年金融市场稳健建模的统一框架

nandehutu2022

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《A unified Framework for Robust Modelling of Financial Markets in
discrete time》
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作者：
Jan Obloj, Johannes Wiesel
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We unify and establish equivalence between the pathwise and the quasi-sure approaches to robust modelling of financial markets in discrete time. In particular, we prove a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Superhedging Theorem, which encompass the formulations of [Bouchard, B., & Nutz, M. (2015). Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. The Annals of Applied Probability, 25(2), 823-859] and [Burzoni, M., Frittelli, M., Hou, Z., Maggis, M., & Obloj, J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research]. In bringing the two streams of literature together, we also examine and relate their many different notions of arbitrage. We also clarify the relation between robust and classical $\\mathbb{P}$-specific results. Furthermore, we prove when a superhedging property w.r.t. the set of martingale measures supported on a set of paths $\\Omega$ may be extended to a pathwise superhedging on $\\Omega$ without changing the superhedging price.
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中文摘要：
我们统一并建立了离散时间金融市场稳健建模的路径方法和准确定方法之间的等价性。特别地，我们证明了资产定价的一个基本定理和一个超边缘定理，其中包括[Bouchard，B.，&Nutz，M.（2015）。非支配离散时间模型中的套利和对偶。应用概率年鉴，25（2），823-859]和[Burzoni，M.，Frittelli，M.，Hou，Z.，Maggis，M.，&Obloj，J.（2019）。离散时间点式套利定价理论。运筹学数学]。在将这两组文献汇集在一起的过程中，我们还研究并联系了他们对套利的许多不同概念。我们还阐明了鲁棒性和经典$\\ mathbb{P}$-特定结果之间的关系。此外，我们证明了在不改变超边缘价格的情况下，当一个超边缘性质w.r.t.在一组路径$\\ Omega$上支持的鞅测度集可以扩展为$\\ Omega$上的路径超边缘时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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mingdashike22

2022-6-14 02:08:42

离散时间金融市场稳健建模的统一框架Jan OB L’OJ和JOHANNES WIESELAbstract。我们统一并建立了离散时间金融市场稳健建模的路径方法和准确定方法之间的等效性。特别是，我们证明了资产定价的一个基本定理和一个超边缘定理，其中包括（Bouchard和Nutz，2015）和（Burzoni et al.，2019a）的公式。在将这两种文献汇集在一起的过程中，我们还研究并联系了他们对套利的许多不同概念。我们还阐明了稳健和经典P-特异性结果之间的关系。此外，我们还证明了当一个超边性质w.r.t.在一组路径上支持鞅测度集时Ohm 可以扩展到路径超边缘Ohm 在不改变超边际价格的情况下。1、简介金融市场的数学模型在经济和金融领域具有重要意义，在衍生产品定价和对冲理论以及风险管理中发挥了关键作用。经典模型可以追溯到（Samuelson，1965）和（Black和Scholes，1973）的连续时间，它们指定了一个固定的概率测度P来描述资产价格动态。他们形成了一个强大的完整金融市场理论，后来又形成了一个不完整的金融市场理论。最初的模型经历了无数变化，其中包括局部和随机波动率模型，并得到了广泛应用。然而，他们也面临着忽视模型不确定性问题的重要批评，尤其是在2007/08年金融危机之后。因此，在回溯到（Knight，1921）的理论发展的启发下，出现了新的建模方法，旨在解决这一基本问题。

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kedemingshi

2022-6-14 02:08:45

根据所谓的准确定方法和路径方法，可以大致分为两个流。准肯定方法引入了一组表示可能的市场情景的先验P。这些先验值可能非常不同，P通常包含相互奇异的度量值。这带来了重大的数学挑战，并导致了准确定随机分析理论（参见，例如，（Peng，2004；Denisand Martini，2006））。在离散时间内，该框架在（Bouchardand Nutz，2015）中进行了抽象，我们在本文的其余部分称之为准sure公式。通过在一个固定概率测度（P={P}）的“极端”情况和考虑所有概率测度（P=P（X））的“极端”情况之间改变概率测度集P，该公式允许市场动态的广泛不同规范。准确定方法已被用于考虑市场摩擦和其他相关问题的模型不确定性，例如（Bayraktarand Zhou，2017；Bayraktar和Zhang，2016）。pathwise方法通过在没有概率度量或类似的相对权重的情况下描述市场情景集来解决市场建模中的Knightian不确定性：2019年12月4日。我们非常感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/欧洲研究理事会第335421号赠款协议以及牛津圣约翰学院提供的资金。我们也感谢马特奥·布佐尼的有益言论和评论。JW进一步感谢德国学术奖学金基金会的支持。1月2日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELscenarios。

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可人4

2022-6-14 02:08:48

它也被称为点式方法，或ω乘以ω的方法，与央行使用情景生成器进行压力测试的方式相似。在离散时间内，根据（Burzoni et al.，2017，2016）的早期发展，在（Burzoni et al.，2019a）中获得了合适的理论。该方法基于（Mykland et al.，2003）中引入的预测集概念，并在（Hou和Ob l\'oj，2018）中使用了不连续时间。包含所有场景的特殊情况通常被称为独立于模型的框架，并在（Davis和Hobson，2007）和（Acciaio等人，2016）中率先提出。在此基础上，通过包含代表不同代理人信念的其他假设，进一步进行模型规范。以这种方式，消除了所有代理认为不可能的路径。剩下的路径集称为预测集或模型。因此，准确定和路径两种方法都允许在建模谱的两端之间进行插值，如（Merton，1973）：模型独立和模型特定设置（见图1）所示。在这样做的过程中，他们让WTO捕捉到他们的产出在添加或删除建模假设的功能中是如何变化的，从而可以量化给定假设集对当前问题的影响和风险，见（Cont，2006）。这两种方法都是同样可行的方法：添加概率m ea su re以达到PModel特定方法：修复普遍可接受的设置此paperPathwise Robust方法：从通用波兰spaceX开始，排除不可能的路径以获得图1：。金融市场建模的不同方法成功地发展了合适的套利概念，并将核心结果从经典的P-a.s.环境扩展到更一般的环境。

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大多数88

2022-6-14 02:08:51

特别是在bothapproaches中，可以建立无套利资产定价的基本定理<=> 鞅测度Qa的存在性和formsupQEQ[g]=inf{x | x的超边缘定理是g}超边缘策略的初始资本。我们的主要贡献是统一这两种建模不确定性的方法。我们证明，在温和的技术假设下，资产定价和超边缘二元论的路径和准确定基本定理可以相互推断，因此是等价的。我们的陈述遵循下面概述的元结构：元定理。假设我们在一个给定的priorsP集合的准确定环境中。然后，存在合适的场景选择OhmPsuch的pathwiseresultOhmPIMPPLIES P的准肯定结果。相反，假设我们有一个选择的场景Ohm. 然后，有一组优先级POhm这样P的准肯定结果Ohm表示的路径结果Ohm.金融市场的稳健建模3建立这种等效性使我们能够对这两种方法的核心对象获得重要的额外见解，并澄清与经典模型规范设置的联系。特别是，当将逐点分析的结果转换为准确定设置时，Bouchard和Nutz（2015）中的关键技术分析产品结构假设（见下文定义2.1）是根据（Burzoni et al.，2019a）中的情景分析自然得出的。在建立超边缘定理时，我们不仅证明了g的路径超边缘价格等于准确定价格，而且还证明了两者都等于模型特定的P-超边缘价格，其中P取决于设置，即P或等效于Ohm, 但也在支付上。

