指数函数下的电力欧式期权定价

2022-6-24 06:00:10

相反，在跳跃-扩散过程中，期权的估值仍然是一个开放的话题，因为额外的跳跃项使期权价格的计算复杂化。几位作者对此进行了调查，如【5】、【24】和【30】。我们可以区分这些作者使用的两种主要方法。第一种方法依赖于基于傅立叶变换的方法，由Carr和Madan【9】引入，用于定价和分析欧式期权价格。许多其他作者也遵循同样的想法来评估期权价格。其中，第1名为【10】、【14】、【22】和【3 1】。这种方法的优点在于，当特征函数可用时，计算效率高。这里的想法是应用直接贴现期望法来评估基础过程的贴现收益和风险中性密度函数的积分。连续和离散傅立叶变换成功地应用于指数L'evy模型的优先选择：经典的Black-Scoles模型（连续指数L'evy模型）、Merton跳跃扩散模型（具有有限到达率的n指数L'evy模型），方差伽马模型（这是一种指数L'evy模型，具有有限的跳跃到达率）。然而*喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）699 299 181，电子邮件：kegnenlezom@gmail.com+喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）699 299 181，电子邮件：patricetakam@gmail.com喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）652 620 452，电子邮件：ambogso@gmail.com§喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。

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2022-6-24 06:00:13

电话：（+237）699 299 181，电子邮件：yemvudu@yahoo.frfor在许多其他跳扩散过程中，即使应用L'evy-Khinchin表示来确定特征函数的解析表达式，也不可能实现。这可能是由于扩散过程的复杂性，或者两个或多个过程组合在同一个模型中。因此，人们期望用特征函数的近似值来评估期权价格。接下来的辩论是如何选择一个好的近似值。事实上，当特征函数无法明确表示时，Fouriertransform方法需要两级近似，这增加了期权估价的误差水平。为了减少近似误差，一些作者（如[2]、[6]、[11]提出了第二种方法，即基于Feynman-Kac公式的方法。该方法将风险中性估值公式与偏微分方程（PDE）的解（当模型为连续指数l'evy时）或连续l'evy过程的局部积分微分方程（PIDE）的解相关联。偏微分方程（PDE）可能很复杂，其理论分析需要新的数学工具。然而，经过一个数值近似步骤后，该解直接得出选项的值。所以，我们有一个近似水平。然而，近似的理论分析（格式的一致性、稳定性和收敛性）仍然是一个挑战。文献中使用了几种有限差分方案（参见[2]、[12]和[28]）。这些工作大多集中于当标的是由L'evy过程或指数L'evy过程驱动时的期权定价。

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2022-6-24 06:00:16

一些主要差异与局部积分项有关，这是因为一方面，风险中性密度的近似值通常涉及有限的求和，另一方面，局部积分项需要在理论和数值层面上进行特殊处理。我们可能还有其他困难，如期权价格的平稳性，甚至扩散系数的退化性。为了克服这种差异，Grandall和Lions[13]为PDE引入了粘度溶液的概念，更一般地说，为PIDE引入了粘度溶液的概念（参见例[2]和[6]）。准确地说，可以将积分微分算子分为局部和局部p部分，然后使用隐式步骤处理局部项，使用显式步骤处理局部项。Cont和Voltchkova【12】应用了这一思想，以获得比之前更好的期权价格近似值。在这项工作中，我们应用基于Feynman-Kac公式的方法来评估跳跃扩散模型中的期权价格，该模型代表了价格上限原则下受监管市场中的电力现货价格。实际上，在这种情况下，跳扩散过程的特征函数是不可用的。在下一节中，我们将介绍跳扩散模型并陈述主要假设。然后，我们利用电力价格的马尔可夫性，在第3节中证明欧洲期权价格解决了一个线性PI DE。在第4节中，我们应用显式-隐式格式数值计算前一节中提供的PIDE的粘性解。研究了该格式的一致性、稳定性和收敛性。

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可人4

2022-6-24 06:00:19

近似方法与[12]相似，只是与他们的工作相反（i）市场价格是指数evy过程和L evy过程的总和，（ii）该附加项（见方程式2）的存在在各级分析中产生了额外的差异，因为它仍然取决于过程，（iii）数值模拟中使用的参数是从喀麦隆的背景中推导出来的，并且（iv）还应注意，我们是在时间相关参数的情况下工作的。最后，在光滑初始条件下进行了me数值模拟。2电力现货价格模型我们假设基础资产风险中性动态的形式为dst=（α（t）St-β（t））dt+σtStdWt+（J- 1） Stdqt，（1）α（t）=I（t）- EF（t）和β（t）：=CP（t）+SQ（t）- FU（t），其中：Stre表示电力现货价格过程；I（t）表示通货膨胀率；EF（t）表示效率系数；σ（t）表示波动率；W代表标准布朗运动；CP（t）代表上述情况；SQ（t）表示服务质量处罚（如有）；FU（t）表示不可控成本；J表示比例随机跳跃大小；dq是泊松过程，使得：；dqt=概率为1的0- l概率dt1ldt。在以下假设下：假设1：比例随机ju mp大小J为对数正态分布，E[J]=1。因此，ln J~ N-σJ，σJ.假设2：随机跳跃大小J、泊松过程dqt和扩散dwtar是独立的。该模型的部分灵感来自Littlechild在英国受监管电信市场[23]中提出的经济原则价格上限。这一原则已被重新应用于电力市场[19]。我们将进一步假设电参数α（.），β(.) 和σ（.）是有界的。

