自功能G起：An×n→ Ohm ×P（Xn）×n（ω，￠ω，￠ω，λ，…，λn）7→ （ω，δИω，…，δИωn，λ，…，λn）和h：Ohm ×P（Xn）×n→ Ohm ×P（X）（ω，δОω，…，δОωn，λ，…，λn）7→ω、 nXi=1δИωiλi！是连续的，它遵循该图^Pt=序号∈NH（G）（An×）n） ）是分析性的。现在取ω∈ Ohm 和P∈ Pf公司(Ohm) 使得P（{ω}）>0。根据FTAP（Bouchardand Nutz，2015），存在Q∈ M使得Q对于某些▄P，为▄P∈ Pf公司(Ohm),1月20日OB L’OJ和JOHANNES WIESELEQ[φj]=0，所有j=1，k和P Q、 特别是Q∈ Mf公司OhmQ（{ω}）>0。最后，假设Ohm = Ohm*Φ和fix P∈^P使得对于某些n，supp（P）={ω，…，ωn}∈ N、 我们可以找到Q，Qn公司∈ Mf公司Ohm当i=1时，Qi（{ωi}）>0，n、 那么Q：=1/nPni=1Qi∈ Mf公司Ohm,对于i=1，…，Φ和Q（{ωi}）>0，n、 即P Q现在，我们使用（Burzoni et al.，2019a）的结果给出了中准肯定FTAP的完整证明（Bouchard and Nutz，2015）。我们首先看看Φ=0的情况，然后从一个辅助引理开始：引理4.2。让t∈ {1，…，T}和Ohm  Xtbe分析。然后，条件标准分隔符（Burzoni et al.，2019a）表示为ξt，Ohmis FUt公司-1-可测量。证据我们很快回忆起（Burzoni et al.，2019a）[引理1的证明]的论点：让我们定义多功能ψt，Ohm: ω ∈ 十、 {St（|ω）|Μω∈ ∑ωt-1.∩ Ohm}  Rd.然后ψt，Ohm是FUt-1-可测量多功能。的确，对于O Rdopen我们有{ω∈ X |ψt，Ohm(ω) ∩ O 6=} = S-10： t型-1（S0:t-1((St）-1（O）∩ Ohm)).像Stis Borel可测量(St）-1（O）∈ Ft.同样，由于解析集的交点、投影和前像是解析的（参见（Bertsekas和Shreve，1978年，第7.35和7.40号提案）），我们发现{ω∈ X |ψt，Ohm(ω) ∩ O 6=} 是分析性的，特别是FUt-1-可测量。设Sd为Rd中的单位球，则通过保持可测性，也可得到多功能ψ*t，Ohm（ω） ：={H∈ Sd | H·y≥ 0表示所有y∈ ψt，Ohm（ω） }是FUt-1-可测量和闭值。

设{ξnt，Ohm}n∈Nbe its未来-1-可测量的Castaing表示。然后将条件标准分隔符定义为ξt，Ohm=∞Xn=1nξnt，Ohm.备注4.3。我们记得，这个分隔符的性质是，它聚集了∑ωt上的所有一维单点套利-1.∩ Ohm 在这个意义上{ω∈ X |ξ（ω）·St（ω）>0} {ω ∈ X |ξt，Ohm(ω) · ψ的每个可测选择器ξ的St（ω）>0}*t，Ohm.Φ=0的定理2.6的证明。我们首先证明定理2.6的第一部分，即，我们得到了一组满足P的度量（AP S），我们需要构造Ohm = Ohm（1）-（3）等效的Psuch。我们定义ω∈ Xt公司-1？χFt-1（ω）={A Rdclosed | P(St（ω，·）∈ A） =1 P∈ Pt公司-1(ω)}.然后￠χFt-1为闭值，P为(St（ω，·）∈ χFt-1（ω））=所有P的1∈ Pt公司-1（ω）和所有ω∈ Xt公司-1、明显￠χFt-1（ω）={x∈ Rd |ε>0 P(St（ω，·）∈ 对于某些P，B（x，ε））>0∈ Pt公司-1（ω）}=[P∈Pt公司-1（ω）supp（Po St（ω，·）-1).此外，根据（Bouchard和Nutz，2015年，引理4.3，第840页）得出的结果是￠χFt-1可通过分析测量。我们很快重复他们的论点：让我们定义：Xt-1×P（X）→ P（Rd）l（ω，P）=PoSt（ω，·）-1.金融市场稳健建模21那么l是Borel可测量的。接下来我们考虑r:Xt-1. P（Rd）R（ω）：=l（ω，Pt-1（ω））={Po St（ω，·）-1 | P∈ Pt公司-1(ω)}.因为它的图形是解析的，所以它遵循O Rdopen{ω∈ Xt公司-1￠χFt-1(ω) ∩ O 6=} = {ω ∈ Xt公司-对于某些R，1 | R（O）>0∈ R（ω）}=projXt-1{（ω，R）∈ 图（R）| R（O）>0}解析为R 7→ R（O）是Borel。我们还注意到，对于ε>0，函数x 7→ R（Bε（x））是连续的，所以（x，R）7→R（Bε（x））是Borel和Graph（￠χFt-1） ={（ω，x）∈ （Xt）-1×Rd）| x∈ χFt-1(ω)}=\\ε∈Q+项目-1×Rd{（ω，R，x）∈ （图（R）×Rd）| R（Bε（x））>0}是分析型的。现在我们定义={ω∈ Xt |St（ω）∈ χFt-1(ω)}.ThenU=projXt（图(St）∩ 图表（￠χFt-1） ）是解析的，根据Fubini定理，P（U）=1适用于所有P∈ P

