利用波动率指数期货跟踪波动率指数：投资组合构建与绩效

2022-6-24 06:29:43

利用波动率指数期货跟踪波动率指数：投资组合构建与绩效*Tim Leung+Brian Ward2019年7月2日摘要我们研究了一系列波动率指数期货的静态和动态投资组合及其跟踪波动率指数的效果。我们使用优化方法得出每个投资组合，并从经验和理论角度评估其跟踪性能。在我们的研究结果中，我们发现不同VIX期货的静态投资组合无法密切跟踪VIX。波动率指数期货对现货波动率指数的变动反应不够迅速。在离散时间模型中，我们设计并实现了一种动态跟踪策略，该策略每天进行调整，以优化跟踪波动率指数。该模型根据历史数据进行了校准，并进行了模拟研究，以了解该策略所显示的特性。此外，与波动性ETN、VXX相比，我们发现我们的动态策略具有优异的跟踪性能。*本草案提交给W.Ziemba等人编辑的《应用投资研究手册》，即将于2019年出版。+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.与客户的关系纽约哥伦比亚大学工业工程与运筹学（IEOR）系，邮编：10027。电子邮件：bmw2150@columbia.edu.1简介对于所有长期投资者来说，能够通过不同的市场条件有效地控制其投资组合的风险敞口非常重要。下行风险保护尤其重要。这促使投资者考虑不同的工具和策略，以潜在地对冲市场动荡。衡量预期市场波动性的最广为认可的指标之一是英国央行波动率指数（VIX）。

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2022-6-24 06:29:47

这是一项值得持有的资产，因为根据经验观察，波动率和市场回报率是反相关的，这种影响被称为不对称波动率。因此，对波动率指数（VIX）的敞口将通过提供一些收益来缓解市场低迷，从而保护投资者。（a） 2011年4月1日至9月30日（b）2014年1月1日至12月31日图1：在（a）2011年4月1日至2011年9月30日和（b）2014年1月1日至2014年12月31日期间的历史投资组合价值，其中100%投资于SPY，90%财富投资于SPY，10%投资于VIX。为了说明这一点，让我们考虑两个投资组合：一个投资组合完全投资于SPDR标准普尔500ETF（SPY），另一个投资组合90%的财富投资于SPY，10%的财富投资于VIX，假设VIX是可交易的。图1（a）与2011年期间的情况相对应，当时美国支持标准普尔下调信用评级。2011年4月18日，标准普尔对美国信用评级经纪公司的负面展望。2011年8月5日，美国联邦情报局（o fcia l）降级后的几个月内，间谍职位将继续下降约10%，走势动荡。相比之下，假设SPY和VIX的组合比例为90/10，则在降级过程中保持稳定，并最终获得正回报。在图1（b）中，我们观察到，同一对投资组合在2014年的回报率大致相同，为15%。然而，仅SPY的投资组合明显比SPYand VIX的投资组合更不稳定。原因是，瑞星VIX（Rissensin VIX）实现了大额提款（例如，2014年10月15日），对投资组合的价值产生了稳定作用。这种策略也有利于长期投资。如果在2009年1月30日将10%的财富投资于Vixa，剩余部分投资于SPY，那么截至2017年12月27日持有该投资组合的实际夏普比率为1.16。

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kedemingshi

2022-6-24 06:29:49

相比之下，仅SP Y的por tfolio的夏普系数为1。这一改善主要是由于波动率从16.07%大幅下降至12.55%，我们的计算进一步表明，将高达26%的财富投资于波动率指数，剩余部分投资于SPY，将产生更高的夏普比率1.45。VIX风险敞口的好处是显而易见的，但实际上VIX并不可直接交易。相反，波动性敞口是通过使用波动率指数期货或期权以及一些交易所交易基金/票据（ETF/N）实现的。交易量最大的基于VIX的ETN是iPath标准普尔500 VIX短期期货ETN（股票代码：VXX）。然而，正如我们将要讨论的那样，VXX未能很好地跟踪VIX，更一般地说，VIX ETF/N带来了持续的负回报。在文献中，进行了大量研究（Deng等人（2012）；Eraker和Wu（2013）；Whaley（2013））也说明了与VIX期货和ETN（如VXX）相关的负回报。尽管如此，波动率指数期货也广泛用于特殊交易和管理期货组合（Leung et al.（2016）；焦（2016）；Leung和YanSee Black（1976）首次使用该术语。作者的配套论文Leung和Ward（2018）也对此进行了讨论。见《纽约时报》文章：http://www.nytimes.com/2011/04/19/business/19markets.html.See http://www.nytimes.com/2011/08/06/business/us-debt-downgraded-by-sp.html.(2018, 2019). 正如彭博社2019年1月29日总结的那样，“由于一种结构上的怪癖，这家公司在其整个生命周期中的价值不超过99%——但它也演示了投资者对隐含的美国股票波动率的理解。”在本文中，我们讨论了波动率指数期货和标的指数的价格动态，并构建了波动率指数期货的静态和动态组合，以跟踪指数。

