类似于步骤3的双面应用程序会释放此假设，并产生tobθU的估计值，*和CJU，我们可以在第3.3节的经济设置和问题规范的背景下，在不完全市场的步骤3/4.4.3中使用近似值。重新调用该环境中的限制集由k=Rd×{0}msuch thateAppxHPBA生存{-λ1，t}×D1,2（[0，t]）mbβtPD1,2（[0，t]）d×RmPD1,2（[0，t]）密度β1，t=-λ1，t。相应地，根据定理3.2读取的近似对偶为fbβU，*2，t∈Rm，YU，*∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，（4.10）该近似规则所涉及的剩余数值效应由步骤1和步骤4产生。步骤4的运行时间是多余的。第1步的差异，如维度，见Detemple等人（2006）。cP、opttcP、optf、TW在这里我们利用了HPBA∩ D1,2（[0，T]）d×Rm={-λ1，t}d×Rm。con-inentPbβU，*2，t实线rm上的值。通过这一调节，我们期望得到大约EBβopt2，t=-bλopt2，tin（3.55）的命题3.5中的一个常数，试图避免以简单的方式求解其前后向方程时的计算紧张。从两面来看，我们能够收集最佳BβU的分析结果，*2，t.具体而言，D{bβU，*2，t}cW{ψt}=-ZTEhψ>tnEhDWtXoptTZbνTi-bβU，*2，tEXoptTZbνToidt=0，（4.11）（4.10）bβU，*2、tcWbe（4.10）中的目标函数。因此，最优近似对偶控制必须遵循βU，*2，t=EXoptTZbνT-1E级DWtXoptTZbνT, 这等于Bβopt2的真FOCin命题3.5，t其初始化点在时间t=0。以同样的方式，于，*我于，*B-1TYT，∏T于，*-1B级-1年- 十、 bκL(Ohm)= 所有bκ为0∈ R+。总之，EhI于，*ZbνT，∏TZbνTi=X，和bβU，*2，t=1.- RG0，T- RtR公司-1G0，T（4.12）推动了一个由两个非线性方程组成的分析系统，我们能够为bβU求解，*2，tYU，*bθU，*tcJU（X）以封闭形式确定其定义。

该方法的两面在此帐户上，其特点是控件和值函数的闭合形式表达式。现在让我们转向原始的一面。为此，请考虑BxOptin命题3.3along和（3.36）中的艺术财富方程。我们通过抑制对xf，t的依赖性，将这个财富过程转化为一个可接受的类比，xf，t然后导致toX*T=X+ZTRf，t+xopt，*,>tσStλ1，t十、*tdt+ZTxopt，*,>tσStX*tdWt。（4.13）这里，xopt，*t包含未定义Bβt的BxOptin（3.39）的Firstd分析条目。这种贸易约束的实施保证了X的可行性*t、 0个≤ t型≤ T、 然而，bβT动力学。为了便于数值确定Bβt，我们定义了BβtHPbA∩ PP（4.10）β1，t-λ1，tbβ2，t∈ D1,2（[0，T]）m。该方法与第4.1节下的描述一致，即Jba0pxx=[xd，0m]>， x=[xd，xm]∈ L(Ohm ×[0，T]）d+m，（4.14）对于无约束P，即P=D1,2（[0，T]）d，我们根据命题3.4发现β1，T=-λ1，t，这是完全确定的。因此，没有理由定义β1，t的参数空间类似于β2，t。这表明xf，t=0m。考虑到如命题3.5所示，基线约束环境M中的实际最优投资组合权重XOPTTM由XOPTTBβopttxf、tmPAt组成，本阶段的程序与ProJBA0PXBXOPTTANDDPROJBA0PXBXOPTTT相同。toXoptTin命题3.5 byX的近似值*Tin（4.13）在预算上是可行的，并且是可以接受的，因为上述命题中的xopttin可用于bβopt2，t∈ D1,2（[0，T]）min（3.55），意味着对照组的D1,2（[0，T]）mtoRmrebβ2，T’s空间的减少不会妨碍xopt，*t=项目JBA0PXBXOPTT∈bAX公司。这些规则起源于gx，t，t=R2，*tE公司-dR2，*t、 t型-ZTthDWt公司Rf，sds+bλf，sdWQbνs我英尺Gx，t，t=R1，*tE公司-dR1，*t、 t型ZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+ ξ∏t英尺（4.15）xopt，*tσSt>-1.R1，*t型-1Gx，t，t-R2，*t型-1.Gx、t、TR2、，*t型-1λ1，t3.5.

