有交易的金融市场中的近最优动态资产配置

2022-6-24 06:18:51

具有交易约束的金融市场中的近最优动态资产配置*Thijs Kamma+马斯特里赫特大学计量经济学系。马斯特里赫特大学计量经济学研究所，2019年10月29日，因存在交易约束而产生的抽象环境。凸对偶使能该机制基于与投资组合构成相关的闭式表达式，从中我们可以明确得出接近最优的资产配置。在一个真实的金融市场中，我们用一个双重风险函数来说明我们的近似方法的准确性，该函数描述了有限期投资者的偏好。可忽略的收入差距和微不足道的年度福利损失证实了该技术的准确性。关键词：效用，随机最优控制Jel分类：D52，D53，G111简介无法获得无数组合问题的闭式解，因此提倡设计近似方法。这种无法明确表达的情况取决于代理人在金融环境中的不可分散性问题上的偏好质量和技术假设，参见Kim andOmberg（1996）、Wachter（2002）和Liu（2006）。为了避免这种无能，我们提出了一种adual控制技术，用于近似嵌入一般交易约束和一组扩展的偏好条件的市场中的动态资产配置。我们在本文中描述的技术是可处理的，因为它是基于封闭形式的*以及经济学、Netspar养老金日、维也纳数学金融大会和保险“公平估价”研讨会，感谢他们的宝贵意见和建议。+通讯作者。通讯地址：t。kamma@maastrichtuniversity.nl.荷兰马斯特里赫特6200号邮政信箱616。

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2022-6-24 06:18:54

电话：+31（0）43 388 3695。arXiv:1906.12317v3【q-fin.MF】2019年10月28日，由于可用的对偶边界而产生。与艺术市场相关的凸对偶性使我们能够提供真实最优值函数的上下界。微小的二元性差距和1到5个基点之间的福利损失暗示了该方法的近似最优性。受限消费和投资组合选择问题通常很难解决。因此，常规做法是对其相应的对偶进行检查。在Karatzas et al.（1991a）、Cvitani'c和Karatzas（1992）以及Xu和Shreve（1992）的经常性论文中，作者表明，这些原始和双重问题通过一个障碍锥进行了协调，该障碍锥分别与资产的受控分配与风险的市场价格相关联。事实上，对偶问题导致了一种所谓的倒向-正向方程，这种方程不允许解析恢复其解，这使得对近似的呼吁变得猖獗。规则和消费行为完全源于后向-前向方程。为了确定影子价格，我们将一组可实现的双重控制定义为一个可处理的参数族：确定性常数或不确定性中的一个函数，仅举几例。在这种关于影子价格应该符合的集合的严格限制下，我们能够推导出控制的定义表达式，以最小化双重性。在此基础上，讨论了可行对偶控制集约束所固有的近似性质。同时，近似次优影子价格通过定义产生，符合基准金融市场的交易约束。（MRT），我们能够收集资源的最佳配置。

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2022-6-24 06:18:57

Clark-Oconeas是广义Fréchet导数在维纳方向上的预测，参见Karatzas et al.（1991b），Ocone和Karatzas（1991），以及Di Nunno et al.（2009）。根据影子价格集的划分，相应的分配与市场价格一致，而不可行的分配则出现在双重价格中。Weportfolio并生成最优值函数的下界。公用事业通过这种方式，我们将框架扩展为适用于状态依赖引用的框架。由此产生的二元性差距和福利损失微不足道。等人（2007年）和Koijen等人（2009年），他们在评估这些时突出地使用了对偶边界和凸分析，参见Haugh等人（2006年），Brown等人（2010年），包括国家相关偏好，（ii）在可能包含非马尔可夫回报动态的一组市场中的适用性，以及（iii）纳入一般交易限制。在方法学上，Bick等人（2013年）最接近我们的近似方法。他们的研究涉及马尔可夫模型中的一名CRRA代理人，该代理人在超出马尔可夫条件的市场中接受CRRA规定。本文其余部分的结构如下。第2节介绍了金融市场模型。第3节导出了约束投资消费问题的最优性条件。第4节介绍了近似方法。第5节提供了上述技术的数值说明。最后，第6节得出结论。2模型Setupand Xia（2002）和Detemple and Rindesbacher（2009）。本着Cvitani'c和Karatzas（1992）的精神，我们通过包括一般贸易限制来概括他们的经济。2.1金融市场模型t>，Ft，{Ft}t∈[0，T]，PanRd+m值独立标准布朗运动，{Wt}T∈[0，T]={Wt，Wt}T∈[0，T]存在：WtisRd值。我们将其拆分，以减轻后面的推导。

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大多数88

2022-6-24 06:19:00

TheP augmentationofWt的规范过滤FWt公司t型∈[0，T]读取{Ft}T∈[0，T]。在续集中，随机过程之间的（In）等式被理解为P-几乎确定的意义。金融环境sayM区分了真实市场和名义市场，因此包括商品价格指数∏t，该指数包含WT和Wtasd∏t=πthπtdt+ξ∏t>dWt+ξ∏t>dWti，π=1。（2.1）Ftπtξ∏itFWtfori=1,2。我们假设这三个过程都是inD1,2（[0，T]），参见Nualart（2006）。将任何资产乘以∏t的倒数即为其名义价值。因此，dMt=Mth-rtdt+φMt>dWt+φMt>dWti，M=1（2.2）表示实际定价核心，其中RTD定义了盗窃可测量的实际利率，φMtFWtφMtFtLtthenLt∏-1吨t型∈通过构造，[0，T]必须是P-鞅。因此，名义状态价格密度（SPD）过程符合DZT=Zt-rt公司- πt+λ>1，tξ∏t+λ>2，tξ∏tdt公司- λ> 1，tdWt- λ> 2，tdWt, （2.3）λi，tξ∏it- φMiti，we letZt：=π-1公吨。我们假设RT∈ D1,2（[0，T]）和BφT∈ D1,2（[0，T]）d+mgivenbφTφMt，φMt>λi，ti，条件，参见第3.5节。因此，Karatzas和Shreve（1991）中的D成立。从（2.3），Rf，t=rt+πt- λ> 1，tξ∏t- λ> 2，tξ∏t（2.4）成立，表示瞬时名义利率的恒等式。经济模型包含即时无风险资产，即货币市场账户，以及根据STST发展的d+m非股息支付风险资产=Rf，td+m+σStλ1，t+σStλ2，tdt+σStdWt+σStdWt，S=1d+m，（2.5）C[0，T]；研发部×C（[0，T]；Rm）FBdTBmTP（dW）P数据仓库P数据仓库, 参见Detemple和Rindebacher（2005）；fwit的P-增强过滤，i=1，2。诊断σSitσSit>∈ L（[0，T]）d+mFtσSitψ>σSitσSit>ψ≥ ikψkRd+mψ∈ Rd+m我∈ R+，i=1，2。上述假设确保了σSt，σSt.

