我们将定理3.2和c应用于广义Feller半群（Pn）n序列∈n对于ε=n，且c compensatortrβ（λnt）{kξk>n}u（dξ）kξk，生成元与解nλnof（4.12）有关∧ 1.n∈ N、 首先，让我们为该序列建立一个统一的增长界限。为此，表示fn（dξ）：={kξk>N}u（dξ）kξk∧ 1、注意，对于（4.1 2）的解，我们根据命题4.11（ii），对t∈ [0，T]对于某些固定的T>0E[kλntkY*] ≤ 5公里*tλkY*+ 10tZtkS*t型-sνkY*kβkopE[kλnskY*]ds+10E[kZtS*t型-s+nνdNs-ZTZ公司*t型-s+nνξTr（β（λns）Fn（dξ））dskY*]+ 10E[kZtdNsS*t型-s+nν-ZtZξS*t型-s+nνTr（β（λns）Fn（dξ））ds）kY*]+ 10E[kZtZS*t型-s+nνξTr（β（λns）Fn（dξ））dskY*]+ 10E[kZtZξS*t型-s+nνTr（β（λns）Fn（dξ））dskY*].作为^o等距的结果，鞅部分可以通过[kZtS]来估计*t型-s+nνdNs-ZTZ公司*t型-s+nνξTr（β（λns）Fn（dξ））dskY*]≤ E[kZtZkS*t型-s+nνkY*kξkTr（β（λns）Fn（dξ））ds]≤ZkξkkFn（dξ）kZtkS*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]ds公司≤Zkξk≤1ku（dξ）k+Zkξk>1kξkku（dξ）k！ZtkS公司*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]ds公司≤eCZtkS公司*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]ds公司≤eCKZtkS公司*t型-s+nνkY*（1+kβkopE[kλnskY*])ds22 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanwherec=Rkξk≤1ku（dξ）k+Rkξk>1kξkku（dξ）kK是其他常数。此外，在最后的条款中，我们有*t型-s+nνξTr（β（λns）Fn（dξ））dskY*]≤ tZtkS公司*t型-s+nνkY*E[kZξTr（β（λns）Fn（dξ））k]ds≤ 2tZtkS*t型-s+nνkY*E[kZkξk≤1ξTr（β（λns）Fn（dξ））k+kZkξk≥1ξTr（β（λns）Fn（dξ））k]ds≤ 2tZtkS*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]Zku（dξ）kZkξk≤1ku（dξ）k+Zkξk>1kξkku（dξ）k！≤ 2tbCZtkS*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]式中，bc=Rku（dξ）keC。把这个交给gether，我们得到*] ≤ CkλkY*+ 10tZtkS*t型-sνkY*kβkopE[kλnskY*]ds+20eCKZtkS*t型-s+nνkY*ds+20（eCK+2tbC）ZtkS*t型-s+nνkY*kβkopE[kλnskY*]≤ CkλkY*+ 捷克克什米尔*t型-sνkY*ds+CZtkS*t型-sνkY*E[kλnskY*]dswhere Cand Cdepe nd on T。我们使用kS*tλk≤ t的Ckλk∈ [0，T]以及kS*t型-s+nνkY*≤ CkS公司*t型-sνkY*对于某些常数C和所有n∈ N由于强连续性。