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mingdashike22

2022-6-14 02:08:54

最后，资产定价稳健基本定理证明的关键含义，即（5）=> （1）在下面的定理2.7中，通过仔细构造适当的P∈ 它不允许经典意义上的套利，因此允许一个等价的鞅测度。此外，我们调查并联系了两种方法中使用的套利概念。我们提供了一个广泛的套利概念列表，这些概念是在稳健金融的文献中引入和使用的，并在它们之间建立了明确的关系。我们还详细研究了路径超边缘的概念。如（Burzoni et al.，2017）所述，当在一般集上进行超边缘化时，路径超边缘对偶性不适用于一般laims gOhm 是必需的。相反，我们必须考虑在较小的“效率”集合上进行套期保值Ohm*（定义为鞅测度支持的最大集合，包含在Ohm) 保持定价对冲的双重性。我们澄清了这是必要的，以及何时可以从Ohm*到Ohm. 直觉上，由于存在套利机会Ohm \\ Ohm*,有人可以试图夸大这一主张Ohm \\ Ohm*通过实施套利策略，无需任何额外成本。我们提供了许多反例来说明这种想法在总体上是不可行的，并将其与套利策略的可测量性约束联系在一起，这在（Burzoni et al.，2016）中也遇到过。Wethen证明了上述直觉仅对在一定正则条件下本质上一致连续的g成立Ohm.论文的其余部分组织如下。第2节包含主要结果。首先，在第2.1节中，我们介绍了我们工作的一般设置。我们在第2.2节中讨论了（稳健）套利的不同概念。

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2022-6-14 02:08:57

然后，在第2.3节中，我们建立了资产定价的稳健基本定理，该定理不符合准确定和路径观点。在第2.4节中，我们陈述了一个鲁棒超边缘定理。第3节给出了从Ohm*到Ohm 无需额外成本，且取决于两个强大的路径套利概念之间的关系。最后，第4节包含技术结果和大多数证明。特别是，我们给出了第4.1节定理2.6和2.7以及第4.2.2节定理2.9的证明。金融市场稳健建模的统一框架2.1。交易策略和定价措施。我们使用类似于（Bouchard和Nutz，2015）的符号，并在其设置中工作，因此我们仅回顾此处的主要关注对象，并参考（Bouchard和Nutz，2015）和（Bertsekas和Shreve，1978，第7章）了解技术细节。让T∈ N和Xbe为抛光空间。我们定义t∈ {1，…T}笛卡尔积Xt：=Xt和定义X：=Xt，约定Xis为单态。我们用B（X）表示Borel集合X，用P（X）表示概率测度集B（X），并定义函数projt:X→ X哪个项目ω∈ X到第t坐标，即projt（ω）=ωt。接下来，我们指定金融市场。让d∈ N、 F任意过滤和letSt=（St，…，Sdt）：Xt→ Rdbe Borel可测量，0≤ t型≤ T，并进行了调整。所有价格都是以数字S为单位给出的，因此其本身就是标准化的，St≡ 1月1日、4日OB L’OJ和JOHANNES WIESEL0≤ t型≤ T交易策略H（F）定义为一组F-可预测Rd值过程。所有交易都是无摩擦和自我融资的。给定H∈ H（F），我们表示Ho St=tXu=1HuSuwith H公司o stre使用H表示时间t交易产生的现金流。在上面和整个过程中，H是行向量，S是列向量，1表示标量或列向量（1。

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可人4

2022-6-14 02:09:00

，1）T。我们让Φ表示静态交易资产的支付向量Φ=（φλ：λ∈ ∧），其中∧是某个索引集。为了便于标注，我们通常用Φ的元素集来标识Φ。我们假设每个φ∈ Φ是Borel可测量的。当没有静态交易数据集时，我们写入Φ=0。这些资产，我们认为是期权，只能在零时间购买或出售（没有以零成本失去普遍性），并且在到期日之前有效。交易头寸h只能持有其中许多资产∈ c（λ）由∧索引的实数序列的空间，只有无数非零元素，并生成payoffh·Φ=Pλ∈时间T时的∧hλφλ。我们称之为一对（h，h）∈ c（∧）×H（F）半静态交易策略。此类策略的类别为AΦ（F）：=c（∧）×H（F）。出于技术原因，我们还引入了S的水平集，其表示为∑ωt={ω∈ X | S0:t（ω）=S0:t（￠ω）}对于t∈ {0，…，T}和ω∈ Xt，其中S0:t：=（S，…St）。最后，我们表示byF=（Ft）t=0，。。。，t由S生成的自然过滤，并设Fut为Ft的普遍完成，t=0，T此外，我们为（XT，FUT）写（X，FU），并经常将（XT，FUT）视为（X，FU）的子空间。在这种情况下，有关稳健定价和套期保值的文献采用两种方法对代理人的信念进行建模。一个流是基于场景的，通过指定预测集来继续Ohm 十、描述了可能的价格轨迹。另一个流通过指定一组概率度量P继续进行 P（X），它决定了一组可忽略的结果。我们将后者称为准确定方法，而前者通常称为路径方法或点方法。在这两种情况下，模型规格可能取决于代理人的市场信息以及其特定的建模假设。

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大多数88

2022-6-14 02:09:03

更改集合Ohm或者P可以被视为在不同信仰之间插入的自然方式。本文的主要目的之一是证明两种模型方法在相应的FTAP和超边际价格方面是等价的。为了以可测量的方式在不同水平集∑ωtin上聚合交易策略，我们在本文中始终假设Ohm 是分析性的，P具有以下结构：定义2.1。A集P P（X）被称为满足解析积结构条件（APS），ifP={P ··· PT公司-1 | Ptis FUt Pt}的可测选择器，其中设置Pt（ω） P（X）是非空、凸和图（Pt）={（ω，P）|ω∈ Xt，P∈ Pt（ω）}是解析的。这种结构有助于动态规划原则，并允许基本上将一步结果粘贴在一起，以建立其多步对应项。为了制定资产定价的基本定理，我们需要确定金融市场的建模5交易策略的双重目标：定价（鞅）度量。根据一组度量值P，如下（Bouchard和Nutz，2015），我们定义了qp，Φ：={Q∈ P（X）| S是Q下的FU鞅，P∈ P s.t.Q P、公式[φ]=0φ ∈ Φ}，在模型特定情况下，P={P}，是所有鞅测度的熟悉集合，等价于P。在路径方法中，对于Ohm X和a过滤F，我们定义FOhm,Φ（F）：={Q∈ Pf（X）| S是Q，Q下的F-鞅(Ohm) = 1，等式[φ]=0φ ∈ Φ}，其中Pf（X）表示（X，B（X））上的完全支持的Borel概率度量。作为一般惯例，本文解释了上述子脚本和超脚本对度量集的限制。当我们放弃其中一些条件时，这表明这些条件没有被施加，例如，MOhm（F）表示上支持的所有F-鞅测度Ohm. 下一个letOhm*Φ:= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mf公司Ohm,Φ（F）s.t。

