如果该原型模型具有1/Lwpand1/Kwp的公共级别，则通常通过使用替代技术对应不同级别的r来实现。这意味着，这两种技术在此类解决方案中的相对价格通常会有所不同。相反，如果这两种技术导致1/Lwpand r的两个共同水平，那么它们通常在相对租金11/Kwpand相对价格21/pp上有所不同。这不包括Sraffa定义的重新切换（1960，第90页）。1/LWPARD1/Kwpare的共同水平与r的相同水平相对应只是侥幸实现的。正如Bruno等人（1966年）所言，在“系统中只有一种资本货物”的情况下，不可能进行重新切换。“他们写道：如果所有活动都使用相同的资本货物，我们能得到重新切换吗？这个问题的答案是否定的，我们有以下定理：定理：在两部门经济中，有许多生产这两种货物的替代独立技术，如果系统中只有一种资本货物，就不会发生重新切换。（同上，第536页，原文强调。）然而，这一论点被证明具有误导性，因为在多个资本货物的一般情况下，也会出现无法重新切换的情况。Sraffa（1960，第90页）自己也意识到，当输入的数量等于（或低于）替代技术的数量时，会产生完全确定性（或过度确定性），因此不可能进行重新切换。

正如Stiglitz（1973、1974）所认识到的，这意味着当替代技术无限大时，就不可能进行重新切换，就像在输入输出系数连续谱的新古典主义情况下一样。27使用这一2部门、2投入（1劳动力+1资本货物）的所有后续作者，2-技术原型模型，其中部门1生产消费品，但不向部门2提供投入（萨缪尔森，1962年，第205页，希克斯，1965年，第139-59页；布鲁诺等人，1966年，第536页；加雷格纳尼，1970年，第408页；斯帕文塔，1970年，1973年；哈里斯，1973年；萨托，1974年；布朗，1974年，1980年；扎雷姆布卡，1975年；格拉姆，1976年），克服了由于“完全确定性”通过引入类似于Sraffa（1960年，第90页）的假设：他们试图通过假设每种技术都与资本货物的特定类型相关联来创造所需的不确定性（如Taussig，1939年，第二卷，第213页和Robinson，1969a【1956年】，第118页所述），作为“蓝图书”的一部分。“在这种解释中，配置为两部门、三投入、两技术模型，其中资本货物具有不同的维度，且两种技术的相关价格不可比较（进一步讨论见Brown，1980，第380、414-15页，fn.4）.  然而，数学和数值解与2-2-2模型的一致，尽管结果的解释不同。事实上，除了Garegnani（1970年，第408页）之外，上述作者中没有人尝试过这种模型的重新切换的数值例子，其特点在下面报告的第1号案例研究中显示。案例研究编号。

1： 使用Garegnani（1970）的数值示例，说明了相同数量的输入和技术的情况A-Garegnani（1970）在2-2-2 Sraffan模型框架下的一系列双边比较中，选择了七个数值例子。其目的是显示“商品生产中的利率和每个工人的资本价值之间的关系与传统理论假设的差异有多大”（同上，第428页）。劳动力和资本货物的投入产出系数定义为参数u的连续函数，但生产资本货物部门的恒定劳动力系数（设为1）除外。消费品生产中的劳动系数和资本系数是u的递增函数，而消费品生产中的资本系数则是u的递减函数，如表1所示。Garegnani将7个u值从0增加到1.505，将模型的28个同时解与相应的7种替代技术进行比较。实际工资利润率曲线的外部包络线表明，技术将沿着由此产生的前沿重新切换。表1-GAREGNANI（1970年，第429页）定义的系数族参数技术uaL1aK1aL2aK2I 0.0000.5000.7500.833II 0.2502.5040.4240.839III 0.5003.9300.2370.845IV 0.7504.8340.1330.851V 1.0005.4780.0750.857VI 1.2505.9740.0420.863VII 1.5056.3910.0230.868Garegnani表示：工资率和价格体系将是相同的。

此外，在现有价格情况下，生产者倾向于选择价格更低的系统，这将使他们选择wL最高的系统；而对于相同的r给出相同wL的系统将是无关紧要的，并且可以共存（同上，第411页）。这种争论可以与由此产生的总生产成本的相对水平形成对比。为了节省空间，我们现在只考虑中间情况，即u=0.75和u=0.50，这两种技术的资本货物的折旧率δ=1。数值解如表2.29技术III技术IV（u=0.50）（u=0.75）劳动力投入资本产出产出消耗良好资本品3.930 1.0000.237 0.845所示IIIW公司=阿拉巴马州投入资本金投入消费商品资本金4.834 1.0000.133 0.851 IVW=a折旧率δ=两种技术中资本货物的1。数值解如表2所示。此表表示技术上的同质劳动力和资本商品。这一假设使得在不同的相对价格条件下，跨技术构建可比较的Laspeyres和Paasche型成本指数成为可能。当以给定的实际工资产生相同的资本货物实际租金时，这两种技术似乎同样“有利可图”，尽管会导致不同的利率和资本货物的实际购买价格。同样，这两种技术可能产生相同的利率，但以资本货物的实际租金衡量的盈利能力程度不同。

