为了实现特定交易日期的MOM，我们考虑损失函数eu，eθsj公司:=2NjNjXi=1（sj-eθ）e-euTi+eθ- f（i）j.为了获得全天的一组参数，我们对整个样本的损失函数进行平均，并将其最小化eu，eθs序号:=nnXj=1Leu，eθsj公司=nnXj=12NjNjXi=1（sj-eθ）e-euTi+eθ- f（i）j, （5.1）通过选择eua ndeθ。在对样本数据进行校准后，eu和θ的估计量分别为1.39和26.03。5.2跟踪策略的性能和性质在本节中，我们讨论了第4节中导出的最优动态策略的性质。具体而言，我们使用第5.1节中计算的参数，并通过（4.3）和（4.1-3）模拟指数及其相应的期货价格。反过来，动态投资组合价值和VXX价格由其相应的策略生成。对于这两种情况，投资组合中都使用了1个月和2个月的期货。回想一下，VXX有一个线性战略，从第一个月期货投资的10%开始，线性减少第一个月合同的持有量，并逐日增加第二个月合同的持有量，直到第一个月期货到期。图8模拟了三种不同的场景IO。我们考虑三个合同周期（总共63天），并将分析分为三种情况。在面板（a）中，S从其历史长期水平θ开始。在面板（b）中，S从θ/3的低值开始，而在面板（c）中，S从3·θ的高值开始。在这些情况下，指数本身表现出（a）非定向，（b）向上趋势，或（c）向下趋势。在所有情况下，我们都可以看到，动态投资组合显然与指数同时变动，尽管变动幅度有所不同。VXX也是如此。回想一下，该策略旨在跟踪指数回报，而不是跟踪实物价格。

换句话说，跟踪策略不考虑当前或过去的价格偏差，只寻求优化对下一时期指数回报的跟踪。因此，跟踪投资组合倾向于以与指数相同的方向移动，而不考虑它们之间的美元价值。随着时间的推移，价格偏差甚至可能累积。正如我们在图8中看到的，动态跟踪策略在所有三种情况下都倾向于更接近索引。为了看到动态投资组合比VXX更好地跟踪VIX的回报，我们在图10中显示了6个合同周期内的模拟Return s catterplot。面板（a）显示了动态投资组合回报与波动率指数回报的散点图，而面板l（b）给出了Vxx回报与波动率指数回报的散点图。两个图都有相同的x-y轴比例，便于比较。我们还使用了（黑色）y=x线。我们注意到，对于动态投资组合，收益对更接近y=x线，表明投资组合收益与波动率指数的收益非常匹配。另一方面，对于VXX，返回距离这条线更远，斜率似乎小于1。事实上，这两种说法都具有统计意义。我们对两个散点图的线性回归得出以下结果：在（a）中，斜率为1.0030，标准误差为1.6408·10-3，截距为-8.5514 · 10-4标准误差or为1.2979·10-4，R=99.97%。在（b）中，斜率为0.8734，标准误差为2.9477·10-3，截距为-10 .1524 · 10-4标准误差为2.3318·10-4，R=99。86%. 我们得到了一个0.078的p值，用于检验动态投资组合回报率与。