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2022-6-24 06:00:23

根据跳跃扩散过程的It^of ormu la，可得出（1）的精确解为t=SeXt-Ztβ（s）外景-Xsds，（2），其中xt=Ztα（s）-σ（s）ds+Ztσ（s）dWs+Ztln Jdqs。3期权价格的偏积分微分方程本部分旨在评估受监管电力市场中期权（看跌期权或看涨期权）的价格，以及风险中性概率Q，终端收益HT，由以下公式得出：Ct=E[E-r（T-t） HT | Ft]，（3）其中r表示自由风险贴现率，t表示到期日，K表示履约价格。设（1）在T处的解，这是基础方程。HT=H（ST），H（S）=（S- K） +对于EuropeanCall或H（S）=（K- S） +用于欧洲看跌期权。根据马尔可夫性质，CtbecomesC（t，S）=E[E-r（T-t） HT | St=S]。（4）提案3.1。假设C给出的欧式期权C：（0，T）×（0，∞) → R（t，S）7→ C（t，S）（5）为C1,2，带C类/S和C类/以S为基础，则C为偏积分微分方程：Ct（t，S）+（α（t）S-β（t））CS（t，S）+σ（t）SCS（t，S）- 钢筋混凝土（t，S）+lZRν（dx）[C（t，xS）-C（t，S）]=0（6）（0，t）×（0，∞) 终端条件C（T，S）=H（S），S>0，其中l 表示风险中性测度下Poisson过程的强度，测度ν（dx）是跳跃大小分布。证据证明包括应用It^o公式和跳跃，如【15】中所示，对鞅C（T，St）=e-rtC（t，St）。然后根据漂移项等于零的事实得出结果。通过构造，C是鞅。

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大多数88

2022-6-24 06:00:26

将It^o公式应用于▄C，我们得到：d▄Ct=e-rt公司-rC（t，St）+Ct（t，St）+σ（t）StCS（t，St）dt+e-rt公司CS（t，St）dSt+e-rt公司C（t，JSt- ) -C（t，St- ) + （J）- 1） St公司-CS（t，St- )dqt。从（1）中，该方程等效于todCt=e-rt公司-rC（t，St）+Ct（t，St）+σ（t）StCSt（t，St）dt+e-rt公司（α（t）St-β（t））CS（t，St）dt+CS（t，S）Stσ（t）dWt+e-rt[C（t，JSt- ) -C（t，St- )]dqt。加减法lZRν（dx）（C（t，Stx）-C（t，St））dt，一个hasdCt=a（t）dt+dMt，其中（t）=e-rt公司Ct（t，St）+（α（t）St-β（t））CS（t，St）+σ（t）StCS（t，St）-rC（t，St）+lZRν（dx）（C（t，Stx）-C（t，St））anddMt=e-rt公司CS（t，S）Stσ（t）dWt+（C（t，JSt- ) -C（t，St- ))dqt,qt=qt时- lt、现在我们证明了Mtis是鞅。因为支付函数H是L ipschitz。然后，C也是关于第二个变量S的solipschitz。I ndeed：| C（t，x）-C（t，y）|=e-（T-t） | E[H（SteXT-Xt公司-ZTtβ（s）扩展-Xsds）| St=x]-E[H（SteXT-Xt公司-ZTtβ（s）扩展-Xsds）| St=y]|≤ 总工程师-r（T-t） E[eRTtα（s）-（1/2）σ（s）ds+RTtσ（s）dWs+RTtln Jdqs]| x- y |，自e起每固定t-RTt（1/2）σ（s）ds+RTtσ（s）dws是一个鞅，我们还从假设1得到E[eRTtln Jdqs]=1，然后我们得到| C（t，x）-C（t，y）|≤ c | x- y | eRTtα（s）ds≤ c | x- y |，c=ceRTtα（s）ds。因此，可预测的随机函数Д（t，x）=C（t，xSt-) -C（t，St-) 满意度：EZTZRν（dx）|Д（t，x）| dt≤ E[ZTdtZRν（dx）c（x+1）St]≤ZRc（x+1）ν（dx）EZTStdt公司< ∞,其中，由于跳跃大小的分布ν（dx）假定为对数正态分布，因此最后一条线的质量保持不变。索引d，wehaveRRxν（dx）<∞, 因此E[RTStdt]<∞. 因此，补偿泊松积分-rt[C（t，xSt- ) -C（t，St- )]dqt是一个平方可积m鞅。因为C是L ipschitz，CS（t，.）∈ L∞和CS（t，.）L∞≤ c、因此，EZTSt公司|CS（t，St）| dt≤ cE【ZTStdt】<∞.此外，利用等距公式和预测结果，得出如下结论：CS（t，St）Stσ（t）dw是一个平方可积函数。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:00:29