通过与命题4.7的证明完全相同的论证，wethus得到了t∈ [0，T]对于某些固定的TE[kλtkY*] ≤eC（kλkY*+ 1)(1 -ZtR′（s），ds），其中R′表示-CkS公司*t型-sνkY*. 因此，E[（λt）]≤ C（λ） 堡垒∈ [0，T]。由此得出所需的均匀生长界限kPtkL（B（E） （）≤ 某些M的M exp（ωt）≥ 1和ω∈ 随后是R。对于定理3.2的集D，我们在这里选择f的傅立叶基元：E→ [0 , 1]; λ 7→ exp（hy，λi）（4.25），使得y∈ E*和λ7→ exp（hy，λi）位于∩n≥1dom（An），其跨度是稠密的，由此定理3.2的（i）。在这里，Ande注意到对应于（4.12）的生成器c，其中ε=和u由Fn替换。我们现在为span（D）配备统一的normk·k∞并验证条件（ii），即我们检查KanpMufy- AmPmufyk公司≤ kfyk公司∞所有0的anm（4.26）≤ u≤ 带anm的t→ 0为n，m→ ∞, 和p可能取决于y。注意，ANFY（λ）=hRn（y），λify（λ），正半定仿射VOLTERRA过程23的马尔可夫提升，其中Rn对应于（4.13），ε=nandu替换为Fn。As Pnleaves Dinvariant for all n∈ N根据命题4.11（iv），我们有| AnPmufy（λ）-AmPmufy（λ）|(λ)≤fymu（λ）(λ)β*ZSd+经验（hymu，S*mνξ+ξS*mνi）1{kξk≥n} |{z}：=bnm（ξ）×exp（hymu，（S*nν- S*mν）ξ+ξ（S*nν- S*mν）i）- 1 |{z}eanm（ξ）u（dξ）kξk∧ 1.+ β*ZSd+经验（hymu，S*mνξ+ξS*mνi）-1） | 1{kξk≥n}- 1{kξk≥m} |u（dξ）kξk∧ 1.| {z}eanm！。在这里，Ymude指出时间u时的tymu=Rm（ymt），y=y。可以为所有u统一选择Moreovereanm（ξ）和eanmc≤ t并趋向于0，n，m→ ∞.这是可能的，因为对于所选的初始值y，我们可以得到y在时间上均匀地以m为单位限定在紧致区间上（详情参见[9]）。这与第一项的主导收敛（注意，bnm（ξ）eanm（ξ）可由kξk限定∧ 1） 因此，我们推断（4.26）。

证明了定理3.2的条件，得到了一个广义Feller半群，其生成器由（4.20）给出。对于我们在命题4.11的证明中所做的第二个断言，X的存在性的证明可以逐字传递。然而，由于可能缺乏ν的有限质量，因此不存在fn（λ）的c\'agl\'ad路径。在这里，我们只得到了c\'ag轨迹（与备注2.14和备注4.14相比）。关于第三个断言，通过设置yt=limn，a ffne变换公式简单地遵循定理3.2中断言的半群pna的收敛性→∞ynt，yntsolves在哪里tynt=Rn（ynt），在轻度意义上，Rn再次由（4.13）给出，ε=nandu替换为Fn。由于exp（hyt，λi）也是初值e xp（hy，λi）的抽象柯西问题的唯一解，即其解tu（t，λ）=Au（t，λ），u（0，λ）=exp（hy，λi），其中A表示生成器（4.20），我们推断Ytsatiestyt=R（yt），其中R由（4.22）给出。这是因为A exp（hyt，λi）=exp（hyt，λi）R（yt）。第四项权利要求源自声明（ii）、属性（4.5）和（4.6）中K的定义。最后要证明（v），请注意，由于（iv）和伴随算子β的定义*我们有Tr（uVt）=Tr（uβ（λt））=hβ*（u） ，λti。因此，语句（iii）意味着e[eTr（uVt）]=ehyt，λi，其中yt的温和溶液可以用yt=Stβ表示*（u） +ZtSt-sR（hhys，νii）ds。（4.27）24 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanhence，通过定义R、R和h，我们发现λi=hStβ*（u） +ZtSt-sR（hhys，νii）ds，λi=Tr（uβ（S*tλ））+ZtTr（R（hhys，νii）β（S*t型-sλ）ds=Tr（uh（t））+ZtTr（R（hhys，νii）h（t- s） ）ds（4.28）和（4.27）很容易看出，我们可以用以下Volterra-Riccati方程ψt=uK（t）+ZtR（ψs）K（t）的解来代替（4.28）中的hhys，νii- s） 。注意，这里不需要对称化，因为我们应用了迹和h是对称的。