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2022-6-24 06:29:53

除了制定和实施最佳跟踪策略外，我们的主要目标是仔细检查跟踪投资组合的有效性。对于作者关于波动率指数和其他涉及期货/其他衍生品的指数的讨论时间和连续时间跟踪的全面相关研究，werefer to Leung and Ward（2018年15月20日）；沃德（2017）。我们的研究结构如下。在第二节中，我们分析了实证观察到的波动率指数和波动率期货的回报依赖性。在第3节中，我们构建了用于跟踪波动率指数的波动率指数期货静态投资组合，并调查了其长期跟踪效果。我们的研究表明，试图跟踪波动率指数（VIX）的静态期货投资组合存在许多陷阱，这促使我们考虑采用第4节中讨论的动态方法。假设一个模型能够捕捉到波动率指数的均值回复动态，我们推导出了适应波动率指数日常波动的最佳动态复制序列。复制策略在第5节中实现。第6.2节波动率指数现货和未来提供了总结意见。我们首先分析波动率指数期货相对于现货波动率指数的价格动态。VIX期货的历史价格数据来自Quandl。我们已经针对直接来自CBOE的Quandl数据进行了验证。对于spot VIX数据以及相关ETN，我们使用Yahoo！资金经过编译，我们的数据集包括从2004年3月26日（波动率指数期货开始交易的第一天）到2017年1月27日的整个收盘价历史。然而，我们选择仅分析2011年1月3日（2011年第一个交易日）至2016年12月30日这段时间，即2011年至2016年的6年。我们认为，这一数量的数据足以避免过度配置，而且最近的数据足以了解波动率指数、期货和VXX之间的当前动态。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:29:56

2011年至2016年的整个重采样期包含1510个总交易日的数据。此外，在样本集的任何给定日期上，都有7到9份期货合约可用。特别是，15天内只有7份期货合约可用，278天内只有8份期货合约可用，1217天内有整整9个月的合约可用。在这段时间内，这些合同始终是连续的几个月（从1个月的合同开始）。换句话说，当没有可供交易的期货合约时，它们总是由N个月组成。例如，如果当前交易日期是1月初的某个时间（1月期货到期之前），并且有7份期货合约可供交易，那么期货合约的到期日将连续为1月至7月。数据集的这些特征与CBOE protoco l一致。他们表示，近期将列出最多9个月的交易。然而，在我们的分析中，我们取消了第八个月和第九个月的合同，因为人们并不总是可以交易第八个月或第九个月的合同。这使我们能够使用完整的1510天数据，避免了只需7或8个期货交易就可以消除15+278=29 3天的需要。2.1回报依赖性我们首先对波动率指数期货的1天回报与相应的波动率指数的1天回报进行回归。结果汇总在表1中。在表1中，我们观察到所有期货的高Rv值，表明它们与现货高度相关。期限较短的期货价格较高。这可以解释为（i）期货价格趋向于接近现货价格直至到期，以及（ii）长期指https://www.quandl.com/collections/futures/cboe有关可用CBOE数据的文档。

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2022-6-24 06:29:59

您可以在以下位置搜索特定合同：https://www.quandl.com/data/CBOE-Chicago-Board-Options-Exchange.CBOE在此处发布历史数据：http://cfe.cboe.com/data/historicaldata.aspx.Quandl也有现货VIX数据可用，但它是来自雅虎！财务部和我们已经验证了这两个数据集是相互关联的。看见http://cfe.cboe.com/products/spec_vix.aspx.Futures斜率βInter-ceptαRRM SE1月0.604-3.54·10-30.792 0.02422月0.428-3.33·10-30.759 0.01893月0.321-2.45·10-30.718 0.01584月0.267-1.98·10-30.688 0.01415-0.226个月-1.79·10-30.645 0.01316月0.200-1.62·10-30.615 0.01247-0.184个月-1.35·10-30.597 0.0118表1:2011年1月3日至2016年12月30日期间，spotVIX在1日收益率的基础上计算1个月至7个月期货的一日收益率的回归系数和拟合优度度量汇总。均方根误差由M SE确定：=qPni=1（r（V）i- α - βr（j）i）/n，其中r（j）是第j个未来合约在交易日i的1天复盘，r（V）是即期波动率指数的相应回报，n是交易天数。前7个月合约由j∈ {1, . . . , 7}.价格点1-7月-图2:2016年4月22日至2016年5月18日期间波动率指数、1个月期货价格（2016年5月合约）和7个月期货价格（2016年11月合约）的时间序列。x轴标记交易日数，y轴标记价格。定期合同的流动性比短期合同低。斜率系数在统计上都很重要，小于1，这是直观的，因为期货收益率往往比现货收益率波动性小。统计上显著的负截距表明，即使spo t价格没有变动，期货价格也会下跌。

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2022-6-24 06:30:02

原因在于波动率指数期货的期限结构，正如我们将看到的那样，波动率指数期货的到期时间通常在增加。即使现货价格没有变动，未来的价格也会下降，以与现货价格和rds到期日相匹配，从而导致负面的内部接受。在图2中，我们绘制了2016年4月22日（4月16日合约到期后1天）至2016年5月18日（5月16日合约到期日）期间的即期波动率指数时间序列、1个月期货价格（5月16日合约）和7个月期货价格（11月16日合约）。请注意，现货、1个月期货价格和7个月期货价格都倾向于同时变动。然而，现货价格的波动大于期货价格的波动。我们还观察到，现货和期货价格往往朝着同一方向移动，但期货价格并不随现货1:1移动。正如人们可能预期的那样，这一影响对于7个月的合同来说更为明显，在这段时间内几乎没有变化。例如，从交易日4到5，我们的VIXof大幅上涨1.45美元，只有上涨1美元才能实现。1个月合同增加0.00美元，7个月合同增加0.50美元。另请注意，到期的1个月期货价格与1月1日的价格之间存在细微差异。2月21日。3月18日。4月17日、5月21日、5月19日、6月16日（a）2016年1月至6月价格10303234383840446485052JAN。2月22日。3月19日。4月19日2016年5月21日至6月18日（b）2009年1月至6月图3：2016年1月至6月（a）和2009年（b）的期限结构。图例显示了术语重新构建的日期。每个日期都是该月未来合同到期后的第二天。x轴标记到期时间（以月为单位），假设每个月正好是21天（=2 52/12），而y轴标记价格。现货价格。