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2022-6-24 06:19:03

此外，dBt=Rf，tBtdt，B=1，（2.6）授权us控制{Wt}t∈[0，T]\'s多样性程度。与有限期投资者一致的财富过程服从XT=XthRf，t+x>tbσtbλtdt+x>tbσtdWti- ctdt，X∈ R+，（2.7）xCTFDrocess，以及X分配给T的X的X的可测量分数的X+m值渐进式。此外，我们定义σt：=σSt，σStandbλt：=[λ1，t，λ2，t]>。请注意，投资者决定{xt，ct}t∈[0，T]以最大化预期效用标准。我们称一对{xt，ct}t∈[0，T]如果除Xt外，允许≥ 0 t型∈ [0，T]，it FULL FILSX>tbσtbσ>txt∈ L（[0，T]），x> tbσtbλt∈ L（[0，T]），和ct∈ L(Ohm ×[0，T]）。（2.8）我们用AX表示所有此类可容许交易消费对的类别。K Rd+mxtt P-a.e.让我们定义为所有{xt，ct}t的集合∈[0，T]∈ ax这样的文本∈ 霍尔德dt P-a.e.我们注意到，所有开发的空间都符合其传统定义。2.2虚拟完工资产{xt}t∈[0，T]K Rd+m{xt，ct}t∈[0，T]∈bAXwe可以通过设立所谓的活跃资产来完成基准市场。为此，我们分别介绍了K的支持函数和势垒锥：δ（bνt）：=sup{xt}t∈[0，T]∈bAX公司-bν>txt, andeAX：={bνt |δ（bνt）<∞} （2.9）Ftbνt∈ D1,2（[0，T]）d+mδRd+m→R∪{∞}bAX{xt}t∈[0，T]{xt，ct}T∈[0，T]∈实际上，Lp（[0，T]）是所有P-a.s.P-可积随机过程的Lebesgue空间，P≥ 0.bAX，即所有{xt}t∈[0，T]会议（2.8），下一步∈ Kis真实dt P-a.e.我们假设K包含来源，并且另外定义Hba：=bνt | kδ（bνt）kL(Ohm×[0，T]）<∞给定bνt∈ D1,2（[0，T]）d+m。注意bνT∈ hba意味着bνt∈eAX。对于anybνt∈ HbA，我们完成了资产菜单，它构成了无约束的人工市场。

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2022-6-24 06:19:06

为此，引入bt和St的活性类似物：dbBt=[射频，t+δ（bνt）]bBtdt，bB=1，dbSt/bSt=Rf，t+δ（bνt）d+m+bσtbλt+bσ-1tbνtdt+bσtdWt，bS=1d+m.（2.10）在这个人工模型中，sayMbν，名义利率readsRf，t+δ（bνt），和thedmbStbσtbλtbσ-1tbνt关于基线库存Stin（2.5）的所有假设在此仍然有效。LetE（·）是所谓的Doléans Dade指数。方程组ForbBtandbs暗示了一个服从toZbνT=ZTE的Mbν特定随机衰减过程bσ-1tbνt>经验值-ZT公司δ（bνt）+bλ>tbσ-1tbνtdt公司, （2.11）我们将外生Zt与非特定bνt驱动的内生性分开。很明显，MBν中的风险市场价格遵循bλt+bσ-1tbνt。相应地，Zbνt分离为BB-1TdQbν/dP，其中qbν~ Pde定义了非唯一定价指标。因此，dWQbνt=dWt+bλt+bσ-1tbνtdt表示aQbν-标准布朗运动。bνtthus的非唯一性表明其有能力干扰定价指标bν和相关经济情景以及股票的风险溢价。居住在Mbν的有限期投资者的动态财富过程如下：dxbνt=XbνthRf，t+δbνt+ bx>tbσtbλt+bσ-1tbνtdt+bx>tbσtdWti-bctdt（2.12）bxtRd+mFtXbνtinbSt，bct逐步ft可测量消耗控制，xbν=X∈ R+初始捐赠。类似地，个体选择{bxt，bct}t∈[0，T]试图最大化预期寿命效用。因此，我们调用以下假设sbx>tbσtbσ>tbxt，bx>tbσtbλt∈ L（[0，T]），和bct∈ L(Ohm ×[0，T]）。（2.13）在市场模型MBν中，一对{bxt，bct}t∈如果除（2.13）外，[0，T]是可接受的，它确保xBbνT≥ t型∈ [0，T]。让我们用babνX表示可容许交易消费对的类。

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2022-6-24 06:19:10

mbν的可接受性通常不等同于受约束的金融市场基线中的可接受性：即bBt，BST不同于Bt，K不影响BABνX。δ（bνt）6t P-a.e.bνtMbν考虑到上述差异，我们得出，社会财富和真实财富之间的差异等于dXbνt-dXt公司=δ（bνt）+bx>tbνtdt公司≥0表示所有{bx，bct}t∈[0，T]∈bAX公司bAbνXsuch thatXbνt≥ Xt公司 t型∈ [0，T]假设Bxt=XT，Bct=ct。直观地，在这些前提下，给定下一个条件{bxt}t，Mbν减少到M∈[0，T]∈bAX和δ（bνt）+bx>tbνt=0，（2.14），并同时导致基线环境中的最佳状态，请参见Prop。8.3 inCvitani'c和Karatzas（1992年）。采购MFrommbν符合选择Bνt∈ HbAinan努力实现（2.14）。在续集中，我们从数学上阐明了这种结构。2.3有限期投资者偏好基准环境指处置ofX的有限期投资者∈ R+ttT[0，T]持续重新平衡投资组合。因此，单个solvessup{xt，ct}t∈[0，T]∈bAXE公司中兴通讯-Rtβsdsu（ct，∏t）dt+U（XT，∏t）s、 t.dXt=-ctdt+XthRf，t+x>tbσtbλtdt+x>tbσtdWti，（2.15）{βt}t∈[0，T]效用函数su:R+×R+→ R+andU：R+×R+→ R+两者都包含了外生商品价格过程{∏t}t∈[0，T]作为基准。UUU∈ C（R+；R）XT方向。它还满足了INDA的后续限制条件SLIMX→∞UX（x，·）=0和limx→0UX（x，·）=∞, （2.16）其中，我们letUXandUXXdenote分别是在XT方向上的一阶和二阶导数。特别是，我们假设UX>0且UXX<0。此外，AE（U）=lim supx→∞xUX（x，y）U（x，y）<1，（2.17）anyy轮廓∈ R+Kramkov中合理的渐近弹性条件和最优解，对偶模式的可行性和期望的不确定性。基线和实际环境。在Haugh等人（2006年）中，bxt=XT和BCT=ctis设置了先验。

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2022-6-24 06:19:13

设usXbνtZtRtcsZssPFtδ（bνt）bx>tbνt x方向的逆与i:R+×R一致+→ Rsuch thatUX（I（x，y），y）xy∈ R+I可区分，I，U∈ PC（R+；R），在x和∏T的两个方向上。然后，def neV（x，y）=supz>0（U（z，y）- xz）=U（I（x，y），y）-xI（x，y）（2.18）x，y∈ R+UPC（R+；R）我们假设UY<0，其中UY是U在∏T方向上的一阶导数。uuuuxx在第一个参数中的第一个和第二个导数；uYisu在∏t方向上的一阶导数。LeteI：R+×R+→ R是ct方向上Ux的倒数。因此，v（x，y）=e-Rtβsu工程安装eRtβsx，y, y- xeI公司eRtβsx，y（2.19）e-Rtβsusupz∈R+e-Rtβsu（z，y）- xz公司x、 y型∈ R+T充分概述；包括R+-值半鞅在内的应用是微不足道的。3投资组合选择我们通过探索推进（2.15）。在这里，我们将问题分为两个相互合作的问题为了展望凸对偶的含义，我们首先解决投资组合选择问题凸对偶，以恢复其约束对应的投资组合组成。最后，我们澄清了非交易风险的二元性概念的分歧。3.1无约束市场中的分配（2.15）Mcf。Pliska（1986）、Karatzas et al.（1987）和Cox and Huang（1989、1991），我们将（2.15）中的动力学问题转化为UP（XT、ct）规定的静态变分公式∈cLE公司ZTu（ct，∏t）eRtβsdsdt+U（XT，∏t）s、 t。