我们现在开始OhmP=T\\T=1nω∈ Xt |St（ω）∈ χFt-1（ω）o，也是解析的，P(OhmP） =1表示所有P∈ P、 已定义OhmPwe现在可以开始证明（1）-（3）的等价性。如果（2）保持不变，那么（3）后面紧跟着一个矛盾论点，那么我们现在展示更多涉及的含义（3）=> （1） 和（1）=> (2). 让我们从（3）的证明开始=> （1） ：我们假设存在^P∈ P使得^POhmP \\(OhmP）*> 0、我们想找到H∈ H（FU）和▄P∈ P使得Ho 装货单≥ 0 P-q.s和▄P（Ho ST>0）>0。为此，我们取t=t- 1并假设^P{ω ∈ 项目0:T-1(OhmP） |∑ωT上存在一点套利-1.∩ OhmP}> 0.现在让我们fixω∈ {proj0:T-1(OhmP） |∑ωT上存在一点套利-1.∩OhmP} 。用ξT表示，OhmP未来-1-引理的可测量标准分隔符4.2。现在，我们确定每个P∈ PT公司-1（ω）P-asP的推进ST（ω，·）（A）=P(ST（ω，·）∈ A） ，其中∈ B（Rd）。我们注意到，根据定义PST（ω，·）χFT-1(ω)= 1所有P保持∈ PT公司-1(ω). 略带滥用符号，我们回忆起setB（ω）：={ω∈ 项目∑ωT-1.∩ OhmP） |ξT，OhmP（ω）·ST（ω，ω）>0}（Burzoni et al.，2019a，引理1的证明，步骤1），并注意到对于所有P∈PT公司-1（ω）P{ω∈ 项目∑ωT-1.∩ OhmP） |ξT，OhmP（ω）·ST（ω，ω）>0}= PST（ω，·）（{x∈ Rd |ξT，OhmP（ω）·x>0}）如下。显然集合{x∈ Rd |ξT，OhmP（ω）·x>0}在Rd中是开放的，因此通过定义|χFT-1（ω）有aP∈ PT公司-1（ω），使得▄PST（ω，·）（{x∈ Rd |ξT，OhmP（ω）·x>0}）>022 JAN OB L’OJ和JOHANNES WIESELor∑T上没有单点套利-1.∩OhmP、 完成（3）的证明=> （1） 我们需要以可测量的方式选择▄P，然后是标准参数：定义对应关系ψ：Rd×XT-1. P（X）乘以ψ（H，ω）={P∈ PT公司-1（ω）| EP【H·ST（ω，·）]+>0}。该函数在（Nutz，2016，Lemma3.4证明，第11页）中有参数解析图，因此我们可以使用Jankov-vonNeumann定理（参见。