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何人来此

2022-6-24 06:30:05

理论上，期货价格应该与现货价格趋同。然而，市场摩擦、结算规则和现货的不可交易性可能会极大地限制这种趋同，正如在其他期货市场（如农业期货）中所看到的那样（Guo和Leung（2017））。对于波动率指数期货的非收敛现象，我们参考Pavlova和Daigler（2008）进行实证研究。我们在图3中绘制了2016年（左）和2009年（右）前6个月几个不同时间点观察到的波动率指数期货的期限结构。波动率指数市场的典型情况是期货价格的上涨和下跌（见左图）。然而，2016年1月，VIX对sdid未来波动的预期大幅上升。这样的峰值可能会导致波动率指数期货的期限结构反转，产生一条递减且凸的期货曲线。在图3的右侧面板上，我们绘制了2009年初的期限结构，其中期货价格处于非常高的水平，期限结构显示了不同的形状属性。在文献中，存在许多VIX动力学模型，这些模型可以产生观察到的项结构（例如，增加凹面或减少凸面）。其中包括考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）模型（见Gr¨ubichler和Longs Taff（1996）和Zhang和Zhu（2006））、奥恩斯坦-乌伦贝克（Owntein-Uhlenbeck（OU）模型和指数OU-mo-del（见Leung和Li（2016）），以及具有多重随机事实和制度的模型（见Mencia和Sentana（2013）；焦（2016））。2.2长期依赖性当我们在更长的持有期内对期货收益率与现货收益率进行回归时，新的模式会合并。

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2022-6-24 06:30:08

计算收益时，我们使用不同长度的不相交区间，这意味着对于较长的时间段，我们有较少的数据点，但即使对于30天的时间段，我们也有大约50个数据点。在图4中，我们绘制了1天收益率（左）和10天收益率（右）的1个月期货收益率与波动率回报率的回归，绘制在相同的x-y轴s刻度上。红色x的标记pairsof返回，而黑色线是最佳的fit线。有人观察到，10天的回报比1天的回报更大，因此波动性更大。然而，对于这两个持有期，期货回报的波动性小于相应的现货回报。准确地说，我们发现1天的现货回报率在-26.96%和50%之间变化，而10天的回报率在-39.76%和148%之间变化。06%（即持有期越长，回报越不稳定）。另一方面，对于1个月期，1天的回报率在-20.81%和35.83%之间变化，而10天的回报率在-36%之间变化。91%和88.89%（即期货收益率的波动性小于相应的现货收益率）。在图中，10天收益率的斜率略高于1天收益率。此外，对于1天的回报，s c atter图更紧密地绑定到表示aSee的最佳拟合线https://cfe.cboe.com/products/settlement_vix.aspxVIX衍生品结算程序。2016年1月下旬的波动趋势讨论见以下文章：https://tickertape.tdameritrade.com/options/2016/01/volatility-high-early-2016-42727.1-m期货回报-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0（a）1天退货1-m期货回报-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0（b）10天回报图4：1个月期货回报与。

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2022-6-24 06:30:11

即期波动率指数回报基于（a）1天回报和（b）10天回报。x轴表示即期VIX的收益率（以12月为单位），y轴表示1个月期的收益率（以小数为单位）。优于10天回报的观察值。然而，这种模式在通用电气公司并不适用。随着保持期的延长，R值或斜率系数中都没有可讨论的模式。这可以通过查看Ror斜率与保持期的曲线图来证明。我们在这里省略了这样一个曲线图，因为没有增加或减少预测能力（以R衡量）的明确模式，也没有复制任何到期合同曲线图中即期回报所需的平均值。（杠杆率可以通过斜率的倒数来衡量。）另一方面，如果我们确定持有期并增加合同到期日，我们会看到预测能力下降，斜率下降。（因此，增加必要的杠杆以复制现货。）我们在表2中展示了许多不同持有期（1、5、10和15天）的情况。在上半部分中，我们给出了期货收益率和现货收益率回归的斜率系数，在下半部分中，我们显示了R值。通过loo king在每一半的行中，人们注意到报告的统计数据有所下降。这证实了我们之前的观察，即短期期货比长期期货更能密切跟踪现货。事实上，在15天的时间内，结果表明，大约需要1.6倍的杠杆来跟踪1个月期的现货。7个月期货杠杆率为7.2倍。这些隐含杠杆值是通过计算斜率的倒数（分别为0.622和0.139）获得的。