因此，mt也是一个平方可积鞅，意味着Ct- mt是一个平方可积鞅。但是▄Ct- Mt=Rta（t）dt也是一个具有有限变化的连续过程，因此，从理论4.13-450in【18】来看，必须有a（t）=0 Q-几乎可以肯定，从而导致PIDE（6）。请注意，对欧式看涨期权所作的平滑性（尤其是衍生品的一致有界性）假设并未如【11】所述进行一般验证。在这种情况下，期权价格应被视为提案3.1中所述PIDE的粘度解决方案。以下命题给出了选项价格和PIDE粘度解决方案之间的联系。提案3.2。（期权价格作为粘性解决方案）由（4）定义的欧式期权的远期价值是Cau-chy问题（6）的（唯一）粘性解决方案。证据文献[2]讨论了这种抛物型积分微分方程粘性解的存在性和唯一性，其中ν是有限测度。在下文中，我们提出了一个PIDE的数值解，该解收敛于粘度解，如【12】中所证明的。4显式-隐式差分格式在本节中，我们给出了一个数值程序，用于求解命题3.1中得到的PIDE（6）。引入变量x=lnss和τ=T的变化- t和定义：u（τ，x）=erτC（t-τ、我们得到：u（τ，x）=EH（SteXT-XT公司-τ-ZTT公司-τβ（s）扩展-Xsds）| St=性别= E[H（Yxτ）]，（7），其中Yxτ=性别+XT-XT公司-τ-RTT公司-τβ（s）扩展-Xsds。

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2022-6-24 06:00:32

然后，我们得到一个关于u的PIDE，由下式给出：uτ=L u，on（0，T）×Ou（0，x）=H（性别），x∈ O、 u（τ，x）=0，x∈ Oc，（8）式中O R是一个不一定有界的开区间，L u（τ，x）=α（T-τ) -σ（T）-τ) -β（T-τ） Sux（τ，x）+σ（T-τ)ux（τ，x）+lZR[u（τ，x+y）- u（τ，x）]glnJ（y）dy，其中glnJ表示lnj的密度函数。该方法的主要思想是将操作符L分成两部分，如【11】所示。我们用有限差分近似代替微分部分，用梯形求积近似代替积分部分。我们用一个显式的时间步来处理积分项，以避免与积分项的离散有关的稠密矩阵的反演问题。然后，我们将PIDE（8）重写如下：uτ=（LD+LJ）u，on（0，T）×Ou（0，x）=H（性别），x∈ O、 u（τ，x）=0，x∈ Oc，（9），其中dU（τ，x）=α（T-τ) -σ（T-τ) -β（T-τ） Sux（τ，x）+σ（T-τ)ux（τ，x），（10）LJu（τ，x）=lZR[u（τ，x+y）- u（τ，x）]glnJ（y）dy.（11）因此，我们使用以下显-隐时间步格式获得近似问题：un+1- 联合国t=LDun+1+LJun。（12）在显示该格式的稳定性和应用离散化之前，必须将方程局部化到有界域。4.1有界域的局部化为了数值求解Cauchy问题（9），我们首先将空间域扩展到有界区间(-Al，Ar）。通常这会导致在x=-Aland x=Ar。但在这里，由于存在积分项，我们处于椭圆曲线中。因此，我们需要扩展函数u（τ，.）到子集{x+y:x∈ (-Al，Ar），y∈ suppglnJ}，其中suppglnJ=R+，是glnJ的支持。

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2022-6-24 06:00:35

设uA（τ，x）为以下本地化问题的解：ul，rτ=（LD+LJ）ul，r，on（0，T）×(-Al，Ar）ul，r（0，x）=H（性别），x∈ (-Al，Ar）ul，r（τ，x）=0，x/∈ (-Al，Ar）。（13）我们将在以下命题中表明，定位误差随域大小A呈指数衰减。命题4.1。假设kHk∞< ∞ Cτ=E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#< ∞. 设ul、r（τ，x）和u（τ，x）分别为柯西问题（9）和（13）的解。然后| u（τ，x）- ul，r（τ，x）|≤ CτkHk∞e-最大值（Al，Ar）+x |，x个∈ (-Al，Ar）（14），其中常数Cτ不依赖于Arand Al.证明。L et Mxτ=supη∈[0，τ]| x+XT- XT公司-η|. Thenul，r（τ，x）=E{Mxτ<max（Al，A r）}H（Yxτ）u（τ，x）=E[H（Yxτ）]。（15）因此| u- ul，r |=EH（Yxτ）1{Mxτ≥最大值（Al，Ar）}≤ kHk公司∞E{Mxτ≥最大值（Al，Ar）}≤ kHk公司∞Q（Mxτ>m ax（Al，Ar）。（16） [29]中的定理25.18和Rre | x |ν（dx）<∞ implyCτ=E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#< ∞. （17） ButQ（Mxτ>m ax（Al，Ar））=Q（eMxτ>emax（Al，Ar））（18）（19），且自supη∈[0，τ]| x+XT- XT公司-η| ≤ supη∈[0，τ]| XT- XT公司-η|+| x |，n{Mxτ>m ax（Al，Ar）}（supη∈[0，τ]| XT- XT公司-η| ≥ 最大值（Al、Ar）- |x |）。亨塞克eMxτ>emax（Al，Ar）≤ Qesupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|>emax（Al，Ar）-|x |！。（20）现在，利用马尔可夫不等式，我们得到qesupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|>emax（Al，Ar）！≤E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#emax（Al，Ar）-|x |。（21）将这些最后的不等式与（（16））g进行比较可以得到期望的结果。4.2积分的截断为了数值计算PID E（9）的积分项，我们需要将积分区域减少到一个有界区间，这将导致大跳跃的截断。然后，我们估计这种近似所产生的误差。准确地说，假设一个新的过程▄St，其特征是跳跃大小ln▄J的对数有界于[Bl，Br]，相关的度量为1{y∈【Bl，Br】}ν，其中，Bland Brare real。我们进一步假设，在没有损失一般性的情况下，Bl<0，Br>0。