（Bertsekas和Shreve，1978年，命题7.49，第182页））找到一个普遍可测量的核心点-1： Rd×XT-1.→ P（X）使得PT-1（H，ω）∈ PT公司-1（ω）表示所有（H，ω）∈ Rd×XT-1和PT-1（H，ω）∈{ψ（H，ω）6上的ψ（H，ω）=}. 还有核ω7→PT-1（ω）：=PT-1（ξT，OhmP（ω），ω）是普遍可测的。定义▄P：=^P▄XT-1.PT-1，它是由^P到XT的限制形成的productmeasure-1和▄PT-1givesP（ξT，OhmP·ST>0）>0。这证明了（3）=> （1） 通过反向归纳法。最后我们展示（1）=> （2） ：让我们假设P((OhmP）*) = 所有P为1∈ P、 注意，根据（3）的证明中给出的论点=> （1） 这意味着t[t=1{proj0:t-1(OhmP） |∑ωt上存在一点套利-1.∩ OhmP} 是一个P-极坐标集，所以特别是0∈ ri（￠χFt-1（ω）），对于所有t=1，T和Pq。e、 ω∈ 十、 此处为ri（￠χFt-1（ω））表示￠χFt凸包的相对内部-1(ω). 让^P∈ P固定。我们定义了任意P∈ P和ω∈ Xt公司-1 Pt的支持-1(ω) o S-1t（ω，·）以Ft为条件-1asχPFt-1（ω）={x∈ Rd | Pt-1(ω)(St（ω，·）∈ 对于所有ε>0}，Bε（x））>0。使用下面解释的选择参数，我们现在可以找到可测量的选择器P（0,1），P（0，d），P（1,1），P（T-1，d）使得p（t，1）（ω），P（t，d）（ω）∈ Pt（ω）和P（0,1），P（T-1，d）充分满足以下特性：定义▄Pt（ω）=d+1^Pt（ω）+dXi=1P（t，i）（ω）！对于t=0，T- 1和每ω∈ Xt。那么对于▄P=▄P ··· PT-1我们有0∈ 国际扶轮社χИPFt-1.所有1个项目的P-a.s≤ t型≤ T、 其中riχИPFt-1.表示χОPFt凸包的相对内部-1、我们注意到，由于Pt（ω）是凸的，所以我们有▄Pt（ω）∈ ω的Pt（ω）∈ Xtand byde定义^PP保持不变。现在，从（Rokhlin，2008，定理1，第1页）可以看出，存在一个等价于▄P的鞅测度Q。事实上▄P∈ Pimplies Q∈ QP，显示索赔。现在，我们提出了可测量的选择参数：We fix t∈ {1，…，T}。

注意，对于所有ω∈ 项目0:t-1((OhmP）*) 我们得出结论0∈ 国际扶轮社(St（ω，∑ωt-1.∩ (OhmP）*)) 副定义(OhmP）*, 这意味着（Bonnice and Reay，1969，定理D，p.1）存在p，Pd公司∈ Pt公司-1（ω），可能不是两两不同的，s.t.0∈ risupp^Pt公司-1（ω）+P+·····+Pdd+1o St（ω，·）-1.金融市场稳健建模23注意ω7→^Pt-1（ω）是普遍可测的。我们定义了对应关系ρ：P（X）d+1 Rdbyρ：（P，P，…，Pd）=供应P+P+····+Pdd+1o St（ω，·）-1..请注意，对于O Rdopen我们有{（P，P，…，Pd）|ρ（P，P，…，Pd）∩ O 6=} =d[i=0{（P，P，…，Pd）| Pio St（ω，·）-1（O）>0}。自第7页起→ P（O）是Borel可测的，我们得出ρ是弱可测的。Letus用Sd表示Rd中的单位球体。通过保持可测量性（参见（Rockafellar and Wets，2009，练习14.12，第653页）），可以得出对应关系ψ：P（X）d+1 Rdψ（P，P，…，Pd）={H∈ Sd | H·y≥ 0表示所有y∈ ρ（P，P，…，Pd）}是弱可测的。那么对应关系|ψ：P（X）d+1 Rdψ（P，P，…，Pd）={H∈ Sd | H·y≤ 0表示所有y∈ ρ（P，P，…，Pd）}∩ ψ（P，P，…，Pd）是弱可测的闭值。设V为Rd的可数基。集合{（P，P，…，Pd）|ψ（ω，P，…，Pd）=ψ（P，P，…，Pd）}=\\O:O∈V（{（P，P，…，Pd）|ψ∩ O 6=} ∩ {（P，P，…，Pd）|Иψ∩ O 6=}∪ {（P，P，…，Pd）|ψ∩ O=} ∩ {（P，P，…，Pd）|Иψ∩ O=})Borel是可测量的。注意，对于任意凸集C 关系0∈ ri（C）<=> ( H∈ Sds。t、 H·x≥ 0x个∈ C=> H·x=0x个∈ C） 保持。LetA：={（P，P，…，Pd）| 0∈ 国际扶轮社ρ（P，P，…Pd）对于i=1，d} 。然后，从上述论点可以得出A是Borel，尤其是集值映射A（ω，P）：={（P，…，Pd）| 0∈ 国际扶轮社ρ（P，P，…Pd）, 圆周率∈ Pt公司-1（ω），对于i=1，d} 有解析图。

