超越凹型情形的离散时间金融市场模型

2022-5-9 14:50:04

不连续时间内的金融市场模型*2021年6月9日摘要本文从一组公理出发，我们提出了一个市场模型的研究，就像在风险度量的情况下一样。我们将市场模型简单地定义为将一组适应的策略集合与一组描述交易结果的随机变量集合相结合。我们不做任何凹度假设。第一个结果是，在顺序上超连续性下，市场模型可以表示为正常被积函数。然后，我们将无套利的概念推广到这种情况，并将其作为超级套期保值定理和效用最大化来研究。最后，我们展示了如何将这些概念和结果推广到向量值市场模型的情况，例如货币市场的卡巴诺夫模型。1简介数学金融领域的思维，以及更广泛的经济学，通常包括两个步骤。第一步是为正在研究的效应假设一个模型，并对模型进行调整。这包括将交易者的行为与其交易结果联系起来。从这一点出发，本研究将重点放在手头的特定模型上，并分析其后果。在数学金融中，模型是对市场表现指标行为的描述，因为它取决于代理人或交易者的行为。数学金融中的三个主要问题是研究模型是否合理，即套利理论、套期保值，以及研究如何实现最佳绩效。

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2022-5-9 14:50:07

一般来说，这些方法本身取决于所研究的特定模型。金融市场模型凹性这一普遍存在的假设之所以成为争论的焦点，是因为两件事：首先，一件事通常旨在获得超边缘债权集的双重代表性；其次，市场中可容许策略A的空间不包含在局部凸空间中，但由于凸性，可以使用传递到“凸组合子序列”的技巧。Schachermayer[21]提出了这一观点。根据凹性假设，Pennanen[15]证明了超边缘索赔集的无套利和闭包问题可以嵌入到凸对偶框架中，从而将这些结果用于更大的市场模型集。然而，一般模型的问题在于更具普遍性*马里奥苏黎世ETH数学系。sikic@math.ethz.ch.one失去了解释力。例如，在无摩擦市场模型中，人们可以将资产定价的基本定理表述为等价于股票价格过程的等价人工测度的存在。只有在具有比例交易成本的市场模型的情况下，这种清晰的解释仍然是可能的（参见Kabanov等人[11]）。Lobo等人考虑了交易成本非凸的市场模型。[13] ，在计算框架中考虑比例成本和固定成本。他们提出了一种启发式算法，即迭代方案，用于计算最优策略，并给出了这些算法的数值实验。另见多林斯基和基弗最近的出版物[5]。在本文中，我们将研究不满足凹性的金融市场模型。在市场模型中有两种非凹性。

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2022-5-9 14:50:11

一方面，可能会出现容许策略集不是凸的。这种情况的一个简单例子可能是一个现实情况，即一个人只能在投资组合中持有任何一项资产的整数；这个模型可以用策略θ在整数Zd集合中取值来建模。另一方面，正如F"ollmer和Schied[9]所指出的，交易成本可能不是凸的，因为一个更大的交易者可以获得比s较小的每单位交易量更好的价格。固定交易成本是这种情况的一个显著例子。此外，人们可能会注意到，一些市场流动性不足的模型不是凸的，见。g、罗奇和索纳[19]。在本文中，我们将交易者A可用的策略集作为一个基本对象。关于过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）金融市场模型将被定义为一组适应序列A={（θt）t=0，…，t的映射-1 | t∈ L（Ft；Rd）}代表市场中代理人的策略，代表交易结果的可测量随机变量集L（F）。一般来说，市场模型的价值可以是任何一组。为了简单起见，我们只考虑两种情况：当市场模型取随机变量L（F；R）集合中的值时，以及当它取随机向量L（F；Rn）集合中的值时。人们认为市场模型的典型变量是最终利润、清算后的最终财富或消费效用的按市值计价。将金融市场模型的研究与风险度量的研究相比较，方法上的差异立即显现出来。后者从公理学开始：一个（有条件的）风险度量是从空间L中的财务头寸空间映射而来∞（F；R）进入L的空间∞（G；R），它描述了使职位可接受所需的财富。当然，这里有G F

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2022-5-9 14:50:16

有人这样说是因为它是一个将军。有趣的是，金融文献中的市场模型是在个案基础上进行分析的。文献中风险度量流的主要结果是，在下半连续性属性下，即Fatou属性，一个也有一个Fenchel–Moreau对偶表示（见F"ollmer and Schied[9]）。我们工作的另一个比较是最近开发的Lmodules领域（见[4]）。本文中发展的Lmodule理论与我们的一步市场模型是等价的。我们将对这种联系进行一次讨论，以供以后研究。本文的结构如下：在第2节中，我们定义了市场模型，即阐述了公理，并通过示例解释了研究这些公理的原因；在第3节中，给出了市场模型的表示结果；在第4节中，我们定义了无套利条件，并陈述了其后果，如超边际索赔集的关闭和效用最大化；第5节对向量值市场模型的定义和结果进行了扩展。在附录中，我们将收集一些关于可测量通信的定义和想法。1.1关于集合Rnwe上的符号一词将用h·、·i表示s calar积。相应的范数将用k·k表示。Rnwe上的关系将用闭合的凸锥k导出；福克斯，y∈ 我们写xKy的意思是x- Y∈ K.通常的随机变量和向量空间用L表示(Ohm, F、 P；Rn）安德尔∞(Ohm, F、 P；Rn）。用k·k表示后一个空间上的范数∞, 这就是所谓的KXK∞= ess sup kXk f或任何X∈ L(Ohm, F、 P；Rn）。此符号将在正文中删节，以免引起混淆。同样的符号也将用于相应K的可测量选择集：Ohm => Rn，即。

