，具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程，以及γ，γnare常数。那么以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。证据这是命题8.1的直接结果。8.3. 推论假设满足以下条件：（1）X，具有有限跳跃大小分布的Xnare复合泊松过程。(2) σ, . . . , σd拟指数。(3) γ, . . . , γnare常数和准指数。具有仿射实现的真实世界远期利率动态21那么HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。证据随后，结合命题5.4和推论8.2。8.4. 实例我们考虑具有一维维纳过程W和一维标准泊松过程X的HJMM方程（1.1）。设σ：H→H为拟指数，设γ：H→ H是常数和准指数。我们选择状态空间Y=R+和Y*= 0.对于y∈ (0, ∞) 我们用yy表示示例3.10中提供的SDE（3.10）的解。此外，我们定义了映射Θ：Y→ R asΘ（y）：=2√y、 我们定义了映射ψ：y×R→ (-∞, 1） asψ（y，x）：=-y、 然后，根据推论8.3，HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。此外，如例3.11所示，对于初始值y没有选择∈ (0, ∞) 利率模型允许一个等价的局部鞅测度。现在，出现了这样一个问题：子空间ψ的有限维数，Uψ与Uγ，Uγ对于a ffine实现的存在也是必要的。我们将在接下来的两部分中讨论这个问题。9、市场风险价格存在仿射变现的必要条件在本节中，我们研究命题8.1中第一个假设的必要性。

更准确地说，我们研究了风险市场价格所产生的子空间是否必须是有限维的，才能存在净变现。为简单起见，我们假设（1.1）中的Lévy过程X是一维的，并用F表示其Lévy度量。除了第5节中的假设之外，我们假设风险的市场价格甚至可以被视为映射ψ：Y→ L（F）∩ Lp（F），也就是说，它不仅应该映射到Lp（F），如（8.1）所述，而且应该映射到L（F），9.1。定理。假设HJMM方程（1.1）有一个明确的实现，并且满足以下条件之一：（L）supp（F） R+和R- Γ（h）（R+）对于某些h∈ H、 （L）) 存在 > 0，以便(-, )  Γ（h）（R+）对于某些h∈ H、 那么子空间Uψ是有限维的。证据我们选择h∈ H条件（L）或（L) 已满。我们定义了综合运算符：L（F）∩ Lp（F）→ H、 Thψ：=ZRψ（x）exΓ（H）F（dx），并声称ker（Th）={0}。的确，让ψ∈ L（F）∩Lp（F）应使Thψ=0。那么我们有Thψ+=Thψ-.（9.1）自ψ起∈ L（F），我们可以定义（R，B（R））上的有限符号度量ubydudF：=ψ。其Jordan分解u=u+-u-给出了bydu+dF=y+和Du-dF=y-. 现在，我们将这两种情况与我们的定理假设区分开来：（L）自，supp（F） R+，测量值u+和u-是（R+、B（R+）的有限度量。我们用Lu+，Lu表示-: R+→ R+他们的拉普拉斯变换。22 ECKHARD压板和STEFAN TAPPELetλ∈ R+任意。假设存在ξ∈ R+，使得Γ（h）（ξ）=-λ.

因此，我们有lu+（λ）=ZR+e-λxu+（dx）=ZR+exΓ（h）（ξ）u+（dx）=ZR+ψ+（x）exΓ（h）（ξ）F（dx）=Thψ+，类似计算表明，lu-（λ） =Thψ-.根据（9.1），我们推导出Lu+（λ）=Lu-（λ） 对于所有λ∈ R+。通过单侧拉普拉斯变换的第一个唯一性定理（定理B.4），我们推断u+=u-.（L）) 我们用L表示u+，Lu-: (-, ) → u+和u的拉普拉斯变换-. Letλ∈ (-, ) 要专横。假设存在ξ∈ R+suchthatΓ（h）（ξ）=-λ. 因此，如（i）所示的类似计算表明，lu+（λ）=Lu-（λ） 对于所有λ∈ (-, ).通过双边拉普拉斯变换的第二个唯一性定理（定理B.7），我们推导出u+=u-.因此，在这两种情况下，我们推断ψ+=ψ-几乎肯定是关于toF，这意味着ψ=0几乎肯定是关于F。这证明了ker（Th）={0}。根据定理5.3，范围Th（Uψ） Uψ，γ是有限维的，因此，我们得出Uψ也是有限维的。对于本节的其余部分，我们假设Φ：Y×R→ (0, ∞) 形式为Φ（y，x）=exp（θ（y）ξ（x））（9.2），具有连续映射θ：y→ R与可测映射ξ：R→ R、 我们假设Y已连接。在后半部分中，我们用FDT表示Lévy测度F的离散部分，用Fc表示其绝对连续部分。9.2. 提议假设HJMM方程（1.1）有一个有效的实现，并且条件（L）或（L）之一) 从定理9.1中得到了充分的补充。此外，假设满足以下条件之一：（Fd）ξ（supp（Fd））是有限的。（Fc）有c、d∈ c<d时的R，使得ξ在[c，d]上连续，ξ（c）6=ξ（d），dfcdλ（x）>0，对于Fc几乎所有x∈ [c，d]。那么θ是常数。证据假设θ不是常数。由于Y是连通的，且θ是连续的，因此存在a，b∈ R，a<b，使得[a，b] θ（Y）。