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2022-6-24 06:30:15

7个月的未来杠杆相当可观，由于交易成本或交易所限制，在市场上可能不可行。第1天-周一2-周一3-周一4-周一5-周一6-周一7-MonSlope 1 0.604 0.428 0.321 0.267 0.226 0.200 0.1845 0.668 0.471 0.358 0.291 0.244 0.219 0.19910 0.641 0.424 0.320 0.254 0.206 0.185 0.16715 0.622 0.373 0.283 0.218 0.171 0.153 0.1390.792 0.759 0.718 0.688 0.648 5 0.615 0.5975 0.832 0.825 0.779 0.738 0.697 0.673 0.64910 0.750 0.750 0.691 0.630 0.562 0.540 0.51915 0.663 0.639 0.574 0.488 0.395 0.3760.352表2：不同持有期内期货收益率与波动率收益率回归的斜率和R的总和。尽管无法立即识别，但在图4中，与1天回报相比，10天回报的截距更为负值。这证实了我们已经讨论过的一个属性：相对于即期回报，未来表现不佳并亏损。更消极的拦截表明，这种表现在更长的时间内会恶化。为了更全面地了解这一点，在图5中，我们绘制了每个IOD（从1天到30天）许多不同持有量的1个月期（黑色）、3个月期（红色）和6个月期（蓝色）回报回归截距。很明显，随着等待期的延长，截距变得越来越负。此处报告的所有截距（以及之前的坡度）在1%显著水平上具有统计意义。因此，随着持有期的延长，存在并继续恶化统计上的显著差异。0 5 10 15 20 25 30-0.08-0.06-0.04-0.020.001-3个月-6月-图5所示的月份：根据交易日测量的持有期，从滚动期货头寸的回报回归到即期回报的截距。

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2022-6-24 06:30:18

从顶部到底部到m：6个月、3个月和1个月期货。3静态复制策略在本节中，我们将使用futures研究VIX的静态复制。考虑基于两种不同优化标准的投资组合。在第3.1节中，我们考虑通过优化投资组合的权重，以匹配培训期间VIX的实际美元价格。由于波动率指数的均值回复性质，最佳投资组合实际上是全部现金，因为这将使投资组合在整个样本期内大致接近波动率指数的平均水平。这促使优化投资组合以尽可能接近回报。随着标准的改变，性能得到了改善，但我们证明，很难用静态组合期货跟踪波动率指数。除非另有说明，培训或样本期为201年至2015年的5年期，测试或样本期外为2016年。3.1静态期货组合的物理复制在本节中，我们考虑静态头寸，包括1个或多个期货合约。我们所说的期货合约中的静态仓位，是指不断滚动到下一个期货合约中的仓位。例如，一个1个月期美元的静态投资将按如下方式进行。首先，购买当前1个月合同并持有至到期。当时头寸的价值可以用P表示。然后，人们使用该最终价值购买之前（例如，在时间0）的2个月期货，但现在是1个月期货。如果该期货价格表示为F，则无需购买新的1个月合约的市盈率，并持有该合约直至到期。该流程在每个到期日都会独立进行。滚动期间不会有现金提取/注入（例如。

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2022-6-24 06:30:21

以保持未来的单位数不变。）这使得头寸完全自我融资，尽管可实现期货单位的数量会随着时间的推移而变化（即，完全有可能P/F6=P/F）。从2011年1月3日开始的100美元的静态头寸将被称为第1个月期货合约的价值。可以类似地将2个月、3个月等值定义为始终保持2个月、3个月等合同中所有资金的头寸。j日的投资组合价值由Pjand表示，包括各种VIX期货合约。第j天的即期VIX值用Vj表示。期货中的预测将被选择为最小化平方误差之和：SSE=nXj=1（Vj- Gj），（3.1），其中n是样本期内的交易天数。设k为考虑中的期货合约数量，w：=（w，…，wk）为投资组合权重的重新估值向量。特别是，Wre表示货币市场账户的权重。接下来，用C表示∈ Rn×k+1a matr ix，列有货币市场账户和各种期货合约的历史价值。最后，用d表示∈ 包含VIX历史值的Rna载体。所有价格均来自样本集中，并在j=1的当天标准化为100美元。利用此符号和优化准则（3.1），我们导出以下约束最小二乘优化问题：minw∈Rk+1kCw- dks。t、 kXj=0wj=1。（3.2）非货币化意味着，从100美元开始的投资者将向JTH期货合约投资100美元，向货币市场账户投资100美元。为了简化后续分析，我们考虑包含以下四种合同中的任何一种的投资组合：1个月、2个月、6个月和7个月。

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2022-6-24 06:30:24

考虑到投资组合中的任何数量的期货，这自然会产生- 1=15（减去1，因为我们不使用期货来查看投资组合，因为这是微不足道的）不同的潜在投资组合。使用所有7种可用期货及其2- 1=127个子集将不成立，并模糊分析。这里选择的四份合同代表了波动率指数期货市场在样本期内和样本期外每天可用的最短和最长期限。优化结果如表3所示。如上所述，walways代表了货币市场账户的权重。订购所有其他WI，以便如果i<j，WIRE在比wj更接近期限的合同上显示权重。例如，在第6行中，我们正在考虑1个月和6个月期货的投资组合。因此，wis表示1个月期的权重，而Wre表示6个月期的权重。均方根误差（RMSE）具有方程式（3.1）中定义的标准定义。精确地说，RM SE：=rSSEn，（3.3），其中n=1258表示样本内周期，n=252表示样本外周期。我们选择100美元的初始资本，使我们能够将RMSE解释为样本内或样本外期间投资组合价值与现货价格的平均偏差百分比。RMSE值s相当大，表明样本内和样本外跟踪性能较差。为了标记性能，我们可以将RMSE值与VXX实现的值进行比较。VXX的样本内RMSE为72.05%，而样本外RMSE为21.97%。这些值表明，基于期货的投资组合在样本中的表现明显优于VXX。在样本之外，未来基础投资组合仅在少数情况下表现略好。备注3.1样品与。