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2022-5-9 14:50:19

我们将用byL来表示它(Ohm, F、 P；K）。随机过程是随机变量（Xt）t=0，。。。，T在某些时间范围内。系统的增量将表示为Xi=Xi- xi-1.我们有时需要将随机过程视为随机向量，即LorL的元素∞. 然后我们可以谈谈他们的L∞标准2金融市场的模式l我们将考虑时间范围大于0的有限离散时间内的金融市场模型。交易者只能在{0,1，…，T]的有限时间内重新平衡其头寸-1}. 我们假设交易者的投资组合可以用概率空间上的有限维向量空间Rd来描述(Ohm, F、 P）投资者可获得的信息由过滤F=（Ft）t=0，。。。，T、例如，F的子sigma代数的增加序列。Wedenote关于过滤F byA的一系列适应策略=（θt）977t∈ L(Ohm, Ft，P；（右）t=0，T- 1..集合A的元素称为策略；这些就是投资者可以采取的行动。在金融数学中，人们通常使用可预测的策略，因为在连续时间内，这是有技术原因的。在离散时间设置中，这种区别是不相关的，因为过程的类别相当于重新指数化。因此，我们使用适应的策略，因为这使符号更加透明。在金融数学模型中，一个通过指定他或她在每项资产中的持股来描述交易者的投资组合。

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2022-5-9 14:50:23

因此，如果市场上有d股股票，就有必要指定交易员持有的每种资产的股票数量。定义2.1市场模型（我们也将其称为交易收益）是一个映射bv:A→ L（F；R）∪ {-∞})满足以下两个公理：A1：（标准化）如果代理人不参与市场，那么他或她的交易收益为零，即bV（0）=0；A2：（局部性）tradingbV的收益仅取决于局部策略，即对于anyt，任何集合A∈ 《金融时报》和《战略》∈ A、我们有以下内容：bV（θ，…，θT-1） 1A=bV（θ，…，θt）-1，θtA，θt+1，θT-1） 1Aa。s、在继续之前，我们首先对上述定义进行简要评论。首先要注意的是-∞ 允许市场模型表明该策略不可行；它有效地描述了模型中的约束。公理A1是说，至少有一种策略在市场上是可行的，即从交易中获得有限收益。I fbV:A→ L（F；R）∪ {-∞}) bea映射是否满足ing A2而不是A1和ifθ∈ A将是一个可行的策略，然后转换模型‘V（z）=bV（z+^z）-bV（^z）是定义为2.1的市场模型。Axiom A2是一个始终隐含在市场模型定义中的公理。我们应该将其与Zitkovi'c[22]等的工作凸性条件进行比较。直觉是，交易的收益应该只取决于策略和实现ω所采取的仓位顺序。备注2.2将这些公理与公理f或条件风险度量进行比较。基本区别在于映射域和共域的可测量性。让G F是次西格玛代数。然后条件风险度量映射ρ：L（F）→L（G），其中每个集合A的局部性性质为ρ（1AX）=1Aρ（X）∈ G、即。

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mingdashike22

2022-5-9 14:50:27

关于余域西格玛代数的可测性。备注2.3市场模型中辅酶域的选择有些随意。我们也可以把任何空间L作为一个域(Ohm, F、 P；X）其中X是一些拓扑空间。我们将看到，为了定义下面使用的概念，我们只需要空间X上的拓扑和部分关系. 选择R的主要优点是它有一个规范拓扑和一个规范完全二元关系≥ 在上面。此外，在这个空间上有一个规范极小元-∞ 我们将其附加到空间R中，以便对约束进行建模。在第5节中，我们将展示该理论如何转化为Codomann。我们现在提供几个典型的市场模型示例。希望这能稍微解释一下这个论点。例2.4金融市场的基本模型是无摩擦市场。市场模型完全由适应过程（St）t=0，。。。，T、我们默认存在一个额外的银行账户，利率为零，价值为1。使用自我融资策略，交易的最终收益为isbV（θ）=T-1Xt=0hθt，St+1- Sti。注意，h·，·i表示Rd上的标准标量积，在本例中，d=1，只是一个积。对于市场模型bv来说[-∞, ∞) 有价值的，股票价格过程也需要有价值(-∞, ∞). 然后是每一种策略θ∈ A达到一个绝对值（θ）。很容易看出如何将模型扩展到多个股票。进一步的扩展是增加静态期权{fi}ni=1，可以在初始时间购买，并在投资组合中持有，直到交易期结束。很容易看到如何扩展模型以适应这种扩展。股票价格过程（St）t=0……描述的基本无摩擦市场模型的示例2.5，。。。，增加交易成本。

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2022-5-9 14:50:31

资本收益仍如前一个例子所述，但对于θt的每一个变化-1对于投资组合中的股票数量，交易者产生的成本为gt（t- 977t-1). 这些需要从银行账户支付。以下是[6]的模型，其中一支股票（St）t=0，。。。，一个零利率的银行账户。市场模型写在这里，作为bv（θ）=T-1Xt=0hθt（St+1- （圣）- gt（θt- 977t-1）我和大会一起θ-1= 0. 交易成本一般为：Ohm×R→R+∪ {∞} 这样gt(θt）∈ 任意随机变量的L（F；R）977t∈ L（Ft；R）。以下是数学金融的几个突出例子：交易成本比例：成本为gt(θt）=λt|θt |对于一些随机变量序列λt>0 a.s.人们经常会遇到选择λt=λsts，对于某些常数λ>0，这里的stock price过程s也是非负的。固定交易成本：无论交易规模大小，交易员都需要为每笔交易支付固定费用λ。gtone的成本如下GT（x）=λx 6=00，否则。投资组合约束：股票在时间t中的可能位置被约束在某个集合Dt中 R.这就产生了一个有点不同的formbV（θ）=T模型-1Xt=0hθt（St+1- （圣）- 1Dt（θt）i，如果x，则1A（x）为0∈ A和∞ 否则备注2.6当市场模型中的交易产生交易成本时，不清楚投资组合价值的概念应该是什么。有两个典型的候选人。按市值计价是将股票数量乘以其“中间报价”并求和得到的价值。当然，中间报价是多少取决于型号。清算后的投资组合价值是一个人在银行账户上看到的价值，如果他或她将持有的资产更改为银行账户，即θt=0。

