当风险和不确定性发生冲突时：套利的数学金融学

2022-6-24 04:56:26

当风险和不确定性发生冲突时：套利市场数学金融的量子力学模拟Mone Farinlicore Dynamics GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006 ZurichEmail：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学Narashino校区信息科学高达系2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年1月5日抽象几何套利理论通过将所有资产及其远期动态打包成一个随机的本金捆绑包，重新构建了一个可能允许套利的通用资产模型，其平行传输编码了贴现和投资组合再平衡，以及用这种几何语言表示的谁的曲率度量，市场本身产生的“即时套利能力”。资产和市场投资组合动力学有一个量子力学描述，它是通过量化描述允许套利的市场的随机拉格朗日系统的确定性版本构建的。通过求解Schr¨odinger方程得到的结果与通过求解由变分原理导出的随机Euler-Lagrange方程得到的结果一致，因此具有一致性。内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。52.2市场模型的几何重构：原语。72.3市场模型的几何重组：投资组合。82.4不同几何框架下的套利理论。92.4.1作为主要纤维束的市场模型。92.4.2随机平行运输。

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2022-6-24 04:56:29

102.4.3 Nelson D弱差别市场模型。122.4.4曲率套利。133作为约束拉格朗日系统的资产和市场投资组合动力学144作为薛定谔方程的解的资产和市场投资组合动力学：确定性约束哈密顿系统的量化5通过费曼积分对薛定谔方程的（数值）解245.1从随机Euler-Lagrangian方程到薛定谔方程：纳尔逊的方法。245.2通过费曼路径积分求解薛定谔方程。265.3几何套利理论的应用。266结论27A随机过程的广义导数281引言本文进一步发展了一种称为几何套利理论的概念结构，将一般市场中的套利建模与量子力学联系起来。几何仲裁理论将经典随机金融重新表述为随机微分几何特征，以刻画套利行为。几何套利理论a方法的主要思想包括对由基本金融工具构成的市场进行建模，并将其期限结构作为主要组合。然后，该市场的金融特征（如无套利和均衡）以标准差异几何结构（如曲线）为特征，并与该组合中的自然联系相关联。在理论物理学中，通过提供一个描述物理系统及其动力学的可变框架，可以最好地表述自然法则，而主束理论在理论物理学中被大量利用。

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2022-6-24 04:56:32

这些想法可以被带到数学金融和经济学中去。市场是一个金融经济系统，可以用适当的原则捆绑描述。一个像市场定律在数量变化下的不变性这样的原理可以看作是规范不变性。像“无免费午餐无风险”（NFLVR）和“无无无边界利润无边界风险”（NUPBR）这样的概念具有几何特征，因此具有资本资产定价模型（CAPM）。计量理论是描述经济学的自然语言，这一事实首先由Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下提出（[Ma96]、[We06]）。Ilinski（参见[Il00]和[Il01]）和Young（参见[Yo99]）在一些物理理论的分析中，建议将套利视为规范连接的曲率。独立地，Cliff and Speed（[SmSp98]）进一步发展了Lesaker和Hughston的开创性工作（[FlHu96]），并利用不同几何学的技术（间接用暗喻的措辞提及），在随机建模之前降低资产模型的复杂性。Cliff&Speed的贡献独立于Ilinski、Malaney和Young的贡献。前者将基础金融资产表示为一个指数和一个期限结构的有序耦合，其中指数是以一定数量表示的资产价值，期限结构建模期货价格结构，即基础资产的线性衍生产品。计量变换与线性投资组合结构相关，并通过一组最小的ga UGE来表示金融市场，随机建模将应用于此。但是，《速度与效率》并没有使用微分随机几何的形式主义。

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2022-6-24 04:56:35

相反，Ilinski、Malaney和Young在引入了与膨胀相对应的不同主束结构后，利用连接来定义平行传输。此外，Ilinski是第一个考虑将曲率概念应用于金融市场的人。本文的结构如下。第2节回顾了经典的随机金融和几何福利理论。套利被视为代表市场的本金捆绑的曲线，它决定了与之相关的套利数量。在[Fa15]、[Fa20]和[FaTa20]中省略了证明，其中几何套利理论已经给出了严格的数学基础，利用了随机微分几何的背景，如Schwartz（[Schw80]）、Elworthy（[El82]）、Emery（[Em89]）、Hackenbroch&Thalmaier（[HaTh94]）、Stroock（[St00]）和Hsu（[Hs02]）。第3节将资产、期限结构和市场投资组合的交织动态描述为约束拉格朗日系统，该系统由随机变分原理导出，拉格朗日函数衡量市场允许的套利数量。该约束拉格朗日系统及其随机Euler-Lagrange方程等价于由Legendre变换得到的约束Hamilton系统及其随机Hamilton方程。这些随机哈密顿系统反过来等价于量子力学系统，通过量化哈密顿系统的确定性版本获得。这在第4节中有所展示，在这里我们用量子力学重新表述了数学金融。