我们现在可以利用扬科夫·冯·诺依曼定理（参见（Bertsekas和Shreve，1978），命题7.49，第182页）来发现普遍可测的核坑-1： Xt公司-1.→ P（X）使得对于每个ω∈ Xt公司-1我们有PIT-1(ω) ∈ Pt公司-1（ω）和0∈ 国际扶轮社ρ（^Pt-1（ω），Pt-1.Pdt公司-1).这就是（1）的证明=> (2).定理2.6的第二部分紧随命题4.1。在继续定理2.6的证明之前，让我们首先对上述证明中涉及的套利策略的可测性做一个简短的评论：评论4.4。根据FTAP（Burzoni et al.，2019a），存在与FF Fsmuch在H（~F）上没有强套利OhmP、 更具体地说，存在一个H（F）-因此H（FM）-可度量的套利聚合器H*. 特别是如果P(OhmP \\(OhmP）*) > 0表示某些P∈ P、 然后H*是anH（~F）-可测量的P-q.s套利。一般情况下，夹杂物F FUdoes不成立。这就是为什么我们需要构建一个新的FU可测量套利策略，该策略捕获了P所必需的套利。更一般地说，在本文中，我们使用投影可测量集（Burzoni et al.，2019a）对1月24日的OB L\'OJ和JOHANNES WIESELavoid进行了研究。事实上，我们所有的交易策略都是可以普遍测量的，而不需要运用投射确定性公理。此外，我们希望通过在（3）中构建一个明确的套利策略=> （1） 我们可以通过对P={P}的情况提供类似于上述（但更简单）的推理来澄清（Burzoni et al.，2016），定理4.23，第42-46页（尤其是（Burzoni et al.，2016）[A.3]）的证明。引入一个可测量的分隔符ξ，很明显，在我们的设置中，jzin（Burzoni et al.，2016，p.44）总是可以等于1。

此外，由此产生的战略也可以普遍衡量。为了证明Φ6=0情况下定理2.6的第一部分，我们回顾了（Burzoni et al.，2019a）的以下概念：定义4.5（（Burzoni et al.，2019a），定义。4). 一种路径空间划分方案（α*, H*) 属于Ohm 是一系列交易策略的集合。。。，Hβ∈ H（FU），α，αβ∈Rkand套利聚合器▄H，约1的Hβ≤ β ≤ k使得（1）向量αi，1≤ 我≤ β是线性独立的，（2）对于任何i≤ βαi·Φ+Hio 装货单≥ A上的0*我-1，其中A=Ohm, Ai：={αi·Φ+Hio ST=0}∩ A.*我-1，（3）对于任何i=0，β、 HI是Ai的套利聚合器，（4）如果β<k，则Aβ= 或任何α∈ Rk与α线性无关，αβ不存在H，因此α·Φ+（Ho ST）≥ A上的0*β.定义4.6（Burzoni等人，2019a），定义。5). 一种路径空间划分方案（α*, H*) 如果*β6= .我们引用以下结果：引理4.7（（Burzoni et al.，2019a），引理5）。对于任意R（α*, H*), A.*i=Ohm*{αj·Φ| j≤i} 。此外，如果R（α*, H*) 成功，则*β= Ohm*Φ.引理4.8（（Burzoni et al.，2019a），Φ6=0的定理1证明）。一个路径空间划分方案R（α*, H*) 当且仅当Ohm*Φ6= .现在，我们完成Φ6=0情况下定理2.6证明的第一部分：Φ6=0情况下定理2.6的证明。存在OhmPand（1）=> AΦ（~F）上无强套利OhmP、 （2）=> （3） 一如前所述。我们现在认为（1）=> （2） 根据（Bouchard和Nutz，2015，定理5.1，第850页）的精神，通过归纳静态交易可用期权的数量e来持有。特别是，我们可以在不丧失一般性的情况下假设存在一个随机变量≥ 1个φj≤ 对于所有j=1，k并考虑集合QД={Q∈ QP | EQ[Д]<∞}以避免可集成性问题。那么让我们假设有e≥ 0贸易选项φ，φe，其中（1）=> （2） 保持。