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2022-5-9 14:50:36

在数学金融文献中，为了对双变量进行理想的解释，需要对两者进行区分。例2.7这里我们给出一个更复杂的限价订单簿示例。有关建模注意事项的更多信息，请参见[19]。“均衡股价”过程（St）t=0，。。。，t在没有交易时给出价格；在交易中，交易期结束后，价格由St+给出lt、如果一个大交易者想进行交易θt时间t，他或她移动价格，因此交易后的价格通过mt变化θt.模型如下lt+1=κlt+2mt+1θt+1Vt+1=Vt+(St+1+κl（t）- mt(θt）对于某些常数κ∈ （0,1），捕捉价格影响的衰减l, 以及一个严格正过程（mt），对mt的极限指令簿的“深度”进行编码。我们在ourbV（θ）=VT（θ）中设置了市场模型，其中人们可以说服自己VT是投资组合（θt）t=0，。。。，T-1.该模型的一个特点是，交易收益不以凸的方式依赖于策略。例2.8最后一个例子将是市场模型不能与资本收益挂钩的例子。代理人在无摩擦市场交易，也可以消费一部分资金。从银行账户上的金额V>0开始，代理决定一对（θt，ct），其中，如上所述，θ是Portfolio中的多个份额，CTI是一个代表消费的过程；这是适应和积极的。在这种情况下，我们考虑的市场模型是vt（θ，c）=T-1Xt=0hhθt，St+1- 性病- ct+1i。我们感兴趣的是消费的效用。如果我们用U:RT表示+→ R∪ {-∞} 从消费流c中获得的效用，我们可以定义我们的市场模型asbV（θ，c）=U（c）。为了更好地定义模型，我们需要假设头寸在交易结束时具有偿付能力，即。

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2022-5-9 14:50:39

VT（θ，c）≥ 0 a.s.一个人可以想出数量有限的其他市场模型示例。让我们只提到最佳停车，可以通过适当减少策略的空间来处理。3市场模型的表示在金融数学中，通常认为市场是分配给策略的资本收益过程的规则。这种通过分配过程对市场的动态观察主要源于在连续时间内定义随机积分时需要处理的技术细节，即不能谈论ω-明智的随机积分。在我们上面给出的例子中，市场模型是以ω的方式给出的：定义ω，市场模型只是路径的确定函数。对于某些函数V，我们可以写出这个观测值sbv（ω）=V（ω，ω）：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}. 所有这些映射定义了市场模型，如下表所示。引理3.1设V为映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 假设它是F B（RdT）- B（R）∪ {-∞}) 可测量的然后m应用BV:A→ 定义为bv（ω）（ω）：=V（ω，ω）定义了当bv（0）=0时的市场模型。证据因为我们在引理的陈述中假设A1是满足的，所以我们只需要将A2和thatbV映射到正确的空间。但从V的可测量性可以明显看出这一点。本节的目的是说明在某些条件下，逆命题也成立，即对于任何bv，我们可能会找到一个映射V，这样它们就如前文中的引理一样相关。从市场模型开始，自然要做的事情是分配给它，映射定义如下：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}（ω，x）7→bV（x）（ω）。（1） RDT中的常数表示确定性策略，即非随机策略。当然，这些都是经过改编的。因此，定义是有意义的。因此，根据公理A2，对于任何简单策略，我们也有v（ω，θ（ω））=bV（θ）（ω），即。

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2022-5-9 14:50:42

只取有限个值的那个。然而，目前尚不清楚，除了这类策略之外，该识别为何有效。其中一个障碍是，由此定义的映射V不需要是可测量的，或者根本没有任何规律性。事实上，很容易找到这样的病理样本；参见[20]中14.39号提案之后的讨论。我们最好的希望是，我们可以修改映射V，以获得足够规则的版本。我们遵循[20]中14.40号提案的精神，定义了以下一组随机变量spx，r=ess supbV（θ）θ ∈ A、 kθ- xk∞< R（x，r）∈ RdT×R+。请记住，集合A包含所有适应的过程，因此我们获得基本上确界的家庭不是空的。通过定义bV和本质上确界，这些随机变量是F可测的。下面的暗示很重要≥ r+kx- yk==> px，r≤ 佩伊，萨。s、左边的条件意味着中心位于x的半径r的球包含在以y为中心的半径s的球中。利用这一准备，我们现在确定地图VV的候选对象：Ohm ×RdT-→ R∪ {-∞}（ω，x）7→ infpq，r（ω）kx- qk<r，q∈ QdT，r∈ Q∩ (0, 1). （2）请注意，我们取整数的集合是可数的，因此有必要以ω的方式定义它。作为下一步，我们将证明这个定义是好的。但在继续之前，让我们先介绍一些定义。由于正规被积函数的概念是相当标准的，我们选择不发明新的术语，而是引导读者阅读[20]，第14章，其中详细阐述了该理论。在这里，我们只记得定义，并警告说，与[20]相比，我们更改了以下所有内容中的符号。

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2022-5-9 14:50:46

我们对最大化感兴趣，这本书[20]讨论的是最小化。定义3.2 A映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 如果其下位对应ω7，则称为F正规被积函数→ hypo V（ω）=（x，r）∈ RdT×RR≤ V（ω，x）关于F是闭值且可测的。集值映射，或对应，ω7→ C（ω）对于每一个开球B都是可测量的，与F if相对应 RdT，我们有{ω| B∩ C（ω）6=} ∈ F.对应ω7→ C（ω）我们用C表示：Ohm => Rn表示每个C（ω）是Rn的子集。可测量对应理论的标准结果概述可在附录A中找到。在本章的剩余部分，我们通常会删除对西格玛代数的引用。这类正规被积函数的一个著名代表是Carathéodory映射类；a映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 如果地图是x7，卡拉斯·奥多里是吗→V（ω，x）对于每个固定ω是连续的∈ Ohm ω7→ V（ω，x）是可测量的F∈ RdT；参见[20]中的示例14.29。我们还要提到的是，几乎所有的金融市场模型，除了具有投资组合约束的模型外，都是由Carathéodory被积函数表示的。定义正规被积函数V的基本结果是，对于所有可测量的随机向量x∈ L（F；RdT）随机变量ω7→ V（ω，x（ω））是可测的；见[20]中的14.28号提案。引理3.3（2）中定义的映射V是tegrand中的一个正态。证据让我们写下并展开映射V的下标图的定义。Wehavehypo V（ω）=n（x，β）∈ RdT×R |β≤ V（ω，x）o=（x，β）∈ RdT×Rβ ≤ pq，r（ω）；Q∈ QdT，r∈ Q∩ （0,1）与kx- qk<r=\\Q∈QdTr∈Q∩（0,1）{（x，β）∈ RdT×R |β≤ pq，r（ω）如果kx- qk<r}=\\q∈QdTr∈Q∩(0,1)Br（q）×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×R=\\Q∈QdTr∈Q∩(0,1)RdT×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×R,式中，Br（q）表示半径为r的围绕q的开放球。