这种情况混淆了斯拉菲人认为最“有利可图”的技术是为给定的实际工资提供最高利率的技术的普遍有效性。根据第一种解释，资本货物在两种技术中具有相同的类型，表2包含三种解决方案。用双星标记的中间线指的是一个平稳均衡，具有共同的相对要素价格，但这两种技术的利率不同。方程组（26）变成：**1 1 1**1（）（）IV III IV IIIK K K L LLw a a aw- = - -30表2-使用GAREGNANI（1970，第429页）的两种技术III和IV的解决方案数值示例1Lwpriii IV1/KWPII IV/KLwwiiii IVTechnology in use（）（）NUUCC（）（）NUUCC（Paasche）（Laspeyres）0.041*0.169 0.169 3.544 6.045 86.439 147.447 IV 1.495 1.5900.1669**0.0416 0.0351 1.451 1.451 8.692 8.692 III-IV 1.000 1.000 0.169*0.041 0.041 1.422 1.219 8.414 7.215 III 1.005 1.027 NU：未使用的技术；U： 使用中的技术。*由Garegnani（1970，第429页）指示的开关点。**实际转换点，相对租金价格相等，但r水平不同，资本货物实际价格不同，有两种替代技术。注：Paasche和Laspeyres成本指数（）（）/NU UCCare分别与“未使用”技术和“正在使用”技术的投入产出系数加权此表表示技术上的同质劳动力和资本商品。

这一假设使得在不同的相对价格条件下，可以构建不同技术的可比Laspeyres和Paasche成本指数。当以给定的实际工资产生相同的资本货物实际租金时，这两种技术似乎同样“有利可图”，尽管会导致不同的利率和资本货物的实际购买价格。同样，这两种技术可能产生相同的利率，但以资本货物的实际租金衡量的盈利能力程度不同。这种情况混淆了斯拉夫人对最“有利可图”技术的认同与对给定实际工资提供最高利率的技术的普遍有效性。其中****1klww是相对于工资的租赁价格。只有一个切换点发生，尽管在给定的实际工资下，不同技术的利率水平不同。表2中标有一颗星的第一行和第三行表示实际工资和利率相同但相对要素价格不同的两种不同情况。如果实际工资、利率和相对要素价格与这两种技术同时相同，则不会出现真正的斯拉菲重新切换点。这个例子表明，就资本货物成本的可持续性而言，对于给定的实际工资水平，技术可能是最“有利可图”的，但就支付最高利率的能力而言，不一定是最“有利可图”的。根据Garegnani（1970）采用的第二种解释，每种技术都使用和生产不同类型的资本货物。真正的Sraffian重新切换发生在实际工资和利率的坐标空间中。

在技术的二元比较中，方程组（26）变成：**1（）（）IV III IV IIIK Ki Ki Li LiLaaw- = - -w a a a a f对于扇区i=1,2，即****11（）（）（）IV III IV Iiki Ki Ki Li LiLLaaww- + - = - -w a 0 w 0 a对于部门i=1,2，其中**1kilww和**1kilww在本解释中指两种不同类型的资本货物。这些方程确实完全符合相对因素报酬的纯粹边缘主义理论。B、 技术数量小于因子输入数量的情况将讨论限制在技术对之间的选择上，并注意到系统（9）的Sraffan逆矩阵的行列式意味着一个多项式，其可能的最大次数等于扇区数量，建立了以下定理：定理：真实切换点的最大数量（Bruno等人，1966年，第542页）：（1）在一般n扇区模型中，任何两种技术之间可能有多达n个切换点，因此一种技术可能重复出现多达（n-1）次。（2） 切换点两侧的“相邻”技术通常仅在一项活动上有所不同。一般而言，m活动的技术可能不同（n≥ m>1），仅当某些m个独立的n次多项式恰好在该切换点有公共根时。这个定理意味着，在两个部门、三个投入和两种不同技术的情况下，实际工资和利率坐标空间中真正的切换点的最大数目等于2。这些转换点可以映射到实际要素价格三维坐标空间中两个技术平面的相应线性相交轨迹中。

将方程组表示为121 11 211 1 1121 11 211 1 111I I I IL K KL K KII II l K KL K Kw w wa a ap p pw wa a ap p p p++=（30），因为两个（相关）实际投入价格是第三个（独立）实际投入价格的函数，并且，假设1111（1）1Kw p rrpp+=+，前面的方程系统有以下以矩阵形式编写的解集：11211 111121 21+（1）1 I IILLI IILKKI IIKKaawwr a appaa + =（31）是三维空间中的直线方程，如图3中通过点a和B的直线方程。让我们考虑关于矩阵奇异性的两个子情形。案例B1：matrix1121 21 I IILLI IIKKAAA在（31）中为单数。-矩阵奇异性意味着聚焦部门的实际要素价格超平面与这两种技术相同。导出了共同因素价格方程：2 1 111 21 1 211（1）K L L KKW a w arp a p a=-  + +（32）对于111i IILLLaaa==11 11 11I IIKKAAA==21 21 21I IIKKAAA==在这种特殊情况下，利率和实际工资率的所有共同水平足以让这两种技术确定相同的实际要素价格水平，从而满足Sraffa对确定转换点的要求。Sraffa追随者提出的几乎所有数值例子33都是在这种特殊情况下形成的。

