对于逆包含，设h∈lin（D∩ （B+C）），则h=f+g∈ lin（D）带f∈ lin（B）和g∈ lin（C），且sinceB=B∩D⊕D D C=C∩D⊕ D带D，D⊥ D、 所以f=f+fand g=g+gwithf∈ B∩D、 g级∈ C∩D、 f级∈ lin（D）和g∈ 林（D）。因此h-f-g=g+F带H-f-g级⊥ g+f，然后f+g=0，然后h=f+g∈ （D）∩ B） +（D∩ C） 。Pro位置5.16中的star属性是一个必要条件。接下来我们提供一个例子来说明这一点。示例5.17。在二维布朗环境中，我们定义D=a（W），B=a（W+W）和C=a（W+2W）。然后c（D+B，D）=A（W）和c（D+c，D）=A（W），所以对（D，B）和D（D，c）不满足星属性。此外，D+（B∩C） =D和（D+B）∩ （D+C）=A（W，W），A（W）6=A（W，W）。推论5.18。让A∈ B和B、C、D∈ b（A）。假设对（D，B）和（D，C）满足星形性质，那么对（D，B∩C） and（D，B+C）满足星型性质。推论5.19。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后，这对（B，C）将星形属性i ff C=（C∩ （B）⊕ （C）∩ c（A，B））。证据相反的含义是命题5.12中断言（4）的结果。对于直接的，我们有A=B⊕c（A，B）和c=c∩A、 因此，通过命题5.15中的断言（2）和命题5.16中的断言（2），我们得到了结果。5.2. 度量和相关性。作为插入反射器空间随机维数d的应用，我们将引入b（A）中具有A的集对的度量和相关性的概念∈ bn对于某些整数n≥ 1、为了表示符号，我们定义了B的映射u（B）=~E（d（B））∈ b（A）。提案5.20。让B、C∈ b（A）带A∈ bn对于某些整数n≥ 1、然后（1）B定义的关系~ 如果d（B）=d（C），则为等价关系。（2） 由Д（B，C）=E（| d（B）定义的映射- d（C）|），是一个公制w.r.t。

等价关系~.（3） 由η（B，C）=u（B+C）定义的映射η- u（B∩ C） ，是一个度量。（4） η（B，C）=2u（B+C）- u（B）- u（C）。（5） η（B，C）=u（B）+u（C）- 2u（B∩ C） 。（6） η（B，C）=Д（B+C，B）+Д（B+C，C）。（7） ^1（B、C）≤ η（B，C）。（8） Д（B，C）=η（B，C），如果B C、 证明。断言（1）、（2）和（6）很容易显示。断言（4）和（5）是命题5.4的直接序列。对于（3），我们首先表明η是反射的。η（B，B）=0，对于someB，C，如果η（B，C）=0∈ b（A），当b+C=b时∩ 由于命题4.9，因此B=C。对于瞬态性质，设B，C，D∈ b（A）和定义q：=η（b，D）+η（D，C）- η（B，C），然后通过断言（5），我们得到q=u（B）+u（D）- 2u（B∩ D） +u（D）+u（C）- 2u（D∩ C）- u（B）- u（C）+2u（B∩ C） =2u（D）- 2u（B∩ D）- 2u（D∩ C） +2u（B∩ C） 。自u（B）起∩D） +u（D∩C） =u（（B∩D） +（D∩C） ）+u（B∩D∩C） 带（（B∩D） +（D∩C） （） D（B∩ D∩ C） B∩ C、 因此q≥ 断言（7）和（8）断言（6）的直接后果。20 ABDELKAREM BERKAOUI现在我们介绍相关系数。定义5.21。让B、C∈ b（A）带A∈ bn对于某些整数n≥ 1、我们定义了B和C的相关系数y：ρ（B，C）=u（B∩ C） u（B+C），如果u（B+C）>0，则dρ（B，C）=0，如果不是。定理5.22。让B、C∈ b（A）带A∈ bn对于某些整数n≥ 那么我们有如下结果：（1）ρ（B，C）∈ [0, 1].（2） ρ（B，C）=ρ（C，B）。（3） ρ（B，C）=0 i ffb∩ C=L∞-.（4） ρ（B，C）=1 i f B=C.证明。（1） 自0起≤ d（B∩ C）≤ d（B+C），然后ρ（B，C）∈ [0, 1]. 断言（2）和（3）是微不足道的。（4） 相反的含义是微不足道的，让我们展示一下直接的含义。我们有B+C=B∩ C由于Pro位置4.9。所以B=C。推论5.23。假设向量过程（X，Y）∈ C满足性质（γ）。THE nИ（A（X），A（Y））=| r（X）- r（Y）|，η（A（X），A（Y））=r（X）+r（Y），ρ（A（X），A（Y））=0。推论5.24。