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2022-6-24 04:56:39

Schr¨odinger方程描述了资产和市场组合动力学，一旦知道Hamilton算子的谱，就可以对其进行精确计算。在不了解频谱的情况下，仍然可以通过埃伦费斯特定理来确定未来资产价值和市场投资组合名义的纯洁属性。它们的计算值与随机Euler-Lagrange方程的计算值一致，证明了量子力学方法的一致性。此外，我们还证明了对于封闭市场，市场投资组合的名义收益率、资产价值和期限结构是集中的，且序列不相关。因此，生态计量与其自动相关模型或随机波动模型的正确性在于市场不是封闭的：总有一种资产类别尚未建模，财富可以逃逸，破坏了剩余资产类别的不相关相同分配行为。通过将海森伯g的不确定性关系应用于市场的量子力学模型，我们获得了一个更为经济的结果：一个市场上资产价值的波动率及其在市场组合中的权重是相互排斥的，这意味着如果前者增加，后者减少，反之亦然。在第5节中，我们使用费曼路径积分来求解代表套利市场动态的薛定谔方程。附录A回顾并概括了Nelson的tochastic衍生品。第6节结束。2几何套利理论背景在这一节中，我们解释了[Fa15]中介绍的几何套利理论的主要概念，以供证明和示例。2.1经典市场模型在本小节中，我们将总结经典设置，将在第（2.4）节不同几何术语中重新表述。

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2022-6-24 04:56:42

我们基本上遵循[HuKe04]和[DeSc08]。我们假设连续时间交易，交易日期集为[0+∞[.这种假设通常不足以嵌入有限和有限离散时间以及连续时间内具有有限原点的情况。这激发了连续时间随机金融的技术效果。机会的结果由过滤概率空间建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增子σ-代数族∞以及(Ohm, A.∞, P）是一个概率空间。假设过滤A满足通常条件：对于所有t∈ [0, +∞[（右连续性）和A包含∞.市场由j=1、…、指数为的众多资产组成，N、其名义价格由向量值半鞅S给出：[0+∞[×Ohm → Rn由（St）t表示∈[0,+∞[适应过滤A.随机过程（Sjt）t∈[0,+∞[描述了第j项资产在t时的价格，即t=0时的现金单位。更准确地说，我们假设存在第0项资产，即现金，一个严格正的s半鞅，它根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率：人们总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会随时发生变化。因此，现金账户被视为本地无风险资产，而不是其他风险资产。在下文中，我们将主要使用贴现价格，定义为^Sjt:=Sjt/St，代表按当前现金单位计算资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。但是，必须至少有一个非常积极的资产，在我们的情况下，就是现金。

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2022-6-24 04:56:45

如果我们想通过选择其他资产而不是现金作为参考来重新规范价格，即通过将其作为我们的数字，那么该资产必须具有严格的正价格过程。更准确地说，一般数字是一种资产，其名义价格由严格正随机过程（Bt）t表示∈[0,+∞[，这是一个原始资产组合j=0，1，2，…，N。原始资产的贴现价格用半鞅^Sjt：=Sjt/Bt表示。我们假设没有交易成本，允许短期销售。请注意，交易成本的存在可能是对现实模型的严重限制。过滤a不一定由价格过程（St）产生∈[0,+∞[：除价格a以外的其他信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤a。让v≥ 一个v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个可预测的半Martinga le，其中Ite^o integralRtx·dS≥ -v代表所有t≥ 如果一个策略对某些v-可容许，则该策略是可容许的≥ 0、当且仅当Vt=xt·St，即投资组合价值t，由Vt=V+Ztxu·dSu给出时，可接受的策略x称为自我融资。（1）定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是半鞅且（xt）t∈[0,+∞[接受自我融资策略。让我们考虑交易时间T≤ ∞. 当时的投资组合财富由Vt（x）给出：=V+Rtxu·dSu，我们用k表示L的子集(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。我们定义：1。C： =K- L+(Ohm, AT，P）。2、C：=C∩ L∞+(Ohm, AT，P）。3.’C：L中C的闭合∞关于范数拓扑。4、VV：=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值.5.

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2022-6-24 04:56:48

VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV型: V-容许自我融资策略的终端财富。我们说这很令人满意1。（NA），无套利，当且仅当C∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}。2.（NFLVR），没有风险消失的免费午餐，当且仅当'C∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}。3.（NUPBR），无无界风险的无界利润，当且仅当某些V的VVTis在L中有界>0。这三种不同类型的套利之间的关系已在[DeSc94]和[Ka97]中阐明，并证明了以下结果。定理2。（NFLVR）<=> （NA）+（NUPBR）。（2）备注3。我们记得，如【DeSc94，Ka97】所示，（NUPBR）相当于（NAA），即无第1类共融套利，相当于（N A），即无第1类套利。定理4（资产定价的第一个基本原理）。当且仅当存在等价的局部鞅测度时，市场（S，A）满足（NFLVR）条件*.备注5。在资产定价的第一个基本定理中，我们假设价格过程是局部有界的。如果S是有界的，则（NFLVR）等价于marting-ale测度的存在性。但如果没有这个附加假设（NFLVR），则只意味着局部鞅测度的存在，即局部鞅不是鞅。这种区别很重要，因为安全价格过程是严格的局部鞅，而不是概率P下的鞅*与资产价格泡沫的存在有关。2.2市场模型的几何重构：原语我们将介绍第2.1小节中介绍的市场模型的更一般表示，这更适合套利建模任务。定义6。

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2022-6-24 04:56:51

规范是两个A适应实值s半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R称为减容剂，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为估值日期，t：{（t，s）∈ [0, +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。所有t，s必须满足以下特性≥ t型≥ 0：（i）Pt，s>0，（ii）Pt，t=1。备注7。负债和期限结构可以在固定收益的范围之外考虑。任意金融工具映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是金融工具在时间t的价值，用一些数字表示。如果我们选择现金账户，即第0项资产作为num'eraire，那么我们可以使用Djt：=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构e：Pt，是指到期日为s的合成零息债券在t时的价值（以t时的贴现单位表示），在s时交付一单位金融工具。它代表了所选数量的远期价格的期限结构。我们指出，对于描述资产模型的过滤器和TERM结构，没有唯一的选择。例如，如果一组衰减率合格，那么我们可以将衰减率乘以相同的正半鞅，以获得另一组合适的衰减率。当然，期限结构必须根据情况进行修改。“负债”一词显然受到精算数学的启发，并由Smith&Sp e在[SmSp98]中引入。在目前的情况下，它指的是资产价值上升除以严格正的semimartinga le（如果存在这种情况，它可以是州价格浮动，并且是平均值）。无需假设一个偏差是一个积极的过程。