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2022-6-24 06:30:27

VXX的样本不足主要是由于两个数据集的长度不同造成的。回想一下，VXX是波动率指数期货的无杠杆投资组合，我们在第2节中已经证明，该组合不会对波动率指数现货价格变动做出快速反应。因此，一旦VXX从VIX下跌，它就无法恢复到VIX的美元价值，并继续累积对SSE的增加。虽然性能比VXX好一些，但最终的策略与直觉不同。在所使用的各种期货合约中，所有投资组合几乎都是净多头。这在那些只有一个或两个期货的人身上尤为明显。例如，仅1个月的投资组合投资货币市场账户产生隔夜伦敦银行同业拆借利率。数据来自圣路易斯联邦储备银行（FRED）；看见https://fred.stlouisfed.org/series/USDONTD156N.only1个月期期货合约价值的15.2%和剩余的84.8%是现金。这是由于选择苏格兰和南方能源公司作为优化标准，并且我们根据实际美元价格衡量苏格兰和南方能源公司。这种组合使优化具有一定的前瞻性。它一次考虑了VIX将接管采样期的所有值。特别是，波动率指数（VIX）具有很高的回归性，因此，在这段时间内将投资组合价值保持在波动率指数（VIX）的平均水平是最好的选择。期货根本无法很好地跟踪现货，因此最好忽略任何峰值，并随时间保持不变。最后，在图6中，我们绘制了spot VIX、ET F VXX的时间序列，以及s个样本投资组合中的最优组合（跨所有por tfolio组件组合）。如上所述，最佳投资组合相对较低，持有其大部分价值（91.7%），在1个月和6个月的未来（8.3%）中几乎没有净长期投资。另一方面，VXX对sp ot价格变动的反应更为积极，但与spo t VIX的差异很快。

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2022-6-24 06:30:30

此后，该指数无法恢复，并继续从即期波动率指数下跌。到样本期结束时，VXX已降至3.44美元，样本期结束时，VXX已降至29.89美元。在这两个样本中，最优投资组合都没有以这种方式发散。相反，在这两个时期，它在波动率指数的平均水平上大致保持不变。这两种投资组合似乎都不是波动率指数交易的完美替代品，因此，我们将在下一节中考虑构建未来投资组合的替代方法，以追踪波动率指数。期货WWWWW IN RMSE out-RMSE1-m 0.848 0.152---30.724 23.3452-m 0.857 0.143---31.153 26.0746-m 0.811 0.189---31.026 28.8407-m 0.777 0.223---30.835 28.6161-m，2-m 0.932 2.114-2.046--27.741 19.5211-m，6-m 0.917 0.345-0.262--30.576 17.1971-m，7-m 0.840 0.137 0.022--30.722 23.8192-m，6-m 0.757-0.203 0.446--30.960 32.9712-m，7-m 0.669-0.252 0.582--30.627 33.5186米，7米0.492-2.146 2.654--29.801 27.0211-m、2-m、6-m 0.453 3.770-5.615 2.392-23.40 4 22.1741-m，2-m，7-m 0.341 3.745-5.095 2.009-22.41 4 24.7421-m、6-m、7-m 0.229 1.979-11.066 9.858-22.960 61.7132-m、6-m、7-m 0.359 2.449-11.032 9.224-27.437 37.2181-m、2-m、6-m、7-m 0.225 3.292-3.151-5.548 6.183 21.492 44.222表3：跟踪波动率指数美元价值的波动率指数期货投资组合的最优利润权重/绩效指标。Porfolios使用1个月、2个月、6个月和7个月合同的任何子集。3.2返回静态端口组合的复制第3.1节的结果激励考虑不同的跟踪标准。特别是，跟踪投资组合基本保持不变，几乎都是净多头波动率指数期货。此外，VXX存在大量差异，在长期交易期间无法恢复，但至少对VIX价格波动有一定影响。

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2022-6-24 06:30:33

我们的计算表明，VXX在跟踪波动率指数相对于我们投资组合的回报方面做得很好。如果我们计算回报的RMSE值（而不是物理价格），我们发现样本VXX的回报RMSE为4.63%，而我们的最佳组合（之前的1个月、6个月组合）的回报RMSE为7.51%。这些值在样本期外分别为4.55%和7.21%。由于VXX能够很好地跟踪收益，因此建议构建VIXfutures的组合，也可以跟踪收益。在上一节中，我们跟踪投资组合的目标是VIX的美元价值。如果在所有时间点都能实现这一点，那么投资组合必然会与样本中的VIX r e turnsSpotVXXPortfolio0 200 400 600 800 1000 1200050100150200250（a）相匹配。图6：即期VIX、ETF VXX和最佳VIX美元价值交易组合的时间序列。x轴表示交易日数，y轴表示价格。所有价格标准化为100美元。每天也一样。反之不必为真：当物理值仍随时间变化时，回报可能接近VIX回报。上述段落清楚地证明了这一点，VXX比我们的投资组合更接近回报，但VIX的实际价格比跟踪投资组合更差。尽管如此，在本节中，我们将把回报匹配作为构建投资组合的标准。优化问题在数学上与第3.1节：minw中所述相同∈Rk+1kBw- yks。t、 kXj=0wj=1。（3.4）矩阵B以列的形式包含货币市场账户的收益和考虑中的各种未来合同。向量y包含spot VIX的历史记录。