这证明了这一说法。以下示例说明了如何通过（4.18）定义多变量霍克斯过程。示例4.16。设β和S*与示例4.4相同。对于i 6=j，定义uii（dξ）=δeii（dξ）和uij=0。然后根据vt=Z给出（4.23）的Volterra方程∞e-xtλ（dx）+Zt（K（t- s） Vs+VsK（t- s） ）ds+ZtK（t- s） dNs+ZtdNsK（t- s） 。只有矩阵值过程的对角线分量N跳跃，我们可以定义N：=diag（N），这是一个在Nd中有值的过程。它的分量跳变为1，Nii=BNII的补偿器由R·Vs，iids给出，这正好是多元Hawkes过程的名称。注意，V的分量不是独立的fν，而K不是对角的。5、矩阵值Volterra-OU过程的平方作为有限维设置高斯过程的平方，为我们提供了财务和统计建模的重要过程类。在这一节中，我们从随机和分析的角度概述了这个程序的最一般性。特别地，我们考虑了Sd+上的连续a ffene Volterra型过程，我们将其构造为矩阵值Volterra-Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的平方（见备注5.4）。

继有限维类比[6]之后，我们开始考虑γt（dx）=A形式的矩阵测度值OU过程*γt（dx）dt+dWtν（dx），γ∈ Y*（Rn×d）。（5.1）底层Banach空间，用Y表示*（Rn×d），是扩展半实线+：=r上的有限Rn×d值regula r Borel度量的空间+∪ {∞}.连同（γ） =1+kγkY*（Rn×d），γ∈ Y*（Rn×d），其中k·kY*（Rn×d）表示总变化范数，这将成为一个加权空间。此外，A*是强连续半群S的生成元*在Y上*（Rn×d），其满足类似于（4.3）的适当性，即对于元素a∈ Rn×dit控股公司*t（γ（·）A) = （S）*tγ（·））A和S*t（Aγ（·））=A（S*tγ（·））.（5.2）半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升25过程W是布朗运动和ν的n×d矩阵∈ Y*=: Y*（Sd）orZ*, 如第4节所述，假设4.3成立。由Y（Rn×d）表示的前双空间由Cb（R+，Rn×d）函数给出，当我们将配对H·、·i a s followsh·、·i:Y（Rn×d）×Y*（Rn×d）→ R、 （y，γ）7→ hy，γi=TrZ∞y（x） γ（dx）.Tr再次表示跟踪。我们假设假设4.1中的所有相关属性都转换为c电流设置。备注5.1。O观察与引言中定义的过程γ的类比。IfA*= 在具有k p点的有限空间上支持0和ν，那么（5.1）正是从介绍开始的过程。提案5.2。对于每个γ∈ Y*（Rn×d）SPDE（5.1）通过B上的广义Feller半群给出了一个解（Y）*（Rn×d））与（5.1）的发电机相关。温和公式直接产生一个随机强解γt（dx）=S*tγ（dx）+ZtdWsS*t型-sν（dx），其中顺序很重要，即矩阵布朗增量应用于s*t型-sν（dx）位于左侧。积分是在弱意义上理解的，即与y配对后∈ Y（Rn×d）。证据