我们引入一个附加选项g=φe+1，并假设P(OhmP）*{φ，…，φe+1}= 所有P为1∈ P、 那么很明显(OhmP）*{φ，…，φe}= 所有P为1∈ 根据归纳假设，在期权{φ，…，φe}可用于静态交易的市场中不存在任何风险。LetP公司∈ P、 然后，通过与（Bouchard和Nutz，2015，定理5.1（a）的证明）中完全相同的论点，我们可以使用Q的凸性和定理2.9来找到一个度量公式∈ Q^1，因此P Q和Q∈ QP，{φ，…，φe+1}，so（2）成立。最后，还有待展示（3）=> (1). 因此，让我们假设存在^P∈ P如此^P(OhmP \\(OhmP）*Φ) > 0. 我们想找到（h，h）∈ AΦ（FU）和￠P∈ P金融市场稳健建模25h·Φ+Ho 装货单≥ 0 P-q.s和▄P（h·Φ+ho ST>0）>0。我们使用路径空间划分方案R（α）的性质*, H*) 如上所述。We定义=最小值（k∈ {0，…，β}P（Ak\\A*k） >0表示某些▄P∈ P） ~m=最小值（k∈ {1，…，β}P（A*k-1\\Ak）>0表示某些▄P∈ P） ，其中A=OhmP、 如果▄m≤ m然后我们选择策略（α▄m，H▄m）∈ AΦ（FU），满足Hmo ST+αИm·Φ≥ A上的0*~m-1、我们注意到P（A*~m-1） =1表示所有P∈ P通过定义m、~m和{H▄mo ST+αИm·Φ>0}=A*~m-1μm，因此▄P（H▄mo 对于某些▄P，ST+α▄m·Φ>0）>0∈ P、 如果▄m>m，则P（Am）=1表示所有P∈ P、 P（上午\\A*m） >0表示某些▄P∈ P、 因此，我们可以在Φ=0（3）的命题2.6的证明中进行论证=> （1） 使用标准分隔符和P中度量的可测量选择。与之前一样，定理2.6的第二部分紧跟在命题4.1之后。证据到此结束。定理2.7的证明。我们回顾分析集Ohm从Φ=0和集合{Cn}n的定理2.6的证明∈Nfrom（2.1）。现在我们定义：=[n∈N{Cn | P（Cn∩ (OhmP）*Φ）=0表示所有P∈ P}∈ B（X）。我们声称（2.1）意味着b∩(OhmP）*Φ=[{C∈ S | P（C∩ (OhmP）*Φ）=0表示所有P∈ P}∩ (OhmP）*Φ=[{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∩ (OhmP）*Φ.确实，很明显BS{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}。

现在假设存在ω∈[{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∩ (OhmP）*Φ\\ （B）∩ (OhmP）*Φ).特别是ω∈ C代表一些C∈ 这样C∩(OhmP）*Φ∈ NPBy By（2.1）存在n∈ N使Cn C和ω∈ 中国。这意味着ω∈ B，从而表明了这一主张。现在，我们首先假设Φ=0并设置Ohm:= OhmP \\((OhmP）*∩ （B）∈ 傅。（4.1）假设我们有P(Ohm) = 所有P为1∈ P、 定义（）*活动Ohm*= ((OhmP）*\\ （B）*Φ= (OhmP\\B）*跟随。要查看上述等式，请使用鞅度量Q∈ MOhm,Φ和假设Q(Ohm \\(OhmP\\B））>0。像Ohm \\(OhmP\\B）=OhmP\\(OhmP）*∩B我们得出结论Q(OhmP \\(OhmP）*) > 0.由于asubset上支持的任何校准鞅度量Ohm 单位：MOhmp这导致对(OhmP）*. 而且OhmP\\B=OhmP∩ bc是两个解析集的交集，因此我们得出结论Ohm*是分析型的。最后，通过定义OhmPwe总结Ohm*= (OhmP）*P-q.s。。影响（1）=> (2) => (3) => (4) => （5） 直接遵循定义。因此，我们只需要显示（5）=> (1). 让我们来看看C∈ 这样C Ohm. NoArbitrage de la Classe S onOhm 意味着Ohm*∩ C 6=. 从（4.1）中，我们得出P((OhmP）*∩ C） >0表示某些P∈ P、 作为Ohm*= (OhmP）*P-q.s.这意味着P(Ohm*∩C） >0。对于Φ=0的情况，使用类似于命题2.6证明的构造，我们可以找到一个度量值▄P∈ P使得▄P（C）>0且0位于▄P（·）的条件支撑的内部|Ohm*). 通过（Rokhlin，2008，定理1），我们得出结论，存在鞅测度Q∈ Qp相当于￠P（·）|Ohm*),特别是Q（C）>0。Φ6=0的情况现在可以类似地处理：实际上，我们定义OhmP、 Φ与Φ=0的定理2.6的证明相同，但现在在定义准肯定支持时包括了26 JAN OB L\'OJ和JOHANNES Wieselstaly traded optionsΦ，并遵循上述相同的论点。证据到此结束。4.2. 定理2.9的证明。