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2022-6-24 06:30:36

最终样本内和样本外绩效基于（3.3）中定义的RMSE，但这是在投资组合与现场的回报上完成的。优化结果如表4所示。通过考虑这一新标准，我们获得了净多头且杠杆化的投资组合。第2节的回归分析表明，情况就是这样。事实上，对于所有15个投资组合，货币市场账户上的权重w都是负数，这表明需要借款。例如，6个月/7个月的投资组合需要大约3倍的杠杆率来跟踪波动率指数回报（它从银行借款的价值约为其价值的2倍）。这在仅6个月的投资组合和仅7个月的投资组合中也是如此。对于这一跟踪标准，几乎所有投资组合在样本内（RMSE=4.63%）和样本外（RMSE=4.55%）都优于VXX。例外情况是仅6个月、仅7个月和6个月/7个月的投资组合。这两个观察结果（极端杠杆和不良跟踪绩效）与我们之前的讨论相呼应，即长期合同与短期合同对现货波动的反应不同。就物理公共关系复制而言，bo th VXX和优化的产品组合继续表现不佳，但这不是本节的目标。相反，我们关心的是返回应用程序。事实上，优化后的投资组合对波动率波动更为活跃，并且不再在时间段内保持不变，RMSE计算表明投资组合正在跟踪波动率回报率。然而，由于杠杆作用，投资组合的价值已经侵蚀到目前为止，无论是样本内还是样本外，它都变成了负值！杠杆作用加上波动率指数期货即使在现货不变的情况下也会亏损，这导致了价值的大幅损失。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:30:39

有趣的是，这个投资组合的平均值并不是很高（只有大约1.24倍）。负的投资组合价值并不常见，但在有杠杆作用的情况下也会出现。作为一个简单的例子，假设一个投资者从100美元开始，在RMSE out-RMSE1-m中的资产未来WWWWW中构建一个3倍的杠杆投资-0.317 1.317--3.620 3.4912-m-0.751 1.751--3.929 3.6856米-2.018 3.018----4.926 4.6597-m-2.178 3.178----5.020 4.8321-m，2-m-0.499 0.921 0.578--3.532 3.4301米，6米-0.542 1.210 0.333--3.603 3.4921米，7米-0.503 1.237 0.265--3.610 3.4912-m，6-m-0.445 2.033 -0.588--3.903 3.6072米，7米-0.380 2.050 -0.669--3.896 3.5986米，7米-1.989 3.391 -0.401--4.925 4.6451米、2米、6米-0.319 0.905 0.769 -0.355-3.522 3.4001-m、2-m、7-m-0.244 0.904 0.810 -0.470-3.515 3.3961米、6米、7米-0.463 1.215 1.269 -1.021-3.592 3.4942-m、6-m、7-m-0.379 2.040 0.193 -0.854-3.896 3.6001-m、2-m、6-m、7-m-0.237 0.910 0.770 0.594 -1.03 6 3.511 3.405表4：跟踪波动率指数回报的波动率指数期货投资组合的最优投资组合权重/绩效指标。Porfolios使用1个月、2个月、6个月和7个月合同的任何子集。报告的RMSE值用于投资组合的回报。目前定价为30美元。因此，她以5%的固定利率（年综合利率）从银行借了200美元，并购买了10套资产。假设1年后，资产价值暴跌至20美元。该投资者的10个单位总计价值200美元，但她欠银行的债务为200·1.05=210美元。因此，她的投资组合净值为，-这意味着，仅仅为了清算投资组合，就必须注入10美元的现金。这里的跟踪订单也出现了类似的情况（虽然没有那么极端）。

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2022-6-24 06:30:42

杠杆作用与波动率指数期货的低回报相结合，将投资组合推至负值。从本节和前一节来看，很明显，如果要通过期货组合跟踪波动率指数，就需要动态策略。直接优化未对VIX波动作出反应的收益率投资组合的价格轨迹，并直接优化因过度杠杆而产生负值的收益率投资组合的回报率轨迹。在下一节中，我们将看到一个模型iven and Dynamic strategy，它似乎可以克服这两个陷阱。样本中的SpotVXXPortfolioZero0 200 400 600 800 1000 1200050100150200250（a）图7：spot VIX、ETF VXX和最优VIX回报组合的时间序列。x轴表示交易日数，y轴表示价格。所有价格标准化为100美元起价。4最佳动态复制在本节中，我们制定了复制指数收益的最佳策略。该模型建立在指数、指数期货和跟踪por tfolio的离散时间动力学基础上。通过在disc rete time中工作，我们将能够捕获期货市场中存在的每日按市价计价功能。然后，我们将找到最佳动态权重，以便在两个期货合约之间分配资本，从而复制指数的每日回报。4.1期货投资组合和价格动态为了维持期货头寸，投资者向结算机构提供一定的风险敞口fr操作，例如20%的美元价值保证金。该金额被称为初始保证金，而在结算机构持有的账户被称为保证金账户。

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2022-6-24 06:30:45

保证金账户标记为市场，这意味着如果我们表示成熟度Ti的期货价格，如在第j天观察到的byf（i）j，保证金账户收到的现金流等于f（i）j- f（i）j-1对于每个期货单位，投资者在j日结束时做多。假设投资者在交易期货时没有头寸限制。因此，任何投资组合权重（投资组合财富的分数）都有可能达到任何正值或负值。投资组合权重的大小表示该组合中杠杆的程度。此外，如果这些现金流累积到实质负值，保证金账户将低于一个称为维持保证金的水平。在这种情况下，投资者收到追加保证金通知，必须将账户资金补充至初始保证金。该账户将以无风险利率支付抵押品。在我们的离散时间模式l中，为了简单起见，我们假设全部曝光量保持在保证金上。这很简单，因为没有必要将追加保证金或维持保证金纳入模型中。每个时间步都是一天，我们用t、在这里，t=1/252，因为每年有n=252个交易日。因此，期货合约按照时间步长按市值计价。因此，投资者必须根据前一天价格产生的信息，对第二天的持股做出所有决定，并且日内持仓保持不变。投资者持股的价值由离散时间过程{Xj}表示∞j=0，其中Xis是初始财富。进一步补充，有N份期货合约可供交易，到期日T<TN.那么，在第i个到期日（i=1，…，N）持有部分财富w（i）j的投资组合将拥有w（i）jXjf（i）jmany个到期日j的期货合约单位。

