论不完备金融市场的不完备程度

2022-6-11 04:07:38

不完全金融市场的不完全程度。ABDELKAREM Berkaoui摘要。为了找到一种衡量不完备金融市场不完备程度的方法，重新引入了交易资产向量价格过程的等级和相关可接受集的维度。我们证明了它们是相等的，并且具有各种后果。1、引言、注释和复习。1.1. 介绍。等价鞅测度的概念是金融数学理论的基石。实际上，资产定价的两个基本原则是建立在这一通知上的。更准确地说，第一个原则是，由一个数量和一组有限的交易资产组成的市场满足无套利属性，前提是这些资产的价格过程允许至少一个等价的Mar r t ingalemeasure，而第二个原则进一步确定，在这种市场中，任何未定权益都是可以获得的，这意味着可以通过自我融资策略对其进行对冲，如果且仅当该等效鞅测度是唯一的。在第一种情况下，市场被称为不完全市场，在第二种情况下，市场被称为完全市场。有关该主题的更多详细信息，请参阅[4]和其中的参考文献。毫无疑问，完整市场是完全避免风险的典型市场。因此，从一个不完整的市场开始，我们可以衡量这个市场的不完整程度。或者换言之，如果存在最新的完整市场，我们可以测量它与该市场的距离吗。

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mingdashike22

2022-6-11 04:07:42

回答这个问题的一种方法，至少在理论上是，看看我们必须向这个市场添加的交易资产的最小数量，以增加我们的交易选择，降低现有风险，然后形成一个完整的市场。另一种看待这一问题的方法是，精确计算生成相关市场的交易资产的最低数量。为了说明这一点，让我们考虑一种单一风险资产，其价格X用布朗集表示为随机微分方程dX=σX dW的解，σ是一个有界适应过程。如果集合{σ=0}具有零概率，则该市场是完全的。因此，可以这样看待这个市场：过程W是市场中存在的风险的模型，过程X是生成整个布朗过滤FW的模型，以实现市场的完整性。从一个市场可以由向量价格过程X来建模这一事实开始似乎很自然，该过程X主要满足无套利假设和其他技术假设。我们将可实现权利要求B（X）={αoXT：α是一个可接受的策略}的锥与之关联，其中T是时间范围或时间，定义A=A（X）=（B（X）- L+）∩ L∞.我们将X的秩定义为最小数r，从而存在满足a（X）=a（Y）的向量价格过程Y=（Y，…，Yr）。在一种完全不同的方法中，由于集合a（X），先前定义的满足了a接受集的所有公理和以下关键词：鞅测度、m-稳定性、鞅表示、α-截面、秩、维数。AMS 2000科目分类：初级60G42；次要91B24.2 ABDELKAREM Berkaouit连贯风险度量理论的术语，我们将b表示为所有接受集b的集合，因此测试概率的相关集合QBof是一系列适应过程的mart ingalemeasures集合。

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2022-6-11 04:07:45

因此，为了确定元素的维度a∈ b、我们应首先确定构成A的组件，并将A的维度定义为生成集合A所需的这些组件的最小数量。在[1]中，引入了a部分的概念，并表明a部分只是isa部分的一个构建块。因此，基于这一概念，我们将组件定义为一个集合a∈ 任何子集b∈ A中的b是A的一部分，定义了一般集合A的维数∈ bas组件A，…，的最小数量，A等于A+…+我们将在后面说明，X a的秩r和a（X）的维数d是相同的。除此之外，我们还将向量价格过程X与样本时间空间的可预测分区相关联，这样在该分区的每个单位G上，过程1FoX对所有F都具有相同的秩 G、我们还将介绍a补码和astrict补码集的概念，作为正交向量空间概念的类似物，并通过定义两个集a、B∈ b带b A、我们可以将集合A分解为B和最小集合C的和∈ b、我们还刻画了A的维数是b和C的维数之和的情况。为了进一步分析向量空间的代数维数，我们引入了X的插入向量空间V（X）作为X的被积函数集的闭包，并证明了关联的随机代数维数d（X）与秩A和早期部分密切相关。该随机代数维数用于确定X作为金融市场生成器的完整性度量单位。给出了这一概念的进一步结果和应用。1.2. 不在ion。让我们考虑一个随机基(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P），满足通常条件。

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2022-6-11 04:07:48

验收集A定义为L中的弱星形闭凸锥∞, 满足两个条件：L∞- A和A∩ L∞+= {0}. 我们将集合Q=QAofP绝对连续概率测度与之关联，在A上取负值。我们用A表示所有接受集的集合，用ast表示元素A的集合∈ a，其关联集qam-稳定。在本文中，我们将采用以下符号：oP表示所有P-绝对连续概率测度的集合，而Peis是P中等价概率测度的子集π表示P和∏c的子集集，即闭凸集集Q∈ ∏这样的Q∩ Pe6=.o P表示由右极限的左连续过程类生成的可预测σ-代数对于概率测度集Q，我们将spm（Q）表示为Q-超鞅集，将m（Q）表示为局部Q-鞅集对于适应过程的族Y，我们用Msp（Y）（分别为Mloc（Y）），表示族Y的所有局部分精ale（分别为鞅）测度集。oLp（G；Rd）表示Rd值、p-可积和G-可测随机变量的Lebesgue空间，其中Lp（G）=Lp（G；R），Lp=Lp（F），对于1≤ p≤ ∞ 和asub-σ-代数G F、 o对于B Lp，表示Lpof B中的闭包，和*对于弱星closurein L∞.o αS表示过程αw.r.t.半鞅的随机积分过程Mn，m（P）表示所有Rn的集合Rm矩阵值可预测过程和α∈ Mn，m（P），span（α）表示矩阵α的行所跨越的向量空间。如果两个矩阵的跨距向量空间是，我们可以说它们是正交的。我们用秩（α）表示矩阵α的随机代数秩1和Fc分别表示指标函数和可测集F的互补集。1.3. 回顾

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2022-6-11 04:07:52

我们回顾了在[1]中引入的接受集的一部分的概念，并考察了它的一些性质。定义1.1。（Be rk aoui[1]）让F∈ P和A∈ 具有测试概率关联集的。我们将A的F部分定义如下：Fo A：={h∈ L∞: h类≤ 1FoXT对于某些X∈ spm（Q）}。[1]中已经证明1Fo A.∈ a、我们以1F命名o Q、相关的测试概率集。我们应该说B∈ a是a i f的一部分，它是a的f-部分∈ P、定理1.2。（Berkaoui[1]）设F，G∈ P和d A、B∈ a使a+B∈ a、然后（1）1Fo （1克o A） =1F∩Go A、（2）1Fo A+1克o A=1F∪Go A、（3）1Fo （A+B）=1Fo A+1层o B（4） 1F层oMsp（Y）=Msp（1FoY），其中1FoY={1FoY:Y∈ Y} 对于任何类型的自适应进程。（5） 1F层o Mloc（Y）=Mloc（1FoY）。2、主要结果。2.1. 定义。我们将b定义为所有元素A的集合∈ 这样，Qa是一系列适应过程的鞅测度集，用b（a）表示，a的所有接受子集集，它们是b中的元素。现在我们介绍元素a的维数notio n∈ b、定义2.1。让A∈ b、（1）如果A=L，我们说A是平凡集∞-.（2）我们说一个非平凡集a是一个组件，如果有任何元素B∈ b（A）是A的一部分。（3）我们说一个非平凡集A是类的() 如果它允许对某个正整数n的阶数nf进行特殊分解，这意味着存在n个子成分sa，A的A=A+…+一（4）假设A是c类(), 我们将A的维数定义为最小正整数n，这样A允许n阶的特殊分解。对于平凡集A=L∞-, 我们将d im（A）=0。（5）我们说A是阶级的(n）如果A的尺寸等于n，则备注2.2。