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2022-6-24 04:56:54

然而，如果我们不想让资产成为我们的资产，那么我们必须确保相应的偏差是一个严格正的随机过程。2.3市场模型的几何重组：Port Folios我们现在要引入定义和期限结构的转换，以便组合包含相同（或更少）现金信息的计量表。对于这一点，我们将考虑由同一计量器建模的资产的确定性线性组合（例如，具有不同成熟度的相同信用质量的零资产）。定义8。设π：[0+∞[-→ R是确定的现金流强度（可能是广义的）函数。它引起规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过公式化的πt：=DtZ+∞dhπhPt，t+hPπt，s：=R+∞dhπhPt，s+hR+∞dhπhPt，t+h.（3）备注9。现金流强度π规定了债券现金流结构。根据市场模式l num’eraire计算的债券到期日价值由Dπt给出。根据债券现值计算的债券期货远期价格的期限结构由Pπt，s.命题10给出。现金流向量引起的规范变换具有以下特性：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π*ν、（4）其中* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π* ν） t：=Ztdhπhνt-h、（5）两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。不可逆规范变换与可逆规范变换的卷积是不可逆的。定义11。如果期限结构与到期日不同，则可以将其作为定义为asft的瞬时远期利率的函数写入，s：=-行程Pt，s，Pt，s=expA-Zstdhft，h~a。（6） andrt：=lims→t+ft，s（7）称为短期利率。备注12。

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2022-6-24 04:56:57

消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于所有资产，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以用自然几何语言重新表述第2.1小节中提出的资产模型。给定N个基本资产，我们想要构建一个投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或国家价格波动。市场模型被视为（汇率、期限结构）对的主要组合，贴现和外汇作为一种综合运输，数量作为计量组合的全球部分，套利作为曲率。证明了具有消失风险条件的无免费午餐等价于零曲率条件。2.4.1市场模式l作为主要的光纤束，美国连续考虑一个拥有N个资产和一个数量的市场。一般投资组合的时间t由无minals x的向量描述∈ 十、对于开集X 注册护士。定义6后，通过计量器（Dj，Pj）=（（Djt）t描述由N个合成零债券组成的资产模型∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t），（8）其中dj表示偏差，pj表示j=1的期限结构，N、这可以写成asPjt，s=expA-Zstfjt，udu~a，（9）其中fjis是第j项资产的瞬时远期利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→0+fjt，u。对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RNwe定义文本：=NXj=1xjDjtfxt，u：=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtfjt，uPxt，s：=expA-Zstfxt，udu~a。（10）短速率写入文本：=limu→0+fxt，u=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtrjt。（11）所有可能策略的图像空间readsM：={（t，x）∈ [0, +∞[×X}。（12）在第2.3小节中，介绍了现金流强度和相应的计量转换。

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2022-6-24 04:57:00

它们具有交换半群H的结构：=E′（[0，+∞[，R）={F∈ D′（[0，+∞[）| s upp（F） [0, +∞[是紧的}，（13）其中紧支持分布上的半群运算是卷积（见[H¨o03]，第四章），它扩展了正则函数的卷积，如公式（5）所定义。定义13。市场纤维束定义为gaugesB的纤维束：={（Dxt，Pxt，·）π|（t，x）∈ M、 π∈ G} 。（14）定义可逆变换的现金流强度构成一个阿贝尔群G：={π∈ H |存在ν∈ H s uch thatπ* ν = δ} E′（[0，+∞（15）从命题10中我们得到定理14。市场丛B具有由动作B×G给出的G-主丛的结构-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）（16）G组自由且不同地作用于右侧的B。2.4.2随机并行传输让我们考虑B在Mp上的投影：B~=M×G-→ M（t，x，g）7→ （t，x）（17）及其在（t，x，g）处的差异图∈ B由T（T，x，g）p表示，例如，参见定义0.2.5 in（[Bl81]）T（T，x，g）p:T（T，x，g）B |{z}~=RN×R×R[0+∞[-→ T（T，x）M |{z}~=RN×R.（18）垂直方向为V（t，x，g）B：=kerT（T，x，g）p~=R[0+∞[，（19）和水平的是h（t，x，g）B~=RN+1。（20） B上的Ehresmann连接是投影T B→ VB。更准确地说，垂直投影必须具有形式∏v（t，x，g）：t（t，x，g）B-→ V（t，x，g）B（δx，δt，δg）7→ （0，0，δg+Γ（t，x，g）。（δx，δt）），（21）和水平方向必须为∏h（t，x，g）：t（t，x，g）B-→ H（t，x，g）B（δx，δt，δg）7→ （δx，δt，-Γ（t，x，g）。（δx，δt）），（22），使得∏v+∏h=1B。（23）主纤维束上沿半鞅的随机平行输运是一种我们将用拉托诺维奇积分定义的构造（参见[HaTh94]，第7.4章和[Hs02]第2.3章，对于框架束情况）。