独立于所选近似值，即projba0pxbxopt或projba0pxbxoptt，closedform表达式指定近似投资组合决策xopt，*t、 对于anybθL，*t型∈ HPbA公司∩ P、 与前一个投影相关，我们确定BβL，*2，tandYL，*通过数值最大化e[U（X*T、 ∏T）]，以完全识别xopt，*t、 处理DProjba0pxbxopttbθL，*t（4.12）xopt，*t用于完全识别。在这两种情况下，请选择（4.8）。在xopt中，*t、 我们以（3.44）的形式确认了提交toxZ、opt、，*t=σSt>-11- R2，*tGx，t，t和x∏，opt，*t=σSt>-1R1，*tGx，t，t（4.16）与分解xopt一致，*t=xm，opt，*t+xZ，optt+x∏，opt，*t、 其中均值方差有效投资组合规则符合toxm，optt=R2，*t型-1σSt>-1λ1，t。这些合规需求达到RRA系数，该系数包含与命题3.3中所述相同的非交易风险阴影价格的确定性常数：我们还观察到，DWTBλf，s=DWtλ1，s，d×m, 这意味着近似影子价格的确定性和完全独立性。5个数字说明，在明确的经济框架下，评估技术的准确性，预测取决于具体情况；e、 g.关于借款和卖空限制，参见TeplaKx个∈ Rn+| x>n≤ 1.projbA0PXxmaxn、 k级√xk公司-2Rnx0.8 1 1.2 1.4 1.6-1.5-1.-0.500.5K=1U=0XT/πT>KXT/πT≤ KDown StatesUp StatesXT/TUtilityCRRA Dual CRRAFigure 1。等弹性和双CRRA实用程序。该图描述了γ（γd，γu）（10，2）readsK=1（垂直虚线）的效用开发。

AtK=1，该个体绘制零效用，U=0（水平ω∈XT/T≤ Kω∈其中XT/πT>K与上升状态一致，由垂直虚线K=1分隔。对于不完全市场环境，我们在Brennan和Xia（2002）的环境中讨论了结果。本图的核心是我们的双重CRRA效用函数，它是对现有的依赖于状态的偏好条件的一种新的补充。该资格取代了当前经济大纲中的CRRA职能。5.1双重CRRA效用函数我们假设第3.3节中的代理考虑了基准K∈ R+，关于文本/文本/T≤ KKU其中双重CRRA函数包含两个等弹性性质UK（XT，∏T）=（K-1XT/πT）1-γd- 11- γdnXT∏T≤Ko+（K-1XT/πT）1-γu- 11- 风险规避系数γd，γu的γunXT∏T>Ko（5.1）∈ R+\\[0，1]放弃有限效用，参见Kramkovand Schachermayer（1999）。为了根据所描述的情况召开（5.1），我们假设γd≥ γu。因此，我们认为，下行状态对应于增强。该金融市场模型在第3.3节中作为受约束M的特例出现。关于获得外源基因的担忧。研究中的投资者保留了在T=0之前选择kante initium的完全灵活性，从而导致在整个[0，T]过程中基本上是外生的。在不丧失普遍性的情况下，我们将K=1标准化，这样，UK | K=1：=U就可以满足希望保持恒定购买力的个人的愿望。U（XT，∏T）xttb通过实例的可容纳分离。此外，我们发现UX=十、-γdT∏-1+γdT，ifXT∏T≤ 1台-γuT∏-1+γuT，ifXT∏T>1；我=十、-γdT∏1-γdT，ifXT∏T≥ 1台-γuT∏1-γuT，如果xt∏T<1（5.2），则在第一个参数及其逆参数中分别定义边际效用，这两个参数在xt=Tas时连续。

第一个参数中的二阶导数UXX直接遵循。请注意，在下一个方向上，使用是一次连续的差异。此外，边际效用的倒数是分段连续可微的，只有一个断点，即xt=πT。因此，双重CRRA规定的数学描述与第2.3节一致。最后，（5.1）中两个CRRA效用的分期出现了一个显示非常数RRA的定性：1- IY∏T=-XTUXXUX-1=γdnXT∏T≤1o+γunXT∏T>1o。（5.3）在图1中，我们举例说明了双重CRRA偏好的演变，其特点是γdγuγdγu（5.1）个体在“上升状态”（XT/πT>K）下的公用事业开发相对密集，而在“下降状态”（XT∏T>K）下的进展相对减弱≤ K） 函数的。因此，这种效用最大化的投资者对实现近亲状态有着不可或缺的担忧，而同一个人在上一状态下却大大减轻了他或她的焦虑。推论5.1。sup{xt}t∈[0，T]∈对于具有双重CRRA偏好（5.1）的投资者，（3.36）中隐含的bAXE[U（XT，πT）]。然后，XoptT=ηZbνT∏T-γd∏T{ηZbνT∏T≥1}+ηZbνT∏T-γu∏T{ηZbνT∏T<1}H（η）=η-γdEdMT1-γdXλγdηdMT≥ 1.+ η-γuEdMT1-γuXλγuηdMT<1,（5.4）其中xλγi~ 比较xλγi=EhdMT1生成的度量值-1/γii-1dMT1-1/γiforThis is not a necessable requirement，anyγd，γu∈ R+\\[0，1]确保（5.1）的规格正确。随后的细分关系到唯一的终端财富设置；我们将此分析限制在U.i∈ S：={d，u}。然后，适用的、可预见的RRA变换必须遵循RT=γdXλγdYoptT公司≥ 英国电信英尺XγdtXoptt+γuXλγuYoptT<英国电信英尺XγutXoptt，其中Xγit=η-1/γiEhdMT1-1/γiFti，Xoptt=EZbνt，TXoptT英尺, 和Zbνt，t=Zbνt-1ZbνT，（5.5），使Rt-1=Rt-1.- 1定义转换RRA的代理，用于所有∈ [0，T]。证据