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2022-6-24 06:30:48

让连续复合无风险利率为r，使1美元增长为ert第二天就开始。从上面可以看出，如果期货合约的投资组合值Xjon day j，那么它值xj+1=Xjert+NXi=1w（i）jXjf（i）jhf（i）j+1- f（i）ji，j≥ 第j+1天为0（4.1）。因此，投资组合的每日回报率由xj+1Xj给出- 1=ert型- 1+NXi=1w（i）j“f（i）j+1f（i）j- 1#, j≥ 0.（4.2）这是与交易所共同配售的无风险回报与投资者持有的各种期货合约的加权平均每日回报之和。投资者跟踪的指数值由离散时间随机过程{Sj}表示∞j=0。假设指数满足以下等式（动机和讨论见下文）：Sj+1- Sj=u（θ- Sj）t+g（jt、 Sj）√tZj+1，j≥ 0，（4.3）其中{Zj}∞j=1是历史al测度P下独立且分布相同的标准正态随机变量。因此，指数的平均回报率等于j+1Sj- 1 =uθtSj公司- ut+g（jt、 Sj）Sj√tZj+1，j≥ 0。（4.4）这是由c连续时间平均值恢复模型DST=u（θ- St）dt+g（t，St）dZt，（4.5），其中u，θ为正参数，g（·，·）为一般局部波动函数，zt为历史测度P下的标准布朗运动（SBM）。漂移u（θ-当St<θ（对应St>θ）时，St为正（对应负），因此St趋于上升（对应下降）。这意味着Stmean返回θ。通过用一个特定的函数实例化g（·，·），可以得到许多著名的均值回复模型。例如，当g（t，St）=σ时，该模型称为Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型（Uhlenbeck和Ornstein（1930）），当g（t，St）=σ时√该模型被称为Cox-Ingerso-llRoss（CIR）模型（Cox et al.（1985））。

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2022-6-24 06:30:51

以波动性期货为例，Gr–ubichler和Longsta off（1996）以及Zhang和Zhu（2006）通过CIR过程对标准普尔500波动性指数（VIX）进行建模，并提供了期货价格的公式。期货价格是在风险中性度量下计算的，但对于跟踪和交易，我们还需要考虑历史度量下的动态。因此，投资者的最佳交易策略取决于这两个指标的参数。我们进一步假设，在风险中性指标Q下，指数保持相同的均值回复特性，但参数不同。即，dSt=eu（eθ- St）dt+g（t，St）deZt，（4.6），其中eu，eθ>0，g（·，·）是与上述相同的局部波动函数，是风险中性度量下的SBM。我们用λ（t，St）表示满足dZt=dZt的风险市场价格- λ（t，St）dt使λ（t，St）=u（θ-St）- eu（eθ- St）g（t，St）。（4.7）对于风险溢价的m，这表示指数在两个衡量指标下的均值变化特性。在该模型下，到期日为T的期货合约的价格为：=f（T，S；T）=EQ[ST | ST=S]=（S-eθ）e-eu（T-t） +eθ，（4.8）只要函数g（·，·）满足可积条件eq“ZTe2euξg（ξ，Sξ）dξ<∞, T、（4.9）根据伊藤公式，Fttar的动力学由DFTT=dSte给出-eu（T-t） +eue-eu（T-t）（St-eθ）dt（4.10）=e-eu（T-t） g（t，St）deZt（4.11）=e-eu（T-t） g（t，St）（λ（t，St）dt+dZt）。（4.12）方程（4.11）表示Q下的动态，而（4.12）反映P下的动态。在（4.8）之后，我们用离散时间指数j，asf（i）j=eθ+（Sj）来表示期货价格-eθ）e-eu（Ti-jt），则，j≤Ti公司t、（4.13）这里，Ti是第i个期货合约的到期日（以年为单位），是t、上述内容已定义j≤Ti公司t、为了简化计算，我们假设所有正在考虑的合同都在时间j=0之前生效。

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2022-6-24 06:30:54

对于波动率指数期货，如果N≤ 7且交易期限小于或等于6个月。在gene-ral的情况下，我们也可以简单地更新可用期货的集合，并且仍然保持所有j≤Ti公司t、当我们改变度量时，这是一个标准属性：漂移改变，但波动性保持不变。为了记下每个期货合约的回报，我们将（4.12）离散化为getf（i）j+1- f（i）j=e-eu（Ti-jt） g（jt、 Sj）λjt型+√tZj+1, j≥ 0，（4.14），其中λj：=λ（j，Sj）=u（θ-Sj）- eu（eθ- Sj）g（jt、 Sj），j≥ 0（4.15）是风险的离散时间市场价格。让第i份期货合约的到期时间（年）在第j天用D（i）j表示：=Ti-jt、因此，第i份期货合约的每日回报率为f（i）j+1f（i）j- 1=e-euD（i）jg（jt、 Sj）eθ+Sj公司-eθe-euD（i）jλjt型+√tZj+1=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθλjt型+√tZj+1= B（i）jλjt型+√tZj+1, j≥ 0，（4.16），其中我们定义了b（i）j：=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ，j≥ 0。（4.17）将（4.16）代入（4.2），我们现在可以得到每个时间步j的投资组合回报率方程：Xj+1Xj- 1=ert型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+√tNXi=1w（i）jB（i）jZj+1，j≥ 0。（4.18）4.2最优跟踪问题我们现在讨论波动率指数期货的动态组合，旨在跟踪波动率指数的每日收益。每天j，投资者都会寻求将投资组合回报与倍数β的有条件预期平方偏差最小化∈ 指数回报率的R。minw（i）j，i=1，。。。，NEP“Xj+1Xj- βSj+1Sj+β- 1.Fj#，（4.19），其中{Fj}∞j=0是表示第j天观察到的价格产生的信息的离散时间过滤。杠杆系数允许我们考虑更一般的目标，尽管β=1的值在第2节和第3节中特别重要。数量β- 1来源于优化问题（4.19）中的objectivecriterion是一个有质量的回报差异。