广义d Feller过程的构造可以通过布朗运动的跳跃近似来完成，类似于[9，定理4.16]。注意，我们考虑了整个空间Y上的过程*（Rn×d）。因此，不会出现状态空间约束问题。随机强公式定义的右侧-与y配对后∈ Y（Rn×d）–几乎可以肯定是一个值为hy，S的连续线性泛函*tγi+Zthy，dWsS*t型-sνi，因为随机积分的被积函数是确定的，并且每个被积函数都是确定的≥ 0为了确定感兴趣的实际过程，我们需要引入一些进一步的符号：对于γ中的元素∈ Y*（Rn×d）我们定义（γbγ)(·, ·) := γ(·)γ(·).相应的收缩，即执行一个矩阵乘法，代数传感器乘积用Y表示*（Rn×d）bY*（Rn×d）我们设定：=γbγ ∈ Y*（Rn×d）bY*（Rn×d）.（5.3）这对应于空间有限Sd+-值，秩n，乘积度量onR+×R+。我们将引入一个特殊的对偶拓扑onbE，即σ（bE，YY），其中对应的配对由（Y）给出 y、 γbγ) 7→ hyb公司y、 γbγi=TrZ∞y（x） y（x）γ（dx）γ（dx）.我们将前对偶锥表示为-是*=yb公司y∈ Y（Rn×d）bY（Rn×d）,（5.4）26 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmann在这里，我们再次使用与以下Rn×D值函数（yb）的矩阵乘法相对应的收缩代数张量积y） （·，·）=y（·）y（·），y∈ Y（Rn×d）。（5.4）左侧的负号表示极锥中的元素。现在让我们定义实际的感兴趣过程，即λt（dx，dx）：=γt（dx）γt（dx）=γt（dx）bγt（dx）。（5.5）再次注意引言中定义的Wishart过程ssλ的类比。该过程（5.5）明确采用了（5.3）中定义的值。我们现在将表明，我们可以通过考虑对Sd+的预测来定义Volterra型过程。

应用It^o公式，我们发现λt（dx，dx）满足以下方程dλt（dx，dx）=（A*λt（dx，dx）+A*λt（dx，dx）+nν（dx）ν（dx））dt+ν（dx）dWtγt（dx）+γt（dx）dWtν（dx），（5.6），其中A*λt（dx，dx）=A*λt（·，dx）（dx）和类似的*. 请注意，论坛*= 0这完全类似于（1.3）。通过大量滥用符号，但与[6]和方程式（1.4）-（1.5）平行，我们也可以写出λt（dx，dx）=（a*λt（dx，dx）+A*λt（dx，dx）+nν（dx）ν（dx））dt+Z∞Z∞pνbν（dx，dx）dBt（dy，dx）pλt（dy，dx）+Z∞Z∞pλt（dx，dx）dBt（dx，dy）pνbν（dy，dx），（5.7），其中启发式B（dx，dy）是布朗域的d×d矩阵。我们不会在这种符号有意义的情况下开发框架，而是继续证明λ实际上是一个广义的Feller过程，这应该被视为Wishart过程的正确的内部维度版本。只要稍微滥用一点符号，我们就能理解*, 在续集中也有*和其他线性算子，作为作用于Sd值测度以及Rd×n值或Rn×d值测度的算子，如（5.1）所示。

（5.6）的温和公式，表示由*+ A.*由S*,bt、 然后读取为λt（dx，dx）=S*,btλ（dx，dx）+nZtS*,bt型-sν（dx）ν（dx）ds+ZtS*,bt型-s（ν（dx）dWsγs（dx）+γs（dx）dWtν（dx））=S*,btλ（dx，dx）+nZt（S*t型-sν（dx））（s*t型-sν（dx））ds+Zt（s*t型-sν（dx））dWs（s）*t型-sγs（dx））+Zt（s*t型-sγs（dx））dWs（S）*t型-sν（dx）），其中第二个等式来自属性（5.2）。现在设β为Y的线性算子*（F）到F，其中F代表Rn×d，或sds，对于具有适当矩阵维数的常数矩阵a，我们有β（aγ（·））=aβ（γ（·）），β（γ（·）a）=β（γ（·））a。（5.8）正半定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升27通过β，定义了作用于Rd×d值产品测量的算子bβ（γ(·)γ(·)) = β(γ(·))β（γ（·）），（5.9），其中γ和γ为Y*（Rn×d）或Y*（Sd）（在后一种情况下，不需要运输）。注意，（5.9）表示bβ（γ（·）γ（·））为Sd+-值。将bβ应用于λwe findbβ（λt）=bβ（S*,btλ）+nZtβ（S*t型-sν）β（s*t型-sν）ds+Ztβ（s*t型-sν）dWsβ（s*t型-sγs）+Ztβ（s*t型-sγs）dWsβ（S*t型-sν）。定义方程（4.6）中的Sd值内核viaK（t）=β（S*tν），我们得到以下广义Sd+-值Volterra方程vt：=bβ（λt）=bβ（S*,btλ）+nZtK（t- s） K（t- s） ds+ZtK（t- s） 数据仓库sβ（s*t型-sγs）+Ztβ（s*t型-sγs）dWsK（t- s） ，（5.10），我们在以下定义中称之为Volterra-Wishart过程。定义5.3。对于β，如（5.8）-（5.9）所示的bβ，以及由K（t）=β（S）定义的Sd值核K（t*我们将（5.10）中定义的过程称为Volterra-Wishartprocess。备注5.4。

