参数在（5.7）中设置。6指数效用最大化在本节中，我们研究当U（y）=-e-γy，γ>0，此后称为指数效用最大化问题。我们假设由Poisson-arr-ivals模型（2.5）描述的QUI来解决这个问题。我们在定理6.2.6.1主要结果中总结了关键结果。让我们从陈述一些假设开始，假设这些假设在接下来的整个分析中都成立。注意推论4.8解决了连续到达模型（2.4）下的指数效用最大化问题，以及其他模型假设。假设6.1。效用函数u由u（y）=-e-γy，其中γ>0。条件概率向量是常数向量，即Pt≡ p∈ （0，1）对于所有t∈ [0，T）。泊松到达模型（2.5）给出的bet到达过程Qu，iis。强度函数λiis由（2.10）给出，即λi（pi，ui）=κe-β（ui-pi），其中κ，β>0。如前一节所述，由于集合Ai的条件概率被假定为固定常数pi，为了简化符号，我们将强度函数写成λi（ui）表示alli∈ Nn。在假设6.1中，当Xt=x、Pt=p和Qt=q时，庄家的最终财富为YUT=x+nXi=1ZTtuitdNu，它-nXi=1qi+ZTtdNu，它！人工智能！。解决随机控制问题的标准方法是首先建立验证定理，用适当的边界条件求解相关的HJB PDE，并验证验证定理中的所有条件都得到满足。我们之前完全遵循了这个标准方法；参见定理3.1和推论5.5。很明显，理论3.1中得出的一般验证理论也适用于我们在本节中考虑的问题，运算符为（3.2），M=0。

关于带跳跃的标准随机控制理论，请参考Oksendal和Sulem（2005）[第3章]。与指数效用最大化问题相关的HJB是tV（t，x，p，q）+nXi=1supui（λi（ui）[V（t，x+ui，p，q+ei）-V（t，x，p，q）]）=0，（6.1），边界条件为V（t，x，p，q）=-e-γx·a（q），（6.2），其中ei∈ NNI是第i个分量为1，其他分量为0的向量，anda（q）：=E expγnXi=1qiAi！。为了更好地呈现理论6.2中的解，我们定义了常数c、bian和hibyc：=βγ、bi：=κeβpi·γβ+γ·ββ + γβγ和hi：=cbi，i∈ Nn，（6.3）和函数d（q）和αk（q），k=0，1，2，····，byd（q）：=[a（q）]-c、 α（q）：=d（q），αk（q）：=k！Xj公司∈Nn：| j |=knYi=1hjii！·d（q+j），其中j=（j，…，jn）∈ Nnand | j |：：=j+…+jn。例如，当k=1时，我们有α（q）：=Pni=1hi·d（q+ei）。定理6.2。假设6.1成立。问题（2.12）的值函数V为g i ven byV（t，x，p，q）=-e-γx【G（t，q）】-1/c，（6.4），其中函数G由G（T，q）=d（q），G（T，q）定义=∞Xk=0αk（q）·（T- t） k，t∈ （6.5）最优价格过程u*= （u）*s） s∈问题（2.12）的[t，t]由UI给出，*s=-γ测井β·H（s，Q*s） （β+γ）·H（s，Q*s+ei）, 我∈ Nn，（6.6），其中H（t，q）：=[G（t，q）]-1/c.证明。由于效用函数是指数形式，我们得出以下AnsatzV（t，x，p，q）=-e-γx·H（t，q）。将Ansatz插入HJB方程（6.1）和边界条件（6.2），我们得到tH（t，q）+nXi=1infuiλi（ui）[e-γuiH（t，q+ei）- H（t，q）]= 0，H（T，q）=a（q）。（6.7）解决（6.7）中的最大问题*i=-γ测井β·H（t，q）（β+γ）·H（t，q+ei）> 0，（6.8），证明了（6.6）中的最优价格过程。接下来，替代u*iin（6.8）返回到（6.7），我们得到tH（t，q）-nXi=1bi·[H（t，q）]c+1[H（t，q+ei）]c=0，（6.9），其中常数bian和c由（6.3）定义。现在让G（t，q）：=[H（t，q）]-c