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2022-6-24 04:57:03

通过将确定性时间导数形式化为与Stratonovich积分对应的随机时间导数，可以类似于确定性情况证明存在唯一性。按照Ilinski的想法（[Il01]），我们通过允许将外汇和贴现编码为平行运输这一事实来激励对特定连接的选择。定理15。选择连接离子χ（t，x，g）。（δx，δt）：=鐞DδxtDxt- rxtδtag，（24）B中的平行传输有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的多重应用沿时间方向（t线）的平行运输对应于随机折扣因子的划分。回想一下，必须从Stratonovich的角度理解定义沿时间线平行传输所需的时间导数。我们看到这个bundle是微不足道的，因为它有一个g-lobaltrivialization，但连接不是临时的。2.4.3 Nelson D弱差异市场模型我们继续根据随机差异几何重新构建第2.1小节中介绍的经典资产模型。定义16。N资产的Nelson D弱可微市场模型由Ngauges描述，该模型在时间变量上是Nelson D弱可微的。更确切地说∈ [0, +∞[和s≥ t有一个开放的时间间隔I 因此，对于定义因子Dt：=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s：=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t和参数s中的过程，存在D弱t导数（见附录a）。短期利率由rt定义：=lims→t型-长途跋涉。策略是曲线γ：I→ 由时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由标称值xt的向量给出：=γ（t）。

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2022-6-24 04:57:06

我们用γ表示γtoM的升力，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果策略由闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可容许策略是可预测的，D弱可区分的。备注17。我们需要弱的D-可微性而不是强的D-可微性，因为对交易策略施加先验规律性属性对应于限制与Delba-en和Schachermayer经典概念相关的可容许策略类别。每一个（无）套利考虑都在很大程度上取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能会导致自动排除潜在的竞争机会，导致对FTAP样结果的空洞陈述。经典意义上的可采策略（见第2节）是弱D-可区分的。一般来说，分配取决于自然状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.提案18。弱D-容许策略是自融资的当且仅当ifD（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，抖动Dxt·Dt=0，（25）几乎完全相同。括号h·、·i表示二次协变量的连续部分。在本文的其余部分，除非另有说明，否则我们将只讨论D个不同的市场模型、D个不同的策略，以及在必要时处理D个不同的州价格浮动。AllIt^o过程是可微分的，因此所考虑的可容许策略的类别非常大。2.4.4曲率套利G的李代数isg=R[0+∞[（26）因此是可交换的。g值曲率2形式是通过g值连接1形式asR来定义的：=dχ+[χ，χ]，（27）这意味着，对于所有（t，x，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（T，x）MR（T，x，g）（ξ，η）：=dχ（T，x，g）（ξ，η）+[χ（T，x，g）（ξ），χ（T，x，g）（η）]=dχ（T，x，g）（ξ，η）。

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2022-6-24 04:57:09

（28）注意，作为李代数的交换，李括号[·，·]消失了。命题19（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下质量保持不变：R（t，x，g）=gdt∧ dx[D日志（Dxt）+rxt]。（29）以下结果将套利描述为曲率。定理20（无套利）。以下断言是等效的：（i）市场模型（基础资产和期货的贴现价格为D和P）满足了风险消失条件下的非免费午餐。（ii）存在一个正半鞅β=（βt）t≥0以使贴现率和短期利率满足所有投资组合名义和任何时候的条件Rxt=-D对数（βtDxt）。（30）（iii）存在一个正半鞅β=（βt）t≥0使所有投资组合名义和所有时间条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt的定义和期限结构满足。（31）这激发了以下定义。定义21。当且仅当曲率为a.s.时，市场模型满足零曲率（ZC）。因此，我们依赖于两种不同的无可能性定义得出以下结论：推论22。（NFLVR）=> （ZC）。（32）备注23。正半鞅β=（βt）t≥0在定理20中，在整个文献中被称为定价核心或国家价格偏差。3资产和市场组合动力学作为约束拉格朗日S y stemIn[Fa15]和[Fa20]最小套利原则，表明资产动力学和市场组合选择了保证套利最小化的路径，被编码为衡量套利的拉格朗日约束的Hamilton principleunder约束。然后，根据Cresson和Darses（CrDa07）开发的技术，通过乌勒-拉格朗日方程的随机化过程，推导出描述资产负债、期限结构和市场投资组合的SDE。Cresson和Darses（CrDa07）遵循Yasue（Ya81）和Nelson（Ne01）之前的工作。

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大多数88

2022-6-24 04:57:12

因为我们需要这个设置来进行量化，所以我们在下面简要总结一下。定义24。设γ为市场D-容许策略，δγ、δD、δr为市场策略、贴现率和短期利率动态的扰动。（γ，D，r）相对于给定参数的变化为以下单参数族：7-→ （γ，D，r）：=（γ，D，r）+（δγ，δD，δr）。（33）因此，参数属于0的某个开放邻域∈ R、关于正半鞅β的套利行为可以通过aβ（γ；D，R）：=Zγdt{D log（βtDxtt）+rxtt}==ZTdtxt·（DDt+rtDt）xt·dt+logβ来一致定义，（34），其中x=xt是一种可接受的自融资策略，在曲线γ上取值，套利行为的第一个变量为δaβ（γ；D，R）：=ddaβ（γ；D，R|：=0。（35）这导致以下定义25。让我们为R3N中的两个向量介绍符号q：=（x，D，r）和q′：=（x′，D′，r′）。拉格朗日函数（或拉格朗日函数）定义为asL（q，q′）：=L（x，D，r，x′，D′，r′）：=x·（D′+rD）x·D.（36）自融资约束定义为asC（q，q′）：=x′·D.（37）引理26。自筹策略γ的套利行为是拉格朗日函数与D-容许策略的积分：aβ（γ；D，r）=Zγdt L（qt，q′t）+对数βββ=Zγdt L（xt，dt，rt，x′t，D′t，r′t）+对数ββ。（38）经典力学的一个基本结果允许计算确定性情况下套利行为的极值，作为普通微分方程组的解。定理27（哈密顿原理）。让我们将对时间的导数表示为asddt=：\'，并假设所有观测到的量都是确定性的。