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何人来此

2022-6-14 02:09:06

Q（ω）>0}=[Q∈Mf公司Ohm,Φ（F）supp（Q）具有与上述子脚本和超级脚本相同的约定。我们还定义：=（FMt）t∈{0，…，T}，其中FMt=\\Q∈MOhm（F）英尺∨ NQ（FT），NQ（FT）：={N A.∈ FT | Q（A）=0}和FMtis的幂集Ohm 如果MOhm（F） =.备注2.2。请注意，F 傅 FMholds。所有这些过滤产生相同的鞅测度Ohm 校准至Φ，我们用M表示Ohm,Φ.对于P∈ P（X），因此NP：=NP（FU）表示其空集的集合。同样，给定一个族P P（X），如果由NP=TP给出，则其极集的集合∈PNP。我们说，如果一个属性在P极集合外成立，它就成立P-q.s。2.2. 套利的概念。金融数学中最重要的基本概念之一是没有套利。迄今为止，在有关稳健定价和套期保值的文献中，已经提出了许多套利的概念。我们在这里以无人值守的方式展示了这些，并讨论了它们的相对依赖性。为了补充图片，我们建立了一些新的技术成果。这些推迟到第3.2节。定义2.3。固定X和a的子集的过滤F、集合P、集合SOhm.回想一下，半静态容许交易策略由（h，h）给出∈ AΦ（F）。1pA(Ohm) 单点套利（见（Riedel，2015））是一种策略（h，h）∈AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 关于某些ω的严格不等式∈ Ohm.办公自动化(Ohm) 公开套利（见（Riedel，2015））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 关于Ohm.南非(Ohm) 强套利（见（Acciaio et al.，2016））是一种策略（h，h）∈AΦ（F）使得h·Φ+ho ST>0开Ohm.美国(Ohm) 一致强套利（见Davis和Hobson，2007））是一种错误策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho装货单≥ ε开Ohm 对于某些ε>0。A（P）P-准肯定套利（见（Bouchard and Nutz，2015））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0保持P-q.s。

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可人4

2022-6-14 02:09:08

andP（h·Φ+ho对于某些P，ST>0）>0∈ P、如果P={P}，则P-拟确定套利称为P-套利，并表示为a（P）。1月6日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELCA（P）P中的经典套利（见Davis和Hobson，2007））是策略家族（hP，hP）P∈Psuch，对于所有P∈ P、（hP，hP）是一个参数。WA（P）弱套利（见（Blanchard和Carassus，2019））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）是某些P的P-套利∈ P、内部套利（见（Bayraktar et al.，2014））是一系列策略（hn，hn）∈ Φ（F）使得（hn，hn）是相对于Φ+符号（hn）/n给出的期权支付的P-准确定套利，对于足够大的所有n。WFLVR(Ohm) 风险消失的弱免费午餐（见（Cox and Ob l\'oj，2011），（Cox et al.，2016））是一系列策略（hn，hn）∈ AΦ（F）存在常数c≥ 0和（h，h）∈ AΦ（F）带Hn·Φ+Hno 装货单≥ h·Φ+ho 装货单- c打开Ohm 适用于所有n∈ N和Limn→∞（hn·Φ+hno ST）>0开Ohm.locA（Pt（ω））A（t，ω）-局部P-准肯定套利（见（Bartl，2019））是一种策略∈ Rd使HSt+1（ω）≥ 0 Pt（ω）-q.s.（其中t∈ {0，…，T-1} 和ω∈ 十）存在P∈ Pt（ω），使得P（HSt+1>0）>0。A（S）A套利（见（Burzoni et al.，2016））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 和{ω∈Ohm | h·Φ+ho ST>0} Γ对于某些Γ∈ S、当我们想要强调过滤的作用时，我们将其作为一个论据，例如，我们写下，例如，SA(Ohm, F）。如果过滤不明确，则默认为FU。我们使用前缀N表示对上述任何概念的否定，例如，当不存在P-准确定的任意策略时，我们说“NA（P）成立”，同样，NUSA(Ohm) 表示不存在一致强仲裁Ohm, 等引理2.4。

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能者818

2022-6-14 02:09:11

以下关系成立：（1）美国(Ohm) => 南非(Ohm) => 办公自动化(Ohm) => 1pA(Ohm).（2）南非(Ohm) => WFLVR(Ohm).（3） A（P）=> A（P）表示某些P∈ P<=> WA（P）。（4） WA（P）<= 钙（P）<=> A（P）表示所有P∈ P.（5）A（P）=> IntA（P）。（6）当Φ=0时，则a（P）<=> P装货单-1t=0{ω∈ Xt | locA（Pt（ω））保持}> 0表示某些P∈ P、证明。第（1）-（4）项是即时的。断言（6）源自（Bouchard and Nutz，2015，引理4.6，第842页）。对于策略（h，h）∈ AΦ（F）满足H·Φ+Ho 装货单≥ 0 P-q.s。我们有，对于任何ε>0，h·（Φ+符号（h）ε）+ho ST=h·Φ+ho ST+| h |ε≥ |h |ε≥ 0，其中| h |=Pλ∈∧| hλ|。没有IntA（P）意味着存在ε>0，对于上述任何策略，我们都有H·Φ+Ho ST=-|h |εP-q.s.，因此h=0，且不存在A（P）后，so（5）成立。《7USA（X）金融市场稳健建模》首次在（Davis和Hobson，2007）中进行了讨论，有关美国的定义，请参见（Cox和Ob l\'oj，2011）和（Cox等人，2016）(Ohm) 和WFLVR(Ohm), 哪里Ohm 十、请注意，如果我们在定义WFLVR时取（h，h）=（0，0(Ohm)并用P-a.s.对应物替换路径不等式∈ P（X），我们恢复了NFLVR条件的离散版本（Delbaen和Schachermayer，1994）。SA（（Rd+）T）用于规范设置中的（Acciaio et al.，2016）。我们参考（Burzoni et al.，2019a，定理3）的一般FTAP，该FTAP连接了强和一致强套利的概念，条件是市场中存在一个具有严格凸超线性支付的期权。另请参见（Bartl et al.，2017），了解边际约束下的等效结果。在第3.2节中，我们讨论了SA(Ohm) 和美国(Ohm) 没有上述假设。自1pA以来，A（S）是一个统一的概念(Ohm), 办公自动化(Ohm), 南非(Ohm), 美国(Ohm) 和A（P）运河被视为A（S）的特例，详细讨论见（Burzoni et al.，2016，第4.6节）。

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能者818

2022-6-14 02:09:14

它是在（Burzoni等人，2016）中首次以路径的方式定义的，具体参见中的资产定价路径基本定理（Burzoniet等人，2016，定理2&第4节）。这扩展了在（Riedel，2015）中获得的结果，他引入了1pA(Ohm) 和OA(Ohm). 办公自动化(Ohm) 此外，在thesetup of（Dolinsky and Soner，2014）中也有定义。A（P）在的准肯定设置中引入（Bouchard和Nutz，2015），他们证明了资产定价的准肯定基本定理和超边缘定理。从上面的引理2.4中，我们可以看出，NCA（P）和A（P）之间的关键区别在于套利策略的聚合，这构成了Bouchard和Nutz（2015）中P的特殊（APS）结构所克服的一个根本性技术难题。我们还注意到，CA（P）实际上在（Davis和Hobson，2007）中被称为weakarbitrage。Bayraktar et al.（2014）在交易成本的背景下引入了内部套利IntA（P）的概念，并将其称为稳健套利。不存在TA（P）就等于不存在A（P），不仅在静态交易期权Φ的当前价格下，而且在其价格的所有非常小的扰动下。这一概念也被用于（Hou和Ob l\'oj，2018，假设3.1）。相当于说，期权Φ的价格严格在其P-q.s.无套利价格的区域内，从而避免了边界分类的微妙问题。一般而言，IntA（P）并不意味着A（P）。要看到这个，取Φ={（ST- K） +}对于某些K>砂 6=P {P∈ P（X）| P（ST≤ K） =1}。那么就没有P-q.s.套利，而对于每一个ε>0，我们就有（ST- K） ++ε≥ ε>0，因此RA（P）保持不变。在本文的其余部分，除非另有说明，否则我们取∧={1，…，k}，即我们有一个带k个静态交易期权的有限Φ。2.3. 资产定价的稳健基本定理。