设B、C、D∈ b（A）带A∈ bn对于某些整数n≥ 1假设D C B、 那么ρ（B，D）=ρ（B，C）ρ（C，D）。布朗环境下不完全市场的应用。6.1. 完整程度。回到衡量不完整金融市场不完整程度的想法，我们首先需要确保存在完整的市场。由于定理2.11，我们应该在过滤满足可分割表示特性的环境中工作，然后在不丧失一般性的情况下，我们考虑沿着这一部分在布朗环境中工作。在此框架中构建了各种价格过程模型，即著名的Black-Scholes模型和随机波动率模型族。我们考虑Rn值的布朗运动B=（B，…，Bn）和相关过滤。事实上，我们遵循导言中讨论的观点，并假设以下假设：（i）所有金融风险都是由一个函数F建模的：=（Ft）t∈[0，T]。（ii）过滤F由布朗运动产生。问题是确定过滤FX填补了多少缺口，其中X是价格过程的建议模型。我们将首先展示此设置中的一些属性，特别是b中的属性（γ）和极大值属性是等效的。定理6.1。我们有以下r≤ n： （1）对于任何Q∈ P，集合AQ：={X∈ L∞: 等式（X）≤ 0}是最大值，单位为bn。（2） 任何进程X∈ 对物业进行了统计（β）。（3） A流程X∈ 如果A（X）在br中最大，则在l y上表示（γ）。（4） 对于任何集合B∈ br，在包含B.（5）A进程X的br中存在一些最大错误集A∈ 当且仅当QXis减小为s ingleton时，Cn满足性质（γ）。证据（1） 我们知道Q的密度过程Z是随机微分方程dZ/Z=λ的解。某些λ的dW∈ M1，n（P）。

所以过程BQ=B-R、 λsds是Q-布朗运动，这意味着AQ=A（BQ），然后AQ∈ 因此，AQB在bn中是最大的。（2） 让X∈ 克兰德Q∈ QX带Q~ P、 然后是A（X） AQ=A（BQ），过程BQ满足性质（γ）。（3） 这是提案3.11的直接后果。（4） 让B∈ br，对于某些Y，B=A（Y）∈ CRS满足属性（β）的要求，可进行评估（3）。由于提案3.10，存在一些X∈ C使性质（γ）满意，从而A（Y） 由于断言（3），BRA中的A（X）和A（X）是最大的。（5） 由于断言（3），流程X∈ 当且仅当ifA（X）以bn为最大值时，Cn满足性质（γ），这相当于QxB被简化为单态。现在，我们定义了不完全金融市场的两个比例平均完整度和不完全度。定义6.2。让X∈ C、 我们分别定义了由X、δC（X）=Д（A（X），L生成的金融市场的部分平均完整度和不完整度∞-)^1（A（B），L∞-)=Ed（X）n,和δi（X）=Д（A（X），A（B））Д（L∞-, A（B））=1- δc（X），其中，指标Д在提案5.20中定义。δcare的一些性质如下所述。提案6.3。Let（X，Y）∈ C、 然后（1）δC（X）≤ δc（X，Y）。（2） δc（X）=δc（X，Y）当且仅当A（Y） A（X）。（3） δc（X）=1当且仅当QXis减少到一吨。证据断言（1）和（2）是定义的直接后果。（3） δc（X）=1<=> d（X）=n，自d（X）起≤ n<=>~P（φn（X））=1<=> QXis将其减少为一个单子。备注6.4。Let（X，Y）∈ C使得A（X） A（Y）。当δc（X）=ρ（A（X），A（Y））δc（Y）。尤其是δc（X）=ρ（A（X），A（BQ）），对于任何Q∈ Meloc（X）和bq是相关的QBrownian运动。6.2. 对冲过程。最后，我们研究了未定权益的套期保值过程。首先，我们在这方面陈述了一个鞅分解定理。定理6.5。让X∈ C和Q∈ Meloc（X）。

那么（1）存在X′∈ C与X正交，使得{Q}=Mloc（X，X′）和d（X）+d（X′）=n.（2）对于任何局部Q-鞅L，存在两个向量可预测过程α和α′，使得L=αoX+α′oX′。证据这是提案5.12的直接后果。22 ABDELKAREM BERKAOUITheorem 6.6。让X∈ C和Q∈ Meloc（X）。那么对于所有h∈ L（Q），存在两个向量可预测过程α和α′，使得h=EQ（h）+ltl和L=αoX+α′oX′，其中X′在定理6.5中给出。证据我们定义了过程L=等式（h）和适用定理6.5来推导结果。参考文献[1]A.Berkaoui，关于连续时间上鞅测度集的表示和应用。应用《随机科学》（2018）中的ear。[2] A.Berkaoui，局部马氏测度集的特征。《随机与动力学》，18（5），2018年。[3] W.Brannath和W.Schachermayer，L子集的一个双极定理+(Ohm, F、 P）。S’eminaire deProbabilit’S XXXIII，《斯普林格数学讲义》，第1709卷，349-3541999页。[4] F.Delbaen和W.Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本。数学Annalen（300），463-5201994年。[5] S.D.Jacka，鞅表示结果及对不完全金融市场的应用。《数学金融杂志》2（4），239-2501992年。[6] D.O.Kramkov，《不完全证券市场中超级配售和对冲未定权益的可选分解》。问题。《理论与相关领域》，105，45 9-4791996年。[7] W.Schachermayer，有限离散时间内按比例转移成本下资产定价的基本定理。数学《金融》（14），2004年第19-48期。沙特阿拉伯利雅得11623，伊玛目穆罕默德·伊本沙特大学（IMSIU）科学院数学和统计系，邮政信箱90950。电子邮件地址：aamberkaoui@imamu.edu.sa