这些陈述和相关的证据与命题3.5相比毫不起眼。推论5.1中的表达式在第（5.1）行中建立了最优性条件。就非交易风险的最优影子价格的恢复而言，可轻易获得最优投资组合OPTT和财富X PTT的市场公允价值。让我们通过检查下一个表达式bλopt2，t来实现这个数学难题Gt，T- Gt，T-1= 1 -Xoptt公司xi∈SγiXλγi（Ai | Ft）Xγit-1、（5.6）代表了我们可以从中获得影子价格的身份，我们使用T（Rt）-1.- RtAd{YoptT≥ BT}Au{YoptT<BT}MT{bλopt2，t}t∈[0，T]bλopt2，tbλopt2，tan区间随γ和γu之间的变化而发散。因此，fixingp=rm可提供稳定γd，γu的λopt2，T的平头近似值。让γ：=γd=γu覆盖标准等弹性框架，并提供xoptt=XEhdMT1-1/γidMT-1/γ∏T和bλopt2，T=（1-γ)Gt，T- Gt，T, （5.7）由此我们推断，影子价格仍然标记着一个麻烦的完全向前向后的方程，这是由有效的套期保值系数gt，TandGt，T推动的。因此，后一个等式不允许我们提取bλopt2，tin闭合形式。在πtandrafwt可测量且ξ∏tde为常数的补充前提下，如Brennan和Xia（2002），最优影子价格也将表征常数：bλopt2，t=（1- γ） ξ∏t.因此，最优决策xoptte明确地植入了两基金分离原则，并分解为xoptt=γσSt>-1λ1，t+1.-γσSt>-1.Gx、t、t- Gx、t、t, （5.8）根据定理3.2，我们使用Y-1B级-1tYt=Zbνt。此外，yoptt嵌入{bλopt2，s}s∈[0，t]。（5.6）中的公式表明，bλopt2，t∈[(1- γd），（1- γu）]（Gt，T+Gt，T）大致适用于所有ω∈ Ohm 和t∈ [0，T]。

显然，γd→ γu有助于减小该近似间隔的大小。0.9 1 1.1 1.2 1.300.30.60.91.2Xt/πt>KXt/πt≤ KDown StatesUp StatesK=1Xt/πt财富比例t=0.1 t=0.5 t=0.9图2。优化库存分配。该图描述了与实际财富相关的最佳投资组合需求。为此，该图依赖于双CRRA代理的降低经济设置，其特征为（γd，γu）=（10，2）和参考水平k=1（垂直虚线）。该经济体包含一个一维库存，对于λ1，t=0.343，σSt=0.158，其中inrt=πt=0，∏t=1，soXt/tXtTγd-1λ1，t/σStγu-1λ1，t/σt，其中gjx，t，t，j=1,2由于bλopt2，t的分析存在而被完全阐明。这种数学上的方便为支持P D1,2（[0，T]）m。让我们回到一般的双重CRRA情况，其中γd，γu∈ R+\\[0，1]。重温γd，γUbxOptxOptT≤ t型≤ 潮汐同步，我们将分析限制在均值-方差对冲需求：xm，optt=γdσSt>-1λ1，tXλγd（Ad | Ft）XγdtXoptt+γuσSt>-1λ1，tXλγu（Au | Ft）XγutXoptt。（5.9）由于XOPTT的相互包含，这些决策改变了财富依赖动态，当且仅当γd=γu时，才可以避免。加权和插值分离CRRA要求γdσSt>-1λ1，tandγuσSt>-1λ1，具有可预见条件概率的塔龙。明确地说，对于世界的下行状态Ad，相切规则in（5.9）赋予γdσSt更多的权重>-1λ1，tso，通过执行谨慎的投资策略，防止投资者进一步不满。在up州，Au，converseis是正确的，XT说明了一个不那么谨慎的策略，因为实现了K=1的收购。绝对连续性推断γd（σSt）>-1λ1，t，γu（σSt）>-1λ1，从Xλγd开始→ 1，Xλγu→ 1.xOPTT策略和波动系数。