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2022-6-24 04:57:15

在自融资约束下，套利行为的局部极值满足拉格朗日方程δAβ（γ；D，r）=0表示所有（δγ，δD，δr），因此x′t·Dt=0表示所有<==>滴滴涕Lλq′-Lλq=0C（q，q′）：=x′·D=0（39），其中λ∈ R表示自我约束拉格朗日乘数，Lλ：=L- λC.设L=L（q，q′）为非全纯约束C（q，q′）=0的确定性拉格朗日系统的拉格朗日函数。设置Lλ：=L- λC对于约束拉格朗日乘子，动力学由扩展的欧拉方程（EL）给出滴滴涕Lλq′（q，q′）-Lλq（q，q′）=0C（q，q′）=0（40），这意味着确定性解q=qt和λ∈ R满足约束和DDTLλq′Aqt，dqtdt~a-LλqAqt，dqtdt~a=0。（41）定义28。Euler-Lagrange方程的形式随机嵌入是通过形式替换获得的：ddt7-→ D、（42）并允许切线束的坐标是随机的（SEL）DLλq′（q，q′）-Lλq（q，q′）=0C（q，q′）=0（43），这意味着随机解q=qt和随机变量λ满足约束和DLλq′（Qt，DQt）-Lλq（Qt，DQt）=0C（Qt，DQt）=0。（44）设L=L（q，q′）是约束条件C=0的时间间隔I上确定性拉格朗日系统的拉格朗日函数。设置Ξ：=ssQ∈ C（I）| E"iZI | Lλ（Qt，DQt）| dtò<+∞TM. （45）定义29。由f定义的与Lλ相关的作用函数：Ξ-→RQ 7-→E"iZILλ（Qt，DQt）dtò（46）被称为约束C=0下经典作用的随机模拟。对于充分光滑的扩展拉格朗日Lλ，随机过程成为作用泛函f临界点的必要和充分条件是对随机Euler-Lagrangeequations（SEL）的充分满足，正如[CrDa07]第54页定理7.1中所述。此外，我们有以下引理3 0（一致性）。

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大多数88

2022-6-24 04:57:18

下图转换了Lλ（qt，q′t）S//临界作用原理Lλ（Qt，DQt）随机临界作用原理（EL）S//（SEL）（47）4资产和市场投资组合动力学作为Schrodinger方程的解：确定性约束哈密顿系统的量化从确定性理论开始，有两种获得随机理论的方法。第一种方法是Cresson&Darses[CrDa07]采用的方法，它分析确定性拉格朗日系统和等价确定性哈密顿系统，并研究如果我们将所有变量都设为随机变量会发生什么。最大的困难是时间t依赖性，它无法通过路径定义，并且与It^o积分的定义有关，或者与Stratonovich积分等效。由于对应于Stratonovich积分的Stratonovich时间竞争，我们对于两个函数的组合具有相同的链式规则，因此Stratonovich导数的It^o引理具有与确定性函数的链式规则相同的形式。这是Cresson-Darses随机化结构的主要组成部分。他们的结论是，为了求解随机Euler-Lagrange方程或其等价物随机Hamilton方程，必须求解其确定性对应物，并添加一个满足多个约束的零期望随机扰动。这是第3节中总结的方法，已在[Fa20]中执行。从确定性理论中获得随机理论的第二种方法是对确定性系统进行量化。在经典物理学中，人们用牛顿第二动力学定律，或等效的确定性欧拉-拉格方程，或等效的哈密尔顿方程来描述系统的时间演化。

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2022-6-24 04:57:22

在Euler-Lagrange方程中，出现了描述系统的Lagrange函数，而在Hamilton方程中，出现了Hamilton函数。哈密顿函数是通过拉格朗日函数的勒让德变换得到的。量化步骤包括在不确定（实）变量（除时间外）的坐标空间上引入一个L复值函数的希尔伯特空间，在我们的例子x、D和r中：这个坐标空间是流形，希尔伯特空间是这个流形上的一个L空间。我们考虑希尔伯特空间的单位球，其元素被定义为量子力学系统的状态：这些复值函数的绝对值平方与Lnormone的解释是概率密度的解释。为了获得时间动力学，我们必须构造由哈密顿函数导出的哈密顿算子。这个过程被称为哈密顿函数的量子化，根据哈密顿函数的类型，它并不总是一个定义良好的过程。就我们而言，我们很幸运。通过用相应的乘法算子替换流形的坐标函数，并用对流形中相应坐标的偏导数s替换切平面坐标，我们得到了一个可对称化为d的算子，然后将其转化为自伴算子，通过选择一个合适的定义域：Hamilton算子。给定Hamilton算子，我们可以求解chrodinger方程，该方程给出了量子力学初态随时间的演化。最后，我们有两种方法应该是等效的，这将导致相同的解决方案。资产动态和市场投资组合动态。