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2022-6-24 06:19:16

EZTctZtdt+XTZT≤ 十、（3.1）与上述动态随机最优控制问题相同，其中Cl：=L(Ohm) ×L(Ohm ×[0，T]）和{Zt}T∈[0，T]通过（2.3）中的标称SPD生存。依靠Lakner和Nygren（2006）保留I（F，G）∈ D1,2对于F，G∈ D1,2，I∈ PC（R+；R）。在这个重新表述的静态问题中，代理在等式（2.7）中最大化了对allimplicit的期望效用，这有助于我们恢复{xt}t∈[0，T]，对冲投资者∈[0，T]dwt在Wt方向上的Malliavin导数，然后定理A.1指出，xtzt+ZTctZtdt=X+ZTE载重吨XTZT+ZTcsZsds英尺>载重吨。（3.2）此外，（3.1）中的预算限制确保{Xt}t∈[0，T]保持自我融资。（3.1）由于（3.1）中假设了马尔可夫回报结构，因此简化了一般性，能够在有限维Banach空间上使用普通拉格朗日技术，以拯救最佳的地平线财富、消费模式和和谐的portfoliodecomposition。定理3.1包含了（3.1）的最优解。定理3.1。（3.1）对于具有财富动态的投资者（2.7）。然后，最佳Ct和Xt实现为COPTT=eIeRtβsH-1（X）Zt，∏t, 和XoptT=IH-1（X）ZT，∏T, （3.3）XopttEXTZt、TRTtcsZt、ss英尺Zt，TZ-1tZTt∈ [0，T]H-1（X）表示乘法器的特征，给定递减函数H:R+→ R+H（η）=EZTeI（ηZt，∏t）Ztdt+I（ηZt，∏t）Zt= 十、 η∈ R+（3.4）X∈ R+一致最优投资组合规则源自以下恒等式xoptt=bσ>-1TXOPTEXM，opttbλt+EZ-1吨ZTtR公司-1c、uGt、udu+R-1XGt，T英尺+ EZTt公司1.- R-1c，uGt、ucoptuZt、udu+1.- R-1台Gt、TXoptTZt、T英尺!,（3.5）可通过MRT和（3.2）中被积函数的唯一性导出。证据LXT，{ct}，ηERTe公司-Rtβsuct，tUXT，∏T-ηRTctZttXTZcλT-复制参数，即通过MRT和Clark-Ocone公式合并，这些公式不适用于合并的{∏t}t∈[0，T]。

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2022-6-24 06:19:19

这两个方面极大地扩大了Bick等人（2013）的普遍性。十、η ∈ R+LL(Ohm) ×L(Ohm ×【0，T】×R+→ R从这里开始，让ξ∈ L(Ohm), ξ∈ L(Ohm ×[0，T]）以及ξ∈ R+。我们导出xtl（XT，{ct}，η）ξ=DUX（XT，πT）- ηZT，ξEL(Ohm)= 0，D{ct}L（XT，{ct}，η）{ξ}=De-RtβsuX（ct，∏t）- ηZt，ξEL(Ohm×[0，T]）=0，（3.6）DηL（XT，{ct}，η）ξXTZTRCTZTT-十、 ξL(Ohm)DXTLL(Ohm) →R、 D{ct}L：L(Ohm ×【0，T】）→ R、和DηL:R+→ R、参见定义A.1。因此，UX（XT，∏T）- ηZT=0，和e-RtβsuX（ct，∏t）- ηZt=0。（3.7）注意dxt，XTL{ξ，ξ}=hUXX（XT，πT），ξiL(Ohm)<0和d{ct}，{ct}L{ξ，ξ}=De-Rtβsu{ct}，{ct}（ct，∏t），ξEL(Ohm×[0，T]）<0 ξ ∈ L(Ohm), ξ∈ L(Ohm ×【0，T】）矿石【U（XT，πT）】≤ E[V（ηZT，πT）+ηZTXT]=E[U（I（ηZT，πT），πT）- η（I（ηZT，∏T）ZT+XTZT）]≤ EU我H-1（X）ZT，∏T, ∏T= EUXoptT，∏T,（3.8）和类似的EHRTE-Rtβsdsu（ct，∏t）i≤ EhRTe公司-Rtβsdsucoptt，∏t我（XT，ct）∈cL，验证对的最优性XoptT、coptt（3.7）中固有的。然后，让我们通过推导最优投资组合规则来前进。从地铁，x> tbσt-bλ>tXopttZt>= E载重吨XoptTZT+ZTtcoptsZsds英尺（3.9）必须保持，因为XoptTZλT+RTcopttZtdt∈ D1,2 L(Ohm) 是一个P-鞅。定义，u：=ZutDWtπs- DWtbξs·bξsds+ZutDWtbξsdWs+bξt，u≥ tGt，u：=-ZutDWt公司Rf，s+DWtbλs·bλsds公司-ZutDWtbλsdWs，u≥ t、（3.10）对于WTRF，s=DWtrs+DWtπs- DWtbξ>tbλt，带r-1c，u=-uX（coptu，∏u）/uXX（coptu，∏u）coptu，R-1X=-用户体验XoptT，∏T/UXXXoptT，∏TXoptT公司-1、最佳xopttemerge给定nexm，optt=EZTtR公司-1c、ucoptuZt、udu+R-1XXoptTZt，T英尺（3.11）带R-1c，u=eIYeRuβsdsH-1（X）Zu，∏uMuand R-1X=IYH-1（X）ZT，∏TMT.DXTLkUX（XT，∏T）kL(Ohm)< ∞XTI（重量，∏T）所有重量∈ L(Ohm) 满足此条件；XoptT公司∈ L(Ohm) 因此服从。

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2022-6-24 06:19:22

这将传递到uX（ct，πt）。考虑到无约束经济是真实经济，我们将定理3.1分解。为了消除（3.3）中公式的超灵活性，我们注意到，在凸对偶的应用中，这种技术发挥了突出的作用。公式本身构成了著名的身份，大量文献为其提供了经济直观的含义；例如，Karatzas和Shreve（1998）。xoptt公司Xoptt、copttt型∈（3.2）中的[0，T]被积函数，指示给定的Xoptt，T：=B-1TXoptT+RTtB-1 Coptudu ThatxOpt公司=B-1tXopttbσ>t均衡器DWtXoptt，T- Xopt0，TZTtDWtbλsdWQs英尺. （3.12）XOPTT沿着Detemple和Rindesbacher（2009）中分解演习的路线。这些套期保值需求的分离提交了toxoptt=xmt+xZt+x∏t，其中xmtxoptt-1exm，opttbσ>-1tbλtSee Merton（1969），用于符合CRRA偏好的类似权重。剩下的两个需求分别是价格指数和名义上的浮动对冲，它们回答tox∏，opt=bσ>-1tXoptt-1E级ZTtR公司-1c、uGt、uZ-1tdu+R-1XGt，TZ-1吨英尺xZ，opt=bσ>-1tXopttE公司ZTt公司1.- R-1c，uGt、ucoptuZu、tdu+1.- R-1台Gt、TXoptTZT、t英尺.（3.13）（3.10）鉴于“R”术语与分类相对风险价格对冲或利率对冲的数量相互依存，参见Detemple（2014）的类似规则。首选项服从U（x，y）=（1- γ)-1.（x/y）1-γ- 1.对于x，y∈ R+，γ>1。因此-用户体验XoptT，∏TUXXXoptT，∏TXoptT公司-1=γ，和IYηoptZT，∏TMTXoptT=1.-γZT，（3.14），其中ηopt：=H-1（X），由此推断R-1X=（1- 1/γ）XoptTZTandR-1X=1/γ。提前发现-1c，u=（1- 1/γ）coptuZuandR-1c，u=1/γ。在这两种情况下，weZTB-1TdQdPQ~ PWQtWtbλTTQ显示了等式，从而解开并澄清了定价措施Q对xoptt的影响。观察RRA结构之间的相似性，R-1台=- R-1台XoptTZTandR-1c，u=- R-1c，u科普图祖。