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可人4

2022-6-24 06:00:38

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2022-6-24 06:00:41

设（uni）为数值al格式的解，我们定义如下：首先，为了近似积分terms，我们使用具有相同分辨率的梯形求积规则x、让KRLAND KR是这样的【Bl，Br】 [（Kl- 1/2)x、（韩元+1/2）x] ，n:ZBrBl（u（τ，xi+y）- u（τ，xi））glnJ（y）dy韩元∑j=Klνj（ui+j- ui），（31），其中νj=R（j+1/2）x（j-1/2)xgln J（y）dy.注意，要计算积分项，我们需要将解扩展到[-Al+Bl，Ar+Br]。因此，我们假设此解为零，除了[-Al，Ar]。导数采用有限差分法离散化，因此：ux个我用户界面+1- 2ui+ui-1(x）ux个我用户界面+1- 用户界面xif f f（τ，x）≥ 0ui- 用户界面-1.xif f f（τ，x）≤ 0，（32），其中f（τ，x）=α（T-τ) -σ（T）-τ) -β（T-τ）性。利用（31）和（32），假设f（τ，x）<0，我们得到以下关系：un+1i- uni公司t=（LDu）n+1i+（LJu）ni，（33），其中（LDu）ni=f（τn，xi）uni+1- uni公司x+σ（T-τn）uni+1- 2uni+uni-1(x）（LJu）ni=Kr∑j=Klνj（uni+j- uni）。（34）最后，我们将问题（9）替换为以下时间步进数值格式：初始化ui=H（Sexi），如果i∈ {0，…N- 1} 对于n=0，。。。，M-1un+1i- uni公司(t） =（LDu）n+1i+（LJu）niif i∈ {0，…，N- 1} un+1i=0，如果/∈ {0，…，N- 1}.（35）在定义了数值格式之后，我们研究了它的一些重要性质，特别是一致性、单调性、稳定性和收敛性。4.4一致性下列命题表明（35）与（9）一致。提案4.3。（一致性）有限差分格式（35）与方程（9）局部一致：即， v∈ C∞（[0，T]×（Al，Ar）），和（τn，xi）∈ [0，T]×R，一公顷：vn+1i- vni公司(t）- （LDv）n+1i- （LJv）ni-vτ（τn，xi）- （LD+LJ）v（τn，xi）= rni公司(t，x）→ 0（36）as(t，x）→ (0,0). 换句话说，c>0，以便：| rni(t，x） |≤ c类(t+x）。证据

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大多数88

2022-6-24 06:00:44

L et公司a=vn+1i- vni公司t型-vτ（τn，xi）a=（LDv）n+1i- LDv（τn，xi）a=（LJv）ni- LJv（τn，xi）。（37）利用二阶泰勒展开式对τ的响应，我们得到了vn+1i≈ vni+t型vτ（τn，xi）+(t）vτ（τn，xi）。在（（37））中的第一个等式中插入此关系，我们得到：| a |=t型vτ（τn，xi）≤t型vτ（τn，xi）∞=tM，（38），其中M=vτ∞. 现在我们证明了| a |是有界的。根据mea n值定理，存在θ∈]τn，τn+1[这样：LDv（τn+1，xi）- LDv（τn，xi）≈ t型τLDv（τn+tθ，xi）。如果将此关系替换为（（37））中的第二个方程，则：| a |=（LDv）n+1i- LDv（τn+1，xi）+t型τL v（τn+tθ，xi）. （39）接下来，4阶v的ta king Taylor表达式给出：vn+1i+1≈ vni+x个vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）vn+1i-1.≈ vn+1i- x个vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）-(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi），hencevn+1i+1- 2vn+1i+vn+1i-1(x）≈(x）vx个+(x）vx个.将最后一个结果放入（（39））得到：| a |≤(x） | f（τn+1，xi）|vx个+(x）vx个+(x） σ（T-τn+1）vx个+t型|τL v（τn+tθ，xi）|，（40），因为α、σ、β和f是有界函数。此外，由于衍生品m+nvτnxmare b ounded，它意味着：| a |≤ (x） M+商标。（41）还有：| a |=韩元∑j=Klνj（vni+j- vni）-ZBrBl（v（τ，xi+y）- v（τ，xi））glnJ（y）dy=韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（vni+j- vni）gJ（y）dy-ZBrBl（v（τ，xi+y）- v（τ，xi））gJ（y）dy.自【Bl，Br】起 [（Kl- 1/2)x、（韩元+1/2）x] ，那么我们有：| a |≤韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（v（τn，xi+yj）- v（τn，xi+y）glnJ（y）dy,利用一阶泰勒展开式，我们得到：| a |≤韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（yj- y）vx（τn，xi+ψ）glnJ（y）dy,ψ∈]xi+y，xi+yj[。根据方案，我们有x（j- 1/2) ≤ y≤ x（j+1/2），这导致-x个≤ yj公司- y≤x。