（i） 注意，β（γt）定义了一个Rn×d值Volterra-OU过程，即Xt：=β（γt）=β（S*tγ）+ZtdWsK（t- s） 。（5.11）根据bβ的定义，Volterra-Wishart过程vt=bβ（λt）=β（γt（·））β（γt（·））=X因此，txt是Volterra-OU过程的矩阵平方，这恰好是终结论。（ii）注意，（5.11）中给出的Volterra OU过程可能有不同的提升，例如正向过程提升ft（x）：=e【Xt+x | ft】。然后，ft（0）=XT，与[9，第5.2节]类似，可以证明f是一个单位维OU过程，它解决了以下SPDE（在轻度se nse中）dft（x）=ddxft（x）dt+dWtK（x），f（x）=β（S*xγ），在绝对连续函数（AC）的Hilbert空间H上，值为Rn×d，精确为H=f∈ AC（R+，Rn×d）| R∞kf′（x）kα（x）dx<∞其中α>0表示权重函数（比较[15]）。然后我们可以设置λt（x，y）=ft（x）ft（y），并通过Vt定义相同的Volterra-Wishart过程asin（5.10）：=λt（0，0）=xtXt。通过It^o公式和常数的变化，其动力学可以等效地表示为：λt（0，0）=f（t） f（t）+nZtK（t- s） K（t-s） ds+ZtK（t- s） 数据仓库sfs（t- s） +Ztfs（t）- s） dWsK（t- s） 。（5.12）28 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanncomparang（5.12）和（5.10）得出β（S*xγt）=ft（x）=E[Xt+x | ft]，x，t≥ 0.（5.13）（iii）当β和S*如例4.4所示，（5.10）读取为Zrλ（dx，dx）=ZRe-（x+x）tλ（dx，dx）+nZtK（t- s） K（t- s） ds+ZtZ∞K（t- s） 数据仓库东南方-x（t-s） γs（dx）+ZtZ∞e-x（t-s） γs（dx）dWsK（t- s） 。因此，根据（5.13），R∞e-x（t-s） γs（dx）=E【Xt | Fs】。这就产生了导言中所考虑的精确方程式（1.6）。注意，如果按Re mark 4.5选择ν和Kis，则该Volterra-Wisha-rt过程正好具有粗糙协方差建模所需的粗糙度特性。在下面的备注中，我们列出了Volterra-Wishart过程的几个性质。备注5.5。