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2022-6-24 06:19:24

无法保证这种接近程度会超过此示例；我们将其概括为伴随通货膨胀风险的需求的一部分。假设u和r-1台=- R-1台XoptTZTandR-1c，u=-R-1c，ucoptuZuhold，最优投资组合构成xopttin（3.5）转化为xoptt=bσ>-1tXopttE公司ZTtR公司-1c，ucoptuZt，ubλtdu+R-1XXoptTZt，Tbλt英尺+ E“ZTt1.- R-1c，uXi=1Git、ucoptuZu、tdu+1.- R-1台Xi=1Git，TXoptTZT，t英尺#！，（3.15）其中，CT的RRA和XT的RRA的两个基金分离原则是明显可见的。也就是说，我们根据-1c，u-R-1c，ucopttR-1台-R-例如，XXX优先权适用于双重CRRA规定。在Brennan和Xia（2002）中，作者为效用最大化的CRRA投资者详细解释了这一现象。3.2凸对偶应用本节将凸鞅对偶应用于m{xt}t中的动态资产配置问题∈[0，T]bax这在很大程度上是受到罗杰斯（2001）的启发，目的是将原始与双重相结合。我们将显式最优性陈述放在下一节。Mwealth dynamics通过K适应一般投资限制。因此，sup{xt，ct}t∈[0，T]∈bAXE公司中兴通讯-Rtβsdsu（ct，∏t）dt+U（XT，∏t）s、 t.dXt=-ctdt+XthRf，t+x>tbσtbλt对于givenX，dt+x>tbσtdWti，（3.16）∈ R+详细描述了约束投资组合选择问题。由于这些约束的存在，鞅方法无法将静态问题等效为（3.1）。尽管如此，在应用对偶模式后，产生的对偶意味着活跃的市场Mbν，其中出现了静态无约束问题。XTB公司-1T=X-ZTctB公司-1tdt+ZTXtB-1tx>tbσtdWt+bλtdt（3.17）Mbν那些在无约束基线M中的。理解后者对于前者是必要的。这种基于数字的方法中的外生货币市场账户B不影响最优性条件，参见。

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2022-6-24 06:19:27

罗杰斯的专著（2013）。在{Yt}t之后∈[0，T]Y∈ R+，作为动态相对财富（3.17）过程中的状态拉格朗日乘数，让dYt=YtαY，tdt+bβtdWt. 然后，E[XTB-1TYT]必须等于toXY+DB-1年月日，x> tbσtbλt+bβt+ αY，tXt公司- ctEL公司(Ohm×[0，T]），（3.18）考虑到部分结果的积分，其中平方可积随机积分Tbβ>t+x>tbσt期望中的dWtvanishes。在制定拉格朗日（3.16）（3.18）松弛度（CS）时，对Yt的漂移和扩散系数提出了限制。这个双重问题依次出现并涉及{Yt}t上的最小化∈[0，T]。或者，我们可以以普通方式将重写的动态约束（3.17）强制为一个格兰奇乘数。因此，我们得到了期望值atDYT，δx> tbσtbλtXtB-1吨+ 像素(Ohm)+DYTB公司-1吨，-ct+x>tbσtbλtXtEL(Ohm×[0，T]），（3.19）EYTRTXtB公司-1tx>tbσ行波管ERTXtB-1tx>tbσtEYTDWtlogYT英尺t型依赖于Malliavin核的Hermitian伴随算子。这种方法实际上与Rogers（2001）和（3.18）中采用的技术完全相同，并强调了零件配方的集成。然后，让我们转向基于拉格朗日乘子过程的对偶结果，如随后在定理3.2中所述。定理3.2。考虑（3.16）中的约束动态分配问题。引言Yt=YtαY，tdt+β>1，tdWt+β>2，tdWt, （3.20）对于未指定的∈ R+，其中kβ1，tkL（[0，T]）d，kβ2，tkL（[0，T]）m∈ D1,2。此外，letbβt=[β1，t，β2，t]>并定义漂移项αY，t∈ D1,2（[0，T]）包含在YTA中-αY，t=δbβt:= sup{xt}t∈[0，T]∈bAX公司bλt+bβt>bσtbxt, &eAPX：=nbβt |δbβt< ∞o、（3.21）让HPbA：=bβt | kδ（bβt）1/2kL(Ohm×[0，T]）<∞n=m+d，则对偶体附着于infBβt∈D1,2（[0，T]）n，Y∈R+EZTv公司YtB公司-1t，∏tdt+VYTB公司-1T，∏T+XYs。t、 bβt∈ HPbA，（3.22）在下一个定理3.2中，半鞅找到了其技术上精确的定义。

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大多数88

2022-6-24 06:19:31

观察到，如果我们在无约束环境M中沿着这些线进行追踪，我们会得到Yt=dQdPFtH公司-1（X）。v、 VR+×R+→ 重新-RtβsdsuUbβopttsolves（3.22）和δbβoptt=bλt+bβoptt>bσtxoptt。最佳XT和ctthen符合OPTT=eIeRtβsdsYopttB-1t，∏t和XoptT=IYoptTB公司-1T，∏T, （3.23）其中，可从下一个等式bh获得最佳拉格朗日乘数Yopt公司= Yopt公司-1E级ZTcopttYopttBtdt+XoptTYoptTBT= X（3.24）YoptbH-1（X）xOPTT分解为bxm，optt+bxZ，optt+bx∏，optt，对于bxm，optt=-bRf，1，tXoptt-1bσ>-1tbβopt包括Bx∏，opt=bσ>-1tXopttE公司ZTtcR公司-1c、ucGt、uBtYoptt-1du+cR-1XcGt，待定-1选项英尺bxZ，opt=bσ>-1tE“ZTtcGt，u-cGt、ucRc、u！¨coptt、uXopttdu+cGt、T-cGt，TcRX！¨Xoptt，T英尺#（3.25），其中br-1f、t、t=-呃RTtcR-1c、ucoptuYoptt、uBt、udu+cR-XXX选择PTT、TBt、TFti，¨coptt，u=coptuYoptt，uBt，u，¨Xoptt，T=XopttXoptTYoptt，TBt，T。最后，Xoptt=EhRTtcoptuYoptt，uBt，udu+XoptTYoptt，TBt，TFti和随后的SUP{xt}t∈[0，T]∈bAXZT公司EhbSTYTBT公司-1.Fti公司- 东[年初|英尺]StBt-1.>dXtxt文件 S-1t<∞. （3.26）成立，意味着Y-1B级-1在受约束的基线市场中引入SPD证明。让我们介绍问题（3.16）的拉格朗日，并用它的引理L=E重写它ZTu（ct，∏t）eRtβsdsdt+U（XT，∏t）+XY- XTYTBT公司-1.-中兴通讯-1dt+ZTnx> tbσtbλt+αY，t+x>tbσtβtXtYtBt公司-1吨+x> tbσt+bβtXtYtBt公司-1dWto.（3.27）XT方向和{ct}t的最小化∈[0，T]-L屈服方向dXTLζ=EUX（XT，∏T）- YTB公司-1吨ζ=0D{ct}Leζt= EZT公司e-RtβsdsuX（ct，∏t）- YtB公司-1吨eζtdt= 0，（3.28）对于所有ζ∈ R+andeζt∈ L(Ohm ×[0，T]），获得（3.23）中的最优性条件。我们参考定理3.1关于涉及Fréchet导数的类似恒等式（FOCs）的证明，将copttand XoptTback插入L，我们得到了直到{xt}t的对偶目标函数∈[0，T]∈bAXEhZTXtYtBt公司-1x>tbσtbλt+αY，t+bβtdti。（3.29）在{xt}t上优化后∈[0，T]∈bAX公司。