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2022-6-24 06:00:47

因此，| a |≤x个韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x个vx（τn，xi+ψ）glnJ（y）dy≤x个vx个∞韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)xgln J（y）dy=xM，（42），其中M=vx个∞韩元∑j=KlR（j+1/2）x（j-1/2)xglnJ（y）dy. 最后，（38）、（41）和（42）表示| rni(t，x） |≤ t型M+M+ x个xM+M→ 0as(t，x）→ (0,0).4.5稳定性和单调性两个性质对于证明粘性解的收敛性很重要：格式的稳定性和单调性。定义4。稳定性方案（32）是稳定的，当且仅当对于某些有界初始条件，其解存在且有界依赖于t和x、一致有界于[0，T]×R。也就是说，C>0，t>0，x>0，i∈ Z、 n个∈ {0，…，M}，| uni |≤ C、如果一个给定的向量v的所有元素都是正的，我们就说它是正的。我们写u≥ v如果u- v≥ 在这一部分中，我们展示了该方案的稳定性，这反过来又意味着离散比较原则，这一性质在金融领域有着重要的解释。这一特性使得使用数值计划计算的期权价值能够检查套利不等式：收益之间的不等式导致期权价值之间的不等式。提案4.5。（稳定性和离散比较原理）如果t型≤ 1.∑Krj=Klνj，方案（32）是稳定的，因此验证了离散比较原则：u≥ 五==> n∈ N*, 联合国≥ 越南。证据首先，考虑（32）的形式：-村+1i-1+（1+at） un+1i- btun+1i+1=1- tKr公司∑j=Klνj！uni+tKr公司∑j=Kluni+jνj，（43），其中c类=(x） σ（T-τn+1）≥ 0a=xf（τn+1，xi）+(x） σ（T-τn+1）≥ 0b=xf（τn+1，xi）+(x） σ（T-τn+1）≥ 0。（44）a和b的正性源于g为正。如果g不是正的，我们改变所用方案中一阶导数的近似值。

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mingdashike22

2022-6-24 06:00:50

无论哪种情况，都有：a=b+c=> 一t=bt+ct型=> 1+at>（b+c）t、因此| 1+at |>|- ct |+|- bt |，意味着（un+1，…，un+1N）上的线性系统矩阵具有严格占优对角，因此是可逆的。因此，线性系统的解存在且唯一。我们现在用数学归纳法证明这个解是有界的。也就是说，如果kHk∞≤ ∞ 是Bounded的初始条件，那么，n∈ N、昆克∞≤ kHk公司∞. （45）根据u的定义，我们有kuk∞≤ kHk公司∞. 假设（45）等于f或n。为了证明它等于n+1，我们假设kun+1k∞> kHk公司∞. 根据k.k的定义∞, 我∈ {0，…，n}这样| un+1i |=kun+1k∞, 和我∈ Z、 | un+1i |<| un+1i |。因为a=b+c，我们可以写，kun+1k∞= |un+1i |=-ct | un+1 I |+（1+at） | un+1i |- bt | un+1i |。（46）此外，作为| un+1i-1 |<| un+1i | a和| un+1i+1 |<| un+1i |我们有KUN+1k∞6.-ct | un+1i-1 |+（1+at） | un+1i |- bt | un+1i+1 |。（47）使用（43）和（47），以及t型≤ 1.∑Krj=Klνj，我们得到：kun+1k∞≤1.- tKr公司∑j=Klνj！uni+tKr公司∑j=Kluni+jνj≤1.- tKr公司∑j=Klνj|uni |+tKr公司∑j=Kl | uni+jνj|≤1.- tKr公司∑j=Klνj！昆克∞+ tKr公司∑j=Klνjkunk∞= 昆克∞≤ kHk公司∞,这与我们的假设相矛盾。因此kunk∞≤ kHk公司∞.提案4.6。（单调性）设unand vn是（32）的两个解，分别对应于一些初始条件f和h，满足f（x）≥ h（x）x个∈ R、如果t型≤ 1.∑Krj=Klνj，然后un≥ vn，n∈ N、证明。定义wn=un- 越南。我们展示了wn≥ 0n∈ N、如命题4.5所示，我们继续归纳。通过构造，我们得到wi=f（xi）- b（xi）≥ 0, 我∈ Z、左侧和右侧≥ 0，并假设：infi∈Zwn+1i<0。自从我∈Z \\{0，…，N}，wn+1i=0，这意味着我∈ {0，…，N}使得wn+1i=infi∈Zwn+1i。使用（43）和t型≤∑Krj=Klνj，我们有∈Zwn+1i=wn+1i=-ctwn+1i+（1+at） wn+1i- btwn+1i≥ -ctwn+1i-1+（1+at） wn+1i- btwn+1i+1=1- tKr公司∑j=Klνj！wni+tKr公司∑j=Klwni+jνj≥ 0，这是一个矛盾。