（i） 注意，V的边缘是Wishart分布，因为它们来自高斯平方。（ii）通过将γ（dx）替换为√λ（dx，dy）必须引入新符号（与（5.7）相比）。（iii）然而，λ的漂移和扩散特性仅与λ相关，例如，d[λij（dx，dx），λkl（dy，dy）]tdt=（K（x）K（y））ik，jl（dx，dy）+（K（x）K（y））ilλt，jk（dx，dy）+（K（x）K（y））jkλt，il（dx，dy）+（K（x）K（y））jlλt，ik（dx，dy），dy这表明（λt）t≥0本身就是马尔科夫语。下面将对此进行详细说明。利用定理2.8，我们现在证明λ是（bE，b)带权重函数b 令人满意的B（γbγ) = (γ).（5.14）我们还证明了广义Feller过程是一个函数，在这个意义上，它的Laplace变换在初始值上是指数函数。因此，可以将过程λ视为有限维Wishart过程，类似于[6，8]。定理5.6。（5.5）中定义的过程λ为马尔可夫过程。相应的半群是Bb上的广义Feller半群（bE），其中b 满意度（5.14）。此外，对于y∈ Y（Rn×d）Eλ经验值-hyb公司y、 λti= 经验值(-φt- hψt，λi），（5.15），其中ψ和φ满足以下Riccati微分方程，即ψ=yb扬德tψt=R（ψt）在温和意义上，带R:bE*→是*给定byR（yby） （x，x）=Ay（x）by（x）+y（x）bAy（x）- 2Z∞Z∞y（dx）by（dx）νbν（dx，dy）y（dy）b半正定仿射VOLTERRA过程的y（dx）马尔可夫提升29且φ=0和tφt=F（ψt），F:bE*→ R由f（yb）给出y） =nhyby、 νbνi.证明。我们应用定理2。8和带q:Y的推论2.11*（Rn×d）→bE，γ7→ γbγ = γ(·)γ(·).注意这是一个连续映射，因为我们使用对偶拓扑σ（bE，YY）onbE和相应的polarbE*定义见（5.4）。

现在考虑下面的Fourier-bas-is-elementsbD={fy:bE→ [0, 1]; λ 7→ 经验值(-hyb公司y、 λi）| y∈ Y（Rn×d）}，在Bb中为去义（bE）通过双重拓扑的定义。我们现在检验了广义Feller半群P（OU）对应于f的（5.1）满足假设（2.8）∈bD，即每f∈bD存在一些g，例如p（OU）t（fo q） =克o q（5.16）因此我们需要计算Eγ经验值-hyb公司y、 γtbγti. 引理5.7给出的表达式为（5.17）。因此（5.16）显然是令人满意的。这证明了这一点。关于a ffene性质，我们可以从引理5.7推断ψ和φ由ψt=（2qt（yby） +Idd）-1（StybSty），φt=nlog det（2qt（yby） +Idd）。引理5中给出了qt。然后求导数，得到Riccatidi微分方程的形式。下面的引理为γtb的拉普拉斯变换提供了一个明确的表达式γt。这毫不奇怪地描述了具有n个自由度的非中心Wishart分布的拉普拉斯变换。引理5.7。设γ为（5.1）中定义的Ornstein-Uhlenbeck过程。然后fory∈ Y（Rn×d），γtb的拉普拉斯变换γ由γ给出经验值(-hyb公司y、 γtbγti）= det（2qt（yby） +Idd）-n×exp(-h（2qt（yby） +Idd）-1（StybSty），γbγi），（5.17），其中qt（yby） =RtR∞R∞S*sν（dx）y（x） y（x）S*sν（dx）ds。证据为简单起见，首先假设*等于0。然后（5.1）变成γt（dx）=γ（dx）+Wtν（dx）。修复y∈ Y（Rn×d）使得r∞y（x）ν（dx）定义良好。