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2022-6-24 06:19:34

CS随后产生（3.21）和（3.26）。Cvitani'c和Karatzas（1992）表明bβopttensuresxoptt∈bAX公司。根据定理A.1：x> tbσt+bβ>tXopttYtoptBt-1=E载重吨XoptTYToptBT-1+RTtcoptuYuoptBu-1件英尺>. LetcGt，u：=ZutDWtπs- DWtbξs·bξsds+ZutDWtbξsdWs+bξt，u≥ tcGt，u：=-ZutDWt公司Rf，s+δbβt+ DWtbβs·bβsds+ZutDWtbβsdWs，u≥ t、（3.30）其中WTRF、sfors≥ 这在定理3.1中给出。此外，所有CRTERM与RTERM等效，包括（3.23）而不是（3.3）。相应地，xoptt=bσ>-1tXoptt–xm，opttbβt+BtY-1tEZTtcR公司-1c、ucGt、udu+cR-1XcGt，T英尺+ EZTt公司1.-cR公司-1c，ucGt、u–coptt、udu+1.-cR公司-1台cGt、TXoptTYt、TBt、T-1.英尺!（3.31）其中–xm，optt=-ERTtcR-1c、u–coptu、tdu+cR-XXX选择PTT、TBt、T英尺,cRc，u=eIYeRuβsdsYoptuBu，∏ucMu，cRX=IYYoptTB公司-1T，∏TdMT，其中我们定义为B-1tYoptt∏t t型∈ [0，T]。上述定理揭示了为约束基线奠定基础的两个最重要方面。从这两个方面来看，根据Cvitani'c和Karatzas（1992），让我们在第2.2节中讨论整个活跃市场。为了实现这一点，参数Bβt=-bλt- bσ-1tbνt对于某些bνt∈ D1,2（[0，T]）d+m，并重写-αY，t=δbνt:= sup{bxt}t∈[0，T]∈bAPX-bν>tbxt, witheAPX：=eAX=bνt |δ（bνt）<∞. （3.32）漂移项αY，用inyt圈起来的十，因此会变成mbν中支持函数的负对应项，因此相应的势垒锥也会变成mbν的类似物，参见（2.9）。类似地，可行的双重控制集shpabecomesxopttytb-1tERTTCoptuuxoptyopttbt-1.英尺Yt，TY-1tYTBt，TB-1tBTYoptis可获得，类似于H-定理3.1中的1（X），以及\'’ 表示阿达玛积。HbA，我们需要∈ HbA，符合双重约束（3.22）。

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2022-6-24 06:19:38

然后让我们观察-1本术语适用于所有∈ [0，T]可分离asYbB-1tdQbν/dPFtorlikewise asYZbνt，其中B为实际货币市场账户，Zbνt为艺术SPD，QbνMbνB-1tytwereinbbt作为货币市场账户，bstin（2.10）作为风险资产。在艺术市场中，投资者对投资组合规则的选择不受限制∈[0，T]，表明鞅方法是适用的。因此，sup（XbνT，bct）∈cLE公司ZTeRtβsdsu（bct，∏t）dt+UXbνT，πTs、 t.EZTbctZbνtdt+XbνTZbνT≤ 十、对于bνt∈ HbA（3.33）（3.16）XbνT（2.12）{bct}T∈[0，T]Zbνtequates玩具-1年至今-1t和Bνt∈ HBa未具体说明。因此，最佳Xbν，optTIbηoptZbνT，Tbcoptt=eIbηopteRtβsdsZbνt，∏t, 其中，匹配规则bxoptt等于toxoptin（3.31），拉格朗日乘数bηopt∈ R+是静态约束绑定的结果。备注1。LetLbνt，t=RTe-Rtβsdsu（bct，∏t）dt+UXbνT，∏T, 和ηbν∈ R+应确保预算约束（3.33）具有约束力。那么，（3.22）中的规范与jopt（X）=infbνt相同∈HbAsup（XbνT，bct）∈cLE公司Lbνt，t- ηbνZTctZbνtdt+XbνTZbνT- 十、. （3.34）Xbν，optTbcopttin定理3.2。因此，双重目标与选择最坏情况下的市场相协调。类似地，对于anybνt∈ HbA，则（3.33）中的目标提供了上限（3.22）。由于强烈的二元性，这一最不利的选择拉拢了受约束的金融市场基线，其中COPTT、BXOPTT符合BAX所附的可接受性要求。从SPD（2.11）可以明显看出bν与经济情景之间的联系。3.3不完全市场中的最优性本节通过说明定理3.2中关于非交易风险的主要发现得出结论。我们使用一个终端财富框架，在δ（bνt）的约束下对经济进行适度调整=-bν>txtforbνt∈ HbA，Y-1年至今-1T用作SPD inM。

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2022-6-24 06:19:41

如果不满足此条件，则恢复{xt}t∈[0，T]inMfails，但{bxt}T成功∈[0，T]inMbν。最优决策{bxoptt}t∈因此，对于每一个bνT，实际中的[0，T]Mbν在M中可能不被允许∈ HbA。完成此操作，重新考虑，设置σSt：=σSt，m×d>,σSt：=d×m，σSt>, 并通过K限制STDWTSTRESTRICTION Rd+m，按K=Rd×{0}m计算：WT不交易。在fictiousmbν中，支撑函数和势垒锥变为δ（bνt）=0<∞, 对于bνt∈eAX：={0}d×D1,2（[0，T]）m，与vνT相同∈ HbA={0}d×D1,2（[0，T]）mbνTbν1，t，bν2，t>Mbνbν1，t=0和bν2，t∈ D1,2（[0，T]）mhold。艺术非交易资产遵守DDTDT=Rf，tm+σStλ2，t+bν2，tdt+σStdWt，D=1m，（3.35），其中，vν2“自由”实现1,2（[0，T]）m的整体值，其与tst{Wt}T结合∈[0，T]σStd+m×mbν1，tdBt=bbt由于δ（bνT）=0而继续生活在mbν中，并且我们分组bst=[St，Dt]>。bxtbxt[xt，xf，t]>xt在真正的市场M和xf中，投资于Dt的财富比例。那么，dXbνt=XbνthRf，t+x>tσStλ1，t+x>f，tσStbλ2，tdt+x>tσStdWt+x>f，tσStdWti，（3.36）描述了艺术财富过程，其中我们将λ2，t=λ2，t+σStdWti-1bν2，t为简洁起见。此外，我们禁止将消费过程包括在内，因为为了稳定性，我们将分析定义为仅从地平线财富中获得效用的投资者。艺术环境中纺织品的可采性MBν继承了（2.13）Mxf，Tm的定义。最终，我们观察到，实际的动态分配问题读作assupXbνT∈L(Ohm)EUXbνT，∏Ts、 t.EXbνTZbνT≤ 十、（3.37）在应用于之前的设置时，我们继续分解乘法器过程中调用的定理3.1Mbν。最后一个命题保留了M命题3.3中的最优性。考虑（3.37）中的问题。