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mingdashike22

2022-6-11 04:07:55

根据定义2.1，组件a属于().我们用bn表示b中属于类的元素集(n）由bn（A）可知，bn中的元素集，A是A的子集。在本节中，我们描述了n中的元素≥ 1、我们将Cn定义为至少允许一个等价局部鞅测度的Rn值适应过程集，对于X∈ Cn，我们表示QX：=Mloc（X）是4 ABDELKAREM BERKAOUIX的所有局部鞅测度集，A（X）是相关的接受集，m（QX）是所有局部QX鞅集。我们应该说X∈ 如果a=a（X），则Cn是a的生成器。2.2. 组件特性。我们首先陈述以下结果。提案2.3。让A∈ b并设Q=qa相关的测试概率集。确定集合Φ={F=FX∈ P:1Fo A=A（X）；对于某些X∈ m（Q）}。然后Φ允许最大元素w.r.t.，包括usio n顺序。证据我们将在[1]中展示引理4.15的三个断言。对于（i）让F，G∈ Φ带F∩ G=, 对于某些X，Y，F=fx，G=fy∈ m（Q）。因此，我们有（F∪G）oA=1FoA+1克oA=1FoA（X）+1GoA（Y）=A（U），其中U=1FoX+1GoY∈ m（Q），so F∪ G∈ Φ.对于（ii），设递增序列（Fn） Φ，因此Fn=某些Xn的fx∈ m（Q）带f=∪n≥1Fn。然后是1Fo A=∪n≥1Fno A.*多亏了[1]中的引理4.16和弱恒星意义下的closure。So 1Fo A=∪n≥1Gno A（Xn）*其中，G=扇形n+1=Fn+1 \\Fn表示所有n≥ 1、因此1FoA=A（X），其中X=Pn≥1GnoXn∈ m（Q）。我们得出结论，F∈ Φ.对于（iii）let F∈ Φ和G F，则F=X的fx∈ m（Q），因此为1Go A=GFo A=1Go A（X）=A（Y），Y=1GoX∈ m（Q）。So G公司∈ Φ.提案2.4。设X，Y∈ 对于某些有界可预测过程α，Y=αoX。那么A（Y）=1Fo A（X），其中F=supp（α）：={|α|>0}。证据我们将证明m（QY）=1Fom（QX）。对于直接包含，我们有m（QY）=Fom（QY） 1Fom（QX）。相反，让U∈ m（QX）和V=1FoU。

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2022-6-11 04:07:58

然后利用文献[5]中的Thanksto-Jacka定理，我们得到了一些可预测过程γ的U=γoX和V=F（1/α）αoU=1F（1/α）αγoX=1F（1/α）γoY∈ m（QY）。现在我们刻画了b类元素().提案2.5。假设A∈ b、那么A是一个分量，当且仅当A=A（X）对于某些X∈ C、证明。对于直接含义，让U∈ m（Q）和自A（U）∈ b（A），那么存在F=FU∈ P使得A（U）=1Fo A、我们定义了集Φ={FU:U∈ m（Q）}。由于命题2.3，集合Φ允许最大元素F=FXw。r、 t包括顺序。我们声称A=A（X）。第一个A（X） A、让我们展示一下 A（X）表示m（Q） m（QX）。L等Y∈ m（Q），然后A（Y）=1FYoA. 1F层oA=A（X），因此∈ m（QX）。相反，设B∈ b（A），那么我们得到QB=Mloc（αoX），对于一个可预测过程α，这要归功于文献[2]中的定理3.3。我们应用命题2.4并得出结论。提案2.6。设整数n≥ 1.T h en A∈ b有一个特殊的序n分解，当且仅当a=a（X）对于某些X∈ 中国。证据对于直接含义，我们假设A=A+…+对于一系列子组件s a，Anin A.由于命题2.5，存在标量进程ESX，Xn公司∈ C对于i=1，Ai=A（Xi）是这样的。因此A=A（X），X=（X，…，Xn）∈ 中国。相反，假设A=A（X）表示X∈ Cn，那么多亏了[1]中的引理4.3，我们得到了A=A（X）+…+A（Xn），这意味着A具有n阶的特殊分解。2.3. 类别(n）特征描述。为了描述这个班级(n）对于任何积极因素，我们引入一些定义。我们记得，Cn是一组Rn值自适应过程，它至少允许一个等价的局部鞅测度，并定义Cn，rforr≤ n、作为Cnof Rn值适应过程X的子集，使得对于某些Y，X=αoY∈ Crandα∈ Mn，r（P）。我们设置C：=∪n≥1立方厘米。定义2.7。让X∈ 中国。

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2022-6-11 04:08:00

我们定义X的秩o byr（X）=min{r=1…n:X∈ Cn，r}。现在我们陈述以下定理2.8。让X∈ 中国。n r（X）=尺寸（A（X））。证据我们首先表明≤ n、我们有dim（A（X））≤ r当且仅当r（X）≤r、我们假设dim（A（X））≤ r、对于某些Y，则A（X）=A（Y）∈ 从X开始的Crand∈m（QX）=m（QY），然后对于某些αX=αoY∈ Mn，r（P），so r（X）≤ r、假设nowr（X）≤ r、对于某些α，X=αoY∈ Mn、r（P）和Y∈ 由K={βα：β定义的集合K∈ L（P；Rn}，是L（P，Rr）中的一个闭向量空间，在有界正P-可测随机变量的乘法下是闭的，因此存在一个闭向量空间值可测映射W，使得K={γ∈ L（P；Rr）：γ∈ 然后存在一个生成族f=（f，…，fr）。我们将证明a（X）=a（U），其中U=goY，g=f/（1+| f |），并推导出dim（a（X））=dim（a（U））≤ r、对于任何r∈ m（QX），我们有R=δoX=δαoY=δ′goY=δ′oU∈ m（QU），我们有R=θoU=θgoY=θ′αoY=θ′oX。对于等式R（X）=dim（A（X）），我们取第一个R=R（X），然后推导出dim（A（X））≤r（X），然后我们取r=dim（A（X）），然后推导出r（X）≤ 尺寸（A（X））。下面给出了一些后果。推论2.9。让X∈ Cnand r公司≤ n、那么以下断言是等价的：（1）A（X）属于类(r）。（2）对于某些Y，r（X）=r.（3）A（X）=A（Y）∈ r（Y）=r.推论2.10。让A∈ b和一个正整数n。那么a是类(n）如果且仅当A=A（X）对于某些X∈ Cn和r（X）=n。最后，我们调查了完整的金融市场案例。定理2.11。让我们考虑一个整数n。那么以下断言是等价的：（1）{P}=Mloc（X），对于某些X∈ 中国。（2）尺寸（B）≤ n代表所有B∈ b、此外，r（X）=n当且仅当存在一些b∈ bn。证据