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2022-6-24 06:30:57

即Xj+1Xj- 1.- βSj+1Sj- 1.=Xj+1Xj- βSj+1Sj+β- 1、此外，预期是通过历史指标P进行衡量的。我们之所以做出这种选择，是因为投资者根据历史（而非风险中性）指标实现了现金流。风险中性度量仅用于记录离散时间期货价格方程。ETN，VXX是一种交易所交易产品，可将财富动态分配给两个未来合约。再平衡基于波动率指数期货的滚动周期，并在每个周期中重复。特别是，在周期开始时，VXX将其全部财富持有在1个月期货中，并通过每日再平衡，减少其持有的1个月期货，购买2个月期货。到1个月期货到期时，VXX已经卖出了1个月期货的全部头寸，并持有2个月期货（到期时为1个月期货）100%的财富。VXX在一个月内减少持有量是线性的和确定性的。为了降低优化问题（4.19）的复杂性并便于与VXX进行比较，我们考虑了一种特殊情况，其中N=2，并且增加了一个条件，即每天j，我们必须有w（i）j+w（i）j=1。我们不要求对重量有任何其他限制。具体而言，我们不会对权重的符号或大小设置任何限制，通常我们会发现，根据优化问题（4.19），需要在一份期货合约中利用位置来优化跟踪波动率。请注意，I和I是优化问题的参数，而不是优化变量本身。

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2022-6-24 06:31:00

它们是通用的，我们将在NumericalImplementation n中考虑几个不同的对。以下命题给出了（4.19）在我们特定情况下的完整解决方案：在离散时间模型（4.3）下的命题4.1，指数S的投资组合为n=2个未来，对到期日为Ti6=tigen的S进行拉回，通过（4.1），最优策略（w（i）*j、 w（一）*j）与优化问题（4.19）相关的是W（i）*j=-αα+ννα+ν，w（i）j=1-w（一）*j、具有最佳目标函数值（να- να）α+ν，其中α：=ert型- 1 + tB（i）jλj- βut型θSj- 1., (4.20)α:= tλjB（i）j- B（i）j, (4.21)ν:=√t型B（i）j-βg（jt、 Sj）Sj, (4.22)ν:=√t型B（i）j- B（i）j. （4.23）证明。结合（4.4）和（4.18），我们计算投资组合回报与指数回报目标倍数之间的差异：Xj+1Xj- 1.- βSj+1Sj- 1.= 呃t型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+√tNXi=1w（i）jB（i）jZj+1- βut型θSj- 1.-βg（jt、 Sj）Sj√tZj+1。这可以用φ+φZj+1的形式表示，其中φ：=ert型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj- βut型θSj- 1.,和φ：=√tNXi=1w（i）jB（i）j-βg（jt、 Sj）Sj√t、 φ和φ都是s-tochastic，依赖于j、Sj以及其他模型参数。然而，它们对于Fj都是可测量的。利用这一点以及Zj+1独立于Fj的事实，我们得出结论，在Fj条件下，收益差为正态分布的均值φ和方差φ，其条件二阶矩由t型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+βut型1.-θSj!+√tNXi=1w（i）jB（i）j-βg（jt、 Sj）Sj√t！。现在，我们设置N=2和w≡ w（i）j=1的w（i）jso- w、然后，优化问题（4.19）与Inw等价∈R（α+αw）+（ν+νw），（4.24），其中α、αν和ν在（4.20）–（4.23）中定义。

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2022-6-24 06:31:03

与φ和φ一样，这四个系数都是随机的，依赖于j、sj以及模型和期货合约的参数，但我们在这里抑制了依赖性。线性函数的平方总是共凸的，因为共凸函数的和是凸的，所以整体优化问题是凸的。因此，当可解时，一阶条件是全局最优的必要条件和有效条件，由2（α+αw）α+2（ν+νw）ν=0给出，从而给出最优策略w*= -αα+ ννα+ ν.为了使这个临界点存在，我们需要α6=0或ν6=0。只要B（i）j6=B（i）j，这两种情况都是如此，这相当于tog（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ6=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ<==> eeuD（i）j6=eeuD（i）j<==> D（i）j6=D（i）j。该最终条件与期货合约相等，且具有不同的到期时间，此处假设。最后，直接替换w*在目标函数中，（α+αw）+（ν+νw），得到最佳目标函数值。作为上述命题的推论，我们可以推导出一个索引值sj，以便存在零预期平方误差。推论4.2.1在离散时间模型（4.3）下，对于投资组合为N=2未来的指数S，其到期日Ti6=Tigiven by（4.1），优化问题的目标函数（4.19）的最佳值为0，当且仅当sj=βeueθβeu+’r，（4.25），其中‘r：=（ert型- 1)/t、证明。使用命题4.1中的符号，当且仅当αα=νν时，优化问题（4.19）的最佳目标函数值为0。

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