该图适用于由γd=10和γu=2表示的药剂。我们提供了与Xt/πt相关的分配，可从xopttzbνt=Xi中推断∈Sη-1/γiEhdMT1-1/γiFtiXλγ（Ai | Ft）（5.10）K=1，类似于根据kt从谨慎到不那么谨慎的投资行为的转变→ T、 随着投资者对theAkin的关注和和谐的快速预期增加，虽然“更模糊”，但形状适用于更一般的多维实例。5.2 Brennan和Xia环境为了便于数值说明，这证实了近似技术的精度，并依赖于Brennan和Xia（2002）的经济环境，我们介绍了他们的模型设置，并在第4节的精神中提出了一致的近似最优性条件。为了对齐符号，我们保留了第2.1节中的概率模式，其中我们用R值bzt=[zt，zu，t]>替换Wt=[Wt，Wt]>。此外，引入RT=κ（(R)r- rt）dt+σrdzr，t，r∈ R+dπt=α（(R)π- πt）dt+σπdzπ，t，π∈ R+（5.11）作为瞬时实际利率的两个单因素Vasicek过程，并将其引入rt，πtin第2.1节的通用金融模型构建。Rzt[zs，t，zr，t，zπ，t]>因此，zu，tre是一个不可分散的风险源。相应地，我们引入了∏t=∏tπtdt+ξ>zt+ξudzu，t, ∏=1dMt=Mt-rtdt+φ>dzt+φudzu，t, M=1，（5.12）作为简化价格指数和实际SPD，其中ξ=[ξs，ξr，ξπ]>∈ Randφ=[φs，φr，φπ]>∈ r表征ZT上的恒定因子载荷。与这些动力学一致，我们让dZbλut=Zbλut[-Rf，tdt- λ> dzt公司-bλu，tdzu，t]，Zbλu=1，其中ZbλutγdσSt）>-1λ1，tγuσSt）>-1λ1，txopttin在图2的经济中。然而，在极限情况下，投资组合收敛到这些极值。表示内生USBλu，t的专用标称SPD∈ D1,2（[0，T]）。

这里，Zt独立于Zu，内部相关，由相关矩阵ρ表示∈ [-1，1]3×3，其行等于（1，ρs，r，ρsπ），（ρsr，1，ρsπ），（ρsπ，ρs，r，1）。zt=Mt/πtand的实际名义定价核曲面部分推动名义利率Rf，t=rt+πt- ξ>λ - ξuλu。资产菜单由St=St[（Rf，t+λsσs）dt+σsdzs，t]，s=1dPi，t=Pi，t组成Rf，t- υ> t，TibσPλPdt公司- υ> t，TibσPdbzPt, Pi=1，（5.13），分别指定了一支股票和两支面值债券，这两种债券的到期时间为两倍Ti∈ R+，i=1,2。在这些随机微分方程中，我们定义了（bσP）=[σr，，，，σπ]，λP=[λr，λπ]>，和νt，Ti=[σr（1- e-κ（T-t） ），σπ（1）- e-α（T-t） ）]>。此外，市场结构要求金融风险的恒定价格服从λ=[λs，λr，λπ]>=ρ（ξ- φ） λu=ξu- φu.最后，在∧t=∑tλ：dXt=Xt的条件下，我们介绍了以下两个动力学过程Rf，t+x>t∧tdt+x>t∑tdzt, 十、∈ R+，dP3，t=P3，tRf，t+σP，tbλu，tdt+σP，tdzu，t, P3,0=1。（5.14）XTRFTXT仪器。这里，我们假设投资组合权重满足x>t∑t∑>txt∈ L（[0，T]），T∈ R3×3ztxtXt≥t型∈ [0，T]分配给xu，tof XT。徐的可采性与xt的可采性持平。5.2.1近似对偶优化bλu，tPR D1,2（[0，T]）对偶问题生成解析解，从而得出推论5.2。推论5.2。考虑infbλu，t∈R、 η∈R+E[V（ηZbλuT，πT）]+ηXforbλu，T∈ P、 那么，Xi∈SXγ英寸dMi0，T= 十、 &bλU，*u、 t型=1.- 二十一∈Sγ英寸dMi0，TXγi！-1.ξu，（5.15）由于构造，出现了名义债券：Pi，t=E[Z-1tZTi | Ft]，Ti≥ t、 BtRf，tBtt，BStPi，tIn接下来，我们用N（·）表示一个单变量标准正态随机变量的CDF。forbφ=φ, -bλU，*u+ξu>使得bλu，t=：bλu，*u、 t。