对于相对价格水平，得到了上述方程的简化形式。（）（）（）（）（）（）2 1 12 2 11（）（）（）（）1 2 1 2 1 2 2（）（1）for=（）（1）TT T TL L K K T TL L K K K K P a a a a a a r T I，IIp a a a a a a r-++=+ - +（33）对于假定事后支付的实际工资（）（）（）2（）11 22 11 22 21 12（）（）（）1 1 2 11 1 221（）（1（）（）（1）对于（）（1）T T TTL K K K K K KT T L K L Ka a r a r a rwT I IIp a a a a r- + + + - +==+ - +（34）根据公式（）1011（1）TTLwwrpp，可转换为在以下引用的许多数值示例中计算的实际支付工资-=+. 然后，在实际工资利益空间中，真正的重新切换是可能的，具有共同的水平*相对价格的平均值（）（）11I IILLwwpp=和（）21Ipp=（）21IIpp。重新切换是对投入价格比（/）（）（/）（）（/）（）（）1 1/II I II IL L LII I II Iw w wp p p恢复到先前排名水平的响应（/）（）（/）（）（/）（）（）1/对于1，2 I I II IKi KiII I II ILLw wip w w=（35）（/）（）（/）（）（/）（）（）/对于1，2II I I II IKi KiII I II II IL L w w w w w w w w w w w w w=给定（10）、（11）和（12），对于给定的比较技术（）Ita和（）IITA，这些比率是r的函数。案例B2：矩阵12121 I IILLI IIKKAAA不是单数。-求解系统（26）产量111 1 1 1211 111121 21 21 21=1 1（1）I II I I I I L L L I Ilkki II I K K K Ka a awwr a appa a a a a a a a a a a a a--            -+（36）这定义了实际要素价格三维坐标空间中两个相交平面点的线性轨迹。该点轨迹是对应于给定利润率水平的解值集。由于这两个平面是线性的，因此它们只共享一条相交直线，如图3中AB线所示。

这意味着，利润率和实际工资的共同水平不足以确定转换点，因为只有在映射到相对投入价格坐标空间内的相交直线的非常特殊的条件下，才会发生这些转换点。案例研究2至7：具有三种输入和两种技术的两部门模型的数值示例。-文献中提出了案例B1的各种数值示例，包括表3A中所示的示例，其中包含五个著名贡献中使用的方程式（33）和（34）系数的概要集合，其中技术仅在资本品生产部门有所不同。Pertz（1980）提供了案例B2的一个数字示例，在第7号案例研究中进行了考虑，其中两种技术在使用和生产不同类型资本货物的两个部门都有所不同，如表3B所示。与Garegnani（1970，第429页）案例A的数值示例类似，这两个矩阵包含与不同因子输入相关的数据。在这里所考虑的所有数值示例中，技术I的单位劳动力资本低于技术II，但Bruno等人（1966）除外，在这两种技术之间，相对资本强度是相反的。考虑到利润率水平，表4.35根据实际工资和商品投入的相对价格对这两种技术进行了比较。所有被引用的作者仅根据给定利润率水平（分别在第二列和第一列中报告）的实际工资值对这两种技术进行了比较，而没有检查相对价格的全部范围（在第三列中报告）。如上所述，给定利润率下的成本最小化技术选择受相对投入价格的影响。

在所有重新切换的数字实例中，选择资本密集度较高（较低）的技术总是与较低（较高）的劳动力资本租赁价格相关。因此，这里重新审查的所有著名反例似乎完全符合边际主义技术选择成本最小化理论的期望。鉴于这些结果，基于利润率单调变化导致的相对投入价格的非单调效应，斯拉菲人对转换点的批判性解释被推翻。所有斯拉菲分析师都未能认识到，当面临由利润率单调变化引起的实物资本相对租金价格的非单调变化（先下降后上升，反之亦然）时，就会发生利率范围的重新切换。如图4所示，利用Garegnani（1976，第425-426页）数值示例中的系数，图4显示了（35）定义的两种资本货物租金价格相对于工资的比率（/）（/）/II I II IKi Lww，对应于给定的利润率水平范围。结果以图形方式显示，相对于利润率的单调增长，劳动力相对资本价格的差异性下降和随后的增长如何将成本从技术I降至技术II，然后再回到技术I。在表中所示的所有其他数值反例中可以观察到类似的模式4.36表3A-第2至6号案例研究数值示例中的投入产出系数案例2：案例3：案例4：案例5：案例6：Bruno等人。

Garegnani Garegnani Sato Laibman&Nell（1966年，第537页）（1966年，第566页，第1页）（1976年，第425-426页）（1976年，第428页）（1977年，第。