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2022-6-14 02:09:18

资产定价的第一个基本原理是，在鞅（定价）度量的存在性方面，没有套利。在经典的离散时间环境中，这是指P-套利的概念。然而，在一个稳健的环境中，有许多可能的套利方式可以考虑。如果我们采用一种强烈的套利概念，那么它的缺失应该相当于一种弱陈述，例如，MOhm,Φ6= . 这在pathwise文献中经常出现，见（Burzoni et al.，2019a），并导致了熟悉的Dalang Morton-Willinger定理的稳健（多先验）版本。定理2.5（鲁棒DMW定理）。设P是一组概率测度（APS）。那么就存在一组普遍可测量的场景Ohm withP公司(Ohm) = 所有P为1∈ P和a过滤F和FF FM，使以下各项等效：（1）QP，Φ6=.1月8日OB L\'OJ和JOHANNES WIESEL（2）P(Ohm*Φ）>0（对于某些P∈ P、（3）米Ohm,Φ6= .(4) Ohm*Φ6= .（5）国家安全局(Ohm,F）保持。相反，对于解析集Ohm 存在一个满足（APS）的集合P，使得forallω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且（1）-（5）等价。通过设置S={Ohm}. 为了看到它的对立面，我们应该采用一种较弱的套利概念，因此套利的缺失相当于一种强有力的说法，例如，对所有人来说，都是一种利差∈ P存在Q∈ QP，Φ等 Q、这条路线最常出现在准肯定文献中，见（Bouchardand Nutz，2015），并导致以下版本的稳健FTAP。定理2.6。设P是一组满足的概率测度（APS）。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:21

然后存在一组分析方案Ohm 带P(Ohm) = 所有P为1∈ P、使以下各项等效：（1）N1pA(Ohm*Φ）保持和Ohm = Ohm*ΦP-q.s.（2）适用于所有P∈ P存在Q∈ QP，Φ，使P Q、（3）NA（P，FU）持有。相反，如果Ohm 是一个解析集，则存在一个概率度量化（APS）集P，使得对于所有ω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且以下等式相等：（1）N1pA(Ohm) 持有和Ohm = Ohm*Φ.（2）对于所有P∈ P存在Q∈ QP，Φ，使P Q、（3）NA（P，FU）持有。第4.1节给出的这个定理的证明不依赖于（3）的证明=>（2）参见（Bouchard和Nutz，2015）。相反，我们给出了路径论证。特别是，给定P∈ P使得P(Ohm \\ Ohm*Φ）>0我们使用的通用套利聚合器（Burzoni et al.，2019a）明确构建了准套利策略。这加强了下面定理2.7的结果。事实上，利用P满意度（APS）这一事实，可以选择Q∈ QP，每个P的Φ∈ P这样P Q、每个P的支持必然集中在Ohm*Φ.最后，我们给出了我们的主要抽象结果，它建立了不存在套利的路径和概率特征。其证明见第4.1节。如上所述，套利可以同时考虑多种套利概念。因此，下面的主要结果暗示了定理2.5，并且可以强化为暗示定理2.6，如第4节所示。定理2.7。假设P满意度（AP）和S B（X）是这样的{Cn}n∈N S S.t。

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2022-6-14 02:09:24

C∈ S{nk}k∈N N带1Cnk↑ 1C（k→ ∞).（2.1）然后存在一组共同分析的场景Ohm 这样P(Ohm) = 所有P为1∈ 用F扩展过滤F FM，使以下各项等效：（1）对于所有C∈ S带C Ohm 存在Q∈ QP，Φ使得Q（C）>0。（2）对于所有C∈ S带C Ohm 存在P∈ 带P的P(Ohm*Φ∩ C） >0。（3）对于所有C∈ S带C Ohm 存在Q∈ MOhm,Φ使得Q（C）>0。（4） {C∈ B（X）| C Ohm \\Ohm*Φ} ∩ S=.（5） AΦ（~F）中不存在S类套利Ohm.相反，对于解析集Ohm 存在一个满足（APS）的集合P，使得forallω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且（1）-（5）等价。备注2.8。条件（2.1）首先在（Burzoni等人，2016年，Cor.4.30及其后的讨论）中说明。事实证明，为了证明定理2.7，金融市场的弱破产模型9条件是有效的：我们只需要属性{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∈ B（X）（2.2）和[{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∩ (OhmP）*Φ∈ NP（2.3）持有，我们参考第4.1节对OhmP、条件（2.2）和（2.3）是Ohm, S、 Φ和P。事实上，他们断言“效率”子集的（可能不可数）并OhmP\\(OhmP）*Φ（模极集），保持“效率”子集（模P极集）。如果这个条件对于一些任意的P和S不满足，那么就没有理由Ohm应存在（2）个保留。例如，一个集合P具有密度，S是X中的一组单态。那么，对于任何P，P（C）=0∈ P和任意C∈ Sso唯一Ohm 可以满足（2）的是空集。我们注意到当S={C X | C open}则（2.2）始终满足，且（2.3）在Xis可分离时满足。然而，通常情况下，条件（2.2）和（2.3）可能很难验证，这就是为什么我们提供（2.1）作为一个更容易验证的条件。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:27

最后，我们注意到，对于某些P，S={C | P（C）>0并不容易证明∈ P} 对应于NA（P）满意度（2.3），这就是为什么我们在第4节中给出了第2.6项的直接证明。我们注意到Ohm 通常不能假设是分析性的。影响（1）=> (2) => (3) => (4) => （5）直接遵循定义。Apartfrom可测量性考虑因素Ohm, （3）、（4）和（5）的等效性基本上源自（Burzoni et al.，2016）。此外，给出了一个解析集Ohm,我们将简单地将P定义为Ohm. 分析Ohm 然后意味着P的（APS）。我们还有QP，Φ=MfOhm,Φ和（1）和（3）-（5）的等效性来自（Burzoni等人，2019a）。在这种情况下，我们所做的基本连接是（2）中所述的路径和准确定标准的组合：对于每个C∈ S、路径有效子集Ohm*Φ∩ C要求被集合P中的至少一个度量值P“看见”。对于给定的P，集合Ohm 在定理2.7中，可以显式地构造为Pt的拟sure支撑的串联o （St+1）-1、证明的主要困难在于证明其含义（5）=> （1），其中需要证明鞅测度Q的存在性∈ QP，Φ，与Ohm 和（1）的意义上的罪。这是一个模可测选择参数，通过找到元素P来实现∈ Pt（ω），使得零位于P的支撑的相对内部o （St+1）-事实上，让我们解释一下（5）证明的主要思想=> （1）基于以下示例：假设T=1，d=3，Φ=0，S={Ohm} 和thesetOhm*由图2中的灰色polyhydron给出。