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2022-5-9 14:50:54

首先注意，对于固定ω，最后一个表达式是闭合集的交集，因此是闭合的。这意味着每个ω的映射V的上半连续性。当我们证明每个Br（q）×(-∞, pq，r]∪ Br（q）c×R是一个可测量的对应关系，我们将通过命题14来完成。11英寸[20]。根据同样的命题，可测对应的有限并集也是可测的，因此我们只需要检查赋值ω7→ RdT×(-∞, pq，r（ω）]是一个可测量的对应关系。让B=Bs（y，α）是一个开球。然后我们有ω ∈ OhmRdT×(-∞, pq，r（ω）]∩ B 6==ω ∈ Ohm|pq，r（ω）- α|<s,这是一个可测集，通过pq的F可测性，r引理3.4，使bv成为一个m市场模型。然后，对于上面构造的正规积分dV，我们有bv（θ）（·）≤ V（·，θ（·））a.s.为所有人θ∈ A.证据。引理的陈述等价于每个θ∈ A、随机变量（θ，bV（θ））是对应hypo V的可测量选择。在引理3.3的pro中，我们将这种对应关系表示为对应关系ω7的交集→ RdT×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×Rover（q，r）∈ QdT×Q，r>0。那么，fix q和r。我们需要展示以下内容：在Aq上，r:={ω| |θ（ω）- q|≤ r} wehavebV（θ）1Aq，r≤ pq、rAq、r.确定以下策略θq、r=. . . , θt|t-qt|≤r+qt | t-qt |>r。,这里我们方便地表示了q=（q，…，qT）-1）表示时间不确定性策略q。现在注意，通过构造，我们得到了θq，r∈ A和| q，r- q|≤ r a.s.和θq，r=θon Aq，r。

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2022-5-9 14:50:58

这就完成了证明，因为根据公理A2 wehavebV（θ）1Aq，r=bV（θq，r）1Aq，r≤ pq，rAq，r.最后一个不等式成立，因为在定义pq，r.定义3.5时，我们认为市场模型bv是上半连续的，如果对于每个策略序列∈ A.∩ L∞在L集中∞为了一个策略θ∈ A、我们有那份晚餐→∞bV（θn）≤bV（θ）。以下是本节的主要结果。定理3。6.让BV成为市场模式。如果bv是上半连续的，那么对于每一个被积函数，都存在一个正规被积函数V，其bv（θ）（ω）=V（ω，θ（ω））∈ A.正规被积函数V是在上面构造的，引理3.4表明它比泛函LBV大。所以，仍然需要证明bv的上半连续性意味着bv（θ）（ω）≥ V（ω，θ（ω））。这个证明是围绕[18]中的引理1.3展开的，该引理指出，对于pq，r=ess-supbV（θ）θ ∈ A、 kθ- qk∞≤ R存在一个可数子集{θq，rk}k∈N与kθq，rk- qk∞≤ 对于每个k和pq，r=supk∈NbV（θq，rk）。（3）我们利用这些推论，通过矛盾进行辩论。证据如下。证据让我们首先证明一下，证明有界策略的定理就足够了。假设这个定理对所有有界策略都成立，让θ∈ 一种可能是任意的。对于策略θ，我们分配了一系列策略θn=θ|θ|≤NθT-1 | T-1|≤N.显然，θn∈ A.∩L∞还有P[θn=θ]→ 1.表示An={θn=θ}，根据位置公理A2，我们有bV（θ）1An=bV（θ1An）1An=bV（θnAn）1An=V（θn）1An=V（θ）1An。发送n→ ∞ 对于θ，我们也得到了平等。从今以后，我们将与建立在L∞.如果定理的陈述不令人满意，则存在一个θ∈ A.∩ L∞对于某些ε>0的情况，p[V（·，θ）>bV（θ）+2ε]>2ε。

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2022-5-9 14:51:01

当策略θ具有确定性时，我们将首先概述案例中的论点，然后在步骤2中将该论点扩展到一般情况。第一步：对于每一个确定性策略，它用一个向量表示∈ RdT，我们认为这个定理成立。用矛盾来争论。设（qn）是QdT中的一个序列，满足ing | qn- x |<2-N-1.如上所述，由于px，r≤ 佩伊，萨。s、无论何时≥ r+kx- yk，它遵循v（ω，x）=limn→∞pqn，2-以上限值的顺序是递减的。因此，我们认为这个定理是错误的，即P[V（·，x）>bV（x）+2ε]>2ε，因此P也是错误的pqn，2-n> bV（x）+2ε> 根据我们在上述证明中所做的评论，对于每个n，都存在一个常数knsch thatPsupk<knbV（θqn，2-nk）>bV（x）+ε> ε. 用（θn）表示序列θq，2-1.θq，2-1k，θq，2-2.θq，2-2k，θq，2-3.通过构造，序列θ在L中收敛到x∞. 然而，同样通过序列的构造，我们得到了林尚→∞bV（θn）≥bV（x）+ε≥ ε.这与市场模型bV的upp er半连续性相矛盾，因此V（ω，x）6=bV（x）（ω）具有正概率的假设是错误的。第2步：该定理适用于所有有界策略θ∈ A.∩ L∞.对于这种一般情况，我们将遵循与上一步相同的策略。假设对于某些ε>0的情况，我们需要构造一个收敛到L中的序列（μm）∞和Plim supmbV（θm）≥bV（x）+ε≥ ε. 我们按照步骤1中的步骤分段构造这个序列。通过依次（1）逼近L中的θ进行证明∞使用一个简单的s策略θ，其值为qd和kθ- θk∞≤ 2.-N（2）使用等式（3）中给出的pq，r的定义序列，从上面近似V（θ）的值。我们只展示了如何定义有限等式（θni），比如kθni- θk∞≤ 22-nandPsupi<knbV（θni）>bV（θ）+ε> ε.