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mingdashike22

2022-6-11 04:08:03

(1) => （2）让B∈ b、由于[2]中的定理3.12，存在一些Y∈ Cn使得B=A（Y），然后dim（B）=r（Y）≤ n、（2）=> （1）由于[2]中的推论2.4，我们推断A：=A{P}∈ b、然后存在一些X∈ 使A=A（X），因此{P}=Mloc（X）。6 ABDELKAREM BERKAOUINow假设r（X）=n，那么B：=A{P}∈ bn。相反，对于某些Y，我们通过荒谬的假设r（X）=r<n，所以{P}=Mloc（Y）∈ 通过应用蕴涵（1）来扩展=> （2），我们推导出dim（B）≤ r代表任何B∈ b、这是一种矛盾。3、可预测的排名图和最大值。3.1. 可预测的排名图。在这一小节中，我们更深入地研究了等级的概念。假设在W=（W，W）的布朗环境中，我们定义了一些F的过程x=（W，1FoW）∈ P、那么r（X）=2。但1FcoX=（1FcoW，0），因此r（1FcoX）=1。接下来，我们将对时间空间的可预测部分进行特征化Ohm ×[0，T]，其中向量过程X的秩∈ CNS不变。提案3.1。让X∈ Cn，则（1）有一个分区（φk（x））k=0。。。n 对于所有G，r（1GoX）=k φk（X）和k=0。n、（2）存在一些U∈ Cn使得所有k=1的A（X）=A（U）和d。n、我们有φk（X）o A（X）=1φk（X）o A（U，…，Uk）和φk（X）=φk（U，…，Uk）。证据（1）我们定义了集合ψk：={F∈ P:r（1FoX）≤ k} 对于k<n，我们将显示集合ψk包含一个最大元素。为此，我们首先指出F∈ ψkif且仅当某些αF的1FoX=1FαFouf时∈ Mn、k（P）和UF∈ 第二，我们将展示[1]中L emma 4.15的三个断言。对于（i）让F，G∈ ψkwith F∩ G=,然后是1（F∪G） oX=1FoX+1GoX=1FαFoUF+1GαGoUG=1F∪GαoU，α=FαF+1GαG∈ Mn、k（P）和U=1FoUF+1GoUG∈ Ck，so F∪ G∈ ψk.对于（ii）letan递增序列Fn∈ ψkwith F=∪n≥1Fn。

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kedemingshi

2022-6-11 04:08:06

我们定义了所有n的序列G=fandf≥ 1，Gn+1=Fn+1 \\Fn，然后1FoX=1FαoU，α=Pn≥1GnαFn∈ Mn、k（P）和U=Pn≥1GnoUFn∈ Ck。我们得出结论，F∈ ψk.对于（iii）let F∈ ψkand G F然后1GoX=1GFoX=1GFαFoUF=1GαFoUF，所以G∈ ψk.现在f或k=0。n- 1我们表示gk为ψk的最大元素。我们定义fa mily（φk（X））k=0。。。nbyφn（X）=（Gn-1） c，φk（X）=Gk\\Gk-1对于k=1。n- 1和φ（X）=G。对于G φn（X）从G开始，我们有r（1GoX）=n （Gn）-1） cand锻件 φk（X）和k=0。n-1我们有r（1GoX）≤ k自G起 GK和r（1GoX）>k-1自G起（Gk-1） c，因此r（1GoX）=k.（2），对于所有k=1。n、存在一些（Vk1，…，Vkk）∈ CK1φk（X）o A（X）=φk（X）o A（Vk1，…，Vkk）。我们定义了向量过程U∈ Cnby Uj=Pnk=jφk（X）ovkjj对于j=1。n、并得出结论。定义3.2。按照命题3.1的符号，f族φ（X）=（φk（X））k=0。。。nis称为X的可预测排名图，过程U称为过程X的φ（X）-排列。备注3.3。如[1]所述，对于任何∈ a、存在一个最大元素F=F（a）∈ P使1Fo A=L∞-. 特别是对于A=A（X），对于某些X∈ 根据命题3.1，我们得到F（A）=φ（X）。下面给出了一个示例。示例3.4。让我们考虑一些可预测集合F的布朗设置W=（W，W）和定义X=（1FoW，W）。则φ（X）=, φ（X）=Fc，φ（X）=F，φ（X）-排列过程U由U=1FoW+1FcoW和U=1FoW给出≥ 1，我们会说一个进程X∈ C满足所有λ的性质（γ）∈ M1，n（P），λoX=0，然后λ≡ 此属性类似于线性代数中众所周知的向量的linearindependence属性，它将系数作为被积函数，运算作为积分。

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2022-6-11 04:08:10

接下来，我们陈述这个属性的两个等价陈述。提案3.5。对于某些X，设A=A（X）∈ 中国。那么以下断言是等价的：（1）X满足性质（γ）。（2） 1F层o A.∈ BN适用于所有F∈ P、（3）~P（φn（X））=1。证据(1) => （3）假设P（φn（X））<1，那么对于某些i<n，P（φi（X））>0。因此对于fi=φi（X），我们得到1Fio对于某些U，A=A（U）∈ 因此，对于某些M，Ciand 1FioX=MoU∈ Mn，i（P）。我们取向量过程λ∈ M1，n（P），在λM=0，soFiλoX=0的Fisuch上非空。这是一种矛盾。(3) => （2）假设1Fo A.∈ BSF部分∈ P和s<n，然后P（φs（X））>0，这是矛盾的。(2) => （1）对于某些λ，设λoX=0∈ M1，n（P），假设存在一些i=1。n使得| P（|λi |>0）>0。设F={|λi |>0}，因此我们注意到，对于某些βi，1FoXi=1FβioX（i）∈ M1，n-1（P）和X（i）=（Xj：j 6=i），因此对于某些β，1FoX=1FβoX（i）∈ 锰，氮-1（P）。这意味着r（1FoX）≤ n- 1或同等尺寸（1Fo A） <n，这是一个矛盾。提案3.6。让X∈ Cn满足性质（γ）且Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。对于某些s，假设P（秩（θ）=s）>0≤ r、则r（1FoY）=s表示所有f∈ P带F G：={秩（θ）=s}。证据我们首先展示了s=r的情况下的结果。Letλ∈ M1，r（P），λoY=0，所以λθoX=0，这意味着λθ=0，因为X满足性质（γ）。我们推断λ=0 o n G，这意味着1FoY满足所有F的性质（γ） G，然后r（1FoY）=r。对于一般情况，存在两个可预测矩阵β∈ Mr、s（P）和δ∈ Ms，n（P），使得G上的θ=βδ，且▄P（秩（δ）=s；G） >0。然后Y=βoU，U=δoX∈ Cs和r（1FoU）=所有F的s G、这意味着r（1FoY）=s。提案3.7。让X∈ Cn满足性质（γ）且Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。当k=0时，φk（Y）={秩（θ）=k}。r证据

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2022-6-11 04:08:13

我们将首先显示Fs：=∪rk=sφk（Y）={秩（θ）≥ s} =：Gsfor all s=0。r、我们荒谬地认为▄P（Fs∩ （Gs）c）>0对于一些s，然后通过命题3.6我们得到r（1FoY）≤ s- 1对于某些F Fs公司∩ （Gs）c，这与r（1GoY）的事实相矛盾≥ 对于所有G Fs。我们再一次荒谬地假设P（Gs∩ （Fs）c）>0（对于某些s），然后根据命题3。6我们得到r（1FoY）≥ s代表一些F Gs公司∩ （Fs）c，这与r（1GoY）的作用相矛盾≤ s- 所有G为1 （Fs）c。我们推断Fs=Gs。我们得出结论，φr（Y）：=Fr=Gr：={秩（θ）=r}，对于所有s=r- 1.0 wehaveφs（Y）=Fs∩ （Fs+1）c=Gs∩ （Gs+1）c={秩（θ）=s}。下面给出了两个示例。8 ABDELKAREM Berkaoui示例3.8。让我们考虑一下布朗i an设置W=（W，W）和定义X=（δoW+W，W+W）和δ∈ L∞（P）。然后是X=δ 11 1o栈单因此φ（X）=,φ（X）={δ=1}，φ（X）={δ6=1}，φ（X）-排列过程U由U=W+1（δ=1）oWand U=1（δ6=1）oW给出。示例3.9。假设线性布朗设置W和定义X是随机微分方程dX=b（X）dt+σ（X）dW的解，其中b和σ是满足解X的存在性和唯一性的通常假设的两个实函数。然后X∈ Ci fff 1（σ（X）=0）b（X）=0。在这个假设下，我们有φ（X）={σ（X）=0}和φ（X）={σ（X）6=0}。我们说一个进程X∈ 如果存在一些R，则满足性能（β）∈ Cmform公司≥ n、用A（X）满足性质（γ） A（R）。提案3.10。假设X∈ CNS满足属性（β）。存在着一些∈ Cn满足性质（γ），使得A（X） A（Y）。证据让流程R∈ C满足性能（γ），如A（X） A（R），因此存在一些α∈ Mn，m（P），使得X=αoR。也存在一些m∈ Mn，n（P）和θ∈ Mn，m（P），其中▄P（秩（θ）=n）=1，使得α=mθ。