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可人4

2022-6-14 02:09:30

假设支持o （S）-1对于给定的度量值P∈ 蓝色圆点给出的PI（见图2）。然后为0∈ 国际扶轮社(Ohm*), 我们可以在Ohm*, 这样零位于四个点的凸包的相对内部。定义为Ohm, 另外三个点支持P中的一些度量，我们称之为P，P，Pin P。由于P是凸的，因此▄P：=P+P+P+P+P是Pas的一个元素，如图3所示。由于零处于P支持度的相对内部，现在可以使用（Rokhlin，2008）的结果来确定阿马丁格尔测度Q~P，尤其是P Q、注意，这个论点基本上依赖于Pt的凸性。然后，解析积结构假设为多周期情况下的串联过程提供了适当的可测性。1月10日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELSSS图2。鞅测度Q的构造 P表示d=3：集合Ohm （灰色）和supp（Po (S）-1）（蓝色）SSS图3。鞅测度Q的构造 d=3时的P：找到一个测量值▄P，使得NA（▄P）和▄P P保持不变。2.4. 鲁棒超边缘定理。在本节中，我们将重点讨论超边际价格的主要特征：定价套期保值二重性或超边际定理。与之前一样，我们比较了路径和准确定超边缘方法，作为经典模型特定结果的扩展，参见（F¨ollmer and Schied，2011，第5章，定理5.30）。对于集合Ohm X我们表示路径超边际价格Ohm 按πOhm（g）：=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）s.t.x+h·Φ+（ho ST）≥ g开启Ohm}用πP（g）表示P-q.s.超边际价格：=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）s.t.x+h·Φ+（ho ST）≥ g P-q.s.}。取一个分析集Ohm 这样对于所有P∈ 我们有(Ohm*Φ) = 1.

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可人4

2022-6-14 02:09:32

使用（Bouchard和Nutz，2015）和（Burzoni et al.，2019a）的超套期保值定理，以下关系立即适用于所有上半解析g:supQ∈MOhm,ΦEQ【g】=πOhm*Φ（g）≥ πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。上述不等式一般是严格的。看到这一点的一个简单方法是取d=T=S=1，Φ=0，g（S）=1{S=0}和P={λ|[0,2]}，其中λ|[0,2]表示金融市场的鲁棒建模11Lebesgue测度在[0,2]上。然后Ohm = Ohm*= [0，2]，路径超边缘价格等于1/2，而准确定超边缘价格等于零。事实上，要将超级套期保值和路径公式联系起来，我们必须选择aspeci fic集合OhmPG不仅取决于P，还取决于g。我们确定了这个集合OhmPG通过在固定测量下减少到超边缘PG，如以下定理所述：定理2.9。设P是一组满足的概率测度（APS）。假设（P）成立，让g:X→ R是上半解析的。然后存在一个measurePg=Pg···PgT公司-1和FU可测集OhmPG带P(OhmPg）=1表示所有P∈ P、这样的话∈MOhmPg，ΦEQ【g】=π(OhmPg）*Φ（g）=πPg（g）=πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。相反，让Ohm 是X的解析子集Ohm*Φ6= 让g:X→ R为上半解析。对于任意集合P P（X），满足（APS）和NP=NMfOhm,Φ，wehavesupQ∈Mf公司Ohm,ΦEQ【g】=πOhm*Φ（g）=πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。在这两种情况下，如果确定值，则通过超边缘策略（h，h）获得∈AΦ（FU）。该结果的证明推迟到第4.2节。特别是，定理2.9让我们将稳健超边际价格πP（g）解释为“极值”测度Pg下的经典超复制价格πPg（g）。确定此类测度Pg通常并不简单。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:35

在一个周期的情况下，对于连续的g，我们可以使用引理4.10中的证明中的参数来查看任何达到一步拟序支持的测度P{Po (ST（ω，·））-1 | P∈ PT公司-可以选择1（ω）}。为了将这一结果推广到多周期情形，对映射ω7的某些连续性性质进行了讨论→ 必须保证Pt（ω）：我们参考（Carassus et al.，2019，Prop.3.7）了解有效条件。3、关于超边际和套利的补充结果3.1。路径超边缘的扩展Ohm*到Ohm. 上述结果表明，准确定超边和路径超边本质上是等价的。AsP-q.s.超边缘策略在实践中可能难以计算和实现，最好使用预测集Ohm 使用路径参数。考虑到Ohm*计算上也很昂贵，那么兴趣的数量就是Ohm 而不是打开Ohm*见第2.4节的双重结果。因此，我们希望找到与π相关的超边缘策略的有效条件Ohm*Φ（g）可延伸至Ohm 无需任何额外费用。直觉是Ohm \\ Ohm*描述了非效率信念，我们应该能够在这个集合上超越g，实现套利策略。事实证明，这种直觉通常是不正确的。事实上，我们在这些套利策略的可测量性方面遇到了问题，这意味着该程序仅在特殊情况下有效。为了简化分析，仅在本节中，我们假设Φ=0和ω7→ St（ω）是连续的。后者是满足的，例如，当ω7→ St（ω）是坐标映射，即St（ω）=ωt。为了给出一些直觉并确定集合的必要条件Ohm, Ohm*函数g我们首先给出了两个反例：1月12日OB L\'OJ和JOHANNES WieselexSample 3.1。设d=1，T=1和(Ohm, F） =（R+\\{0}，B（R+\\{0}））。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:38

我们设置=2，S（ω）=2+ω。然后Ohm*= 和平凡的πOhm*（1） =inf{x∈ R |H∈ Rd使x+Ho 装货单≥ 1开Ohm*} = -∞,πOhm（1） =inf{x∈ R |H∈ Rd使x+Ho 装货单≥ 1开Ohm} = 因此，我们必须假设Ohm*∩∑ωt6= 在本节的其余部分。我们也注意到(Ohm) 在美国期间持有(Ohm) 没有，见第3.2节。示例3.2。设d=2，T=1和Ohm = ((2, ∞) × [0, ∞)) ∪ （{2}×[0，7]）和f=B(Ohm). 我们设置S=（2，2）和S（ω）=ω。特别地，S(Ohm) 不是闭合集。请注意Ohm*= {2} × [0, 7]. 现在，介绍索赔（S，S）=S{S≤5}+ 5(S- 4)1{S> 5}。很容易看出πOhm*（g） =0，任何交易策略H=（H，1）和H∈ Ris是一种超级边缘策略。我们现在声称，我们不能将超边缘延伸到Ohm \\ Ohm*初始资本为零。为此，我们表明，即使对于初始资本1，也不存在超级复制策略Ohm. 实际上，我们需要1+小时S+HS≥ 5(S- 4）在上S> 0，S> 5，相当于h≥(5 - H）S- 21S、作为H∈ [4/5，3/2]，这意味着H→ ∞ 如果Sis任意接近0和Sis足够大。即使我们看到Ohm = [2 + ε, ∞) × [0, ∞) ∪ {2} ×[0，7]对于某些正ε，然后取规模过大仍然导致不存在超级对冲策略。总之，我们将只考虑紧集Ohm ∩∑ωt本节的其余部分，即“套利策略对超边缘有效”，定义如下。此外，在上修改函数gOhm \\ Ohm*在上面的例子中，我们可以很容易地构造出πOhm（g） 6=πOhm*（g）对于不连续的支付g。总之，我们还将假设g在该部分中是连续的。我们还可以修改此示例，以便S(Ohm) 是封闭的，没有实现π的超级复制策略Ohm（g）。