波动率指数在面板（a）中的回报率高于许多标准d显著水平。VXX的相应tes t的p值为6。521 · 10-76、最后，我们警告称，高R值（超过99%）意味着动态投资组合每天可以产生与VIX非常相似的回报，但并不意味着它可以完美复制VIX在每iod一段时间内的实际美元价值。对于策略，我们在图9中给出了两个合同周期的示例。有趣的是，动态策略是非常线性的，从略高于2的价值下降到成熟时的1。这表明，该策略在2个月期货中的价值也低于100%，到1个月期货到期时，价值将升至0%。为了进行比较，我们还绘制了VXX的策略，该策略在每个契约周期的1到0之间是线性的。0 10 20 30 40 50 606070809010120spotvxxportfolio（a）S=θ0 10 20 30 50 60100150200250300350400450SpotVXXPortfolio（b）S=·θ0 10 20 30 40 50 60405060708090100SpotVXXPortfolio（c）S=3·θ图8：3种不同情景下指数、VXX和动态投资组合的样本路径：（a）当波动率开始于其历史长期平均值θ（b）当波动率处于较低值θ/3时，和（c）当VIX统计在较高值3θ时。所有投资组合均标准化为100美元，并在3个合约周期内绘制其时间序列。参数为u=10.86，θ=18.81，σ=6.38，eu=1。39，andeθ=26.0 3。x轴表示交易日，y轴表示价格。0 5 10 15 20 25 30 35 400.00.51.01.52.0Portfoliovxx图9：投资组合权重的样本路径，以投资于1个月期货的财富份额表示，与42个交易日（即2个合约周期）的动态投资组合和VXX相关。投资组合的其余部分投资于2个月期期货。

参数为u=10。86，θ=18.81，σ=6.38，eu=1.39，eθ=26.03，S=θ。x轴表示交易日，y轴表示1个月期的权重。ret.pf-0.1 0.0 0.1 0.2-0.10.00.10.2（a）动态Portfolioret。vxx-0.1 0.0 0.1 0.2-0.10.00.10.2（b）VXX图10：（a）动态投资组合与波动率指数，以及（b）VXX与波动率指数的回报散点图。我们还绘制了一条带零intercept的实心直线，以说明dynamicportfolio或VXX回报与VIX回报的偏差。参数为u=10.86、θ=18.81、σ=6.3 8、eu=1.39、eθ=26.03和S=θ。交易超过126个交易日（6个合约周期）。x轴标记索引返回（小数），而y轴标记动态Portfolio/VXX返回（小数）。6结论性意见在本文中，我们提出了针对波动率跟踪优化的波动率指数期货静态和动态投资组合的构建。正如从经验和理论角度所讨论的那样，未来精神往往不会对即期波动率指数的变动做出足够快的反应。它们还带来持续的负回报，因此难以跟踪波动率。鉴于静态投资组合的缺陷，我们设计并实施了一种动态交易策略，每天调整期货头寸，以优化波动率指数的回报。模型根据历史数据进行校准，并进行模拟研究，以了解该策略所显示的特性。此外，与波动性ETN、VXX相比，我们发现我们的动态策略具有优异的跟踪性能。未来的研究方向有很多。ETF或ETN追踪其参考指数的能力不限于基于VIX的产品。

这对于从股票到大宗商品等资产类别的分配是相关且重要的。在我们的静态复制投资组合中，我们选择将期货仅用于与VXX进行比较。或者，还可以构建静态期权组合，并进行优化，以尽量减少与指数或其杠杆位置相关的跟踪误差（见Leung和Lorig（2016））。比较投资组合与不同衍生品的跟踪性能会很有趣。撇开战略和工具不谈，所有跟踪问题中的一个主要挑战是对指数的演变进行适当的建模。因此，指数运动的准确预测可能会提高跟踪性能。为此，未来的一个研究方向是应用机器学习技术将预测分析纳入跟踪问题。参考Black，F.（1976）。股票价格波动变化的研究。1976年美国统计协会会议记录，商业和经济统计科，第177-181页。Cox，J.C.、Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985年）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：38 5–408。邓，G.，麦肯，C.，和王，O.（2012）。VIX期货ETP是否有效对冲？《指数投资杂志》，3（3）：35–48。Eraker，B.和Wu，Y.（2013）。解释波动率指数期货和ETN的负回报：均衡方法。工作文件。Gr–ubichler，A.和Longstaff，F.（1996年）。根据波动性对期货和期权进行估值。《银行与金融杂志》，20（6）：985–100 1。Guo，K.和Leung，T.（2015）。了解商品杠杆ETF的跟踪错误。InAid，R.，Ludkovski，M.，和Sircar，R.，Fields Institute Communications商品、能源和环境金融编辑。斯普林格。Guo，K.和Leung，T.（2017）。

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