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可人4

2022-6-11 04:08:16

根据命题3.7，我们定义Y=θoR，然后▄P（φn（Y））=▄P（秩（θ）=n）=1，因此Y满足性质（γ），X=MoY，因此A（X） A（Y）。3.2. 极大值属性。在这一小节和纸上的最大值概念是包含顺序。我们研究了bn的性质（γ）与极大值之间的关系。提案3.11。让X∈ 考虑以下断言：（1）X满足性质（γ）。（2） A：=A（X）是以bn为单位的最大值。然后（1）=> (2). 此外，如果X满足属性（β），则（2）=> (1).证据(1) => （2）让我们假设 C对于某些C=A（U）∈ bn，因此X=MouF，对于某些M∈ 锰、氮（P）。我们声称▄P（秩（M）=n）=1。我们假设我们有一个对立面，那么对于F={rank（M）<n}，我们有r（1FoX）<n，这是一个矛盾。我们的结论是U=M-1oX，因此A=C。假设X满足性质（β），那么由于命题3.10，存在Y∈ Cn用A（X）满足性质（γ） A（Y），因此A（X）=A（Y）。我们得出结论，X满足性质（γ）。推论3.12。让X∈ Cn满足性质（γ），并设Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。然后，Y表示性质（γ）i f A（Y）在br中最大。证据这是命题3.11的直接结果，因为Y满足属性（β）。推论3.13。让X∈ Cn满足消耗量（γ）。当任何Y∈ Crsuch that（X，Y）∈ Cn+rand r（X，Y）=n，我们有A（Y） A（X）。证据第一个A（X） A（X，Y），A（X，Y）∈ 由于命题3.11，bn和A（X）在bn中是最大的。然后A（X）=A（X，Y），因此A（Y） A（X）。推论3.14。Suppos e X满足属性（γ）。然后对于任何（i，…，ik）∈ {1，…，n}k，i<…<ik，集合A（Xi，…，Xik）在bk.Proof中是最大的。因为对于集合{1，…，n}上的任何置换σ，我们有A（X）=A（Xσ。

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2022-6-11 04:08:19

，Xσn），那么我们可以假设w.l.g，i=1，ik=k。由于命题3.11，它能够显示Y：=（X，…，Xk）满足属性（γ）。假设λoY=0表示某个λ∈ M1，k（P），然后（λ，0）oX=0，这意味着λ≡ 0，因为X满足属性（γ）。提案3.15。设B和C是bn中的两个m极大元。然后是1Fo B+1Fco 对于任何F，C在BN中为最大值∈ P、证明。我们首先展示1Fo B+1Fco C∈ bn。自B、C∈ bn，那么我们有B=A（X）和C=A（Y），X，Y∈ 中国。让QZ∈ Mloc（X）和QU∈ Mloc（Y）分别具有正鞅密度Z和U。我们定义了过程K，线性tochastic微分方程的解dK/K=1FdZ/Z+1FcdU/U和K=1。我们将证明QK∈ Mloc（V），V：=1FoX+1FcoY，表示过程KV是局部鞅。我们应用It^o公式得出：d（KV）=K dV+V dK+d[K，V]=1FK dX+1FcK dY+V dK+1FK/Z d[Z，X]+1FcK/U d[U，Y]=1FK/Z（Z dX+d[Z，X]）+1FcK/U（U dY+d[U，Y]）+V dK=1FK/Z（d（ZX））- X dZ）+1块/块（d（UY）-Y dU）+V dK。由于过程ZX，Z，UY，U和K是局部鞅，那么KV也是局部鞅。现在我们假设1FoB+1FcoC D带D∈ bn。然后是1FoB 1F层oD及其后B 1F层oD+1立方厘米oB∈ bn。由于B在bn中是最大的，我们得出结论，B=1FoD+1立方厘米o带so 1Fo B=1Fo D、我们对r C做同样的操作，并推断出1Fco C=1Fco D、我们得出结论1Fo B+1Fco C=D。备注3.16。如果我们将bn替换为bn（A），则提案3.15仍然正确∈ BM某些m≥ n、引理3.17。让A∈ B和B∈ br（A）带r≤ n、假设B i是最大inbr（A），那么对于任何F∈ P、设置1Fo B在bj（1F）中最大o A）对于某些j=0。r、证明。前1FoB∈ bj（1FoA）f或j=尺寸（1Fo（B）∈ {0…r}。现在让D∈ bj（1FoA）如1FoB D

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2022-6-11 04:08:22

则D=1FoD和B D+1立方厘米oB∈ br（A），因此B=D+1FcoB、也就是说1Fo B=1Fo D=D。提案3.18。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）带r≤ n、然后存在一些θ∈ Mr，n（P），其中▄P（秩（θ）=r）=1，使得▄B：=1GoA+1GcoA（θoX）是br（A）中的最大值，并且包含B和G=∪ri=0φi（X）。证据对于某些α，第一个Y=αoX∈ Mr，n（P），存在一些M∈ Mr，r（P）和θ∈ Mr，n（P），其中▄P（秩（θ）=r）=1，使得α=Mθ。So BB和 B∈ br（A）。现在假设存在一些C∈ br（A）使▄B C、然后1GoA=1GoB 1克oC 1克oA、 so 1GoB=1GoC、对于s=r+1。n和F=φs（X），我们定义为=1FoA=A（1FoX），1FoX满足F上的性质（γ），~Bs=1FoB=A（1FθoX）和Cs=1Fo C、 10 ABDELKAREM BERKAOUIWe推断Bs在br（As）和Cs中是最大的∈ br（As），然后▄Bs=Cs及其前后oB=1Fo C、也就是说，B=C。4、互补性和插件向量空间。4.1. 互补性。正如我们所知，在任何有限维向量空间E中，我们可以关联正交向量空间N⊥到E中满足=N的任何向量子空间N⊕ N⊥尺寸（E）=尺寸（N）+尺寸（N⊥). 同样，我们研究了元素B的补足性和严格互补性的概念∈ br（A）带A∈ bn。定义4.1。让A∈ B和B∈ br（A）对于某些整数r≤ n、（1）如果存在一个最小集C，我们说B是a中的一个补集∈ （2）如果b是A中的补集C，则b是A中的严格补集，而A的dim（A）=dim（b）+dim（C）。我们证明了补集和严格补集f或B的存在性∈ br（A）。我们从A=A（X）和X满足性质（γ）的情况开始。定理4.2。