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大多数88

2022-6-24 06:00:53

之前，infi∈Zwn+1i≥ 0，因此wn+1≥ 0.4.6收敛如上所述，我们的方案（35）是局部一致、稳定、单调的，并且验证了离散比较原理。在PDE有限差分格式收敛的通常方法中，一致性和稳定性确保了在解的正则性假设下的收敛性。这些条件在这里并不充分，因为解可能不是光滑的，并且可能不存在高阶导数。这就是粘性溶液的概念被引入的时候。在二阶准抛物/椭圆偏微分方程中，Barles和Souganidis[7]表明，前椭圆（或抛物）偏微分方程、任何局部一致、稳定和单音有限差分格式在每个紧致子集[0，T]×R上一致收敛到唯一的连续粘性解。Rama Cont和EkaterinaVoltchkova在[11]中表明，数值格式的解在[0，T]×R的每个紧致子上一致收敛于唯一粘性解，即使使用数值格式构造的下解和上解可能不具有一致的连续性。本文研究的PIDE依赖于[11]中的sam假设，除了这里，我们是在有限活动测量的情况下，因为jumpsis对数正态分布的大小。然后我们用同样的技巧证明了显-隐格式（35）对问题（9）的粘性解的收敛性。提案4.7。（显隐格式的收敛性）设H为有界分段连续初始条件，则解u(t，x）在[0，T]×R的每个紧致子集上，该数值格式的解一致收敛于连续问题（9）的解u。证据

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2022-6-24 06:00:56

定义u（τ，x）=liminf(t，x）→（0,0）（t，y）→（τ，x）u(t，x）（t，y）andu（τ，x）=lim sup(t，x）→（0,0）（t，y）→（τ，x）u(t，x）（t，y）。（48）该证明的目的在于显示以下等式u（τ，x）=u（τ，x）=u（τ，x）。在显示这个等式之前，需要一些预备结果。我们首先给出（35）的等价表达式。u（τn，xi）=F[u（τn- t、）]（xi），n=1。。。，M，i∈ 0,..., N、 u（0，xi）=H（Sexi），i∈ 0,..., N、（49）u（τN，xi））=0，N=0，。。。，M/∈ 0,...,N、可以通过以下定义定义4确定49 b的支持和基础解决方案。函数w是49 ifw（τn，xi）的上解≥ F[w（τn- t、）]（xi），n=1。。。，M，i∈ 0,..., N、 w（0，xi）≥ H（Sexi），i∈ 0,..., N、（50）w（τN，xi））≥ 0，n=0，。。。，M/∈ 0,...,N、函数z是49 ifz（τN，xi）的子解≤ F[z（τn- t、）]（xi），n=1，。。。，M、我∈ 0, ...,N、 z（0，xi）≤ H（Sexi），i∈ 0,..., N、（51）z（τN，xi））≤ 0，n=0，。。。，M、我/∈ 0,...,N、为了避免（48）中u和u定义可能不适用的一致连续性和光滑性问题，可以方便地根据9的d亚解和49的super和subsolutions考虑光滑su，并导出与u和u的链接。以下结果将比较原则扩展到super和subsolutions。引理4.9。对于49的任何上解w和下解z，我们有z≤ u≤ w、证明。对于（i/∈ 0, ...,N）或（N=0和i∈ 0,...,N）定义满足了上述不平等。对于n=1。。。，M、我∈ 0,..., N来自格式的单调性，我们有z（τN，xi）≤ F[z（τn- t、）]（xi）≤ F[u（τn- t、）]（xi）=u（τn，xi）=F[u（τn- t、）]（xi）≤ F[w（τn- t、）]（xi）≤ w（τn，xi）。引理4.1 0。设w和z分别是9的光滑上解和下解。那么对于所有ε，存在 > 0，以便t，x，≤ , n≥ 0, 我∈ Z、 Z（τn，xi）-ε<u（τn，xi）<w（τn，xi）+ε证明。

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可人4

2022-6-24 06:00:59

选择0<q（T+1）<ε的q su ch，并设w（τ，x）=w（τ，x）+q（1+τ），注意，常数函数始终是一个解。事实上，从定义中可以看出，该方案是线性的。如果我/∈ 0,...,N、我们有▄w（τN，xi）=w（τN，xi）+q（τ+1）≥ q≥ 0。（52）如果n=0且i∈ 0,...,N、 ~w（0，xi）=w（0，xi）+q≥ H（性别）。（53）如果n≥ 1，我∈ 0,...,N根据模式e的一致性，我们在w中观察到ta（τN，xi）- w（τn- t、 xi）(t）- LDw（τn- t、 xi）- LJw（τn- t、 xi）=w（τn，xi）- w（τn- t、 xi）(t）-LDw（τn- t、 xi）- LJw（τn- t、 xi）+q>0（54）-→wτ（τ，x）- （LD+LJ）w（τ，x）+qast，x个-→ （0,0），（τn，xi）-→ （τ，x），统一于（0，T[×O）。因此对于任何足够小的 > 0，全部t，x个≤ , 我们有w（τn，xi）≥ F【~w（τn- t、）]（xi），n≤ 1.我∈ 0,...,N）。（55）结合52、54和55，表明函数▄w是49的上解。事实上，引理4.9意味着u（τn，xi）≤ ~w（τn，xi）+q（1+T）<w（τn，xi）+ε，n≥ 0, 我∈ Z、这是理想的特性。下限z（τn，xi）-ε可以用同样的方式证明，然后完成证明。继引理52和引理54之后，我们得到了下面的引理4.1 1。设u和u为48的函数定义。对于问题9的任何光滑上解w（τ，x）和任何子解z（τ，x），我们有For（τ，x）∈ [0，T]×O，z（τ，x）≤ u（τ，x）≤ u（τ，x）≤ w（τ，x）。（56）证明。根据上限和下限的定义，引理4.10表示欲望d属性。在给出一些需要的性质后，我们可以开始证明收敛性（即证明u=u=u）。I f H，R上的Hare平滑函数，使得H≤ H≤ H、那么w（τ，x）=E[H（Yxτ）]和z（τ，x）=E[H（Yxτ）]分别是柯西问题9的上解和下解。Fr om引理4。11我们得到56。注意，Ifw（τ，x）-u（τ，x），u（τ，x）-z（τ，x）可以变小，这将影响t极限(t，x）→（0,0）（τn，xi）→（τ，x）u(t，x）（τn，xi）=u（τ，x）。

