A是有界线性算子，我们现在可以很容易地建立强解（rt）t的存在性≥0到（C.1），即我们有rt=h+ZtArs+α（s，rs）ds+nXi=1Ztσi（s，rs-)dXis，t≥ 0.（C.15）24达米尔·菲利波维奇和斯特凡·塔佩克。2、推论。让A∈ L（H）是有界线性算子，设α，σ，σn：R+×H→ H应连续。假设有常数L≥ 0，使（C.4）和（C.5）满足所有t∈ R+和h，h∈ H、 然后，对于每个H∈ H、 存在一种独特的强适应性c\'adl\'ag溶液（rt）t≥0到（C.1），r=hs满意（C.6）。证据算子A由半群St=etA生成，它是伪收缩的，因为Ekstkl（H）≤ etkAkL（H），t≥ 根据定理C.1，对于每个h∈ H、 存在唯一的弱适应c`adl`agsolution（rt）t≥0到（C.1），r=hs满足（C.6），这也通过A的有界性来填充（C.15），表明（rt）是（C.1）的强解。我们用几句话来结束这一部分。实际上，[27，Thm.4.1]在[27]中没有得到明确证明。我们引用[27，第19页]：“对于定理4.1的证明，人们几乎可以按照[26]中定理4.1和定理4.2的证明进行操作，…”。上述结果[26，Thm.4.1]是由有限维布朗运动驱动的随机方程的类似结果。注意，van Gaans[27，Thm.4.1]的存在性结果不需要对C半群作进一步的假设。相反，我们需要闭子空间中的伪收缩率（St），以证明解具有c\'adl\'agmodification。为了克服随机卷积带来的困难，使用关于酉扩张的Szek¨ofalvi-Nagy定理的想法是由Hausenblasand Seidler提出的，参见[31]和[30]。Baudoin和Teichmann在没有使用Szek–ofalvi-Nagy定理的情况下，在具有强连续群的可分Hilbert空间上，以秒为单位考虑随机方程。

他们的文章也以利率理论为重点。对于每个伪压缩半群（St），随机卷积RTST-sΦsdms关于平方可积，c\'adl\'ag鞅M有一个c\'adl\'ag修改，这是由于Kotelenez[41]。我们使用Szek¨ofalvi-Nagy的单位膨胀定理来得到一个c'adl'ag修正，因为我们处理的是托卡斯特积分（G-）RtSt-sΦsdMsde定义为van Gaans【27，第3节】。最近，人们对带有跳噪声项的（C.1）型随机微分方程越来越感兴趣。因此，已经编写了一些相关论文[1、39、40、28、29、45、50]和即将出版的教科书[49]，但大部分涉及金融以外的其他应用领域。在这篇论文的修订过程中，我们注意到了最近的预印本【50】，作者在其中独立得出了类似的结果。但它们适用于不同的函数空间，其中正向曲线不一定是连续的，因此短期利率没有很好的定义。此外，他们只考虑成分类型的挥发度，即σi（t，r）（x）=gi（t，x，r（x）），具有确定性函数gi:r+×r+×r→ R、 参考文献[1]Alberio，S.，Mandrekar，V.，R¨udiger，B.（2006）：具有非高斯L'evy噪声的随机微分方程和半线性方程温和解的存在性。预印本编号314，SFB 611，波恩大学。[2] Barndor Off–Nielsen，O.E.（1977）粒子大小对数的指数递减分布。《伦敦皇家学会会刊》A辑，第353卷，401–419页。[3] Baudoin，F.，Teichmann，J.（2005）：有限维中的亚椭圆性及其在利率理论中的应用。《应用概率年鉴》15（3），1765-1777年。[4] Bhar，R.，Chiarella，C.（1997）：将Heath–Jarrow–Morton模型转换为Markoviansystems。