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2022-6-11 04:08:25

设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）对于某些整数r≤ n、假设X∈ 如果满足性质（γ），则（1）B在a中有一个补码集。（2）B在a中有一个严格补码集，当且仅当B在br（a）中是最大值。证据（1）由于命题3.1，我们得到B=A（Y）=⊕ri=1φi（Y）oA（U1:i），其中过程U是Y的φ（Y）-排列，U1:i=（U，…，Ui）。那么，每个都存在=1。r、一些γi∈ Mi，n（P），其中P（秩（γi）=i）=1，使得B=⊕ri=0φi（Y）oA（γioX）。让每个i=1。r、一些δi∈ 明尼苏达州-i、 n（P）与▄P（秩（δi）=n-i） =1且与γi正交。那么对于C：=⊕ri=1φi（Y）oA（δioX），我们有B+C=⊕ri=1φi（Y）oA（γioX）+⊕ri=1φi（Y）oA（δioX）=A（KoX），其中K：=⊕ri=1φi（Y）γiδi是满秩的，然后是可逆的，soA（KoX）=A。现在假设A=B+D，对于一些D∈ b（C），然后D=A（θoX），对于某些θ∈ 锰、氮（P）。我们注意到，对于每个i=1。n、向量空间span（1φi（Y）δi）是span（1φi（Y）γi）的理论正交向量空间，且1φi（Y）Rn=span（1φi（Y）γi）+span（1φi（Y）θ）和s pan（1φi（Y）θ） sp an（1φi（Y）δi）。然后span（1φi（Y）δi）=span（1φi（Y）θ），因此预测=D。（2）假设B在br（A）中是最大的，那么上面定义的集合C由C=A（δroX）给出，因此C具有精确的维数n- r、相反地，假设B在a中有一个strictcomplete集C，并假设1Fo B∈ BSF部分∈ P，s<r.然后foA=1FoB+1层oC，因此变暗（1Fo（A）≤ dim（1FoB） +尺寸（1FoC） =序号+序号-r<n，这是一个对照。备注4.3。我们注意到任何B都有不止一个补集∈ b（A）。在布朗设置w i th w=（w，w）中，我们定义A=A（w，w）和B=A（w）。那么，对于标量A，形式A（aW+W）的任何集合都是A中B的补集。下面给出了定理4.2的一般版本。定理4.4。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）对于某些整数r≤ n

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可人4

2022-6-11 04:08:28

那么（1）B在a中有一个补码集。（2）B在a中是一个严格补码集，当且仅当对于所有i=n- r+1。n和j=0。i+r- n- 1，我们有▄P（φi（X）∩ φj（Y））=0。证据（1）对于i=0。n、我们定义Fi=φi（X）和Ai=1Fio A、因此，过程1Fiox描述了Fi的性质（γ）。我们将定理4.2中的断言（1）应用于Bi：=1Fio 以b（Ai）中的一个元素为基础，得到b（Ai）中存在一个最小集Ci，使得Ai=Bi+Ci。我们推断A=B+C，C=⊕iFi公司oCi。假设A=B+D表示someD∈ b（C），则Ai=Bi+1Fio D带1Fio D 1Fio C=Ci。根据Ci的最小值，我们得出以下结论：Ci=1Fio D，因此C=D.（2）对于直接蕴涵，我们假设P（φi（X）∩对于某些i=n，φj（Y））>0-r+1。n和j=0。i+r-n-1、然后1FijoA=1FijoB+1bijoFij的C=φi（X）∩φj（Y）。我们推导出that i=dim（1Fijo（A）≤ 尺寸（1FijoB） +尺寸（1FijoC）≤ j+n-r、也就是说我- j≤ n- r但我- j>n- r，这是一个对照。相反，我们定义I={（I，j）∈ {1，…，n}×{0，…，r}：0≤ 我- j≤ n- r} ，J={（i，J）∈ I：~P（φI（X）∩ φj（Y））>0}和任何（i，j）∈ J我们定义Fij=φi（X）∩ φj（Y），Aij：=1Fijo A=A（1FijoX）和Bij：=1Fijo B、 1FijoX满足Fij上的性质（γ）。我们注意到Bijis在bj（Aij）中是最大的，所以通过定理4.2，我们得出了存在一些Cij的结论∈ bi公司-j（Aij），使得Aij=Bij+Cijand，然后A=B+C，其中C=⊕（i，j）∈JFij公司o Cij公司∈ bn公司-r（A）。备注4.5。在定理4.4和und e r中，X∈ 满足性质（γ），我们得到严格完备性等价于br（A）中B的最大值，因为对于所有i<n，P（φi（X））=0，然后对于所有j<r，P（φj（Y））=0，这意味着br（A）中的Bis最大值。在一般情况下，我们接下来说明最大值是一个有效条件。提案4.6。让A∈ B和B∈ br（A）带r≤ n

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2022-6-11 04:08:31

假设B是maxi-mal-inbr（A），那么B是A.Proof中的严格补码。通过应用命题3.18，我们得到B=1GoA+1GcoA（θoX）表示某些θ∈ Mr、n（P）和G=∪ri=0φi（X）。对于j=r+1。n我们定义了θj∈ Mj公司-r、 n（P），秩为j- r、与θ正交并设置￠θ=⊕nj=r+1φj（X）~θj。然后C=1Gco A（°θoX）∈ bn公司-r（A）和B+C=A（KoX），其中K：=1GIn+1Gcθ~θ是满秩，然后是可逆的，其中i是单位矩阵，所以B+C=A。4.2. 插件向量空间。对于整数n和X∈ Cn，我们定义了插件向量空间：V（X）={α∈ L∞（P；Rn）：αoX∈ m（QX）}，其中在测度收敛的意义下取闭包，并用wn表示，所有P-可测映射的集合，向量空间值为Rn。我们将探讨CNN和wn这两组之间的联系。提案4.7。让X∈ Cn，则存在一个P-可测映射W（X）∈ Wn使得V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（X）a.s.}，其随机代数维数d=d（X），其代数基fX=（fX，…，fdX）。此外，A（X）=A（gXoX），其中gX=fX/（1+| fX），d（X）=⊕nk=0k1φk（X），X的秩是d（X）的本质上确界。12 ABDELKAREM Berkaouiform。向量空间V（X）在L（P，Rn）中是闭合的，并且在有界正P-可测随机变量的乘法下是闭合的，因此由于[7]中的引理A.4和[3]中的引理2.5，存在向量空间值P-可测映射W（X），使得V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（X）a.s.}。设d（X）是W（X）的代数维数，fX=（fX，…，fdX）是其代数基，然后是A（gXoX） A（X）。对于逆包含，设α∈ V（X）∩ L∞（P；Rn），然后α=MgX对于一些可预测的矩阵过程M，因此αoX=MgXoX和so a（X） A（gXoX）。现在对于W（X）的代数维数，我们将显示Fs：=∪nk=sφk（X）={d（X）≥ s} =：Ksfor s=0。