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2022-6-24 06:01:02

实际上，仍需构造近似值H和H.Letζ，。。。。，ζIbe H的不连续点。我们假设H的跳跃以δ为界。给定ε>0和H，H光滑函数，满足以下关系式sh（x）≤ H≤ H（x）x个∈ R、 | H（x）- H（x）|≤δx个∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε），| H（x）- H（x）|≤εx个/∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε）。我们有w（τ，x）- z（τ，x）=E[H（Yxτ）- H（Yxτ）]≤δQ（Yxτ∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε））+εQ（Yxτ/∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε）（57）≤δQ（Yxτ∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε））+ε。（58）注意到tε>0{Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）}={Yxτ∈ {ζ，….，ζI}}。因为Yxτ有一个绝对连续的分布，所以我们有Q（{Yxτ∈ {ζ，….，ζI}}）=0。因此Q（Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）-→ 0为ε-→ 因此w（τ，x）- z（τ，x）-→ 0为ε-→ 0和不等式z（τ，x）≤ u（τ，x）≤ w（τ，x）与Lemm a4.11一起表示完成pro的预期结果。备注4.12。当τ=0时，格式不会在H的不连续点处收敛到初始条件。这是由于Q（Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）-→ Q（性别∈ {ζ，….，ζI}）=1{x∈{ln（ζS），…，ln（ζIS）}}。然而，这没有实际意义，因为在τ=0.5数值结果下数值计算解并不重要。在本节中，我们讨论了模式实现的细节，并给出了数值结果和一些解释。在开始模拟之前，参数方案如下所示，参数用于影响下表1：方案p a参数M n AlAr1 100 175-0.096 0.079结果与时间无关，如下所示。图1绘出了到期时未到期与剩余时间的不同现货价格的看涨期权。注意，由于剩余时间的增加，所有四种情况下的均值回复和价格上限效应都会导致在上述给定的设定参数下，买入价收敛到零。

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2022-6-24 06:01:06

图2给出了四种不同到期电力现货价格的说明性买入曲线之间的比较。这两个图说明了不同首字母的条件下，期权价格收敛于相同的值。由此我们可以说，在既定条件下，理论上显示的不同性质是有效的。表2：模型参数图r型走向产品1、2、3、4α=0.015β=0.4σJ=0.5l = 1.5σ=0.5 S=50 0.04 K=45调用0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.0050.010.0150.020.0250.030.035τ（剩余时间）C（τ，ST）欧洲调用ST=45.4232 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.8τ（剩余时间）C（τ，ST）欧洲调用ST=46.5731 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.511.522.53τ（剩余时间）C（τ，ST）欧洲调用ST=48.9609 0 0.2 0.4 0.6 0.8 101234τ（剩余时间）C（τ，ST）欧洲看涨期权ST=49.7009图1：到期时现货价格的四个不同值与剩余到期时间的看涨期权0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.511.522.533.54τ（剩余时间）C（τ，ST）欧洲看涨期权ST=45.5141ST=46.5731=48.9609ST=49.7009图2：到期时现货价格的四个不同值与剩余到期时间的看涨期权值的比较45 50550510European CallSC（0，S）45 50 550246European CallSC（0.01，S）45 50 5500.511.52 European CallSC（0.05，S）45 50 5500.10.20.30.4 European CallSC（0.1，S）图3：四种不同剩余时间的买入价格与现货价格45 46 47 48 49 50 51 53 54 55012345678910European CallSC（τ，S）τ=0τ=0.01τ=0.05τ=0.1图4：四种不同与现货价格的买入价格比较图3和4说明了一个与经典金融市场非常接近的现实。

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2022-6-24 06:01:09

从某种意义上讲，在金融市场中，到期前看涨期权的价值以曲线的形式演变，并随着我们接近到期，逐渐向支付线靠拢。45 50 550246810214SC（0.01，S）欧洲看涨期权K=35K=40K=45图5：三个不同的履约价格与现货价格S的看涨期权价格，其他参数不变，如表236 38 40 42 44 46 48 50 52 5400.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045欧洲看涨期权价格（0.1,50.1001）图6：看涨期权价格与履约价格K，安昌e中的其他参数如表234 36 38 40 42 44 46 48 50 52 5400.10.20.30.40.50.60.7欧洲CallstrikeC（0.1，S）S=50.1001S=51.2658S=50.7557图7：买入价格与履约价格K，安昌e中的其他参数如表2所示，从图5、6和7可以观察到，买入价格随着履约价格的增加而减少。看涨期权价值的这种行为是从风险管理的角度来看的。图8和图9的分析图显示了看涨期权价格与剩余时间和现货价格的函数关系，可以说，对于较大的剩余时间跳跃效应是不可察觉的，然后可以影响看涨期权。而剩余的一小段时间内，价格突然上涨，表现出跳跃效应。