然后我们有了HYBy、 γtbγti=hyby、 （γ+Wtν）b（γ+Wtν）i=hyby、 γbγi+hyby、 γbWtνi+hyby、 Wtνbγi+hyby、 WtνbWtνi.30 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmannot现在thathyby、 γbWtνi=TrWtZ公司∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）γ（dx）=: Tr（Wta），hyby、 Wtνbγi=TrZ∞Z∞γ（dx）y（x） y（x）ν（dx）Wt型=: Tr（aWt） =Tr（Wta) = Tr（Wta），hyby、 WtνbWtνi=TrZ∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）ν（dx）W行波管=: Tr（bWtWt），其中∈ Rd×n，a∈ Rn×d，b∈ Rd×dand a=a.对于以下计算，设n=1。然后使用这些表达式，我们发现经验值(-hyb公司y、 γtbγti）= 经验值(-hyb公司y、 γbγi）E经验值(-2 Tr（Wta）-Tr（bW行波管）= 经验值(-hyb公司y、 γbγi）（2π）dtdZR1×de-2 Tr（xa）-Tr（bxx）-2txxdx=exp(-hyb公司y、 γbγi）×det（2b+tIdd）td（2π）dZR1×de-2xa-x（2b+tIdd）xdet（2b+tIdd）dx=det（2b+tIdd）tdexp(-hyb公司y、 γbγi）exp（2a（2b+tIdd）-1a），其中在最后一行中，我们使用了具有协方差（2b+tIdd）的高斯随机变量的矩母函数公式-1、简化进一步扩大规模经验值(-hyb公司y、 γtbγti）=det（2b+tIdd）tdexp（h）（2b（2b+tIdd）-1.- Idd）（yby） ，γbγi）=det（2bt+Idd）exp（h-（Idd+2bt）-1（yby） ，γbγi）。（5.18）对于常规n，请注意，我们可以编写tWt=nXj=1Wj、 tWj，t，其中Wjare是W的行，因此取R1×d的值。相似的Tr（Wta）=TrnXj=1Wj，tZ∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）γ0，j（dx）=:nXj=1Wj，taj，其中γ0表示γ的行。使用所有Wjand应用的独立性（5.18），然后引导脚趾经验值(-hyb公司y、 γtbγti）=det（2bt+Idd）nexp(-h（Idd+2bt）-1（yby） ，γbγi）。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升31*6=0现在可以追溯到这种情况。实际上，通过常数公式的变化，γ由γt=S得出*tγ+ZtdWsS*t型-sν（dx）。因此，我们需要将bt替换为QT=ZtZ∞Z∞S*t型-sν（dx）y（x） y（x）S*t型-sν（dx）dsandγby s*tγ。然后得出（5.1 7）。请注意，这现在适用于一般情况∈ Y（Rn×d）偶数ifR∞y（x）ν（dx）不一定很明确。6.

（粗略）Volterra型仿射协方差模型本节的目标是将上述构造的协方差模型应用于具有d资产的多元随机波动率模型。我们以第5节的Volterra-Wishart过程为例，定义了一个（粗略的）多元VolterraHeston模型，价格过程中可能出现跳跃。粗糙度可以通过指定ν来实现，反过来，也可以通过Volterra-Wishart过程的核心来实现，如标记4.5所示。以P表示的对数价格过程，并根据todPt取RdeVolves中的值=-诊断（Vt）dt-ZRd（eξ- 1.- ξ） Tr（Vtm（dξ））+XtdBt+ZRdξ（uP（dξ）- Tr（Vtm（dξ）），（6.1），其中xt表示备注5.4中定义的Volterra OU过程，1所有条目为1且eξ的向量inrdw必须低于od分量。此外，Bt是一个Rn值布朗运动，它可以与（5.1）中出现的矩阵布朗运动相关联，如下Bt=Wt +q（1-)eBt。这里，eBtis是一个Rn值布朗运动，独立于W和 ∈ Rd.此外，uPdenotes用压缩因子Tr（V m（dξ））计算跳跃的随机测度，其中V是（5.10）的Volterra-Wishart过程，m是Rd上支持的正半有限元测度。作为第5节和[7，第5节]的推论，我们得到以下结果，也就是说，对数价格过程与（5.5）中的有限维Wishartprocessλg是一个完全马尔可夫过程。在形成精确的陈述之前，请注意，连续协变量hpi，λkl（dx，dx）由hpi，λkl（dx，dx）itdt=（β）决定（γt）γt（dx））il（ν（dx）)k+（β（γt）γt（dx））ik（ν（dx）)l、 其中γ是（5.1）的有限维OU过程。