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2022-6-11 04:08:34

n、我们荒谬地认为▄P（Fs∩ （Ks）c）>0（对于某些s），然后变暗（1Fo A（X））≥ s forF：=Fs∩（Ks）烛光尺寸（1FoA（X））=尺寸（1F）oA（gXoX））≤ s-1，这是一个连续半径。我们再次通过荒谬的thatP（Ks∩（Fs）c）>0对于某些s，则对于K：=Ks∩（Fs）c，我们有1Ko A（X）=1Ko A（U）表示某些U∈ 铯-1然后1Kd（X）=1Kd（U）≤ s- 1个butKd（X）≥ s、这是一种矛盾。我们推断φn（X）=Fn=Kn={d（X）=n}，对于所有s=0。n- 1我们有φs（X）=Fs∩（Fs+1）c=Ks∩（Ks+1）c={d（X）=s}。引理4.8。让X∈ CNA和F∈ P、然后d（1FoX）=1Fd（X）。证据我们有1F∩φk（X）oA=1φk（X）oA（1FoX）表示所有k=0。n、然后是F∩φk（X）=φk（1FoX），因此d（X）=⊕nk=0k1F∩φk（X）=⊕nk=0k1φk（1FoX）=d（1FoX）。提案4.9。让X∈ Cnand Y公司∈ 让下面的断言：（1）A（X）=A（Y）。（2） d（X）=d（Y）。然后（1）=> (2). 此外，如果A（X） A（Y），然后（1）<=> (2).证据(1) => （2）假设A（X）=A（Y），那么r（X）=r（Y）。然后我们推导出W（X）=W（Y），因此d（X）=d（Y）。(2) => （1）现在进一步假设A（X） A（Y）和d（X）=d（Y），然后r（X）=r（Y）=：s，φ（X）=φ（Y）=：F，对于所有k=1。对于某些θk，我们有1FkoU1:kX=1FkθkoU1:ky∈ Mk，k（P），其中ux和uy分别是X andY的F排列过程。假设P（G）>0，G：={rank（θk）<k；Fk}，当r（1GoU1:kX）<k时，这是一种转换。因此，P（G）=0和1FkoU1:kY=1Fk（θk）-1oU1:kX，这意味着fko A（Y）=1Fko A（X），然后A（Y）=A（X）。下面给出了命题4.7的相反情况。提案4.10。让W∈ Wn及其随机代数维数d和代数基f=（f，…，fd）。让我们假设存在一些R∈ Cn满足性质（γ），定义X=goR f或g=f/（1+| f |），然后W=W（X）。证据由于命题3.7和4.7，我们得到了{d（X）=s}=φs（X）={秩（f）=s}，对于所有s=0。

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2022-6-11 04:08:37

n，因为d=秩（f），那么d=d（X）。为了证明W=W（X），我们注意到f∈ W（X），然后W W（X），因此W=W（X）。如前所述，补集不存在唯一性。接下来，我们使用插件向量空间的工具来构造一个补集，该补集满足正交性的性质，并由此产生唯一性。定理4.11。让X∈ Cnand Y公司∈ 满足A（Y） A（X）。那么就有了≤ n、 θ∈ Mr，n（P）和θ′∈ Ms，n（P）这样：（1）Y′：=θ′oX∈ CSI与Y正交。（2） W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′.（3） d（X）=d（Y）+d（Y′。证据对于两个过程X、Y和F，我们采用符号XF=Y∈ 当1FoX=FoY时为P。我们首先考虑两个过程X和y满足假设（γ）的特殊情况。然后，由于定理4.2中的断言（2），存在一些θ′∈ 明尼苏达州-r、 n（P）使得Y′：=θ′oX∈ 中国大陆-随机数A（X）=A（Y）+A（Y′。因此，A（Y′）在A中加入了一个严格的补集，因此，通过再次应用定理4.2，我们推断t hatY′满足假设（γ），然后d（Y′）=n-r=d（X）-d（Y）。接下来我们显示V（X）=V（Y）。θ+V（Y′）。θ′. Letα∈ V（X）∩L∞（P；Rn）由于Mloc（X）=Mloc（Y，Y′），我们得到αoX=βoY+β′oY′=（βθ+β′θ′）oX和β∈ V（Y）和β′∈ V（Y′）。根据X的性质（γ），我们得到α=βθ+β′θ′。对于逆包含letα∈ V（Y），则αθoX=αoY∈ m（QY）带m（QY） m（QX），然后是αθ∈ V（X）和自设置V（Y）以来。θ+V（Y′）。θ′在L（P；Rn）中是闭合的，那么V（X）=V（Y）。θ+V（Y′）。θ′.我们得出结论，V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（Y）。θ+W（Y′）。θ′}，并推导出W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′. 为了显示正交性，我们有K：=K∩ K⊥∈ Wn，K=W（Y）。θ和K=W（Y′）。θ′.

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2022-6-11 04:08:40

由于定理4.10，存在一些u≤ nandα∈ Mu，n（P）使得αoX∈ Cu，K=W（αoX），由于W（X）=K+K，那么A=B+A（αoX）和A（αoX） A（Y′），so A（Y′）=A（αoX）来自A（Y′）的最小值，因此K=K，这意味着K⊥ K、现在对于一般情况，我们首先表明，对于正定义矩阵C，X的二次变化过程[X]可以写成[X]=CoK∈ Mn，n（P）和可预测的增长过程K。实际上，我们定义了过程K=Pi，j |[Xi，Xj]|，其中|[Xi，Xj]|是[Xi，Xj]的总变化过程。那么每个过程[Xi，Xj]都是绝对连续的。r、因此存在这样的Cij，[Xi，Xj]=CijoK，然后[X]=CoK。若C为正定义，则α∈ M1，n（P），λ∈ L∞+常数为▄E（λαCαoK）=▄E|√λαoX|≥ 0，因此αCα≥ 对于其余的证明，我们假设w.l.g.X=ux，Y=UY。Wede fine∧：={（i，j）∈ {1，…，n}×{1，…，r}：~P（φi（X）∩ φj（Y））>0}。固定（i，j）∈ ∧和f=Fij：=φi（X）∩ φj（Y），我们注意到1Fo A（Y1:j）=1Fo A（Y） 1F层o A（X）=FoA（X1:i），因此Y1:jF=βijoX1:i，Y1:jF=MjYoY，X1:iF=MiXoX，YF=NjYoY1:jand XF=NiXoX1:iF对于某些βij∈ Mj，i（P），MjY∈ Mj，r（P），混合∈ Mi，n（P），NjY∈ Mr、j（P）和NiX∈ Mn，i（P）。我们还有，[X1:i]=HioK和Hi：=MiXCMiX，我们应该说明Hi是可逆的。Letα∈ M1，i（P），使得αHi=0，然后E（αoX1:i）=E（αHiαoK）=0，因此F上的α=0，因为过程X1:i证明了F上的性质（γ）。由于HI是可逆和正定义的，因此存在Ri∈ Mi，i（P），使得Hi=Ri和Ri是可逆的。

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2022-6-11 04:08:43

我们得出结论，过程Ui=DioX1：是F上的性质（γ），其中Di是Ri的逆矩阵，并且由于Y1：jF=βijRioUi，我们从第一种情况推断，存在一些αij∈ Mn，i（P）使得zij：=αijoUi∈ Cn，1FW（Ui）=1FW（Y1:j）。βijRi+1FW（Zij）。αij和两个向量空间1FW（Y1:j）。βijRiand 1FW（Zij）。αij是代数正交的。我们注意到fw（Ui）=1FW（X1:i）Ri=1FW（X）NiXRi，1FW（Y1:j）=1FW（Y）mj，对于任何G∈ P和K∈ Cn，我们得到1FW（X）=FW（Y）。θ+1FW（Y′）。θ′，其中Y′=P（i，j）∈∧FijoZij，θ=P（i，j）∈∧FijMjYβijMiXand14 ABDELKAREM BERKAOUIθ′=P（i，j）∈∧FijαijDiMiX。我们取集合∧上的和，得到W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′，其中Y=θoX，Y′=θ′oX。我们还通过引理4.8，确定d（X）=P（i，j）∈∧Fijd（X）=P（i，j）∈∧Fijd（X1:i）=P（i，j）∈∧Fij（d（Y1:j）+d（Zij））=P（i，j）∈∧Fij（d（Y）+d（Y′）=d（Y）+d（Y′）。有待证明的是，这两个过程Y和Y′是正交的。让f∈ W（Y）ndg∈ W（Z），然后（f.θ）C（g.θ′）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβijMiX）C（g.αijDiMiX）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβij）MiXCMiXDi（g.αij）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβij）HiDi（g.αij）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβijRi）（g.αij）=0。所以θ。C、 θ′=0，因此[Y，Y′]=θ。C、 θ′oK=0。5、进一步的结果。5.1. 正交补集。对于X∈ Cn和A=A（X），我们表示d（A）：=d（X），ux是过程X的φ（X）-排列，lin（A）=A∩-A、对于f∈ lin（A），我们表示相关的Q-martinga le，由任意Q的Mft=EQ（f | Ft）定义∈ Q、我们标记lin（A）是元素MT的集合，其中M是M=0的有界Q-ma r t ingale，并应写入f⊥ g代表f，g∈ lin（A）如果Mf⊥ 毫克。以下结果将是显示下一个结果的基本工具。提案5.1。假设（X，Y）∈ Cn+R，其中A=A（X），d B=A（Y）。