我们建立G的方程如下tG（t，q）+nXi=1hi·G（t，q+ei）=0，G（t，q）=d（q）。（6.10），其中hi=（6.3）中的cbias。引理6.3的结果验证了（6.5）给出的G解（6.10），因此问题（2.12）的值函数由（6.4）给出。引理6.3。我们有1个。x 7系列→P∞k=0αk（q）xkis随半径收敛+∞, 因此，（6.5）给出的G（t，q）是很好的定义，实际上是解析的。（6.5）给出的G（t，q）是（6.10）的解。我们在在线附录中对Lemma6.3进行了证明，并给出了一个技术推论，该推论处理了当庄家设定下注数量上限时的场景Q.6.2敏感性分析在本小节中，我们重点分析了价值函数的敏感性和模型参数的最优策略。根据定理6.2，我们得到五、t=-e-γx【G（t，q）】-1/c-1.∞Xk=1kαk（q）（T-t） k级-1!< 0,五、x=γe-γx【G（t，q）】-1/c>0，以及d（q）qj=-ca（q）-c-1E“γ1AjnXi=1qiAi#=>αk（q）qj<0=>五、qj<0，这与前一节中的结果一致；参见备注5.2、对滚动5.3的评论和提案5.4。在推导定理6.2时，我们假设强度函数λiis由（2.10）给出，即λi（pi，ui）=κe-β（ui-pi），其中β是关键参数，而κ是merelya比例因子。实际上，κa按比例影响常数bian和hip，我们很容易获得五/κ>0，如预期。然而，β对价值函数的影响相当复杂，没有可用的分析结果，注意到βa同时影响c和G。

我们推测，庄家更多地从较小的β中获利，因为β越小，预期的下注数量就越多。5 10 15 200.50.550.60.650.70.750.80.850.90.910.920.930.940.950.960.970.980.99u1，*u2，*H（t，q）0 1 2 3 4 5 6 7 8 10时间t-t0.450.50.550.60.650.70.750.80.850.9u1，*u2，*图5：左面板绘制β对最优价格策略u1的影响，*（红色实线）和u2，*（蓝色虚线）和函数H（t，q）（黑色虚线）。左y轴表示最优价格，右y轴表示函数H。右面板绘制剩余时间T的影响- 关于最优价格策略u1，*（红色实线）和u2，*（蓝色虚线）。除β（左）或T以外的所有参数- t（右）的设置如（6.11）所示。为了继续研究，我们考虑第5.5节中的硬币示例，并表示P（a）=P（Heads）=^P∈ （0，1）和P（A）=P（Tails）=^P。我们设置基本参数如下：^P=0.6，q=q=0，T- t=1，β=10，κ=1，γ=2。（6.11）在敏感性分析中，我们将允许研究的参数围绕其基准值变化，同时确定（6.11）中所有其他参数的值。我们首先研究βa如何影响收受赌注者的精神策略，这反过来有助于回答β对价值函数的影响。我们认为，博彩公司控制价格（强度）以吸引更多赌注并平衡账面，这是理解以下结果的关键。我们绘制了最优价格策略图（u1，*, u2，*) β上的函数H（t，q）∈ 图5左侧面板中的[5，20]。随着β的增加，对结果A和A的预期下注数量都会增加，为了吸引更多的投注者，博彩公司会降低A和A的价格，如图5所示。

召回V=-e-γxH（t，q），H是β的增函数这一事实意味着五/β<0，这意味着赌注金额的减少对庄家不利，因此验证了我们之前的猜测。Wenext研究剩余时间T的影响- 在图5的右面板中获取结果。当庄家有足够的时间（即大T-t） 为了平衡他的账目，他向投注者收取较低的保证金（通常指果汁、维格、切、拿等），但当当前时间t接近结束时间t时，庄家会收取很高的保证金，试图保持盈利。回想（6.11）中的p=^p=0.6和p=0.4，图5显示了在远端t- t=10时，庄家收取大约10%的保证金，但当t接近t时，保证金会急剧增加到30%或更多。我们还观察到，与结果A相比，增加的规模对结果更为重要，这是因为小概率的结果会给收受赌注者带来更高的风险。在本节中，庄家是具有指数效用函数u（y）=-e-γy，其中γ>0是风险规避参数。在下一项研究中，我们将研究收受赌注者的风险厌恶γ如何影响最优策略u*和值函数V。既然你和*V也依赖于γ，通过函数H或G，分析灵敏度结果不可用。然后，我们借助数值分析，绘制出u*V是图6中γ的函数。在所有其他模型参数固定的情况下，我们观察到，收受赌注者的价值函数随着γ的增加而增加，即，风险厌恶程度较高的收受赌注者在遵循最优策略时会获得更高的预期效用。