《欧洲金融杂志》第3期，第1-26页。列维期限结构模型的存在25【5】比约克，T.，迪马西，G.，卡巴诺夫，Y.，龙戈尔迪耶，W.（1997）：走向债券市场的一般理论。金融与随机1（2），141–174。[6] 比约克，T.，卡巴诺夫，Y.，伦格尔迪耶，W.（1997）：存在标点过程的债券市场结构。数学金融7（2），211–239。[7] Bj¨ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[8] Carmona，R.，Tehranchi，M.（2006）：利率模型：有限维随机分析视角。柏林：斯普林格。[9] Carr，P.、Geman，H.、Madan，D.、Yor，M.（2002年），《资产回报的详细结构：实证调查》。《商业杂志》75（2），305-332。[10] Cont，R.，Tankov，P.（2004）《带跳跃过程的金融建模》。查普曼和霍尔/CRC出版社，伦敦。[11] Chiarella，C.，Kwon，O.K.（2001）：theHeath–Jarrow–Morton期限结构模型的远期利率相关马尔可夫变换。金融与随机5（2），237–257。[12] Chiarella，C.，Kwon，O.K.（2003）：HJM模型在远期利率和收益率方面的有限维a f e实现。衍生品研究综述6（3），129–155。[13] Da Prato，G.，Zabczyk，J.（1992）：有限维随机方程。纽约：剑桥大学出版社。[14] Davies，E.B.（1976）：开放系统的量子理论。伦敦：学术出版社。[15] Delbaen，F.，Schachermayer，W.（1994）：资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen 300，463–520。[16] Eberlein，E.、Jacod，J.、Raible，S.（2005）：列维期限结构模型：无套利和完备性。金融与随机9，67–88。[17] Eberlein，E.，Keller，U.（1995）：金融中的双曲线分布。伯努利1281–299。[18] 埃伯林，E.，克鲁格，W。

（2007）：列维期限结构模型的校准。《数学金融的进步：纪念Dilip Madan、M.Fu、R.A.Jarrow、J.-Y.Yen和R.J.Elliott（编辑），《Birkhauser》，第155-180页。[19] Eberlein，E.，Kluge，W.（2006）：利维期限结构模型中上限和互换期权的精确定价公式。计算金融杂志9（2），99–125。[20] Eberlein，E.，Kluge，W.（2006年）：evy term structuremodels中浮动范围票据的估值。数学金融16，237–254。[21]Eberlein，E.，¨Ozkan，F.（2003）《可违约的列维期限结构：评级和重组》。数学金融13，277–300。【22】Eberlein，E.，Raible，S.（1999）：一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学金融9（1），31–53。Engel，K.-J.，Nagel，R.（2000）：线性发展方程的单参数半群。纽约：斯普林格。[24]Filipovi\'c，D.（2001）：Heath–Jarrow–Morton利率模型的一致性问题。柏林：斯普林格。[25]Filipovi\'c，D.，Teichmann，J.（2003）：有限维随机方程不变流形的存在性。功能分析杂志197398–432。[26]van Gaans，O.（2005）：具有有限维噪声的随机微分方程的级数方法。积分方程和算子理论51（3），435–458。van Gaans，O.（2005）：具有L'evy噪声的随机发展方程的不变测度。莱顿大学技术报告。（www.math.leidenuniv.nl/~vangaans/出版物。Hausenblas，E.（2005）：Poisson随机测度驱动的SPDE：存在性和唯一性。概率论电子杂志111496–1546。[29]Hausenblas，E.（2007）：非Lipschitz系数泊松随机测度驱动的SPDE：存在性结果。即将在概率论和相关领域发表。[30]Hausenblas，E.，Seidler，J。