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2022-6-11 04:08:46

那么（i）A是lin（A）+L的w eak星闭包∞-.（ii）lin（A）是向量空间。（iii）B A伊夫林（B）林（A）。（iv）lin（A+B）=lin（A）+lin（B）。（v）林（A）∩ lin（B）={0}如果X是Y的o正交。证据（i）包含Lin（A）+L∞-* A是微不足道的。让我们看看直接的那个。勒思∈ A、然后，由于[6]中的Kramkov定理，存在一个局部Q-鞅M和一个递增过程C，使得h=E（h）+MT-其中E是与Q相关的次线性期望算子。因此hn：=E（h）+MnT- CnT公司∈ 林（A）+L∞-其中mn和cns分别是M和C的截断版本。既然Hn收敛到h，那么∈林（A）+L∞-*.断言（ii）和（iii）是重要的。（iv）夹杂物lin（A）+lin（B） lin（A+B）是断言（iii）的结果。对于其他包含项，让h∈ lin（A+B），然后h=f+g，带f∈ A和g∈ B、存在一个局部Q-鞅M和一个局部QB鞅N，使得f≤ M和g≤ NT。所以h≤ MT+NT和自Q（h）=0和Q（MT+NT）≤ 0表示某些Q∈ Meloc（X，Y），然后H=MT+NT。因此0=（MT-f） +（NT-g），我们得出结论，f=MT∈ lin（A）和G=NT∈ lin（B），so h∈ 林（A）+林（B）。（v）让h∈ 林（A）∩ 林（B）。对于某些f，则h=MfT=MGT∈ lin（A）和g∈ 林（B）。因为存在Q∈ Meloc（X，Y），然后Mf=Mg。由于两个向量值可预测过程αfand和αg的Mf=αfoX和Mg=αgoY，我们得出结论，Mf=0，因此h=0。现在我们证明了一个具有正交性的补集的存在性。定理5.2。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）。然后是三个出口≤ n a nda唯一Y′∈ Csup到一类等价，这样：（1）Y′与Y正交。（2） A（Y′）是A（3）d（A（Y′）=d（A）中B i的补码- d（B）。证据由于定理4.11，存在≤ n和Y′∈ Cs与Y正交，使得d（X）=d（Y）+d（Y′，A=B+A（Y′）。

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2022-6-11 04:08:49

现在让C∈ b（A（Y′）使得A=b+C，所以d（C）≥ d（A）- 由于命题4，d（B）=d（A（Y′），因此C=A（Y′）。为了证明A（Y′）的唯一性，我们考虑C=A（U）∈ b（A）使U满足与Y′相同的要求。让h∈ 林（C）和自C A=B+A（Y′），然后根据命题5.1中的应用断言（iv），存在f∈ lin（B）和g∈ lin（A（Y′）使得h=f+g。我们得出h- g=f，带h- g级⊥ f、 so h=g∈ A（Y′），因此C A（Y′）。以同样的方式，我们展示了另一个包含，并得出C=A（Y′）的结论。我们将写B⊥ 如果B=A（X），C=A（Y）和X⊥ Y定义5.3。定理5.2中的集合A（Y′）称为A中B的正交补，并用c（A，B）表示。在这种情况下，我们将A=B⊕ c（A，B）。下面给出了定理5.2 a的一些结果。我们首先统计b（a）的两个子集和a的随机维数的一般公式∈ bn。定理5.4。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后d（B+C）=d（B）+d（C）- d（B∩ C）。证据设X，Y∈ C：=∪k≥1确定B=A（X）和C=A（Y）。我们支持lin（B）∩ lin（C）={0}。我们要证明这一点≤ r（X）和j≤ r（Y），过程（1FoU1:iX，1FoU1:jY）满足F=φi（X）的性质（γ）∩φj（Y）。设两个向量值可预测处理αa和β，使1FαoU1:iX+1FβoU1:jY=0。然后，如有必要，通过截断，我们得到f：=（1FαoU1:iX）T∈ 林（B）∩ lin（C），因此f=0，这意味着1FαoU1:iX=1FβoU1:jY=0，进而α1F=β1F=0。我们推导出1Fd（X）+1Fd（Y）=1Fd（U1:iX）+1Fd（U1:jY）=1Fd（U1:iX，U1:jY）=1Fd（X，Y），因此（X）+d（Y）=d（X，Y）。现在对于一般情况，我们用D=C（C，C）写出B+C=B+D∩ B）。我们将验证lin（B）∩ lin（D）={0}。让f∈ 林（B）∩ lin（D），然后是f∈ B∩ C和f⊥ B∩ C、 sof=0。

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kedemingshi

2022-6-11 04:08:51

我们应用第一种情况，并推断d（B）+d（d）=d（B+d）=d（B+C）a和d（d）=d（C）- d（B∩ C），我们得出结论。定理5.4的一个结果是刻画互补性。推论5.5。让A∈ B和B、C∈ b（A）。那么，C是B在a函数a=B+C和B中的组合∩ C=L∞-.证据对于直接蕴涵，设D是B的正交补∩ C中的C。然后A=B+D和D 由于C是极小值，我们推断D=C，因此16 ABDELKAREM BERKAOUIB∩C=L∞-. 相反，让D∈ b满足A=b+D和D C、然后是D∩B=L∞-d（d）=d（A）- 由于命题4.9，d（B）=d（C），因此C=d。第二个结果是著名的渡边Kunita鞅分解定理的推广。定理5.6。假设（X，Y）是一个Rd×Rk值的局部鞅，则存在一个可预测的马氏值过程α和一个向量值的局部鞅l，正交多项式X，使得Y=αoX+l。第一（X，Y）∈ Cd+kand A（X） A（X，Y），根据定理5.2，存在∈ C、使A（X，Y）=A（X，Y′）。因为Y是局部Mloc（X，Y）鞅，所以它是局部Mloc（X，Y′）-鞅。根据文献[5]中的Jacka定理，存在一个可预测过程（α，β），使得Y=αoX+βoY′=αoX+L，L：=βoY′⊥ 十、第三个结果是应用于过程X的Gram-Schmidt类型程序∈ 中国。定理5.7。让X∈ 中国。然后存在Y=（Y，…，Yn）∈ Cn使得每个yi和Yjare对于i 6=j和A（X）=A（Y）正交。证据我们通过归纳法证明了k=1。n- 1存在Y，Yk公司∈ 坎杜克∈ 中国大陆-K这样的过程Y，Yk，Uk构成正交族，A（X）=A（Y，…，Yk，Uk）。对于k=1，我们定义Y=x，通过应用定理5.2，存在≤ n安图∈ Cs，与Y正交，即A（X）=A（Y，U）。