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2022-6-24 06:19:44

然后，最优地平线财富遵循xoptt=E我H-1（X）ZbνT，∏TZbνt，t英尺, 0≤ t型≤ T（3.38）实际上，K=Rd×{0}确定了{∏T}T的部分套期保值性∈[0，T]。Msup{xt}∈bAXE[U（XT，πT）]s.T.XtXtRf，tx>tσStλ1，ttx>tσStWt其中ηopt：=bH-1（X）表示乘数。最佳投资组合从BXOPTT上升=ZbνtXopttbσ>t-1nEDWtZbνTXoptT英尺+bλtEZbνTXoptT英尺o、（3.39）然后，确定已转换RRA（代理）asRt的预测我ηoptZbνT，πT, ∏T-1= -E“ZbνTE[XoptTZbνT | Ft]UXXoptT，∏TUXXXoptT，∏TFt#RtIY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1= -EhE公司XoptTZbνT英尺-1 YηoptZbνT，πTdMT公司Fti，（3.40）RtRtIY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1 TRT公司我ηoptZbνT，πT, ∏T必要时，t确认Rit=E临界值，T英尺对于i=1，2。然后，xoptf，t保持自身toxoptf，t=σSt>-1.Rt公司IY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1Gt，T+1.- Rt公司我ηoptZbνT，πT, ∏T-1.Gt，T+Rt我ηoptZbνT，πT, ∏T-1bλ2，t.（3.41）最优BxOpt中的套期保值系数为nbλf，t=λ1，t，bλ2，t>等于toGt，T=RtE-cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWs+bλf，sds我英尺Gt，T=RtE-cRt，TZTt公司hDWtπs- DWtbξs·bξsids+DWtbξsdWs+bξt英尺,（3.42）其中gt，T=Gt，T，Gt，T>andGt，T=Gt，T，Gt，T>. 因此，bxoptt源自xoptf，t的分析：用bσt替换σst，并分别用Gt，Tand Gt，t证明术语Gt，Tand Gt，tb。结果和相应的证明来自定理3.1。命题3.3总结了实际终端财富（3.37）的最佳解决方案，与后两者的最优解决方案相去甚远。然而，有三个方面与艺术市场不同，包括未明确的影子价格bνt∈ HbA：（i）明确依赖于bν2，t的最优控制，（ii）如（3.13）中所述的改变分解，以及（iii）bν2，t的休眠存在，即xotf，t=0m。

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2022-6-24 06:19:48

关于第（i）项：bxoptt=B-1tXopttbσ>t-1EQbνDWtB-1TXoptT- B-1TXoptTZTtDWtbλf，sdWQbνs（3.43）此处，bH:R+→ R+从bh（η）=E开始我ηZbνT，∏TZbνT, 和Zbνt，t：=Zbνt-1ZbνT.将括号中的forGt、TandGt、Tin（3.42）分别替换为（RTtDWtπsds+ξ∏T）和(-RTt（DWtRf，sds+DWtbλ2，sdW2，Qcλs））生成最佳有效分配xOTPTF，tto Dt。这让人想起（3.12）最优投资组合决策取决于度量值qbνbBtMbνbν2，t该度量值qbν的非唯一性表明bxopttis受制于潜在的bν2，talter bxoptf，t。对偶问题利用该性质来推测xoptf，t=0m。关于第（ii）项，我们模拟了用于获取（3.13）的分解程序，该程序命令bxoptt可分离为bxoptt=bxmt+bxZt+bx∏t，其中bxZt=-bσ>-1tRt1- RtE公司cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWsi英尺bx∏t=-bσ>-1tEcRt，TZTt公司hDWtπs- DWtbξs·bξsids+DWtbξsdWs+bξt英尺,（3.44）规则涉及普通相切平均方差系数portfoliobxmt=Rt（bσt>）-1bλt.bν2，t{bλf，t}t∈[0，T]嵌入{bν2，T}T∈[0，T]，以及可预见的RRA系数。最后，注意到Bλ2，t的内生性，或同等的Bν2，t的内生性，在bxoptt命题3.3的表达式（3.41）中，我们发现Bλ2，tbλ2，t的下一个恒等式=1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T- Rt公司XoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T（3.45）根据（3.41）免费废除任何分配toDt：取决于bν2，tobeying（3.45）xoptf，tm{bλ2，T}T∈[0，T]（3.45）bλ2，ta全后向-前向方程，类似参数见Detemple（2014）。由于这种收集bλ2的方法是暂时的，我们接下来将讨论对偶概念。提案3.4。考虑基线市场M中（3.37）中投资组合选择问题的约束模拟。

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2022-6-24 06:19:51

对于拉格朗日乘子，引入严格正鞅过程dyt=Ythβ>1，tdWt+bβ>2，tdWti（3.46）∈ R+，其中β1，t=φMt- ξ∏tandkbβ2，tkL（[0，T]）m∈ D1,2。然后，以下不等式适用于任何BXT。t、 xf，t=0m，Yandbβ2，tE[U（XT，∏t）]≤ E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，（3.47）在所有可行的bνt中完成Mbν∈ HbA—确实确保xopt，t=0，这样bxoptt∈bAX公司。同源tobxt=[xt，xf，t]>，这三个需求分为实际的“xf，t”部分和真正的“xt”部分。将Malliavin内核更改为DWtor DWtin（3.44），将真实需求与实际需求隔离开来。双基金分离原则与（3.15）类似，也可以通过（3.44）看到。VUdynamic资产配置问题以以下方式展开：infBβ2，t∈D1,2（[0，T]）m，Y∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX。（3.48）除此之外，由于xt=0不可行，强对偶性仍然存在：sup{bxt}t∈[0，T]∈bAXE[U（XT，πT）]=infbβ2，T∈D1,2（[0，T]）m，Y∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX。（3.49）假设bβopt2，tandYoptsolve（3.48）。那么，最优终端财富符合xOPTT=IYoptTB公司-1T，∏T. 互补松弛交替使用SUP{xt}t命令∈[0，T]∈bAXZT公司EhbSTYTBT公司-1.Fti公司- 东[年|英尺]bStBt-1.>dXtbS-1吨 bxt<∞. （3.50）表示Bβt=-bλf，t等于Y-1年至今-1T=B-1TdQbν/dP同意ZbνTin Mbν。证据这个命题的证明来自定理3.2的证明。命题3.4包含了与定理3.2中的结果一致的与其原始同系物相对应的对偶问题，这对于规范（3.37）至关重要，有助于协调基线约束市场与该规范经济体。与定理3.2一致，在本例中，Mbν从CS（3.50）Y中确定其定义-1YtQbν/P | ft对于（3.17）中以numéraire为基础的大道，双重含义是最小化过度-1Yt=ZbνtBt=Eλ> 1，t经验值-ZTbλ>2，tbλ2，tdt-ZTbλ2，tdWt（3.51）bνt∈ HbAtrades是最没有吸引力的。

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2022-6-24 06:19:55

此定价措施的选择即通过bλ2，tt型∈[0，T]纯粹基于非交易不确定性{Wt}T的定价∈[0，T]。为了揭示这一现象，让我们定义β：={Qβ~ P |等式βB-1测试Fs公司=B-1SS，等式βB-1tDtFs公司- B-1sDs∈ R dt P-a.e。， 0≤ s≤ t型≤ T}。因此，infQβ∈Mβ，η∈R+E五、ηB-1TdQβdP，∏T+ ηX，（3.52）CS条件bβt=-bλf，t从以下事实得出：∈ Rddt P-a.e.，授权{Yt}t∈[0，T]操作asdQdP英尺，0≤ t型≤ t关于{Wt}t∈[0，T]。同时，关于{Wt}t∈[0，T]，结构xf，T=0决定{Yt}T∈[0，T]在定价Dt时是不受限制的。ηY（3.48）可控Radon-Nikodym衍生物与有效外生名义利率的可分性。假设Qβopt∈ Mβ的最佳值为（3.52），然后dmt=exp-RT公司Rf，s- πs- （bβopts）>bξsds公司EφMt，bβopt2，t+ξ∏t>定义定价核函数xf的模拟值，t=0m。因此，在受过训练的市场中，在一个有效的内生过程之前，SRF是外生的。最后，为了有助于近似双重控制机制，让我们推导出thatsup{bxt}t∈[0，T]∈bAXE[U（XT，πT）]≤ infbβ2，t∈P、 Y型∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ XY（3.53）P D1,2（[0，T]）mofD1,2（[0，T]）mtopbeging基于（3.47）和强对偶性（3.49）给出了最优值函数的上界。同样，限制Top可能会在原始问题中产生一个下界。将这两个结果结合起来，1,2（[0，T]）的收缩可以确定最优值函数的上下界。我们通过求解对偶（3.52）完成了对这个理论例子的阐述。