因此，值函数同意JU，opt（X）=ηXγd1- γdNdMd0，T+ηXγu1- γuN-dMu0，T+ H（γd，γu），（5.16），其中H（γd，γu）=N（d）1-γd+N(-d） 1个-γu，对于d=σMT-1.日志ηU，*+ u公吨, 和uMi0，T=（\'r- r） σrB0，T-\'\'r- ξuλu-bλU，*u+bφ>bρbφT型+1.-γiσMTσMT=bφ>bρbφT-σr2κσrB0，T- T+ σ-2rκB0，T-2σrκe>ρφT-σrB0，T（5.17）一∈ SBt，Tσrκ1.- e-κ（T-t）bρbztdMd0，T=σMT-1.日志ηU，*+ uMd0，T和dMu0，T=-σMT-1.日志ηU，*+ uMu0，T. 此外，Xγi=ηU，*经验值(1 - 1/γi）uMT+2-1σMT（1- 1/γi）, 我∈ S、 （5.18）证明。uMTuMi0，T--/γiσmtt得出的推论5.1 fort=0适用于所研究的金融市场。因此，通过（5.15）中的方程组可以得到封闭形式的近似解。Tobλoptu，tbλU，*u、 t（5.15）Gt，t-ξuGt，Ta可预见过程，根据推论5.1个季度{bλoptu，s}s∈[t，t]asGt，t=RtE“XoptTZbλuTEXoptTZbλuT英尺R-1x，TZTtDzutbφoptu，sdzu，s-ZTtDzutbφoptu，sds英尺#。（5.19）bφoptu，tξu-bλoptu，trisk，与xoptzbλuTandR-1x，t任意环积分bλoptu，tγdγudet，t的依赖性，t影子价格的整个路径是无可争议的。根据最优影子价格bλoptu，立即遵循（5.6）的类似规定，并且应该遵循bλoptu，tGt，T+ξu-1= 1 -XtXi公司∈SγiXλγi（Ai | Ft）Xγit！-1，（5.20）γd，γu∈ R+\\[0，1]γdγupath依赖关系。换言之，bλoptu，仅可用于CRRA偏好，γd=γu。让我们注意到，例如xoptt以及ηopttare在这种情况下在推论5.1中潜在。Gt，Tinbλoptu，t=（1- γ） ξu；CRRA投资者的近似值为准确的undp=rf。对于任何γd，γu∈ R+\\[0，1]，我们发现大致bλopt2，t∈ [(1 -γd），（1- γu）]Gt，T+ξu. 基于这些理由，考虑到近似的目的，让P=R是合理的。5.2.2近似原始最优1,2（[0，T]）toP=Ron的抑制双侧列出了完全解析表达式，其中值函数Ju（X）的上界。

尽管有这种数学工具，但它无法产生可行的投资组合决策。根据艺术投资组合规则BXOPT，将其投影到xt的可行区域：X*T=X+ZTRf，t+xopt，>tbλu，t∈R∧t十、*tdt+ZTxopt，>tbλu，t∈R∑tX*tdzt，（5.21）结果，其中我们将xOPTT | bλu，t∈Rbe Collary 5.2中出现的基线最优投资组合规则xoptt，包括确定性影子价格bλu，t：=bλL，*u、 t型∈ R、 对于（4.14）P3，t包含非特定BλL的一致近似投资组合权重，*u、 t型∈ R、 推论5.3。考虑xu的推论5.2中的BxOptImplicit，t=0。因此，\'x*t=(-At，T+λ）Xi∈SγiXγitXt*NdMit，T1.- 21{i=u}+ At，T，（5.22），其中'x*t=∑>tx*tforx公司*t： =xoptt | bλu，t∈R、 andAt，T=-Bt，Te+ξ，以及xγit=Eη-1/γicM1-1/γiT英尺. 更多，让dMit，T=（σMt，T）-1.日志ηL，*Mt公司+ uMit，T, 和uMit，T=\'\'r- ξuλu-bλL，*u+bφ>bρbφT、 T+（\'r- rt）Bt，Tσr+1.-γiσMt，TσMt，T=bφ>bρbφ（T- t）-σrκBt，Tσr- t、 t+κBt，T2σr-2σrκe>ρφt、 t型-Bt，Tσr（5.23）对于i∈ S和t、 t：=t-t、 那么，X*预算适用于所有ηL，*∈ R、 此外，X*t=XγdtZbλutNdMdt，T+ XγutZbλutN-dMut，T, （5.24）使i的市场价值变得单一B-1TYoptT，∏T随时评估t∈ [0，T]。请注意，（5.22）的值函数jcl（X）在闭合形式下不可用。证据这里，Xγit=ηL，*-1/γicM1-1/γitexp(1 - 1/γi）uMit，T-σMt，T（1- 1/γi）, 我∈ S、 参数值参数值参数值参数值stztrtπtσs0.158φS-0.333'r 0.012'π0.054λs0.343φr0.170κ0.613α0.027λu0.027φπ0.120σr0.026σπ0.014ρsr-0.129φu-0.014λr-0.209 λπ-0.105ξu0.013ρsπ-0.024ρrπ-0.061表1。参数输入。此表报告了我们在提供数字插图时使用的基准参数输入。此表中的值与记录的λuan和φu值相同，我们将其设置为λ和φ对应值的平均值。注意，ξ=0适用。