注意β（γt）γt（dx）也可以写成线性映射frombE→ Y*（Sd）表示beeβ，即β（λt）（dx）=β（γt）γt（dx）。（6.2）这里，括号代表协变量，而不是配对。32 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanin在4.4的标准示例中，我们得到了eβ（λ）（dx）=Rxλ（dx，dx）。eβ从Y（Sd）到Y（Rn×d）b的伴随算子Y（Rn×d）用β表示*由heβ（λ）给出，yi=hλ，eβ*（y） i，y∈ Y（Sd），其中括号是各个空间中的成对。有了这个答案，我们现在准备陈述结果。它的证明结合了第5节和[7，第5节]的结果。推论6.1。（5.5）中定义的λ和（6.1）中定义的P的联合过程（λ，P）是具有状态空间（bE，Rd）的马尔可夫过程。从某种意义上讲，对于（y，v）∈ Y（Rn×d）×Rd，我们有eλ，P经验值-hyb公司y、 λti+ivPt公司= 经验值(-φt- hψt，λi+ivP） 。（6.3）函数ψ满足以下Riccati微分方程，即ψ=yby和tψt=R（ψt，iv）在温和意义上，与R:bE*×iRd→是*给定byR（yby、 iv）（x，x）=Ay（x）by（x）+y（x）bAy（x）- 2Z∞Z∞y（dx）by（dx）νbν（dx，dy）y（dy）by（dx）+dXi=1ivibβ*（eiei） （x，x）+bβ*（ZRd（iv）（eξ- 1.- ξ） m（dξ））（x，x）+bβ*（vv)（x，x）+eβ*（Z）∞y（·）by（x）ν（dx））（x，x）（四）+ （四）eβ*（Z）∞ν（dx）y（·）by（x））（x，x）-bβ*（ZRd（exp（ivξ) - 1.- （四）ξ） m（dξ））（x，x），其中bβ*andeβ*分别是（5.9）中给出的bβ和（6.2）中给出的eβ的伴随算子。函数φ满足φ=0和tφt=F（ψt），F:bE*→ Rgiven byF（yby） =nhyby、 νbνi.备注6.2。本着类似的精神，我们可以使用（4.23）中给出的伏尔泰跳跃过程V定义多元协变量模型。

原木价格过程（在某种风险中性措施下）根据todPt=-诊断（Vt）dt-ZRd（eξ- 1.- ξ） Tr（Vtm（dξ））+√VtdBt+ZRdξ（uP（dξ）- Tr（Vtm（dξ）），其中B是d维布朗运动，且（4.17）中给出的马尔可夫提升λ的P和u的跳跃测度m可以是半正定仿射VOLTERRA过程的Sd+×Rd马尔可夫提升支持的一些常用测度的边缘。参考文献33【1】E.Abi Jaber和O.El Euch。Volterra-Heston模型的马尔可夫结构。《统计与概率快报》，149:63–722019年。[2] E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。《应用可能性年鉴》，2019年出版。[3] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4）：571–5892007。[4] E.Al\'os和Y.Yang。2014年，分馏赫斯顿模型的封闭式期权定价近似公式。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887–9042016年。[6] M.F.布鲁。Wishart流程。《理论概率杂志》，4（4）：725–7511991。[7] C.Cuchiero，A ffene和多项式过程。博士论文，ETH Z¨urich，2011年。[8] C.Cuchiero、D.Filipovi\'C、E.Mayerhofer和J.Teichman。在正半无限矩阵上的一系列过程。《应用概率年鉴》，21（2）：397–4632011。[9] C.Cuchiero和J.Teichman。广义Feller过程和随机Volterra过程的马尔可夫抬升：Affee案例。arXiv:1804.104502018年。[10] R.C.Dal ang。推广鞅测度随机积分，并将其应用于空间齐次SPDE。概率电子杂志，4（6），1999年。[11] P.D¨orsek和J.Teichman。随机（部分）微分方程分裂格式的半群观点。

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