随着风险规避p参数γ的增加，簿记商变得更加规避风险，并在更高的水平上设定两种结果的最优价格。0 1 2 3 4 50.50.60.70.80.91最优价格-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10价值函数u1、*u2、*V图6：该图绘制了风险规避参数γ对最优价格策略u1的影响，*（红色实线）和u2，*（蓝色虚线）和值函数V（黑色虚线）。左y轴表示最优价格u*右y轴代表值函数V。除γ以外的所有参数均按（6.11）a和x=1进行设置。我们还对概率^p（头的概率）和投资q（头的下注数量）进行敏感性分析，结果如图7所示。主要发现总结如下：（i）当^p=平仓时，庄家会提高价格u1，*根据结果A，同时降低价格u2，*关于结果A。请注意，当NP=p=0.5时，两种结果的最优价格是相同的。（ii）保持库存qon结果恒定（我们设置q=5），最优价格u1，*结果是其库存Q的递增函数，而最优价格u2，*结果Ais是a的库存q的递减函数，这与图3.7结论左面板中的结果一致。在本文中，我们介绍了连续时间博彩市场的一般框架。庄家在体育赛事上下注，并在最后时间T支付中奖赌注。

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1概率0.10.20.30.40.50.60.70.80.91最优价格u1、*u2、*0 1 2 3 4 5 6 7 8库存00.10.20.30.40.50.70.80.91最优价格u1、*u2、*图7：该图在左面板中绘制了概率^p（头的概率）的影响，在右面板中绘制了库存q的影响（对“头”的下注次数）。面板，关于最优价格策略u1，*（红色实线）和u2，*（蓝色虚线）。除左面板中的^pas a变量和右面板中的qas a变量和q=5外，所有参数均按照（6.11）进行设置。一组结果的条件概率是外生的，可能是随机的，对一组结果的下注可能以连续速率或状态相关的泊松过程的形式到达。庄家动态控制（更新）赌注的价格。反过来，价格让博彩公司受挫，影响到投注到达的速度或强度。收受赌注者试图设定价格，以使其预期的终端财富或终端财富的预期效用最大化。我们能够在许多不同的环境中获得此类最优博彩问题的显式解或特征。为了解决最优收受赌注问题（2.12），我们考虑了收受赌注者能力函数U的两种设置：风险中性设置和指数效用（风险规避）设置。在本文的结尾，我们评论了当庄家使用幂效用函数规避风险时所面临的挑战。让我们通过假设4.1成立时的一个简单示例（即，在连续到达模型（2.4）和恒定条件概率下），说明在功率效用设置U（y）=αyα（其中α<1，α6=0）下的主要困难。假设（Ai）i=1,2，···，n用P（Ai）=pi构成样本空间的分区∈ （0，1），速率函数λ由（2.6）给出。

让我们进一步将时间无关常数策略限制为仅u=（u，u，···，un）∈ [0，1]n.对于任何策略u，博彩公司的最终财富YuT由YuT=x给出-Pni=1qiAi+（T-t）Pni=1pi（1-ui）1-圆周率-Pni=1pi（1-ui）ui（1-pi）Ai. 最大化Et，x，p，q[U（YuT）]可以得到以下n非线性方程组：（1）- ui）/ui·Yui公司α-1pi=Xj6=iYuj公司α-1pj，其中，当Ai发生在t时，Yui为博彩公司的利润（即，Yui=YuT（ω），其中ω∈ Ai）。注意，YUID依赖于状态变量和所有结果的控制，即Yui=Yui（t，x，p，qi，u）。我们感谢一位匿名仲裁人激励我们讨论在电力设施环境中面临的这些挑战。因此，上述非线性系统是完全耦合的，而相比之下，指数效用情况下的一阶条件会导致解耦系统和u*可以显式获取ican；见（6.7）和（6.8）。当我们在更复杂的情况下分析HJB方程时，会出现完全相同的问题，这使我们无法以可分离的形式猜测ans atz。在数值方面，相应的HJB方程至少是（5+1）维的（t，x，p，p，q，q）。由于维数的限制，在如此高的维度上以任何形式的精度求解HJBequation是极其困难的。此外，即使HJB方程可以用数值方法求解，它实际上是最优控制，而不是追求的值函数。从数值求解的值函数导出最优控制比数值求解HJB方程更具挑战性，因为控制是根据值函数的导数编写的。致谢作者感谢两位匿名推荐人，编辑Ste ffen Rebennack、AgostinoCapponi、Xu ed on g He和Steven Kou，他们提出了宝贵的意见和建议。