（2001）：关于随机卷积的最大不等式的一个注记。捷克斯洛伐克数学杂志51（126），785–790。[31]Hausenblas，E.，Seidler，J.（2007）：鞅驱动的随机卷积：极大等式和指数可积性。即将在Stoch发布。肛门。应用程序。[32]Heath，D.、Jarrow，R.、Morton，A.（1992）：债券定价和利率期限结构：或有债权估值的新方法。计量经济学60（1），77–105。[33]Hyll，M.（2000）：跳跃扩散过程驱动的远期利率模型的短期结构和短期利率实现。在斯德哥尔摩经济学院PhDthesis关于利率期限结构的论文中。【34】Inui，K.，Kijima，M.（1998）：多因素Heath–Jarrow–Mortonmodels中的马尔可夫框架。《金融与定量分析杂志》33（3），423–440。[35]Jacod，J.，Shiryaev，A.N.（1987）：随机过程的极限定理。柏林：斯普林格。26 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN TAPPE【36】Jakubowski，J.，Zabczyk，J.（2006）：带跳跃的HJM模型的指数矩。预印本IMPAN 673，华沙。[37]Jarrow，A.，Madan，D.B.（1995）期权定价，使用利率期限结构对冲资产回报的系统性不连续性。数学金融5（4），311–336。【38】Je Offrey，A.（1995）：基于马尔科夫即期利率动态的单因素Heath–Jarrow–Morton期限结构模型。《金融与定量分析杂志》30（4），619–642。【39】Knoche，C.（2004）：具有泊松噪声的有限维SPDE。Comptes RendusMath'ematique。科学学院。巴黎，甲级联赛339647–652。【40】Knoche，C.（2005）：有限维泊松噪声驱动的SPDE温和解及其对初始条件的依赖性。比勒费尔德大学博士论文。[41]Kotelenez，P。

（1982）：一个子鞅型不等式及其在随机发展方程中的应用。随机8，139–151。[42]K¨uchler，U.，Tappe，S.（2007）：金融数学中的双边伽马分布和过程。即将出版的随机过程及其应用。[43]Madan，D.B.（2001）纯粹不连续的资产定价过程。摘自：Jouini，E.、Cvitaniˇc，J.和Musiela，M.（编辑），第105–153页期权定价、利率和风险管理。剑桥大学出版社，剑桥。[44]M’etivier，M.（1982）：半鞅。Walter de Gruyter，柏林。Meyer Brandis，T.（2005）：Hilbert空间值随机分布的L'evy白噪声驱动的微分方程。奥斯陆大学预印本。（www.math.uio.no/eprint/pure-math/2005/09-05.pdf）[46]Musiela，M.（1993）：随机偏微分方程和期限结构模型。《国际金融杂志》，IGR-AFFI，La Baule。[47]¨Ozkan，F.，Schmidt，T.（2005）：有限维L'evy过程的信用风险。统计与决策23281–299。[48]Protter，P.（2005）：随机积分和微分方程。第二版，版本2.1，柏林：斯普林格。[49]Peszat，S.，Zabczyk，J.（2007）：具有L'evy噪声的随机偏微分方程：演化方程方法。剑桥大学出版社，剑桥。显示。[50]Peszat，S.，Zabczyk，J.（2007）：Heath Jarrow Morton Musiela债券市场方程。预印本IMPAN 677，华沙。（www.impan.gov.pl/EN/Preprints/index.html）[51]Raible，S.（2000）：金融中的列维过程：理论、数字和经验事实。弗莱堡大学博士论文。[52]Ritchken，P.，Sankarasubramanian，L.（1995）：远期利率的波动结构和期限结构的动态。数学金融5（1），55–72。[53]R¨udiger，B。

（2004）：关于可分Banach空间上补偿泊松随机测度的随机积分。斯托赫。斯托赫。报告76（3），213–242。【54】Sato，K.（1999）：列维过程和不完全可分分布。剑桥研究高级数学，剑桥。[55]Shirakawa，H.（1991）具有泊松-高斯远期利率曲线过程的利率期权定价。数学金融1（4），77–94。[56]Sz-Nagy，B.，Foia,s，C.（1970）：希尔伯特空间上算子的调和分析。北荷兰，阿姆斯特丹。[57]Tehranchi，M.（2005）：关于HJM模型不变测度的注记。《金融与随机》9（3），389–398。Werner，D.（2002）：功能分析。柏林：斯普林格。德国慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