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可人4

2022-6-11 04:08:54

我们声称≤ n- 1自φ（Y）d（X）起≤ n-1和d（U）=d（X）-d（Y）=1φ（Y）（d（X）-d（Y））+1φ（Y）（d（X）-d（Y））≤ n- 1、我们假设归纳假设在k之前为真，然后存在Y，Yk公司∈ 加拿大和英国∈ 中国大陆-K这样的过程Y，Yk，Ukform anorthogonal family and A（X）=A（Y，…，Yk，Uk）。通过将k=1的情况应用到过程Uk，存在Yk+1∈ 加拿大和英国+1∈ 中国大陆-k-因此，过程Yk+1和k+1是正交的，A（Uk）=A（Yk+1，Uk+1）。所以过程Y，Yk+1，Uk+1形成正交族，A（X）=A（Y，…，Yk+1，Uk+1）。对于k=n- 1，存在Y，Yn公司-1.∈ 加拿大和联合国-1.∈ C这样的过程，Yn公司-1，联合国-1形成正交族，A（X）=A（Y，…，Yn-1，联合国-1). We takeYn=联合国-1并获得结果。现在是固定的a∈ bn，我们研究了映射B的性质∈ b（A）→ c（A、B）∈b（A）。提案5.8。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后（1）c（A，c（A，B））=B，因此c（A，B）=c（A，c）i ffb=c。（2）假设c B、那么c（A，c）=c（A，B）⊕ c（B，c）。（3）假设C c（A，B），然后c（A，c）=B⊕c（c（A，B），c）和c（A，B+c）=c（c（A，B，c）。（4） C类 c（A，B）i ff B c（A，c），在这种情况下，我们得到c（c（A，B），c）=c（c（A，c，B）。（5） B类 C i ff C（A，C） c（A，B）。（6） C类⊥ B i F C c（A，B）。（7）假设C B、那么c（B，c）=B∩ c（A，c）。证据（1）根据正交补的唯一性，我们得到B=c（A，c（A，B））。假设现在c（A，B）=c（A，c），那么B=c（A，c（A，B））=c（A，c（A，c））=c。（2）我们有A=c（A，B）⊕B=c（A，B）⊕c（B，c）⊕C和A=C（A，C）⊕C、所以通过uniqueness我们得到C（A，C）=C（A，B）⊕ c（B，c）。（3）我们将断言（2）中的集合B替换为c（A，B），得到第一个语句。对于第二个，我们有A=c（A，B）⊕B=c（c（A，B），c）⊕C⊕B和A=（B+C）⊕c（A，B+c），然后通过唯一性c（A，B+c）=c（c（A，B），c）。（4）由于存在对称性，我们将展示其直接含义。

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kedemingshi

2022-6-11 04:08:57

我们应用断言（3）并推导出B c（A，c）和c（c（A，B，c）=c（A，B+c）=c（A，c+B）=c（c（A，c，B））。逆蕴涵是通过再次应用直接蕴涵得到的。（5）假设B 由于C=C（A，C（A，C）），那么通过断言（4），我们得到了C（A，C）c（A，B）。（6）由于B⊥ c（A，B），让我们展示直接的一个。勒思∈ lin（C），我们在命题5.1中应用断言（iv），并用f得到that h=f+g∈ lin（B）和g∈ lin（c（A，B））。然后h- g=f和h- g级⊥ f、因此h=g∈ c（A，B）。（7）直接包含是微不足道的。反之，我们有c（A，c）=c（A，B）⊕ c（B，c）和D：=B∩ c（A，c）⊥ c（A，B），so D c（B，c）。接下来，我们陈述德摩根定律。提案5.9。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后（1）c（A，B∩ C） =C（A，B）+C（A，C）。（2） c（A，B+c）=c（A，B）∩ c（A，c）。证据（1）我们首先假设A=B+C。我们首先显示C（A，B）∩c（A，c）=L∞-.让f∈ lin（c（A，B）∩ c（A，c）），然后是f⊥ B和f⊥ C和f⊥ B+C，butf∈ A=B+C，因此f=0。现在我们有D：=c（A，B）+c（A，c） c（A、B∩ C） andd（D）=D（A）- d（B）+d（A）- d（C）=d（A）- d（B∩ C）通过命题4.9，我们得到了结果。对于一般情况，我们有c（A，B∩ C） =C（A，B+C）+C（B+C，B∩ C） =C（A，B+C）+C（B+C，B）+C（B+C，C）=C（A，B）+C（A，C）。（2）我们在c（A，c（A，B）中应用断言（1）和obta∩ c（A，c））=c（A，c（A，B））+c（A，c（A，c））=B+c，so c（A，B）∩ c（A，c）=c（A，B+c）。对于任何A∈ B和B、C∈ b（A），我们从定理5.2知道，在b+C中存在b的唯一正交补，用C（b+C，b）表示。在下面的示例中，我们说明了c（B+c，B）和c之间没有直接的包含关系。示例5.10。我们考虑布朗设置W=（W，W），定义B=A（W）和C=A（W+W）。

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2022-6-11 04:09:00

n c（B+c，B）=A（W）和A（W）与c没有直接联系。因此，我们引入以下定义。定义5.11。让A∈ B和B、C∈ b（A）。如果C（B+C，B），我们说这对（B，C）满足星属性 C、下面给出了星形属性的一些等效声明。提案5.12。让A∈ B和B、C∈ b（A）。那么以下断言是等价的：（1）配对（B，C）满足星形属性。（2） c（B+c，B）=c（c，B∩ C）。（3）存在Y′∈ 使得A（Y′）与B正交，d C=（B∩ C）⊕ A（Y′）。（4）存在D，D∈ b（A）使D B、 D⊥ B和C=D⊕ D、（5）B+C=B⊕ c（c，B∩ C）。（6） B+C=B⊕ D代表一些D∈ b（C）。18 ABDELKAREM Berkaouiform。(1) => （2）设D：=c（B+c，B）和h∈ lin（D）和自D以来 C和C=（B∩ C）⊕c（c，B∩ C），则h=f+g，带f∈ lin（B∩ C）和g∈ lin（c（c，B∩ C））。所以h- g=带h的F- g级⊥ f、然后h=g∈ c（c，B∩ C）。逆设h∈ lin（c（c，B∩ C））和sincec（C、B∩ C） C B+C=B⊕ D、然后h=f+g，带f∈ lin（B）和g∈ 林（D）。Soh公司∈ B∩ C、 h类- g=f，带h- g级⊥ f、那么h=g∈ D、（2）=> （3）由于定理5.2，存在一些≤ n和Y′∈ Cs使得A（Y′）与B或c（B+c，B）=A（Y′）。So C=（B∩C）⊕c（c，B∩C） =（B∩C）⊕A（Y′）。(3) => （4）微不足道。(4) => （3）支持D=A（Y′）。必须表明D=B∩C、直接包含是微不足道的，相反，我们有B∩ C⊥ D、然后是B∩ C c（c，D）=D.（3）=> （5）我们有B+C=B+A（Y′），因为Y′与X正交，A（Y′）=C（C，B∩ C），则B+C=B⊕ c（c，B∩ C）。(5) => （6）取D=c（c，B∩ C）然后是D C、（6）=> （1）第一个D=c（B+c，B），来自o或t阶补码的唯一性和D C、所以我们得到了结果。提案5.13。让A∈ B和B、C∈ b（A）。我们应该说B C如果对（B，C）满足s焦油特性。然后是一种反射对称关系。证据

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