我们首先证明（Bouchard和Nutz，2015）的准确定超边缘定理暗示了定理2.9的第二部分。提案4.9。允许Ohm 是X的解析子集，并且Ohm*Φ6= . 让setP满足（APS）且NP=NMfOhm,Φ然后NQP，Φ=NMfOhm,Φand对于上半解析函数g:X→ RsupQ∈Mf公司Ohm,ΦEQ【g】=πOhm*Φ（g）=πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。（4.2）证明。QP、Φ和MfOhm,Φ具有相同的极性集，定义如下Ohm*Φ和（Burzoni等人，2019a，引理2）。我们现在展示（4.2）：considerPOhm:= Pf公司(Ohm*Φ).请注意，没有MfOhm,Φ-q.s.套利F无POhm-q、 s套利。我们现在展示Ohm*Φ为解析ifOhm 是分析型的。回想一下PZ，Φ的集合，来自（Burzoni et al.，2017）的Lemma5.4，第13页，由PZ，Φ定义：=P∈ Pf（X）|Q∈ MfX，Φ，使得dqdp=c（P）1+Z,其中Z=最大值=1，。。。，Dmax=0，。。。，TSitand c（P）=（EP[1+Z]-1)-1.（Burzoni等人，2017）表明，集合{（ω，P）|ω∈ 十、*, P∈ Pω}是解析的，其中Pω={P∈ PZ，Φ| P（{ω}）>0}。注意{（ω，P）|ω∈ 十、*, P∈ Pω}∩Ohm ×Pf(Ohm)是解析的，上述集合到第一个坐标的投影Ohm*Φ，这表明Ohm*Φ为解析型。我们注意到ω7→ POhmt（ω）=Pf（projt+1（∑ωt∩ Ohm*Φ）具有与命题证明4.1替换中完全相同的参数的解析图Ohm 通过Ohm*Φ. 现在的结果来自于的超边缘定理（Bouchard和Nutz，2015）和Mf的定义Ohm,Φ. 我们现在证明了经典的P-a.s.一步超边缘对偶可以通过路径推理的方法来推导：引理4.10。让t∈ {0，…，T- 1} 和g:Xt+1→ R为FUt+1-可测量。让P∈ P（X）和fixω∈ xtna（P）适用于单周期模型（St（ω），St+1（ω，·））。然后是SUPQ~P、 Q∈MXEQ[g（ω，·）]=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}。证据

由于g是FUt+1-可测的，因此（Bertsekas和Shreve，1978，引理7.27，p.173）存在一个Borel可测函数g：（Rd）t+1→ R使得对于P-a.eω，g（ω）=~g（S0:t+1（ω））∈ Xt+1。首先假设St+17→ ~g（S0:t（ω），St+1）是连续的。定义χP：=支持（Po St+1（ω，·）-1). 那么当NA（P）保持χP=（χP）*因此，根据（Burzoni et al.，2019a，定理2）和金融市场稳健建模的连续性，第27St+17页→ ~g（S0:t（ω），St+1）以及St+17→ H（St+1- St（ω））supQ~P、 Q∈MXEQ[g（ω，·）]≤ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（S0:t（ω），·）onχP}=supQ∈MfχPEQ[~g（S0:t（ω），·）]≤ supQ公司~PoSt+1（ω，·）-1，Q∈MRdEQ[g（S0：t（ω），·）]=supQ~P、 Q∈MXEQ[g（ω，·）]。如果St+17→ ~g（S0:t（ω），St+1）是Borel可测的，然后根据Lusin定理（见（Cohn，2013，定理7.4.3，p.227））存在一个增加的紧集序列（Kn）n∈确认Kn χP，Po St+1（ω，·）-1（Kcn）≤ 1/n和▄g（S0:t（ω），·）▄是连续的。特别是存在n∈ N使得对于所有N≥ nwe haveKn=（Kn）*. 通过上述参数inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（S0:t（ω），·）on Kn}（4.3）=supQ~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MKnEQ[g（ω，·）]对n保持不变≥ n、 现在，在n中取得suprema∈ （4.3）两侧的N：inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}=supn∈Ninf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ ~g（S0:t（ω），·）on Kn}=supn∈NsupQ公司~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MKnEQ[g（S0:t（ω），·）]≤ supQ公司~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MRdEQ[g（S0:t（ω），·）]≤ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}。利用固定P和P的（APS）下的一步对偶结果，我们现在证明定理2.9的第一部分，该部分在以下命题中重述：命题4.11。