正如明确指出的那样，我们将基准规划范围固定在T=5和T=10。关于封闭形式不存在的ηL，*∈ R+和BλL，*u、 t型∈ R、 为了避免在识别这些控制时采用数值优化方法，我们可以使用ProJBA0px意义上的近似优化规则（5.22）。然后，我们将推论5.2的控制插入上述控制中，以进行充分识别。与projbA0PX相比，对于projbA0PX，opt（X）=supbλL，*u、 t型∈R、 ηL，*∈R+E[U（X*T、 ∏T）]（5.25）必须激发最佳原始控制，我们可以识别潜在的数值负荷，参见第4.2节。随后，我们比较了这两种方法。在任何一种情况下，我们都会得到最优值函数的上界。差距，博士bθL，*t、 bθU，*t型,随后很容易发生，和谐CV必须通过数值确定，请参见第4.2.5.3节主要数值结果。我们通过在两个数字样本的基础上评估P=Rand双重CRRA个体在前向经济中近似方法的性能，从而取得进展。为此，我们将基准参数输入作为报告inN，用于时间增量ti=0.05，作为Euler方案的一部分，例如m=T/。Wettherough我们设置bθL，*,bθU，*t型=\\JU，可选-\\JL，opt，forbθL，*t型=bλL，*u、 t，ηL，*andbθU，*=bλU，*u、 t，ηu，*.γγγγT=5 T=10磅0.135 0.234 0.178 0.193 0.416 0.292（0.133，0.137）（0.229，0.239）（0.175，0.181）（0.192，0.195）（0.410，0.422）（0.289，0.295）UB 0.136 0.235 0.181 0.194 0.419 0.295CV 0.001 0.003 0.002 0.005 0.004AL 1.664 2.314 4.308 1.885 4.600 4.219'θL（0.052，0.458）（0.034，0.965）（0.052，0.778）（0.052，0.225）（0.031，0.745）（0.048，0.495）'θU（0.052，0.458）（0.030，0.950）（0.046，0.754）（0.052，0.225）（0.026，0.720）（0.041，0.478）表2。二元差距、福利损失和参数。该表报告了估计的lowerfunction。括号中显示了大约95%的置信区间。

标有CV和AL的行分别记录了补偿变化和年度福利损失。此外，’θL-bλL，*u、 t，ηL，*\'θU-bλU，*u、 t，ηu，*双重拉格朗日乘数和影子价格。下限从插入bθU开始出现，*tinto，ti。X（γd，γu）∈ {（5，5），（10，2），（15，3）}由{γ，γ，γ}缩写而成，包括双重CRRA风险文件。风险收益符合（γd，γu）的双重CRRA投资者∈ {（5，5），（10，2），（15，3）}对于基准水平和同等确定的捐赠，k=X=1。为了进行有效性检查，本文件包括在内。也就是说，对于CRRA个体，近似值是精确的，其中bθL，*t、 bθU，*t型= 0必须保持，以数字错误为模。厌恶，导致不精确的近似值：DRbθL，*t、 bθU，*t型>0应为true。最后，与Bick et al.（2013）相反，我们不模拟上界Ju（X），以排除有关补偿变化的估计偏差。相反，我们利用分析界限来强调方法的准确性。初始捐赠基点（bp）的变化和年度福利损失；最佳参数。此外，我们在估计的下界中加入了RCJL（X）（4.8），这有力地表明我们的技术接近最优。值得注意的是，双重差距从0.001（对于t=5 CRRA代理）变为0.002（对于t=10，γ双重CRRA代理）。除了这些微不足道的差异外，信心区间还包含了这些投资者的非耦合风险厌恶差异水平之间差异的上限和宽度。我们注意到，根据（5.20），近似值的精度实际上随着宽度的增加而降低。通过“朴素”方法，我们指出了涉及ProJBA0PX投影的近似方法。0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.511.5kt/πT≤ K XT/πT>KDown StatesUp StatesK=1XT/πT可能性D enisty FunctionCRRA Dual CRRAFigure 3。