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2022-6-24 04:57:24

通过第一种方法，我们获得了随机Euler-Lagrange方程的s-Tochasticprocess（xt，Dt，rt）解。用第二种方法，我们得到一个L函数ψt（x，D，r），使得|ψt（x，D，r）|是随机向量（xt，Dt，rt）的概率密度。现在，我们引入资产和市场投资组合动力学的等效量子力学表示。作为量子力学数学的一般背景，请参见[Ta08]和[Ha13]。提案31。汉密尔顿函数H定义为拉格朗日L isH（p，q）的勒让德变换形式：=（p·q′- Lλ（q，q′）| p：=Lq′=-x·（rD）x·D，（48），其中q=（x，D，r，λ）和p：=Lq′=（px，pD，pr，pλ）。因此，在[Kl01]之后，我们将对应于自融资约束C的拉格朗日乘数提升为一个附加动态变量λ及其共轭动量pλ。Lλ的Hessian矩阵是奇异的，这转化为开放式t类附加约束pr=0和pλ=0。证据它通过插入px直接跟随=Lλx′=- λDpD=LλD′=xx·Dpr=Lλr′=0pλ=Lλλ′=0（49）转化为方程（36）和（39）。最后两个方程是对共轭动量的约束。它们是第一类，因为所有i，j的泊松括号中有以下等式{pir，pjr}=0{pλ，pλ}=0{pir，pλ}=0{pir，H}=xiDix·D{piλ，H}=0。（50）提案32。用标准量子化方法得到的自伴哈密顿算子-→ q（乘法运算符）p-→iq（微分算子）（51）isH：=-x·（rD）x·D（52），定义域为om（H）：=nх∈ L（X×R2N+1，C，d3Nqdλ）HИ∈ L（X×R2N+1，C，d3Nqdλ）φ对于所有i，ri=0，φλ=0°。（53）证明。本文直接应用了[Di64]、[Kl01]和[FaJa88]中解释的第一类约束哈密顿系统的量子化过程。备注33。

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大多数88

2022-6-24 04:57:28

哈密顿算子H是一个带真函数的乘法算子，是自伴算子。根据Dirac的第一约束量子化系统理论，如果在时间t=0时满足约束，则对于Schr¨odinger方程的解，它们会自动满足所有时间。由于H并不明确依赖于拉格朗日乘数λ及其定义域中的任何ν，因此我们可以放弃对λ和减记（H）的任何引用：=nД∈ L（X×R2N，C，d3Nq）HИ∈ L（X×R2N，C，d3Nq）φri=0表示所有i，o.（54）定理34。资产和市场投资组合动力学由Schr¨odinger方程的解给出iddtψ（q，t）=Hψ（q，t）ψ（q，0）=ψ（q），（55），其中ψ是满足Cψ=0且rx×R2Ndq3N |ψ（q）|=1的初始状态。解由ψ（q，t）=e给出-iHtψ，（56），其中{e-iHt}t≥0是与自伴Hby Stone定理相关联的强连续酉单参数群。备注35。这是SDE（44）描述的约束随机拉格朗日系统的量子力学公式。|ψ（q，t）|的解释是坐标q:P[qt]在时间tf的概率密度∈ Q] =ZQdq3N |ψ（Q，t）|。（57）因此，如果我们有一个随机变量at=a（p，q，t），通过其数量a的平均值：=aiq、 q，t~a（58）我们可以通过Schr¨odinger和Heisenberg表示酶[at]=（Aψ，ψ）=ZX R2Ndq3NAψ（q，t）(R)ψ（q，t）=ZX x R2Ndq3NAtψ（q，0）(R)ψ（q，0），（59）其中与时间相关的算子at，算子A的Heise nb erg表示为-iHt。（60）与任何可测函数f（at）一样，随机变量at的更高模可以通过这种技术进行计算，asE[f（at）]=（f（A）ψ，ψ）=ZX×R2Ndq3Nf（at）ψ（q，0）(R)ψ（q，0），（61）将问题转化为一个算子微积分。定理36（Ehrenfest）。

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2022-6-24 04:57:30

自伴算子a的期望的时间导数给定为byddt（aψ，ψ）=i（[a，H]ψ，ψ）+A.tψ，ψ~a。（62）Ehr e nfes t结果的直接结果是“能量守恒”定理。推论37。滴滴涕（Hψ，ψ）≡ 0。（63）推论38。市场投资组合的预期价值、资产价值和期限结构的动态见[xt]≡ 常数，常数≡ 常数，常数≡ 常数。（64）证明。它直接遵循Ehrenfest的定理em36，因为乘法运算符x、D和R与Hamilton运算符H共同作用。备注39。注：公式（64）与（[Fa20]）中的公式一致，其中随机拉格朗日方程（44）已显式求解。这些证明了量子力学重新表述与数学金融的一致性和兼容性。现在，我们可以在几何套利理论的随机哈密顿/拉格朗日重表示的标准QM表示中推导Ehrenfest定理的结果。推论4 0。市场投资组合名义、资产价值和期限结构的随机过程（xt）t、（Dt）t和（rt）t随时间相同分布。证据将Ehrenfest定理应用于算子x的任何非负幂是有效的，它独立于不依赖于时间的算子x，因此其分布函数必须是独立的。推论41。ret urns市场投资组合、资产价值和期限结构的随机过程（Dxt）t、（DDt）t和（Drt）t以中心为中心，连续不相关。证据这需要证明名义上的情况，因为对于资产价值和期限结构，名义上的风险是相同的。通过取（64）中第一个等式的时间导数，我们得到[Dxt]=0。（65）设t6=t。通过应用Ehrenfest理论36，我们得到了[xtxt]≡ 常数，（66），其中表示向量分量的分量相乘。