让NA（P）保持不变，让g:X→ R是上半解析的。然后存在一个测量值Pg=Pg ···  PgT公司-1和FU可测集OhmPG带P(OhmPg）=1表示所有P∈ P、 使得πP（g）=π^P（g）=π(OhmPg）*Φ（g）=supQ∈MOhmPg，ΦEQ【g】=supQ∈QP，ΦEQ【g】。证据我们注意到，根据NA（P）和定理2.6OhmP \\(OhmP）*Φ为p极。我们首先取Φ=0。回想一下给出的一步泛函的定义（Bouchard和Nutz，2015，引理4.10，第846页）ET（g）（ω）=g（ω）ET（g）（ω）=supQ∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]，t=0，T-通过（APS）和g的上半解析性，每个Et（g）都是上半解析的。Weshow递归地表示，对于每t=0，T- 1和P-q.e.ω∈ XTHERE existsa措施P∈ P（X）使得NA（P）保持和supq∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]=supQ~P、 Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]。1月28日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELNote指出，通过可测量的选择参数和OhmPwe得出P-q.e.ω的结论∈ xtna（Pt（ω））和P（projt+1）的性质(OhmP∩ ∑ωt））=1保持所有P∈ Pt（ω）。我们现在∈ {0，…，T- 1} 和ω∈ xtna（Pt（ω））和P（projt+1(OhmP∩∑ωt））=1表示所有P∈ Pt（ω）保持不变。请注意，存在序列（Pn）n∈确认该Pn∈ 所有n的Pt（ω）∈ N和SUPQPn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]↑ supQ公司∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]（n→ ∞).我们从第4.1节中Φ=0的定理2.6的证明中可以看出，在NA（Pt（ω））和固定P下∈ Pt（ω），我们总是可以找到P∈ Pt（ω），使得PPand NA（▄P）保持不变。因此，我们可以在不损失一般性的情况下假设NA（Pn）适用于所有n∈ N、 定义^Pn：=Pnk=1-k/（1）- 2.-n） 主键∈ Pt（ω）以及asPgt（ω）：=P∞k=1-kPkand注意到NA（^Pn）和NA（Pgt（ω））都适用于alln∈ N、 进一步moreet（g）（ω）=supn∈NsupQ公司Pn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]≤ supn公司∈NsupQ公司~^Pn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]≤ supQ公司~Pgt（ω），Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）-a.s.}，其中最后一个等式来自引理4.10。

定义πPgt（ω）t（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·）Pgt（ω）-a.s.}πPt（ω）（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·）Pt（ω）-q.s.}。明确πPgt（ω）（g）≤ πPt（ω）（g）。现在假设一个矛盾，不等式是严格的，并设ε：=πPt（ω）（g）-πPgt（ω）（g）>0。进一步注意，对于紧集序列（Kn）n∈确认Kn↑ Rdwe有πPgt（ω）| Kn（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1≥ Et+1（g）Pgt（ω）（·|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.}↑ πPgt（ω）（g）（n→ ∞),πPt（ω）| Kn（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1≥ Et+1（g）Pt（ω）| Kn-q.s.}↑ πPt（ω）（g）（n→ ∞),式中，pt（ω）| Kn：={P（·|St+1（ω，·）∈ Kn）| P∈ Pt（ω），P(St+1（ω，·）∈ Kn）>0}。选择n∈ N足够大，使得πPt（ω）| Kn（g）- πPgt（ω）| Kn（g）>3ε/4。用H的HKN闭集表示∈ Rd使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.然后每H∈ HKN存在PHn∈ Pt（ω）使得phn（{πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HSt+1（ω，·）<Et+1（g）（ω，·））}∩ {St+1（ω，·）∈ Kn}）>0。注意，存在一个可数序列（Hkn）k∈N、 在香港非常密集。特别是每小时∈ Rd使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/4+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.存在k∈ N使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HknSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.现在设置Pn=P∞k=1-kPHknn公司∈ P（X），注意对于所有n∈ N足够大π（Pgt（ω）+Pn）| Kn（g）- πPgt（ω）| Kn（g）≥ ε/4.金融市场稳健建模29kN↑ Rdwe特别有Ret（g）（ω）≤ supQ公司~Pgt（ω），Q∈MXEQ[克]<极限→∞supQ公司~（Pgt（ω）+Pn）| Kn，Q∈MXEQ[克]≤ Et（g）（ω），一个矛盾。