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mingdashike22

2022-6-24 06:01:12

因此，我们必须说，考虑到电力市场的某些现实情况的跳跃项并非微不足道，因为它对通话价格的影响非常明显。00.20.40.60.8145505012345678τ欧洲看涨期权现货价格看涨期权价格值图8：看涨期权价格与剩余时间和现货价格σJ=0.5，K=45，其他参数不变，如表200.20.40.60.8145505051015欧洲看涨期权现货价格τ看涨期权价格值图9：看涨期权价格与剩余时间和现货价格σJ=2.5，K=40，表26讨论和结论中未更改其他参数。根据经典解或一般情况下，根据PI DE的粘度解，欧洲期权价格的表征允许使用数值方法获得有效的期权值近似值。最近，这成为了一个研究中心，研究具有有限到达率和有限到达率跳跃的指数L’evy模型。一些作者使用有限差分法来近似PIDE解（见[2]），而其他人则喜欢在期权价格不光滑的情况下使用[12]近似粘度解。在这两种情况下，都取得了成功（在有效近似方面）。在本文中，我们使用他们的方法来评估当边界为电时的欧洲呼叫选项。我们的方法背后的动机来自这样一个事实，即通过假设，本文提出的电价模型具有指数L'evy模型的大多数特性（如在他们的情况下）和马尔可夫过程特性。我们关注看涨期权的定价，因为看跌期权可以从看涨期权平价公式中推导出来。从数学角度来看，数值结果证实了已建立的理论结果。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:01:15

从金融角度来看，当电价上限受到监管时，数值结果给出的解释与电力市场的一些实际情况是一致的。这项工作的一个限制是，它只能适用于监管市场中期限较短的期权定价。在未来的工作中，我们计划研究未来期权的期权定价。致谢我们感谢非洲技术、信息和通信卓越中心（CETIC），该中心为我们提供了基础设施。这有助于我们改善工作条件。参考文献[1]J.阿克顿（J.Acton）和I.Vogelsang（I.Vogelsang），《价格上限监管研讨会：导言》，兰德经济杂志，第20卷，第3691989页。[2] O.Alvarez和A.Tourin，《非线性积分微分方程的粘性解》，庞加莱研究所年鉴，13（3），第293-3171996页。[3] H.Amann，《线性和拟线性抛物问题：抽象线性理论》，Birkhauser第1卷。，1995年。【4】F.Black和M.Scholes，《期权和公司负债的定价》，《政治经济杂志》，第81卷，第3期，第634-6541973页。[5] D.贝茨，《跳跃与随机波动：德国马克期权隐含的汇率过程》，《金融研究评论》，9，69-108，1996年。[6] G.Bales，R.Bu c kdahn，an d E.Pardoux，倒向S-tochastic微分方程和积分偏微分方程，随机。随机的。报告6057-831997年。[7] G.Barle s和P.E.Souganidis，完全非线性二阶方程近似格式的联合收敛，渐近分析。，第271-2831991页。[8] A.Cartea，M.Figueroa，《电力市场定价：具有季节性的均值回复跳-扩散模型》。，应用数学金融12（4），31 3-3352005。[9] P.Carr和D.B。

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2022-6-24 06:01:18

Madan，《使用快速傅立叶变换进行期权估价》，《计算金融杂志》，第2期，第4期，第61-73页，1999年夏季。[10] Chiarella，carl，Ziogas和Andrew，《跳跃扩散过程下的美国看涨期权——傅立叶变换方法》，应用。数学《金融》，第16卷，第1期，第37-79页，2009年。[11] R.Cont，Ekaterina voltchkova，《指数Lvy模型中期权价格的积分微分方程》，《金融与随机》，Springer，2005年。[12] R.Cont，Ekaterina voltchkova，《跳跃扩散和指数所有evy模型中期权定价的有限差分格式》，Siam J.Numer。肛门。第42卷，第1596-16262005页。[13] M.G.Crandall、H.Ishi和P.L.Lions，《二阶偏微分方程粘度解用户指南》，美国数学学会新系列，第27卷，第1期，1992年。[14] S.Deng，《替代随机现货价格模型下的电力衍生品定价》，第33届夏威夷国际系统科学会议论文集，2000年。[15] A.Etheridge，《金融微积分课程》，剑桥大学出版社，第一版，2002年。[16] ENMAX，电力公司2007-2 016基于公式的费率制定，阿尔伯托公用事业委员会，第N0号决定。2009 -035, 2009.[17] A.Hirsa和D.B.Madan，《方差Gamma下的美式期权定价》，计算金融杂志，第7卷，pp。63-80, 2004.[18] J.Jacod和A.N.Shir yaev，《随机过程的极限定理》，施普林格，柏林，第二版，2002年。[19] P.L.Joskow，《激励性监管及其在电网中的应用》，《网络经济评论》，第7卷，第4期，2008年。[20] P.L。

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