地平线财富的概率密度。该图显示了与等弹性剂和双重CRRA剂相关的概率密度。对于各自的CRRA和双重CRRA投资者，风险规避系数坚持γ=5和（γd，γu）=（10，2）。基准readsK=1（垂直虚线）。这两种密度都来自于应用于财富方程（4.8）的带宽等于0.15的核密度估计，基于onT=5，对于n=10000，m=100。宽度，我们观察到补偿变化的宽度，尤其是年度福利损失的具体范围在theT=5 CRRA个体的1.664 bp之间。T、 γ方法的合法性。最后指出，nbθL，*tandbθU，*t、 结合相同的性能，使数字输出冗余。我们注意到，CV和置信区间随着T的增加而增加。然而，ALsxtxopttofzu、Tf越高，因此，对于expandedT，其向外累积的越多。表2进一步显示，除了风险规避水平的不同程度外，γ和γ的个体大小影响近似值的效力。观察到γ的危险性在数量上比γ更广泛，而近似弓形虫病对γ的准确度略高。总体风险系数及其实际和财务相关性，以及规划范围的差异。γ文件中包含的厌恶超过了γ文件中的厌恶，这体现了规则的必要细微差别。

特别是，推论5.2和5.3表明，因此，γ剂的xOPTT对经济冲击的敏感性较低，这使得constantbλoptu，tXT/t双重CRRA函数调用了接近所需基准的粗略保证。6结论形式表达式允许我们在不完善的环境中接近最佳近似投资组合权重，这些环境使有限期投资者具有非平凡的偏好。在将影子价格限定为合适的参数族时，可容许区域。这模仿了真正的最优规则，直到影子价格。这种方法所特有的最优性缺口是由于凸二元性而产生的，并存在于一个能够容纳未经规划的通货膨胀风险并占据具有比率CRRA偏好的代理的模型中。不同投资者的微小差距和年福利损失介于1到5个基点之间，表明该方法的准确性，参见第4节。尽管有这种简化的说明，但一般机制（参见第3节和第4节）公认包括非马尔可夫动力学和依赖于状态的偏好。附录附录A辅助结果让我们首先介绍Fréchet导数定义A.1（Fréchet导数）的概念。设V和W是两个Banach空间，并考虑一个映射：V→ W、 （A.1）紫外线 UGX公司∈ Vif存在A:U→ 除了kAzkW之外≤ MKZKUTH以下条件→0khkV-1kG（X+h）- G（X）- AhkW=0，（A.2）对于某些M∈ R+和所有z∈ U、 手边的弗雷切特导数读数为DXF=A。其次，让我们转向马利雅文微积分。下一个定理体现了Clark-Ocone公式定理A.1（Clark-Ocone）。假设F:C（[0，T]）→ R满意度F∈ D1,2。然后，F=E【F】+中兴通讯【DtF | Ft】dWt。（A.3）（A.3）的鞅表示。最后，下一个定理引入了Skorokhod算子。定理A.2（Skorokhod算子）。考虑一些F:C（[0，T]）→ R使得F∈ D1,2。

然后，对于所有F，E[Fδ（h）]=E“FZThsdWs#=E”ZTDsF hsds#=EhhDF，hiL（[0，T]）i，（A.4）∈ D1、2和h∈ Dom（δ），其中散度算子或Skorokhod积分由δ（F h）=FZThsdWs生存-ZTDsF，hsds，（A.5），其中其域读取Dom（δ）：=nh∈ LOhm; L（[0，T]）|EhhDF，hiL（[0，T]）i≤ ckF kL公司(Ohm)o、 证明，考虑罗杰斯和威廉姆斯（2000）的第4.41章或努亚拉特（2006）的第1.3.3节。参考26（7-8）：1217-1241。Battocchio，P.和Menoncin，F.（2004年）。随机框架下的最优养老金管理。保险：数学与经济学，34（1）：79–95。Bick，B.、Kraft，H.和Munk，C.（2013年）。通过模拟艺术市场策略解决受限消费-投资问题。管理科学，59（2）：485–503。Brandt，M.、Goyal，A.、Santa Clara，P.和Stroud，J.（2005）。动力学模拟方法18（3）：831。Brennan，M.J.和Xia，Y.（2002年）。通货膨胀下的动态资产配置。《金融杂志》，57（3）：1201–1238。和双重界限。《管理科学》，57（10）：1752-1770。程序。运筹学，58（4部分1）：785–801。固定缴款养老金计划。《经济动力与控制杂志》，30（5）：843-877。Cox，J.C.和Huang，C.-F.（1989）。当资产价格遵循分化过程时，最优消费和投资组合政策。《经济理论杂志》，49（1）：33–83。Cox，J.C.和Huang，C.-F.（1991年）。金融经济学中的一个变分问题。《数学经济学杂志》，20（5）：465-487。库科，D.（1997）。具有投资组合约束和随机收入的最优消费和均衡价格。《经济理论杂志》，72（1）：33–73。完整的市场。《经济动力与控制杂志》，27（6）：971-986。Cvitani'c，J.和Karatzas，I.（1992年）。约束投资组合优化中的凸对偶。