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2022-6-24 04:57:33

因此，与（64）Cov（xt，xt）中的FirsteQuality一起≡ 常数，（67），并通过使用spect区分时间和时间tCov（Dtxt，Dtxt）≡ 0。（68）由于t6=皮重是任意的，我们得出结论，（Dxt）tvanish的任何非零滞后的所有自方差，这意味着该过程是连续非相关的。定理42（海森堡测不准关系）。设A和B是H上的两个自伴算子。相应观测值在状态下的方差∈ dom（A）∩ dom（B）为σД（A）：=kAφ- kAφkkσД（B）：=kBφ- kBφkk，（69），其中k·k和（·，·）是H=L（X×R2N，C，d3Nq）中的范数和标量积。然后，σД（A）σД（B）≥k[A，B]Дk.（70）理论证明可在[Ta08]或[Ha13]中找到。通过将海森堡的不确定性关系应用于我们市场模型的量子力学表示，我们得到了以下命题43。市场投资组合和资产价值的波动性动态满足了他们的需求Var"ADjt"aVarCxjText·Dta≥, （71）对于所有指数j=1，N、证明。对于q=（x，D），我们选择se A：=qiand B：=iqj，通过Theorem42获得，s inc e[A，B]=δi，j，νt=e-itH和ktk=1，σДt（qj）σДtiqj~a≥. （72）现在我们可以确定σДt（qj）=Var（qjt）σДtiqj~a=Var（pjt），（73）和（71）在插入（49）pD的状态方程后=LD=xx·D.（7 4）证明完成。海森堡的不确定性关系有一个有趣的计量经济学结果。在提案71中，我们假设市场力量使套利最小化，市场组合（xt，Dt，rt）的动态是Var"ADjt"aVarcwjtDjta≥, （75）其中wjt：=xjtDjtxt·dt是第j项资产的市场权重。这意味着j-thasset值的波动性越大，其市场权重的波动性就越大，因此（75）已满。备注44。如果我们试图获得共轭变量r和pr的命题71的类比，我们将面临一个技术问题。

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2022-6-24 04:57:36

事实上，我们可以将定理42应用于q=r，但是，第三个等式（49）中计算的sincepr=0，我们无法给出Var（prjt）的解释≡ 0至σДtirj公司6=0，类似于（73）。对于q=D，也会出现同样的困难。示例45。让我们考虑一个没有期货的资产，其中资产贴现价格和市场投资组合名义是布朗过程，St=S+αt+σtWtxt=x+at+stWt，（76），其中（Wt）t∈[0,+∞[是RK中的标准P-布朗运动，对于某些K∈ N、（σt）t∈[0,+∞[和（st）t∈[0,+∞[是RN×K值可微函数，和（αt）t∈[0,+∞[和（at）t∈[0,+∞[是RN值可微函数。系数σ，s，α，a必须满足推论40和41所暗示的某些条件。由于e[^St]=^s+αtVar（^St）=diag（σtσ+t）tE[xt]=x+αtVar（xt）=diag（sts+t）t，（77）我们从推论40推导出条件nsαt≡ 0，位于≡ 0，diag（σtσ+t）=diag（σ+）t，diag（sts+t）=diag（ss+）t，（78）因此结束，^St~ N（^S，σ+）xt~ N（x，ss+）（79），其中推论41自动满足。5薛定谔方程v iaFeynman积分的（数值）解5.1从随机Euler-Lagrangian方程到薛定谔方程：Nelson方法根据[Ne85]第14章，我们考虑满足SDEdξt=b（t，ξt）dt+σ（ξt）dWt的N维黎曼流形的差异，（80）式中（Wt）t≥0是K维布朗运动，b：[0+∞[×RN→ RNandσ：RN→ RN×K（81）是具有适当正则性的向量和矩阵值函数。我们假设σ（q）（q′，q′）：=q′σ（q）σ+（q）q′=NXj=1q′jq′j（82）定义了黎曼度量，并引入了符号vj：=PNi=1（σσ+）j，ivi。我们考虑M上的拉格朗日函数asL（q，q′，t）：=NXj=1"iq′jq′j- Φ（q）+Aj（q）q′jò，（83）对于给定的电位Φ和A。

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2022-6-24 04:57:39

对于分歧（80），Guerra-Morato Lagrangian writesL+（ζ，t）：=NXj=1"ibj（t，ζ）bj（t，ζ）+jbj（t，ζ）- Φ（ζ）+Aj（ζ）bj（t，ζ）+jAj（ζ）ò（84）我们定义（t，q）：=对数ρ（t，q），（85），其中ρ是过程的密度s（ξt）t≥0，andS（t，q）：=E~nZtL+（ξs，s）dsξt=q^o（86）哈密尔顿的游击队原则意味着t+NXj=1bjj+éS=NXj=1"ibjbj+jbj公司- Φ+Ajbj+jbjò，（87），其中，自bj=jS公司- Aj+jR，（88）成为Hamilton-Jacobi方程St+NXj=1(jS公司- Aj）(jS公司- Aj）+Φ-NXj=1年少者年少者-R=0。（89）连续性方程ρt=-NXj=1j（vjρ），（90），其中vj=（bj+bj*) 北京*= 北京- jlogρ，（91）变为Rt+NXj=1(jR）(jS公司- Aj）+S-jAj=0。（92）非线性Hamilton-Jacobi和连续性PDE导出了线性Schr¨odinger方程ψt型=NXj=1Aij- Aj~aij- Aj~a+Φ|{z}=：Hψ，（93）对于薛定谔算子H，如果我们定义概率振幅ψ（q，t）：=eR（q，t）+iS（q，t）。（94）注意ρ（q，t）=ψ（q，t）|。（95）5.2通过费曼路径积分求解薛定谔方程汉密尔顿函数是拉格朗日函数的Legendr E变换：H（p，q，t）：=尼NXj=1pjq′j- L（q，q′，t）ép:=Lq′=q′+A=NXj=1pj公司- Aj公司（pj- Aj）+Φ，（96），通过量化q得到薛定谔算符→ q（乘法运算符）p→我（微分运算符）。（97）薛定谔初值问题的解我ψt=Hψψ（q，0）=ψ（q），（98）可作为初始条件与费曼路径积分的卷积：ψ（y，t）=Zψo（q）丏Zq（t）=yq（0）=qexp丏ztl（u（s），u′（s），s）dsaDu dq，（99）费曼路径积分的近似值可通过对多个可能的路径进行平均得到。