ThusEt（g）（ω）=πPt（ω）（g）=πPgt（ω）（g）。作为0∈ ri（supp（（Pgt（ω）））是超边缘策略ω7的一个自然的、普遍可测量的候选者→ Ht+1（ω）是limε的右导数∈Q、 ε↓0（Eεeit（g）（ω）-Et（g）（ω））/ε，其中Eεeit（g）（ω）是Borel可测库存的超边际价格（St+εei），i=1，d≤ d而不是St。这是上半解析函数差异的逐点极限，因此是普遍可测量的。对于ω∈ XT为了使该量不存在，我们将Ht+1（ω）=0。此外，为了表示映射ω7→ Pgt（ω）可以选择为普遍可测的，我们首先注意到在（Bouchard和Nutz，2015，引理4.8，p.843）中，集合{（Q，p）∈ P（projt+1（∑ωt））×P（projt+1（∑ωt））|等式[St+1（ω，·）]=0，P∈ Pt（ω），Q P} 是分析型的。因此，我们可以应用扬科夫·冯·诺依曼选择定理（见（Bertsekas和Shreve，1978年，命题7.50，第184页））来找到Et（g）（ω）的1/n-优化子（Qnt（ω），Pnt（ω）），如下所述。Φ6=0的情况可以用归纳法来处理，就像证明Φ6=0的定理2.6一样。总之，我们找到了一个策略（h，h）∈ AΦ（FU）这样的SUPQ∈QP，ΦEQ【g】+h·Φ+（ho ST）≥ g P-q.s.我们现在确定OhmPg=OhmP∩(ω ∈ 十、supQ公司∈QP，ΦEQ[g]+h·Φ（ω）+（ho ST）（ω）≥ g（ω））∈ 傅。证据到此结束。备注4.12。由NA（P）命题4.11表示g=00=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）使得x+h·Φ+（ho ST）≥ 0 P-q.s.}=infg∈Einf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）使得x+h·Φ+（ho ST）≥ g开启(OhmPg）*Φ}=inf▄g∈EsupQ∈MOhmP▄g，ΦEQ[▄g]，其中我们定义={▄g:X→ (-∞, 0]FU可测量|g=0 P-q.s.}。尤其是对于每一个▄g∈ 以太存在Q∈ MX，Φ，使得等式[g]=0。（Burzoni等人，2019b）在更一般的设置中获得了类似的结果。

在不使用P的（APS）设置的情况下，聚合对应于所有g（以及所有P极集）的鞅测度，以获得与（Bouchard和Nutz，2015）相当的结果，仍然是一个悬而未决的问题。数据可用性声明：数据共享不适用于本文，因为本研究中未创建或分析新数据。1月30日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELReferences[1]Acciaio，B.、Beiglb¨ock，M.、Penkner，F.和Schachermayer，W.（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的Amodel免费版本。数学《金融》，26（2）：233–251。[2] Bartl，D.（2019年）。无限禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。安。应用程序。概率。，29(1):577–612.[3] Bartl，D.、Cheridito，P.、Kupper，M.、Tangpi，L.等人（2017年）。具有可数个边缘约束的增凸泛函的对偶性。巴纳赫数学分析杂志，11（1）：72–89。[4] Bayraktar，E.和Zhang，Y.（2016）。交易成本和模型不确定性下资产定价的基本定理。数学操作。第41（3）号决议：1039–1054。[5] Bayraktar，E.、Zhang，Y.和Zhou，Z.（2014年）。关于模型不确定性下资产定价基本理论的注记。风险，2（4）：425–433。[6] Bayraktar，E.和Zhou，Z.（2017）。模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。数学《金融》，27（4）：988-2012。[7] Bertsekas，D.和Shreve，S.（1978年）。随机最优控制：离散时间案例，第23卷。纽约学术出版社。[8] Black，F.和Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。J、 政治经济学。，第637-654页。[9] Blanchard，R.和Carassus，L.（2019年）。在离散时间内无多个优先级的套利。arXiv预印本arXiv:1904.08780。[10] Bonnice，W.和Reay，J.（1969年）。凸面外壳的相对内部。过程。是数学Soc。，20(1):246–250.[11] Bouchard，B.和Nutz，M.（2015年）。

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