我们还感谢罗格斯大学和密歇根大学的研讨会参与者以及组织者（Kim Weston、Kasper Larsen、Erhan Bayraktar和Asaf Cohen）的意大利医院。本·祖阿肯获得了康涅狄格大学的创业补助金。参考文献Adrian，T.、Capponi，A.、Vogt，E.和Zh an g，H.（2020）。有夜间库存成本的日间做市。《金融市场杂志》，50:100564。Avellanda，M.和Stoikov，S.（2008）。限额指令簿中的高频交易。QuantitativeFinance，8（3）：217–224。Bayraktar，E.和Ludkovski，M.（2014）。在控制强度的限额订单簿中进行清算。数学金融，24（4）：627–650。Bayraktar，E.和Munk，A.（2017年）。高滚轴冲击：一个大型广义的汽油下注博弈模型。市场微观结构与流动性，3（01）：1750006。Bo，L.和Capponi，A.（2016）。在传染风险下对信用衍生品投资组合进行定期投资。数学金融，26（4）：785–834。Bo，L.，Cap poni，A.，和Chen，P.-C.（2019年）。具有传播敏感性的信贷组合选择。数学金融，29（1）：137–173。Bozóki，S.、Csató，L.和Temesi，J.（2016年）。不完全成对比较矩阵在顶级网球运动员排名中的应用。《欧洲运筹学杂志》，248（1）：211–218。Capponi，A.和Figueroa-López，J.E.（2014）。具有可违约证券和制度切换的动态投资组合优化。数学金融，24（2）：207–249。Capponi，A.、Menkveld，A.J.和Zhang，H.（2019年）。小市场中的大订单：内生流动性供应的最优执行。可访问SSRNhttps://ssrn。com/abstract=3326313。Cartea，'A。和Jaimungal，S.（2015）。具有限制和m市场订单的最优执行。QuantitativeFinance，15（8）：1279–1291。Divos，P.、R ollin，S.D.B.、Bihari，Z.和Aste，T.（2018年）。

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对于足够大的k，我们有|αk（q）|≤kXj公司∈Nn：| j |=kbk=k！k+n- 1n- 1.黑色~k千牛-1（n- 1)!bk<knk！黑色~黑色-n（k- n） 哦！bn，这证明了第一个结果。为了显示第二个结果，我们得到tG（t，q）=-∞Xk=1k·αk（q）（T-t） k级-1= -∞Xk=0（k+1）αk+1（q）·（T- t） k，nXi=1hiG（t，q+ei）=∞Xk=0nXi=1hi·αk（q+ei）！（T- t） k.因为我们有nXi=1hi·αk（q+ei）=nXi=1hik！Xj公司∈Nn：| j |=khj。hjnn公司· d（q+ei+j）=k！nXi=1Xj∈Nn：| j |=khi·hj。hjnn公司· d（q+ei+j）=k！Xj′型∈Nn：| j′|=k+1hj′。hj′nn· d（q+j′）=（k+1）αk+1（q），第二个结果遵循s。在第6节中，我们不对庄家的下注数量施加任何上限。然而，如果收受赌注者为每个下注事件设定上限，我们需要修改OREM 6.2中的结果，如下推论所述。推论假设6.1成立。假设在结果集上下注的总数最多为mi，其中i∈ Nn。问题（2.12）的值函数由v（t，x，p，q）=-e-γxhˇG（t，q）i-1/c，i其中，G定义为：G（T，q）=d（q），G（T，q）=m|-|q | Xk=0ˇαk（q）·（T-t） k，t∈ [0，T），函数ˋαk（q）由ˋα（q）：=d（q），ˋαk（q）：=k！Xj给出∈I（k，q）nYi=1hjiid（q+j），对于所有k=1，2，···，Pni=1miandI（k，q）：={j∈ Nn：| j |=k，q+j≤ m：=（m，m，···，mn）}。最优价格过程u*= （u）*s） s∈问题（2.12）的[t，t]由UI给出，*s=-γlog“β·H（s，Q*s） （β+γ）·H（s，Q*s+ei）#，就我而言∈ I（q），其中ˇH（t，q）：=[ˇG（t，q）]-1/坎迪（q）：={i：气<米} Nn={1，…，n}。（A.1）证明。在额外的上界假设下，如果总数小于mi，则对ai的下注将根据强度λi（ui）的泊松过程到达；否则为0。请注意，所有方程式（6.1）、（6.7）、（6.9）和（6.10）仍然有效，但方程式中指数i的总和将限于（A.1）定义的集合i（q）。所有结果都符合定理6.2的自然规律。二