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2022-6-24 04:57:43

如果原始拉格朗日问题必须满足某些约束，则可以在选择路径时强制执行这些约束，以在积分中求平均值。5.3几何套利理论的应用几何套利理论拉格朗日readsL（q，q′，t）：=x·（D′+rD）x·D，（100）对于q:=（x，D，r）∈ R3N，其中x、D和r代表投资组合名义、贴现率和短期利率。考虑中的投资组合必须满足自我融资条件x′·D=0。（101）假设分歧可以单独写为dxt=bx（t，xt）dt+σx（xt）dWtdDt=bD（t，dt）dt+σD（dt）dWtdrt=b（t，rt）dt+σr（rt）dWt，（102）其中bx，bD，br：[0+∞[×RN→ RNσx，σD，σr:RN→ RN×K（103）是具有适当正则性的向量和矩阵值函数。拉格朗日几何套利理论可以写成（83）L（q，q′，t）=尼3NXj=1q′jq′j的形式-é+Φ（q）+3NXj=1Aj（q）q′j，（104）如果我们设置Φ（q）：=-x·（rD）x·D-调整（q）：=-σD-2j，ixix·DAxj（q）：=0 Arj（q）：=0。（105）因此，Schr¨odinger初值问题（98）的解为ψ（y，t）=Zψo（q）CZq（t）=yq（0）=qexpCztxs·（D′s+rsDs）xs·DsdsaDuadq，（106），其中费曼积分在满足约束tx′·D的所有路径上≡ 0。（107）第一个约束由所有路径满足，其中时间是弧长参数。公式（106）可以通过蒙特卡罗方法近似计算，模拟满足约束条件（107）的系统轨迹，从而进行数值计算。6结论通过引入适当的随机微分几何形式主义，可以将随机金融的经典理论嵌入到一个称为几何套利理论的概念框架中，其中市场是用一个主丛建模的，主丛的曲率对应于实际套利能力。

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2022-6-24 04:57:46

市场及其动态可以看作是一个随机拉格朗日系统，或者等效地，可以看作一个随机哈密顿系统。我们没有试图计算随机哈密顿方程的直接解，而是量化了哈密顿系统的确定性版本。然后，资产和市场动力学有一个以薛定谔方程表示的量子力学公式，该公式可以通过费曼积分进行数值求解。Ehrenfest的Theorem和Heisenberg的不确定性关系导致了新的计量经济学结果：在均衡中，资产价值和名义价值的最小套利回报率是集中的，且连续不相关；资产价值及其在市场投资组合中的相应权重的方差不能都很小：如果一个增加，另一个减少，反之亦然。随机微分几何中S-tochastic过程的广义导数可以将随机分析的构造从N维可微流形的开子集提升到N维可微流形。为此，需要图表不变的定义，因此需要一个满足通常链式规则而不是其^o引理的随机演算（参见[HaTh94]，第7章，以及第4章第200页开头的重新标记）。这就是为什么关于几何套利理论的论文主要关注Stratonovich的se nse中的随机积分和导数，而不是It^o中的随机积分和导数。当然，在共同计算结束时，Stratonovich积分可以转换为It^o。请注意，一个基本的投资组合方程，自融资条件不能直接用Stratonovich积分形式表示，但首先用it^o，然后转换为Stratonovich，因为这是一种非预期条件定义46。

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2022-6-24 04:57:49

设I为实区间，Q=（Qt）t∈概率速度上的一个RN值随机过程(Ohm, A、 P）。过程Q确定了σ-代数的三个σ-子代数族：（i）“过去”Pt，由RNby all映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<s<t.（ii）“未来”Ft，由RNby所有映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<t<s.（iii）“Present”Nt，由RN中Borel集的前像通过映射Qs生成：Ohm → 注册护士。设Q=（Qt）t∈Ibe连续。假设存在以下限制，Nelson的随机导数定义为dqt：=limh→0+E"iQt+h- Qth公司Ptò：正向导数，D*Qt：=limh→0+E"iQt- Qt-hh小时Ftò：后向导数，DQt：=DQt+D*Qt：平均导数。（108）设S（I）所有过程的集合Q，使得t 7→ Qt，t 7→ DQT和t 7→ D*Qtare从I到L的连续映射(Ohm, A）。设C（I）S（I）关于normkQk的完成：=supt∈我kQtkL(Ohm,A） +kDQtkL(Ohm,A） +kD*QtkL(Ohm,（A）.（109）备注47。随机导数D，D*和D分别对应于It^o、预期和Stratonovich积分（参见[Gl11]）。进程空间C（I）C包含所有It^o进程。如果Q是一个马尔可夫过程，那么向前和向后导数定义中的西格玛代数Pt（“过去”）和Ft（“未来”）可以用西格玛代数Pt（“现在”）代替，参见（【Gl11】中的第6.1章和第8.1章）。可以在ω中逐点定义随机导数∈ Ohm 类外Cin的广义函数术语。定义48。设Q:I×Ohm → RNbe测试过程中的连续线性函数Д：I×Ohm →RNforД（·，ω）∈ C∞c（I，RN）。我们的意思是，对于固定ω∈ Ohm 泛函Q（·，ω）∈ D（I，RN），连续分布的拓扑向量的速度。

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