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2022-6-24 06:19:58

有鉴于此，让我们bβ2，t, Y= E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，然后辨别W=EVX公司YTBT，∏TYTBTZT公司φ> tdWt公司-bβ>2，tφtdt+ OkφtkD1,2（[0，T]）m,（3.54）其中，w:D1,2（[0，T]）m×R+是符合（3.52），φtandbβ2，皮重的无约束目标，使得φT，bβ2，T+φT∈ D1,2（[0，T]）m和vx表示VIN的导数及其第一个参数。此外，我们还要注意Landau函数。然后W描述了小扰动φtonbβ2，t对W的影响。应用关于最优控制周围的小扰动必须对W有显著影响的论点，设置W等于零恢复了最佳Bβ2，t。我们在命题3.5中对此进行了形式化。提案3.5。考虑双重优化问题（3.48），以符合资产最佳配置的实际规范（3.37）。那么，bλopt2，t=-EB-1tyoptxoptt英尺-1EhDWtB-1tyoptxopttFti公司=1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T- Rt公司XoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T（3.55）逐项列出了一个等式，我们可以从中提取bλopt2，T以优化对偶。此外，bHηopt= E我ηoptZbνT，πTZbνT= X（3.56）观察（3.52）条线，如（3.34）所示，并选择最不利的完井方式。立根轴减小为符合所有Bλ2，t的立根轴∈ P、因此，投资者无法有效地保护自己，使其免受Wt公司t型∈[0，T]，意味着这样一个下限。bβ2，t-bλ2，tZbνtY-1年至今-1确定我们能够从中提取唯一乘数ηopt=Y=bH的身份-1（X）。关于Stobey-toxoptt的最优投资组合规则=σSt>-1.Rt公司IY公司ηZbνT，∏T, ∏T-1Gx，t，t+1.- Rt公司我ηZbνT，∏T, ∏T-1.Gx、t、t+Rt我ηZbνT，∏T, ∏T-1λ1，t,（3.57）除toxf外，t=0m。提案3.3产生的其他条件仍然有效。

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2022-6-24 06:20:01

与（3.44）一致，xoptt=xm，optt+xZ，optt+x∏，optt保持，其中σSt>xZ，optt=-Rt1- RtE公司cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWQbνsi英尺（3.58）描述了随机偏差对冲的同一性，其中σSt>x∏，optt=-EcRt，TZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+bξt英尺（3.59）xm，opttRt-1σSt>-1λ1，t表示均值-方差组合。此外，套期保值系数readGx，t，t=RtE-cRt，T-ZTthDWt公司Rf，sds+bλf，sdWQbνs我英尺Gx，t，t=RtE-cRt，TZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+ ξ∏t英尺（3.60）推导（3.57）中的投资组合规则，其中DWtRf，s=DWtrs+DWtπs- DWtλ>sbξs.证明。（3.48）WD1,2（[0，T]）m×R+→R、注意D1,2（[0，T]）m L(Ohm ×[0，T]）m.LetψT∈ D1,2（[0，T]）m，则：D{bβ2，T}W{ψT}=EVX公司YTBT，∏TYTBT公司-ZTbβ>2，tψtdt+ZTψ>tdWt= 0。（3.61）上述规定了弗里切特导数，应等于0。我们简化了{bβ2，t}W{ψt}=-E“ZTXoptTZbνTδ（ψt）- β> 2，tψtdt#= -中兴通讯ψ> tEhDWtXoptTZbνT-bβ2，tXoptTZbνTFti公司dt=0，（3.62）XoptTIB-1TYT，∏TZbνTB-1我们采用提案3.3中关于RTA和Rtalong以及CRT、TandcRt、TF的定义。bλf，t的最优性依赖于K的定义，因此是特定情况。因此，我们提供了证明。结果EDWtI公司YTBT，∏TYTBT公司-bβ2，tIYTBT，∏TYTBT公司英尺, ψtL(Ohm×[0，T]）=0。通过Riesz-Fréchet表示定理的virtueof，给定Rx，T：=IX（ηZbνT，∏T）ηZbνT，我们导出了bβopt2，T=EXoptTZbνT英尺-1EhDWtXoptTZbνTFti=EXoptTZbνT英尺-1×EhRx，T+XoptTDWtZbνT+IYηZbνT，∏TdMTDWtlog（πT）Fti（3.63）导致tobβopt2，t=-1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T+RtXoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T。乘数Yopt∈ R+诱导XoptT=I伯克希尔哈撒韦-1.十、Y-1YToptBT-1，∏T从…起-DYWκ=E我YZbνT，∏TZbνT- 十、κ=XoptTZbνT- 十、 κL(Ohm)= 0，（3.64）表示所有κ∈ R+。

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2022-6-24 06:20:04

然后，bβopt2，张力{bxoptt}t∈[0，T]∈bAXsuch ThatxOptts在受约束的市场M中既可行又最优，这归因于强二元性（3.49）。上述定理引出了与约束效用最大化问题的最优解有关的两个组成部分：（i）命题3.3中Bν2，tso的选择，以及（ii）BxtxtBνopt2，tbνopt2，t对偶的最优性标准。此外，它与（3.45）的等价性是明确的。对于最后一个元素，考虑到（3.37），我们观察到M中的静态问题服从于SUPXT∈L(Ohm)E[U（XT，∏T）]s.T.EXTZbνT≤ 十、 bν2，t=bνopt2，t.（3.65）前面的三个命题强调了在非交易风险的情况下，受约束的原始问题和无约束的行为规范之间的对偶性质。特别是对于每种选择的bνt∈ HBA到最佳值函数。充分减少双重因素，即选择最低价格，参见（3.45）。因此，我们随后概述了一种近似方法。4近似方法原则上，命题3.5是从插入{bβoptt}t发展而来∈[0，T]转化为命题3.3。利用定理3.1和命题3.3中的求解技术，得出命题3.5。对于不同于k=Rd×{0}m的限制，考虑例如Cuoco（1997）或Tepla（2000）。由于定理3.2中缺少闭式表达式，我们将可用Bβ的空间定义为一个闭凸集。然后，该过程存在于该定理提供的信息中，这样就可以得到真正最优投资决策的分析近似值。对偶原理产生了最优值函数的上下限，使我们能够衡量该方法的准确性。