应用概率年鉴，2（4）：767–818。保险：数学与经济学，42（1）：1-13。《金融》，7（03）：277–294。de Palma，A.和Prigent，J.-L.（2008年）。投资组合定位中的功利主义和公平性。《银行和金融杂志》，32（8）：1648–1660。de Palma，A.和Prigent，J.-L.（2009年）。标准化与定制投资组合：补偿变化方法。运筹学年鉴，165（1）：161。Detemple，J.B.（2014）。投资组合选择：回顾。优化理论与应用杂志，161（1）：1-21。Detemple，J.B.、Garcia，R.和Rindesbacher，M.（2003）。最优投资组合的蒙特卡罗方法。《金融杂志》，58（1）：401–446。扩散过程。《计量经济学杂志》，134（1）：1-68。Detemple，J.B.和Rindesbacher，M.（2005）。具有仓促利率和投资约束的最优投资组合选择的闭式解。数学金融，15（4）：539-568。Detemple，J.B.和Rindesbacher，M.（2009）。动态资产配置：投资组合分解公式和应用。《金融研究回顾》，23（1）：25–100。Detemple，J.B.和Zapatero，F.（1991年）。具有习惯形成的交换经济中的资产价格。计量经济学：计量经济学学会杂志，第1633-1657页。Di Nunno，G.、Oksendal，B.K.和Proske，F.（2009）。《Lévy过程的Malliavin演算及其在金融中的应用》，第2卷。斯普林格。《经济理论》，20（3）：381–408。Harrison，J.和Pliska，S.R.（1981年）。连续交易理论中的鞅和随机积分。随机过程及其应用，11:215–260。Haugh，M.B.，Kogan，L.，和Wang，J.（2006）。评估投资组合政策：双重方法。运筹学，54（3）：405–418。约束：有限尺寸情况*1。《经济理论杂志》，54（2）：259–304。纸张无限期的小投资者。

《暹罗控制与优化杂志》，25（6）：1557–1586。Karatzas，I.、Lehoczky，J.P.、Shreve，S.E.和Xu，G.-L.（1991a）。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。《暹罗控制与优化杂志》，29（3）：702–730。Karatzas，I.、Ocone，D.L.和Li，J.（1991b）。克拉克公式的推广。《随机：概率与随机过程国际杂志》，37（3）：127–131。Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约：SpringServerLag。Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1998年）。数学金融方法，第39卷。斯普林格。Keppo，J.、Meng，X.和Sullivan，M.G.（2007年）。完全市场中最优策略的计算方案。《经济动力与控制杂志》，31（11）：3591–3613。Kim，T.S.和Omberg，E.（1996年）。动态非近视投资组合行为。《金融研究评论》，9（1）：141–161。摩擦。数学金融，17（2）：225–247。Koijen，R.S.，Nijman，T.E.，和Werker，B.J.（2009）。生命周期投资者何时能从时变债券风险溢价中获益？《金融研究评论》，23（2）：741–780。对不完全市场的投资。应用概率年鉴，9（3）：904–950。Lakner，P.和Nygren，M.（2006年）。具有下行约束的投资组合优化。MathematicalFinance，16（2）：283-299。制度转换效用最大化。《欧洲运筹学杂志》，262（3）：851–862。默顿，R.C.（1969）。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济学与统计评论》，51（3）：247-257。Munk，C.（2007年）。动态随机经济中的最优消费和投资策略。随机经济动力学，第271页。Nualart，D.（2006年）。Malliavin微积分和相关主题，1995卷。斯普林格。Ocone，D.L.和Karatzas，I.（1991年）。

广义克拉克表示公式及其应用34（3-4）：187–220。运筹学，11（2）：371–382。Rogers，L.C.（2001年）。约束最优投资和消费问题的对偶性：综合。在蒙特利尔举行的金融数学和计量经济学研讨会上。斯普林格。Rogers，L.C.（2013年）。最佳投资。斯普林格。Rogers，L.C.和Williams，D.（2000年）。Diffusions，Markov过程和鞅：第2卷，ItoCalculation。剑桥大学出版社，第2版。长期投资者？《金融杂志》，60（1）：179–230。Schroder，M.和Skiadas，C.（2003年）。trading202下的最优终身消费组合策略。《动力学与控制》，24（11-12）：1623–1639。Wachter，J.A.（2002年）。均值回复收益下的投资组合和消费决策：完全市场的精确解。《金融与定量分析杂志》，37（1）：63–91。Xu，G.-L.和Shreve，S.E.（1992）。最优消费与投资的对偶方法