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大多数88

2022-6-14 02:09:41

我们强调，这是与本案的根本不同Ohm = Ohm*, 其中始终给出了实现（见定理2.9）。即采取Ohm = {（x，y）∈ R | x∈ [2, ∞), 0≤ y≤ 5 +√x} 其他元素保持不变。请注意Ohm*未更改。重复上述论点并查看S=1/n和S=5+1/√n我们发现≥ n20 +√n- 20-√n= n√n→ ∞对于n→ ∞.正如我们在上述示例中所看到的，通常有必要假设Ohm*∩∑ωt6=, ω 7→ g（ω）是连续的Ohm 紧凑且“非常适合通过套利策略进行超边缘化”。我们首先讨论第二点，并展示一步超边际价格ω7的连续性→ πt，Ohm*（g）（ω），通过动态规划方法定义：定义3.3。对于可测量的Borel g:X→ R我们确定了一步超边际价格πT，Ohm*（g）（ω）：=g（ω），πt，Ohm*（g）（ω）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（v）≥ πt+1，Ohm*（g）（五）v∈ ∑ωt∩ Ohm*},其中0≤ t型≤ T- 1.金融市场的稳健建模13Aω7连续的充分条件→ πt，Ohm*（g）（ω）在（Carassuset al.，2019）中确定，并依赖于以下假设：假设3.4。集合∑ωt∩Ohm*6= 和集合∑ωt∩Ohm 对所有ω都是紧的∈Ohm 和所有0≤ t型≤ T-1、此外，对于所有0≤ t型≤ T-1，对应关系ωSt+1（∑ωt∩ Ohm*) 从(Ohm, dSt）到与Hausdor ff距离相关的Rdendowed的子集，其中dSt（ω，￠ω）：=maxs=0，。。。，t | Ss（ω）- Ss（￠ω）|。我们参考（Carassus et al.，2019，第3节）了解集合的讨论和示例Ohm 满足假设3.4。下面的引理来自（Carassus et al.，2019，命题3.5）的直接应用：引理3.5。设ω7→ g（ω）是连续的。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:44

在假设3.4下，一步超边际价格ω7→ πt，Ohm*（g）（ω）对于所有0都是连续的≤ t型≤ T- 1、其次，示例3.2还表明，识别∑ωt的子集很重要∩ Ohm, 在以下意义上，“套利策略对超边缘无效”：定义3.6。我们用项目表示St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））的正交投影St+1（v）上的线性子空间St+1（∑ωt∩ Ohm*) 并定义所有v的集合∈ ∑ωt∩Ohm, 哪个项目St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））不是St+1（∑ωt∩ Ohm*).对于集合Aωtsee的图示，请参见图4。我们现在陈述一个假设，确保ωtand∑ωt的兼容性∩ Ohm*:假设3.7。对于每个级别集，以下为真：如果点序列（vn） Aωt收敛到点v∈ 跨度(St+1（∑ωt∩ Ohm*)), 那么必然是v∈St+1（∑ωt∩ Ohm*).唉，事实证明，虽然假设3.4和3.7足以建立质量πOhm（g） =πOhm*（g）对于d=2，对于d>2则不是这样。这与（Burzoni et al.，2019a）中引入的标准分隔符的概念有关，标准分隔符是逐点套利策略的可测量选择器。我们请读者参考（Burzoni et al.，2019a，引理1的证明）和其中的讨论，以获得详细的定义。这里我们给出了一个例子，其中两个标准分隔符的存在与Himpliesπ上的可测性约束相结合Ohm（g） >πOhm*（g）：示例3.8。设d=3，T=1和(Ohm, F） =（R+，B（R+）。我们设置（S，S，S）=（2，2，2）和（ω）=2如果ω∈ R+\\ Q，2.5- ω如果ω∈ Q∩ [1/2, ∞),4如果ω∈ Q∩ [0，1/2），S（ω）=ω如果ω∈ R+\\Q，如果ω为0∈ Q∩ [1/2, ∞),2如果ω∈ Q∩ [0，1/2），S（ω）=2如果ω∈ R+\\Q，2如果ω∈ Q∩ [1/2, ∞),2+ω如果ω∈ Q∩ [0，1/2）。然后Ohm*= R+\\Q并使用（Burzoni et al.，2019a，Lemma1的证明）的符号，标准分隔符由ξ0，A=（0，0，1）和ξ0，A=(-1, 0, 0).

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何人来此

2022-6-14 02:09:47

下一个定义（S、S、S）=(S+|S |+|S |）-如果S≤ 0,(S- |S |- |S |）+如果S> 0，我们注意到S=S=0我们有g（S）=S、因此，特别是对冲Ohm*我们需要初始资本πOhm*（g） =0，任何套期保值策略满足度=（H，1，H）对于H，H∈ R、对于任何这样的策略，也要超越onQ∩ [1/2, ∞) 初始资本为1/2时，hh应特别满足1/2+HS- 2小时≥ 0用于S≤ -1月2日、14日OB L\'OJ和JOHANNES WIESEL2 4 6-2.S21S11S1（v）项目S1级(Ohm*)(S1（v））ξ1，Ohm图例：Aω1S1级(Ohm*)林(S1级(Ohm*))图4：。示例3.2带有定义3.6中的符号。所以H≤ -3/4为H∈ [1, 3/2]. 最后在Q上扩展超边缘g∩ [0，1/2）给出了约束1/2+2H+HS≥ 0、取S=0表示H≥ -1/4，矛盾。因此，我们假设所有单点套利可以简化为单个标准分隔符。注意，示例3.8可以很容易地修改为St+1(Ohm ∩ ∑ωt）通过添加附加点进行压缩。为了说明清楚，我们没有这样做，但我们得出结论，假设3.4和3.7不适用于d>2。我们必须添加最后一个假设，以保证相应的通用套利聚合器的可测量性。直觉上，它指出，局部，即，对于每个0≤ t型≤ T- 1和每ω∈ Ohm, 资产演变至多存在一个可仲裁的方向，因此第一个标准分隔符已经是通用的轨道聚合器：假设3.9。对于所有ω∈ Ohm 和0≤ t型≤ T- 我们有ξt+1，Ohm∩∑ωt=H*t、其中H*是（Burzoni et al.，2019a）针对集合∑ωt的通用套利聚合器∩ Ohm.定理3.10。假设Φ=0，X 3ω7→ St（ω）对于所有1是连续的≤ t型≤ T对于分析Ohm X满足假设3.4、3.7和3.9金融市场稳健建模15SS性别：R+\\QQ∩ [1/2, ∞)Q∩ [0，1/2）图5。

