.04 0.11 0.23 0.47 1.62 0.64 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03表5：截至2012年8月23日的国内外收益率（单位%）。参考Abergel，F.和Tachet，R.（2010）。数学金融中的非线性部分积分微分方程。离散Contin。Dyn公司。系统。，27(3):907–917.Avellaneda，M.、Friedman，C.、Holmes，R.和Samperi，D.（1997）。通过相对熵最小化校准挥发性表面。应用程序。数学《金融》，4（1）：37–64。Benamou，J.-D.和Brenier，Y.（2000年）。Monge–Kantorovich传质问题的计算流体力学解决方案。数字。数学84(3):375–393.Bouchard，B.、Loeper，G.和Zou，Y.（2017）。具有线性市场影响和伽马约束的备兑期权套期。暹罗J.控制优化。，55(5):3319–3348.Brenier，Y.（1999年）。保体积映射群上的最小测地线和欧拉方程的广义解。普通纯应用程序。数学52(4):411–452.Brezis，H.（2011）。泛函分析、Sobolev空间和偏微分方程。UniversityText。斯普林格。Brunick，G.和Shreve，S.（201 3）。通过随机微分方程的解来模拟It^o过程。安。应用程序。概率。，23(4):1584–1628.Crandall，M.G.，Ishii，H.，和Lions，P.-L.（1992）。二阶偏微分方程粘度解用户指南。公牛美国。数学Soc。（N.S.），27（1）：1–67。Cuchiero，C.、Khosrawi，W.和Teichmann，J.（2020年）。生成性对抗网络是一种校准局部s-ToCastic波动率模型的方法。风险，8（4）：101。De March，H.和Henry Laborder，P.（2019年）。

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