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2022-5-9 14:51:06

然后，如步骤1所示，通过附加这些细节来完成证明。所使用的精确符号将在校样中列出。修正一个错误∈ N.我们将首先构建一个策略θ，使kθ- θk∞< 2.-n、构造过程很简单，通过依次逼近策略进行：用一个简单的随机变量θ=NXi=1q（i）1逼近第一个θOhm（i）这样kθ- θk∞< 2.-娜娜。s、当然，我们需要Ohm（一）∈ F.假设Ohm（i）是不相交的，这是i=1Ohm（i） =Ohm. 继续下一个时间实例，并在每个Ohm（j）从上一步开始，用一个简单的随机变量θ来近似θOhm（j） =N（j）Xi=1q（j，i）1Ohm（j，i）这样，在完成f或所有j之后，我们就有了kθ- θk∞≤ 2.-n、再次假定Ohm（j，i）∈ 票价不相交且SN（j）i=1Ohm（j，i）=Ohm（j）。我们以类似的方式进行，直到得到最后一步的近似值。然后我们写θ=NXi=1··NT-1（我…，它-2）退出-1=1q（i），q（我…，是吗-1)Ohm（我…，它-1).当然，通过构造，我们有kθ- θk∞≤ 2.-n、为了进一步简化旋转，我们用一个元组表示-1）表示上述表达式中的和，并用N表示所有此类指数的集合，即N={（i，…，iT）-1) 新界| i≤ N信息技术-1.≤ 新界-1（我…，它-2)}.对于每一个ν∈ N将相应的向量写成qν=q（ν），q（ν，…，νT）-1).现在，根据证据之前的观察，对于每一个∈ N存在一个序列{θνk}k∈N A、这样kθνk- qνk∞≤ 21-nandpν：=pqν，2-n+1=超级∈NbV（θνk）。在引理3.4的证明中，我们现在注意到bv（θ）≤ V（θ）≤Xν∈NpνOhm（ν）因此，我们也可以找到一个常数K，比如p“supk（ν）∈{1，…，K}| N | Xν∈NbVθνk（ν）Ohm（ν） >bV（θ）+ε#>ε，这里我们看k（ν）∈ {1，…，K}| N |作为映射K:N→ {1，…，K}。现在，如果随机向量Ohm（ν）实际上是针对每一个k（ν）∈{1，…，K}N |，我们就完了。

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2022-5-9 14:51:09

事实上，这组策略是有限的，因此我们可以将它们添加到我们的搜索序列（θm）中，如步骤1所示。然后，对每个n重复这个过程，我们可以得出第1步中的证明。在证明的最后一部分，我们将展示，同样可以通过调整策略来实现。本质上，我们展示了如何扩展策略θνkOhm（ν）对于已适应的策略，近似值为f或θ，即k- θk∞≤ 2.-n+1，这样bv（θνk）1Ohm（ν） =bV（а）1Ohm(ν). 修正一个v∈ N和k∈ {1，…，K}。我们可以很容易地看到，该策略=. . . , θνk，tOhm（ν，…，νt）+θtOhm（ν，…，νt）c。满足上述所有标准。事实上，最后一点是从观察中得出的：Ohm（ν） =TT-1t=0Ohm（ν，…，νt+1）。备注3.7请注意，在证明中，我们没有继续证明正规可积有限值。但上述定理的证明表明，情况确实如此。假设对于某个常数q∈ qd和all r∈ Q∩（0，1）我们有P[pq，r=∞] > ε.然后，通过与上面相同的论证，我们可以构造一个序列θn→ q一致，P[lim supn→∞bV（θn）=∞] ≥ ε. 但这是不可能的，因为假设BV取L（F；R）中的值∪ {-∞}) 以及上半连续条件。推论3.8上述定理的半连续性条件等价于下面的条件：对于每个策略序列（θn），收敛到一个策略θa.s.我们得到了有限的支持→∞bV（θn）≤bV（θ）。证据由于一致收敛意味着几乎确定收敛，我们只需要证明上述定理也适用于策略的几乎确定收敛。所以，让θnbea序列几乎肯定地收敛到一个策略θ。根据Egorov定理，收敛性几乎是一致的，即对于每一个ε>0存在一个集合∈ F在-1.∈ 英尺-1如此之多[At]>1-ε对于每个t和θntat均匀地收敛到θtAt。

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2022-5-9 14:51:18

我们也可以假设，在L∞, 否则，每一条线都与{|θt|相交≤ N} 对于足够大的N。表示现在的n=（nA，…，nT）-1AT-1).根据A2公理，我们知道bV（^θn）1tat=bV（θn）1tat。接受极限：林超恩→∞bV（θn）1tat=lim supn→∞bV（^θn）1tat≤bV（θ）1tat=bV（θ）1tat。自从PTtAt> (1 - ε） Tandε>0是任意的，结果如下。备注3.9现在人们可以问，这种表述结果的意义是什么。一种方法是注意到，对于任何市场模型bv，不一定是上半连续的，它声明其上半连续包络具有特定的形式。还要注意的是，定理假设市场模型bv的顺序上半连续性，然后证明它等价于所有ω的半连续性。此外，它允许我们扩展市场模型，并使用未调整的策略，只需将s策略插入函数V。事实上，利用A2属性，我们可以将功能LBV扩展到适应策略之外。这是事实，但这种扩展仅适用于“有限粘贴”，即可以粘贴有限数量的策略。在[4]的语言中，扩展只可能到a的稳定壳。表示定理表明，在上半连续条件下，可以将泛函LbV扩展到a的σ稳定壳。例3.10以下是[20]中的一个例子，表明即使在市场模型bv定义为映射V的情况下：Ohm×RdT→ R满足财产ATBV（θ）∈ 每种策略的L（F；R）θ∈ A、映射V可能仍然缺乏所需的可测量性。允许Ohm = [0,1]与Lebesgue测度P和Borel sigma代数。出租 Ohm 成为一个不可测量的集合。一步市场模型由bv（x）（ω）给出=1 x=ω∈ D、否则为0。以初始的西格玛代数F为例，1 hasbV（θ）=0 a.s。