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可人4

2022-6-14 02:09:50

Ohm Rin示例3.8（Burzoni et al.，2019a）的超边缘二元性从Ohm*到Ohm 对于所有连续g:X→ R、也就是说，我们有SUPQ∈Mf公司Ohm等式（g）=inf{x∈ R |H∈ H（FU）使得x+Ho 装货单≥ g开启Ohm*}= inf{x∈ R |H∈ H（FU）使得x+Ho 装货单≥ g开启Ohm}证据如前所述，我们通过t=0，…，上的反向归纳来证明这一主张，T- 1、让我们现在fixω∈ Ohm. 我们假设∑ωt∩Ohm*6= 和（ωt∑）∩Ohm)\\（ωt∑）∩Ohm*) 6= , 否则，这种说法就微不足道了。我们首先看一看案例，其中projSt+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））是St+1（∑ωt+1∩ Ohm*), i、 e.存在v∈ ∑ωt∩ Ohm*这样的项目St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））=St+1（v）。注意，根据假设3.9，标准分隔符ξt+1，Ohm∩∑ω与跨度正交(St+1（∑ωt∩ Ohm*)). 通过定义超边际价格Ohm 存在一个未来可测量的策略Ht+1，例如πt，Ohm*（g）（v）+Ht+1（ω）St+1（v）≥ ^πt+1（g）（v）对于所有v∈ ∑ωt∩ Ohm*,其中，我们可以在不损失一般性的情况下假设Ht+1（ω）∈ 跨度(St+1（∑ωt∩Ohm*)). 现在，我们∈ ∑ωt∩ Ohm 以及相应的正交投影。设ε>0。作为πt+1，Ohm*（g）在上均匀连续Ohm ∩ ∑ωt，我们可以使用（Vanderbei，1997，定理1）（结合Tietze的扩展定理将域扩展到凸集）来确定δ>0，从而ε+πt+1，Ohm*（g）（v）+St+1（v）- St+1（v）δ/εξt+1，∑ωt∩Ohm（五）≥ πt+1，Ohm*（g）（v），其中δ的选择应确保对于所有w，~w∈ ∑ωt∩ Ohm 我们有|πt+1，Ohm*（g）（w）-πt+1，Ohm*（g）（w）|≤ ε每当| St+1（w）- St+1（℃w））|<δ。请注意St+1（v）-St+1（v）与Ht+1（ω）和ε+πt正交，Ohm*（g）（g）（v）+Ht+1（ω）+ξt+1，∑ωt∩Ohm（v） δ/ε(St+1（v）+St+1（v）- St+1（v））≥ ε+πt+1，Ohm*（g）（v）+St+1（v）- St+1（v）δ/εξt+1，∑ωt∩Ohm（五）≥ πt+1，Ohm*（g）（v），接下来我们假设Aω是有界的，在span内没有收敛点(St+1（∑ωt∩Ohm*)) 在集合之外St+1（∑ωt∩Ohm*). 特别是连续16 JAN OB L’OJ和JOHANNES WIESELfunctionsπt+1，Ohm*（g）和Ht+1St+1在ωt上有界。

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nandehutu2022

2022-6-14 02:09:53

存在δ>0，所有v∈ St+1（∑ωt∩ Ohm*), v∈ Aωtwith | v- ~v |<δ我们还有ε+πt，Ohm*（g）（ω）+Ht+1（ω）St+1（￠v）≥ πt+1，Ohm*（g）（￠v）。假设存在△δ>0，距离（△v，跨度(St+1（∑ωt∩Ohm*))) >所有￠v的￠δ∈ Aωtwith dist（￠v，St+1（∑ωt∩ Ohm*)) > δ. 定义πmax=supv∈Aωtπt+1，Ohm*（g）（五）<∞ C=infv∈AωtHt+1（ω）St+1（v）+πt，Ohm*（g）（ω）>-∞. 现在我们注意到ε+πt+1，Ohm*（g）（▄v）+Ht+1（▄v）St+1（+v）+πmax |+| C |Δξt+1，∑ωt∩Ohm（五）St+1（￠v）≥ πt+1，Ohm*（g）（v）对于所有的（v）∈ Aωt。证明到此结束。3.2. 强套利和一致强套利的比较。现在我们来仔细看看SA的概念(Ohm) 和美国(Ohm) 并在特定的市场设置中建立其等效性。显然，每个一致强套利都是强套利。一般来说，相反的断言是不正确的：例如d=1，S=1，S（ω）=ω，Ohm = （1，2），则每个H>0都是强套利，但不存在任何一致强套利。这个简单的例子可以推广：一个S=1的正则设置中的单周期市场和一个开放凸集Ohm 这样{1}∩ Ohm = 和1∈Ohm 承认存在强套利，但没有表现出一致的强套利。论价格的超边际水平Ohm 对应于πOhm(0) = -∞. 对于表现出强套利但没有一致强套利的金融市场，定价对冲二元性不能成立（因为没有支持的鞅测度Ohm) 但是πOhm(0) = 0. 总之，一致强套利和强套利之间的差异可以看作是描述预测集边界的属性Ohm 从而体现在超级对冲函数的边界行为中7→ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（S- S）≥ 0开Ohm}.由于它是一个上半连续函数，因此在Ohm, 而其较低的半连续版本-∞.

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何人来此

2022-6-14 02:09:56

尽管如此，这两个概念在具体案例中是一致的，我们现在对此进行探讨。我们假设所有0的规范设置X=Rd+，S（ω）=砂集Ft=Ft≤t型≤ T在本节中，我们考虑了可数个静态交易期权∧=N，但仅限于欧式期权，Φ={φN=φN（ST）| N∈ N} ，具有实际价值的持续支付和共同到期日。为了简单起见，我们写c=c（N）。我们确定了封闭子集Ohm （Rd+）并回顾鞅在Ohm 校准至Φ用M表示Ohm,Φ（F）。我们定义了| S（ω）|：=PTt=1Pdk=1 | Skt（ω）|，并用CB表示|(Ohm) 实值连续函数空间f：Ohm 7.→ R使得SUPω∈Ohm|f（ω）| | S（ω）|∨ 1< ∞.最后，我们定义了校准的超马尔可夫测度asSMOhm,Φ（F）：={Q∈ P(Ohm) | 公式[φn]≤ 0n∈ N、当量【St | Ft-1] ≤ St公司-1a。st型≤ T}。以下定理可以看作是（Acciaio等人，2016，Theorem1.3），（Cox and Ob l\'oj，2011，Prop.2.2，p.6）和（Bartl等人，2017，Cor.4.6）的统一。我们还参考了（Burzoni et al.，2019a，Thm.3），他们根据假设进行了扩展（Acciaio et al.，2016，Thm.1.3）Ohm = Ohm*和to（Burzoni et al.，2019b，Thm.C.5），对Φ=0的情况进行一般讨论。与Acciaio et al.（2016）的工作相反，我们不需要假设存在凸超线性payoff，这在某些情况下可能是特殊的，但通过WFLVR明确强制鞅度量的紧密性(Ohm) 条件金融市场稳健建模17定理3.11。持有以下股份：（1）SA(Ohm) <=> 美国(Ohm).（2）假设φn∈ Cb | S|(Ohm), 任何资产和LIM | ST均无卖空|→∞（φn（ST））-|ST |=0表示所有n∈ N、特恩萨(Ohm) <=> 美国(Ohm) <=> WFLVR(Ohm) <=> SMOhm,Φ（F）=.（3）如（2）所示，假设φn∈ Cb | S|(Ohm).