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大多数88

2022-6-24 06:20:07

我们附加了近似方法的蓝图和一个与第3.3.4.1节可行性策略投影相关的示例。我们从描述该方法开始，强调其子结构Bβ和凸集，P D1,2（[0，T]）n，它构成了将（3.45）投资组合规则激励到与控制P的有限空间一致的预先指定的可行区域bax的基石。此方法的根源在于不等式P{xt，ct}T∈[0，T]∈bAPXJL十、 {xt，ct}t∈[0，T]≤ infbβt∈HPA∩P、 Y型∈R+JU十、 Y，bβtt型∈[0，T], （4.1）其中，BAPX综合了所有与Bβt一致的可接受策略∈ HPbν∩ Pforbβt∈D1,2（[0，T]）n。此外，JLandJUdenote分别为原始（2.15）和双重（3.22）目标。定理3.2（4.1）当且仅当ifP=D1,2（[0，T]）norbβoptt时成立∈ pjoptarks jl和jualternate具有近似tobβt.P{bxt，ct}t的有效性∈[0，T]∈bAPXTo超越了解决（4.1）的LHS、Weaproximate terminal wealth XopttByx和一致消费流copttbyX的相应分析不可能性*T=X+ZTRf，tX*t型-bcP、opttdt+ZTprojbA0PXbxopt，>tbσtX*t型dWt+bλtdt, （4.2）我们发布ProJBA0px的地方：L(Ohm ×[0，T]）n→bA0PXbe是一个投影核，它与一个将任意n维状态方可积投资计划映射到{xt}t的算子相吻合∈[0，T]MbA0PXbcP，opttbcoptt/Xoptt|bβt∈HPbA公司∩军中福利社*TBCOPTTBXOPTTXOPTT定理3.2对偶中固有的最优控制。我们还注意到，基本财富X*Tdepends基于其过去的值，这些值可以通过X获得*T | T=T.bνtbβ远距。尽管如此，该方法的基础不会因bνt的障碍而改变。请注意，无约束bν中的最优性条件，即定理3.2中关于待定bβt的最优性条件，在分析上是可用的。

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2022-6-24 06:20:10

真正的最佳XOPTANDCOPTTFORbxoptt公司t型∈[0，T]bβtt型∈[0，T]该{bxt，ct}T∈[0，T]∈巴克霍尔德。因此，这些初始投资组合规则的可接受性受到Bβt唯一修改的影响。基本思想是，在保留1,2（[0，t]）ntoP的情况下，这些决定实际上等于定理3.2中未具体Bβt的决定∈ HPbA公司∩ 潘迪∈ R+。我们下一步努力tobxoptt | bβt∈HPbA公司∩p在投影操作符的帮助下满足可接受性标准。projbA0PXbxoptt、bcP、opttt型∈[0，T]对于anybβT∈ HPbA公司∩ P、为了测定bβt，考虑dpbθL，*t、 bθU，*t型:= infbθU，*t型∈HPbA公司∩P×RJU十、bθU，*t型- supbθL，*t型∈HPbA公司∩P×RcJL十、bθL，*t型, （4.3）定义了与限制toPunderX相关的最小对偶间隙*Tin（4.2），其中我们分离了原始边bθL上的未指定近似控制，*t型=bβL，*t、 YL，*从双侧BθU上看，*t型=bβL，*t、 YL，*. 我们还将在插入projbA0PXbxoptt、bcP、opttt型∈[0，T]。最小二元间隙的量化以概述的近似值CJLProjba0pxbxOptBCP为条件，选择（4.3）中最右的项，通过连续的bθL完全确定，*t、 bθU，*t（4.2）X*T=X+ZTRf，tX*t型-bcP、optf、tdt+ZTdprojbA0PXbxopt，>tbσtX*t型dWt+bλtdt, （4.4）dprojbA0PXbxopt，>tprojbA0PXbxopt，>tbθL，*t=bθU，*tbcP、optf、tbcP、opttbθL，*t=bθU，*TXOPTCOPTTBβopttPcJLbθU，*tbθL，*t根据bθL，*t=bθU，*tin general仅适用于DPbθL，*t、 bθU，*t型= 这个等式具体地表明，在Bβ选择性地优化对偶的前提下，实际上相同的Theorem 3.2说明了xopttinmunmun。

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2022-6-24 06:20:13

在本分析中，我们利用这些等式计算未定义的bβt，类似于bxopttin Mbν。我们独家提及BxOPTT | bβt∈HbA∩Sphere，因为EBCTP选择不影响BXT的可接受性。近似原始参数和对偶参数伴随着三层最优性缺口。对偶差距减至零的例外情况是，当限制集P包含真正的最优影子价格Bβt时，或当我们让P与原始集1,2（[0，t]）n合并时。在所有其他情况下，DPbθL，*t、 bθU，*t型>0为真。因此，为了使（4.2）和（4.4）中两种近似的对偶间隙的大小都切实可见，我们计算了所谓的补偿变化。为此，我们检查X+CV，bθL，*t型= infbθU，*t型∈HbA×RJU十、bθU，*t型+ DPbθL，*t、 bθU，*t型, （4.5）其中，我们让JL，opt作为（4.3）中的主要目标，由两种近似模式中的一种产生，对应于初始禀赋x∈ R+。这里，我们用CV表示补偿变化∈ R+。前面的数量定义了必须添加毒素才能超过DP的资本量bθL，*t、 bθU，*t型. 从经济上讲，保护代理人不受{Wt}t不可分散性变化影响的VCV费用∈[0，T]。4.2逐步逼近路线我们继续描述P的近似方法 D1,2（[0，T]），在涉及蒙特卡罗的逐步例程中。尽管之前的近似toxoptt，但通常不会导出一个封闭式公式。考虑进一步可能的实际特征。让我们重写近似财富的等式，（4.2）或（4.4），如下所示*T） =日志十、+ZT公司Rf，t- c*t型-\'\'x>，*t'x*t型dt+ZT'x>，*t型dWt+bλtdt, （4.6）其中“x>”，*t=x>，*tbσ-1和C*t=bcP，opttX*t型-1，其中X*这近似于弓形虫病。因此，我们确保X*t> 0表示所有0≤ t型≤ T、并消除依赖项x*TT=T，否则会影响模拟。

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2022-6-24 06:20:17

请注意，X*t来自RTt–coptt、udu+XoptTYoptt、TBt、T-1.英尺在定理3.2和thatbcP中，optt恢复事后事实c*德克萨斯州*t步骤1。方法初始化。我们初始化anN∈ N、表示数字{Wt}t∈[0，T]ωi∈i、，Nwe fix anM公司∈ NrepresentingWt在[0，T]上的时间增量数。也就是说，我们将[0，T]划分为0=T<T<…<tM=Tsuch that我们请读者参阅de Palma and Prigent（2008）和de Palma and Prigent（2009）了解详细信息|ti公司- ti公司-1 |=T/Mfori≥0.总之，可以使用有限差分方法，根据N×M诱导的样本空间模拟状态变量。步骤2。财富动态。十、*德克萨斯州*tc公司*ticallog（X*T）在（4.6）中。由此产生的过程配备了未指定的BθL，*t、我们给状态相关过程赋以ωj-符号。近似值X*t然后同意log（X*T（ωj））=对数（X）+MXi=1Rf，ti-1（ωj）+x>，*ti公司-1（ωj）λ1，ti-1.- c*t（ωj）-\'\'x>，*ti公司-1（ωj）(R)x*ti公司-1（ωj）ti+MXi=1英寸x>，*ti公司-1（ωj）Wti（ωj）- Wti公司-1（ωj）（4.7）j，Ntiti公司- ti公司-1英寸x*tiweights隐含在Projba0pxbxOptOrdProjba0pxbxOptT中。我们模拟x的对数*Tso asto safeguardX*T> 0，参见（4.6）。前一规则“离散重复项”x*注意未指定的BθL，*t、并遵循方程（3.31），作为状态变量的非线性变换。更多，X*tn取（4.7）中的和，直到n=1，M、第3步。影子价格和乘数。然后，我们继续优化确定近似影子价格bβL，*t对应的拉格朗日乘数，*bθL，*t型∈ HPbA公司∩ P×r最大化由以下原始值函数cjl=NNXj=1MXi=1u确定的作业下限c*ti（ωj）X*ti（ωj），∏ti（ωj）ti+NNXj=1U（X*T（ωj），∏T（ωj）），（4.8）以上bβL，*t、 YL，*∈ HPA∩ P×R。

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