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2022-5-9 14:51:28

对于每种策略θ∈ A.还要注意，对于每个固定ω，映射x 7→bV（x）（ω）是上半连续的。问题是映射V不是正规被积函数；事实上，V的下标图是不可测量的，这一定义直接导致了这一点。然而，上述构造的一个候选者会给出V（ω，x）=0，这是可测量的，即正规被积函数。对于每一个可测量的策略，它都等同于V a.s。备注3.11需要市场模型的半连续性来获得市场表示的固定ω半连续性。一个自然的问题是，市场模型的连续性是否意味着代表性也一样。我们将通过一个反例来说明，这个问题的答案通常是否定的。然而，在某些情况下，结果是真实的。这回答了[7]中关于局部（即术语中的稳定）和连续mapsbf:L（F；Rd）之间关系的问题→ L（F；Rd）和Carathéodory被积函数F：Ohm X路→ 在下面的引理中，我们只考虑mapsbf:L（F；Rd）→ L（F；R），可以看作是坐标图。我们称之为mapbf:L（F；Rn）→ 对于每个序列（θk），L（F；R）是序列连续的 L（F；Rn）几乎肯定收敛到θ∈ L（F；Rn），alsobf（θk）→bf（θ）几乎可以肯定。引理3.12 Letbf:L（F；Rd）→ L（F；R）是一个一步市场模型。如果BF是连续的，那么它可以用卡拉斯气味图f表示：Ohm X路→ R.证明。由于序列连续性意味着序列的上半连续性和下半连续性，因此定理3.6适用。它产生两个表示被积函数：上半连续的f+和f-, 这是下半连续的。观察这些表示的构造，我们知道f+（ω，·）≥ F-（ω，·）作为所有ω的函数。

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2022-5-9 14:51:37

作为f+和f-是映射f的两种表示形式，也可以得出f+（ω，θ（ω））=f-（ω，θ（ω））所有人的a.s.θ∈ L（F；Rd）。考虑闭值F可测对应aε（ω）=（x，y）∈ Rd×RF-（ω，x）+ε≤ Y≤ f+（ω，x）.如果我们能证明Aε= 几乎可以肯定的是，对于所有ε>0，那么对于几乎所有ω，函数f+（ω，·）和f-（ω，·）重合，即在一个空集合外，函数f+（ω，·）是连续的，证明了这一说法。假设P[Aε6=] > 有些ε>0时为0。然后在集合上存在Aε的F可测选择θOhmε= {ω ∈ Ohm | Aε6=}, 我们设定为0(Ohmε）但是，通过表示结果，这意味着bf（θ）（ω）=f-(ω, θ(ω)) ≤ f+（ω，θ（ω））+ε=bf（θ）（ω）+ε表示ω∈ Ohmε、也就是说，具有正概率。这是一个矛盾，证明了aε（ω）=a、例3.13一般来说，顺序连续性并不意味着映射可以用Carathéodory映射来表示。请特别注意以下示例。允许Ohm = 带G平凡和mapbf:L（G；R）的R→ L（F；R）由bf（x）（ω）给出=1倍≥ ω0，否则。很容易看出，映射bf对于任何不含原子的被测物都是等连续的。然而，它不能用卡拉斯气味图来表示。4无套利及后果示例2.4中无价格市场模型中的经典无套利条件为以下公式：xt=1hθt，St+1- 性病≥ 0 a.s==>TXt=1hθt，St+1- Sti=0 a.s.该定义表示，如果交易策略不发生损失，则不会产生收益。考虑这种无套利定义有两个主要原因，一个是技术上的，一个是哲学上的。首先，定义与定义条件的度量无关；它只依赖于测度P的零集，因此，市场模型的无套利性质是“代数的”。

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2022-5-9 14:51:46

第二个原因是如果一个战略θ∈ A将是一种套利策略，对于任何n>0的情况，nθ也将是一种套利策略，而具有这种属性的模型是不现实的，即交易者不能在现实世界中使自己的头寸任意大。正是这第二个论点，我们建立了无套利条件。这个想法是，一个人不能在不增加负面影响的情况下增加自己的职位。为了描述大价值θ的市场模型，根据衰退模型定义了无套利条件。它是在[16]的金融数学框架中引入的。另请参见[15]了解更一般的介绍。在投资组合优化的背景下[1]中，衰退的论点也更为明显。在第五章的剩余部分：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}, 其中定义的表示定理将被称为市场模型。也就是说，我们假设市场模型BV是上半连续的。定义4.1让V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 做一个市场模型。衰退模式V∞: Ohm ×RdT→ R∪ {±∞} 以ω-方式定义asV∞（ω，z）=limλ→∞supδ>λ，|x-z |<λδV（ω，δx）。映射V∞定义明确，因为上面表达式中的限制是递减顺序。根据[20]中的练习14.54，映射∞也是F B（RdT）是可测量的，比如函数x7→ 五、∞（ω，x）对于所有ω都是上半连续且正齐次的。请注意，当V是正同质市场模型时，则V=V∞, i、衰退映射只是市场模型的上半连续正则化。备注4.2从现在起，我们将注意力限制在上半连续市场车型SBV上有两个原因。首先，我们希望我们的市场模型是半连续的，以证明超边缘索赔集合的完结性。然而，还有一个更微妙的原因。