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2022-6-14 02:09:59

进一步假设对于每个序列（ωn）n∈N带limn→∞|S（ωn）|=∞, 存在序列（hk，hk）k∈Nof交易策略，常数C>0和序列（pk）k∈确保olimk→∞画→∞（香港·Φ+香港）oST）（ωn）| S（ωn）|∨1> 0和o| hk·Φ+hk·ST |≤ C（| S|∨ 1）在上Ohm 对于所有k∈ N、 o利姆→∞（hk·Φ+hk）o ST）（ω）=-利姆→∞PK全部ω∈ Ohm.特恩萨(Ohm) <=> 美国(Ohm) => WFLVR(Ohm) <=> MOhm,Φ（F）=,但总体而言，WFLVR(Ohm) 并不意味着SA(Ohm).备注3.12。（1）外壳|Φ|<∞ （Bouchard and Nutz，2015；Burzoni et al.，2019a）中有介绍，而案例|Φ|=∞ 不是。这两项工作的基本思想是归纳地构造一个经过校准的鞅测度，以确定选项的数量。（2）与情况相反|Φ|<∞ （见（Burzoni等人，2019a，定理证明1，第1050页）），集合MOhm,Φ（F）可能不一定包含任何完全支持的鞅测度。（3）显示WFLVR的示例(Ohm) 并不意味着SA(Ohm) 见（Cox和Ob l\'oj，2011年，第2.2款）。（4）（3）的一个特殊但重要的情况是T=1，d=1和φn（S）=（S-n）+- pn，其中pn≥ 0。在这种情况下，我们可以为allk设置Hk=0，Hk=EK∈ N、其中ek是第k个单位向量，注意limk→∞画→∞（香港·Φ+香港- S））（ωn）| S（ωn）|∨ 1=limk→∞画→∞（S（ωn）- k）+- pk | S（ωn）|=1>0andlimk→∞（S（ω）- k）+- pk=- 利姆→∞pk，尤其是（3）中的所有三个条件都是可满足的。为了便于说明，我们只给出T=1的证明。这传达了重要的思想，而多周期案例通过动态规划方法扩展了这些思想，可以在（Wiesel，2020）中找到。关于（1），显然是美国(Ohm) => 南非(Ohm), 所以我们向SA展示(Ohm) => 美国(Ohm). Let（h，h）∈ Rk×Rd是一种很强的套利行为。我们证明了它实际上是一种统一套利。

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何人来此

2022-6-14 02:10:02

对于x∈ Rd+我们用| x |：=Pdi=1xit表示x的`-范数，并定义紧集K=[0，s+2 | s |]×[0，s+2 | s |]×·×·×[0，sd+2 | s |]。然后，作为S7→ h·Φ（S）+h（S-S）紧集上的连续正Ohm ∩ K、存在ε>0，使得H·Φ（S）+H·S- S）≥ K上的ε∩ Ohm.适当缩放（h，h），我们可以在不损失一般性的情况下假设取ε=2 | s |。设e=（1，…，1）为Rd中的行单位向量。然后H·Φ（S）+（H+e）·S- S）≥ 2 | s|- |s |=| s |在K上∩ Ohm.（3.1）1月18日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELFurthermoreOhm \\ 我们有H·Φ（S）+（H+e）·S- S）≥ e·（S）- S）≥ 2 | s|- |s |=| s |。现在我们展示（2）。很明显，与美国的关系(Ohm) => WFLVR(Ohm) 持有并（1）同时持有SA(Ohm) <=> 美国(Ohm). 此外，WFLVR(Ohm) 容易暗示SMOhm,Φ（F）=否则，如果Q∈ SMOhm,Φ（F）那么，通过Fatou引理，0≥ lim信息→∞公式[hn·Φ+hn（S- S） ]≥ 等式[线性信息→∞hn·Φ+hn（S- S） ]>0，矛盾。接下来我们展示NUSA(Ohm) => （SMOhm,Φ（F）6=) 密切遵循中的论点（Acciaio et al.，2016，第2.3款和定理1.3的证明，第240-242页）。我们用c+表示c中所有非负序列的子集。我们定义setK：=h·Φ（S）+h（S- S）（h，h）∈ c+×Rd+ Cb | S|(Ohm).请注意，K是凸的且非空的。进一步表示Cb | S的正锥|(Ohm) byC公司++(Ohm) =f∈ Cb | S|(Ohm)infω∈Ohmf（ω）| S（ω）|∨ 1> 0.由NUSA提供(Ohm) 我们有K∩C类++(Ohm) = . Hahn-Banach定理的应用产生了一个正测度u=ur+ussuch thatZ的存在性Ohmf | S|∨ 所有f的1du>0∈ C类++(Ohm),ZOhmf | S|∨ 1du≤ 0表示所有f∈ K、我们现在的目标是证明dq给出的归一化度量Q：=| S|∨ 1.Z | S|∨ 1dur-1duris是SM的一个元素Ohm,Φ. 为此，我们首先假设ur=0。ThenZ公司Ohme（S）- S） | S|∨ 1du=ZOhm|S|- |S | | S|∨ 1dus=ZOhm1 dus>0，因为u为正，这是一个矛盾。AsR公司Ohm（φn（S））-|S|∨1dus=0，我们得出结论Ohmφn（S）| S|∨ 1dur≤ZOhmφn（S）| S|∨ 1du≤ 0表示所有n∈ N、进一步MorezOhmS- S | S|∨ 1dur=0，因此NUSA(Ohm) => SMOhm,Φ6= 跟随。最后我们展示了（3）。

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可人4

2022-6-14 02:10:04

为此，我们遵循与（2）中相同的构造。特别是定义K：=h·Φ（S）+h（S- S）（h，h）∈ c×Rd Cb | S|(Ohm).我们再次注意到NUSA(Ohm) 我们有K∩C类++(Ohm) = . 因此，只剩下us=0。让我们假设一个矛盾us6=0，取（hk，hk）k∈Nsuch茅草林→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dus>0。（3.2）金融市场的稳健建模19然后通过K的对称性和与（2）中相同的推理，我们得到Ohmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1du=0（对于所有k）∈ N、（3.3）使用（3.2）和（3.3）limk→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dur=- 利姆→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dus<0。（3.4）注意，对于序列（pk）n∈Nwithlimk公司→∞hk·Φ（S）+hk（S）- S） =- 利姆→∞PK全部ω∈ Ohm 我们不需要WFLVR(Ohm) 那个笨蛋→∞pk=0，因此LHSof（3.4）等于零，这是一个矛盾。4、技术成果及证明4.1。定理2.6和2.7的证明。我们从以下技术观察开始：提案4.1。允许Ohm 要善于分析。那么（Bouchard和Nutz，2015）的FTAP意味着：N1pA(Ohm, FU）<=> Ohm = Ohm*Φ证明。设置^P：=Pf(Ohm). 为了应用（Bouchard和Nutz，2015）的FTAP，我们只需要证明^Pt（ω）：=Pf（projt+1(Ohm ∩ ∑ωt）有解析图：因此，we fix n∈ N并考虑Borel可测函数∑：Xn→ Xn×研发部+（t+1）n（ω，…ωn）7→ （ω，…，ωn，S0:t（ω），S0:t（ωn）），注意图像∑(Ohmn）是分析性的，因为Ohm 是解析的，波雷尔可测映射下解析集的图像以及解析集的笛卡尔积是解析的（参见（Bertsekas和Shreve，1978，Prop.7.38&7.40，p.165））。接下来我们考虑连续函数f:Xn×研发部+（t+1）→ Xn×研发部+（t+1）n（ω，…ωn，x）7→ （ω，…，ωn，x，…，x）。请注意FXn×研发部+（t+1）∩ Σ(Ohmn）是解析的，而解析集的投影是解析的：={（ω，ω，…，ωn）|ω∈ Ohm, ωi∈ 项目+1(Ohm ∩ ∑ωt），i=1，n} 也是分析型的。允许n RN表示单纯形。

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