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2022-5-9 14:51:50

首先，让我们注意到，在一般情况下，我们也可以定义衰退市场模型asbV∞（θ）=limλ→∞ess supδ>λ，kа-θk∞<λδbV（ΔП）。这可以被视为上半连续边界的衰退图。所以，这里有一个微妙的点：上半连续包络线可能不是R∪{-∞}有价值的，即接受价值+∞ 对一些人来说θ∈ A具有正概率。通过使用sumingupper半连续性，我们排除了这种情况。我们现在定义了无套利条件。这个想法应该与[20]中定理3.10的条件相比较。定义4.3市场模型满足无套利（NA）条件，如果θ ∈ A.五、∞(θ) ≥ 0 a.s。= {0}.作为一个简单的例子，我们可以检查无摩擦市场模型在满足经典无套利条件且不存在大量资产时是否完全满足条件。一个更一般的市场模型是示例2.5中的模型。我们可以很容易地检查衰退市场模型是否由V给出∞（θ）=T-1Xt=0hθt（St+1- St）+(-gt）∞（θt- 977t-1） i.因此，该市场模型满足NA条件，尤其是当（St）是无套利价格过程且g∞t（x）>0 a.s.对于所有x 6=0；在具有比例交易成本的市场理论中，这种价格过程被称为严格一致价格系统。备注4.4无套利条件已在[14]中以不可缩放套利的名义出现，并针对凸交易成本和市场的加性结构进行了定义。关于无套利条件的类似观点可以在[3]中找到，即第二类高产量制度的无边际套利。他们假设市场是无套利的，如果它可以被一个有效的市场模型支配，满足无套利条件。

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2022-5-9 14:51:54

这也意味着，在我们的定义下，它是无套利的。备注4.5这是一个微不足道的观察结果，在前面的备注中提到：如果VandVare有两个市场模型，V（ω，x）≤ V（ω，x）表示所有（ω，x），如果V满足无套利条件，则V也满足无套利条件。通过这一观察，我们可以理解比例交易成本理论：具有比例交易成本的集合定价的基本原理表明，具有比例交易成本的市场模型V是无套利的，当且仅当我们能够找到一个无摩擦且无套利的主导V模型。准确地说，VN需要满足有效的无套利条件，并且不允许冗余资产。下面的例子表明，这种等价性在非凸市场模型中不再成立。示例4.6在具有两种状态的一步模型中Ohm = {ω，ω}和平凡的初始西格玛代数，我们定义了一个如下的市场模型：V（ω，x）=|x |：ω=ω-|x |：ω=ω市场模型是正齐次的，其衰退锥正好等于V。很明显，市场模型满足无套利条件。然而，我们不能用任何无摩擦的市场模式来控制它。让f∈ L（F；R）∪ {-∞}) 是一个随机变量。用Cf表示支配f的所有超边缘主张的集合，即Cf=G∈ L（F；R）Z∈ A:V（z）≥ G≥ f.a.s。. （4）此外，用C定义市场上所有超级边缘索赔的集合，即表示C=C-∞.我们现在确定了市场的可行性。我们的意思是对市场模型的最小假设，这使得谈论预期效用最大化是明智的。定义4.7我们认为，如果集合Cf对每个有限随机变量f的概率有界，则市场模型是可行的∈ L（F；R）。满足NA条件的引理4.8市场模型是可行的。证据

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2022-5-9 14:51:57

在证明中，我们考虑f∈ L（F；R）给定并固定。假设Cf在概率上是无界的，let（θn）一系列策略，使得P[V（θn）≥n] 对于someδ>0，δ>0。我们将讨论序列（θn）在概率上是无界的，其余的由下一节的引理4.10给出。对于几乎所有ω，函数x7→ V（ω，x）是上半连续的[-∞, ∞)值，因此它们在紧上有界。因此，存在一系列有限随机变量（mi），例如V（ω，x）≤ 每x的mi（ω）∈ 球的半径为i，中心为0。假设策略序列（θn）的概率是有界的。通过定义，对于每个ε>0，我们可以找到一个M>0，这样∈NP[|n |≥ M] <ε。接下来，选择anN>0，使P[supi=1，…，Mmi≥ N]<ε。我们估计P[|V（θk）|>N]=P[|V（θk）|>N，k>M]+P[|V（θk）>N，k |≤ M]≤ P[|k>M]+P“MXi=1mi|∈（一）-1，i]>N#≤ε+P“supi=1，…，Mmi>N#≤ε+ε= ε.这也意味着策略集（θn）的概率是无界的。根据引理4.10，这反过来意味着市场模型不能满足NA。备注4.9反向含义通常不正确。NA条件只是有效的，但不是生存的必要条件。市场模型V（z）=0（根据我们的定义，它不是无套利的）已经不满足条件，尽管该模型显然是可行的。对于一个随机变量f，定义一个子集Afof策略，即Af=θ ∈ A.V（θ）≥ f.a.s。.引理4.10设f∈ L（F；R）是一个随机变量，V是一个满足NA条件的市场模型。那么af的概率是有界的。这本质上是对[20]中定理3.10的一种修改；也可与[15]进行比较。证明基于随机子序列的思想：引理4.11 Let（fn） L（F；Rn）是一个随机向量序列，使得P[lim infn | fn |<∞] =1.

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2022-5-9 14:52:07

然后，随机dom变量（τ（n））的序列不断增加 L（F；N）这样的（Fτ（N））几乎肯定会收敛到L（F；R）中的一个随机变量。证据引理4.10。这个论点是自相矛盾的：假设af不受概率的限制。我们可以选择一个序列（θk）k∈N 这已经是无限的可能性了。然后，通过使用随机子序列的思想，我们想证明存在一个带有V的策略∞(^θ) ≥ 0 a.s.我们对每个步骤t重复以下算法，从t=0开始，按递增顺序进行。通过（θk）我们表示上面的原始序列，并使用修改后的序列（^θk）；该序列的第一个版本，即在开始算法之前，我们定义为θk=^θk。如果集合{ω| lim infk→∞|^θkt |=∞} 具有非零概率，用A表示，并定义一系列随机变量λt（k）=1+|^θkt |在A上，外部为零；否则设置λt（k）=1。我们传递给一个可测的子序列（τt（k）），这样，通过上述引理，随机变量序列λt（τt（k））^θτt（k）t几乎肯定会收敛。在继续下一步t+1之前，替换原始序列^θkbyλt（τt（k））τt（k）。表示τ（k）=τ（…τT）-2（τT）-1（k））…）λ（k）=T-1Yt=0λt（τt（…τt-2（τT）-1（k））…），我们可以很容易地看到，这些序列是以这样一种方式构建的：在完成上述程序后，^θk满足^θk=λ（k）θτ（k）和k→ 对于某些适应策略∈ A.现在我们展示V∞(φ) ≥ 几乎可以肯定。我们有0=limk→∞λ（k）f≤ 林克→∞λ（k）V（θτ（k））=limk→∞λ（k）V^θτ（k）λ（k）！≤ 林克→∞supλ∈（0，λ（k））|x-φ(ω)|≤λ（k）λVxλ= 五、∞(φ).这是一个矛盾，因为通过构造，s策略是非零的，我们假设模型满足无套利条件。请注意，上述计算是按ω进行的。引理4.12 Let（θn） A可以是概率有界的序列。

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mingdashike22

2022-5-9 14:52:10

然后，存在随机变量的递增序列（τ（n）） L（F；N）使得（τ（N））最确定地收敛到一个适应的策略∈ A.证据。我们遵循与前一个证明类似的论点。取一个可测量的子序列τ（k），使序列τ（k）收敛到一个有限的随机变量^θ。然后传递到τ（k）的可测子序列τ（k），使得θτ（k）收敛到^θ。我们以这种方式继续，直到我们得到一个随机子序列τ（k），使得τ（k）收敛到一个可预测的策略。定理4。1.3如果市场模型满足无套利条件，则超套期保值债权集C的概率闭合。证据选择一系列随机变量∈ 在概率上收敛到某个随机变量h的∈ L.通过传递到子序列，我们可以假设序列几乎肯定收敛到h。设（θk）为相应的策略等式，例如hk≤ V（θk）。现在，请注意，几乎可以肯定的是，收敛意味着pointwiseminimum f=infkhkis是一个有限的随机变量。通过上面的引理，我们知道这个集合（θk）在概率上是有界的。Let（τ（k）） L（F，N）是引理4.12中定义的递增序列。注意我们还有hτ（k）≤ V（τ（k））。注意V是点态上半连续的，我们得到h=limn→∞hτ（k）≤ 林素福→∞V（τ（k））≤ V（θ），这表明f∈ C.备注4.14之前的陈述通常被称为“超边缘定理”。乐舞团∈ L（F；R）是一个随机变量，即或有权益的支付。我们将f的价格定义为p的最小值∈ R使得f- p是超可边的，即ρ（f）=infP∈ RF- P∈ C.上述结果表明，如果ρ（f）是有限的，则存在策略θf∈ 这样的≤ ρ（f）+V（θf）a.s.这是清楚的，因为序列f- 2.-N C收敛于a.s。

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2022-5-9 14:52:13

对于f，根据前面的定理，这个主张如下。现在，我们将证明，如果市场模型满足NA条件，那么最终财富将受到巨大限制。我们从以下观察开始。定理4。1.5让V成为满足NA和f的市场模型∈ L（F；R）一个随机变量。然后存在一个有限的随机变量K，使得任何策略θ∈ 满足后≤ 当然不是。证据根据引理4.10，满足可容许性条件的策略集是概率有界的。在这里，我们用这个观察来证明一个更强的界。我们将根据时间步数进行归纳。为了证明战略第一步的合理性，我们定义了以下集合ψ=H∈ L（F；R+）θ ∈ Af:|θ|≥ H,它包含了f到FirstComp组件的超边缘策略的所有限制规范。请注意，集合在概率上是有界的，并且也是向上的。因此，存在一系列策略（θk）一个这样的例子：limk→∞|θk |=ess supψ。由于超边f的策略集在概率上是有界的，所以集合{| k | k也是有界的∈ N} 因此，随机变量m=ess supψ是有限的。接下来，定义简化的市场模型，定义ω，如下v（ω，x，…，xT）-1） =supy∈Rd | y|≤m（ω）V（ω，y，x，…，xT）-1).注意，对于每一个ω最大化都是在一个紧集上，这意味着V（·几乎肯定是上半连续的（参见[20]中的定义1.16和定理1.17]）。Vis也可以联合测量，因此是一个市场模型（见[20]的推论14.34和命题14.47）。很明显，V（θ，…，θT-1) ≥ f所有策略θ∈ 之后，通过V的构造，我们认为市场模型Valso满足无套利条件。首先，我们计算市场模型V的衰退函数∞（x，…，xT）-1） =limΔ0supλ∈（0，δ），|x-u |<ΔλVuλ。

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2022-5-9 14:52:17

，uT-1λ= limΔ0supλ∈（0，δ），|x-u |<δsupy∈Rd | y|≤m（ω）λVy、 uλ，美国犹他州-1λ= 五、∞（0，x，…，xT）-1）因此，如果原始市场模型V满足无套利条件，那么简化的市场模型V也满足该条件。重复第一步的步骤，得到随机变量m，mT-1.然后我们可以将随机变量K定义为K=m+·m+mT-1.引理4.16如果市场模型满足NA条件，则随机变量F=ess sup cffite。证据让Mibe表示有限的随机变量，例如V（x）≤ 每个x∈ Bi（0）。从前面的定理中选择随机变量K，我们得到以下估计：Mf≤∞Xi=1MiK∈（一）-1，i]这是有限的。我们现在给出一个基本的效用最大化结果。阿玛肟化剂存在的基本陈述基本上遵循[8]。我们在这里给出了一个相当一般的公式。正半直线上的随机效用函数U是映射U：Ohm ×R+→ 就这样。f或每个ω∈ Ohm, 映射x→ U（ω，x）是非递减的。2.f表示每个随机变量X∈ L（F）我们有ω7→ U（ω，X（ω））相对于σ代数F是可测的。我们通常会忽略U对ω的依赖性。在凸分析语言中，我们可以说映射U是一个递增的正规被积函数。所需的性质足以使合成物o V正规被积函数；见[20]中的14.45号提案。效用最大化设置的基本语句是以下定理4。设U为随机效用函数，f为随机变量。设M=ess sup，并假设U（M）∈ L.然后，针对以下效用最大化问题的优化器存在SUPθ∈AE[U（V（θ））]=E[U（V（θ）]*))].证据我们可以假设这个问题是非常重要的，也就是说，存在这样一种策略，即e[U（V（θ））]>-∞.

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