现在，我们从定理的假设中区分这两种情况：（Fd）我们设置X：=supp（Fd），并引入线性算子∏：Uψ→ `（十） ，ψ7→ ψ| X，其中我们注意到，对于所有ψ，φ∈ Lp（F）具有相同的等价类[ψ]=[φ]，我们有ψ| X=φ| X。自[[a·ψ| X，b·ψ| X]] {θ（y）·ψ| X:y∈ Y} 通过命题C.1，集合ξ（X）是有限的，子空间∏（Uψ）=hexp（Y）·ξ（X）- 1：y∈ YiREAL WORLD FORWARD RATE DYNAMICS WITH AFFINE REALIZATIONS 23是`（X）的有限维子空间。（Fc）我们定义了区间I=[c，d]和线性算子∏：Uψ→ `（一） ，ψ7→ ψ| I，其中ψ∈ Lp（F）我们根据引理B.8定义ψ|是ψ在I上的唯一连续表示。自[[a·ψ| I，b·ψ| I]] {θ（y）·ψ| I:y∈ Y} 通过命题C.1，集合ξ（I）是有限的，子空间∏（Uψ）=hexp（Y）·ξ（I）- 1：y∈ yi是`（I）的有限维子空间。因此，在这两种情况下，我们推断Uψ是有限维的，这与定理9.1相矛盾。请注意，命题9.2中关于Lévy测度F和函数ξ的假设尤其在以下情况下得到满足：oX是具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程，ξ在F的支持下是一对一的X的Lévy测度在某个正长子区间上具有严格的正密度，ξ在该子区间上是连续的且非平凡的。文献中考虑的大多数有限活动Lévy过程都具有严格的正密度，例如我们在第7节中提到的双边伽马过程或阻尼稳定过程。在这个意义上，命题9.2推广了命题7.1，其中我们考虑了恒等式映射ξ（x）=x。另一方面，对于命题9.2，我们施加了条件（L）或（L) 已满。10

在本节中，我们研究命题8.1中第二个假设的必要性。更准确地说，我们研究了波动性产生的子空间是否必须是有限维的，才能存在一个净变现。为简单起见，我们假设（1.1）中的Lévy过程X是一个具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程。然后，命题8.1中的第一个条件已满足；另见推论8.2.10.1。定理。假设HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。此外，假设ψ6≡ 0和[[0，g]] γ（H）对于某些g∈ H、 其中线段[[0，g]]定义为[[0，g]]：={tg:t∈ [0, 1]}.那么γ是常数，尤其是Uγ是有限维极限。相反，假设γ不是常数。那么我们有[[0，f]]Γ（H），其中f：=Rog（η）dη。由于X是一个具有有限泵尺寸分布的复合泊松过程，因此存在一个有限集X R{0}与映射ρ：X→(0, ∞) 使得X的Lévy测度F由F（B）=Xx给出∈十、∩Bρ（x）表示所有B∈ B（R）。24埃克哈德压板和斯特凡挺杆压力ψ6≡ 0，存在y∈ 对于某些x，ψ（Y，x）6=0∈ 十、 定理5.3子空间U Uψ，γ由U给出：=DXx∈Xρ（X）ψ（y，X）exΓ（h）：h∈ 他是有限维的。现在，让m∈ 不要武断。首先，我们证明存在，tm公司∈ [0，1]这样元素x·ti，x∈ X和i=1，母马成对不同。事实上，通过归纳，我们证明了对于每个d=1，这里是t，td公司∈ [0，1]这样元素x·ti，x∈ X和i=1，大胆两两不同。对于d=1，我们可以选择t：=1。对于导入步骤d→ d+1我们选择td+1∈ [0，1]使得所有x，x的有限多个条件std+16=x·tjx∈ X和j=1，d、 已满。

然后我们得到x·td+16=x·tj，对于所有x，x∈ X和j=1，d、 因此元素x·tj，x∈ X和j=1，d+1成对不同。现在，让c，厘米∈ R应确保mxi=1cix∈Xρ（X）ψ（y，X）exp（X·tif）=0。那么我们有mxi=1Xx∈十、ciρ（x）ψ（y，x）exp（x·tif）=0。通过命题C.2，我们推导出对于所有i=1，…，ciρ（x）ψ（y，x）=0，m和所有x∈ 十、 因为所有X的ρ（X）>0∈ 对于某些X，X和ψ（y，X）6=0∈ 十、 我们推断C=…=cm=0。自m起∈ N是任意的，我们有[[0，f]] Γ（H），我们对子空间Uψ，γ是有限维的这一矛盾进行了讨论。结论在本文中，我们研究了具有真实远期利率动态的过程驱动HJMM方程（1.1）的有效实现的存在性。综上所述，我们发现，在适当的条件下，当且仅当满足以下三个条件时，HJMM方程（1.1）才具有有效的实现：（i）风险中性HJMM方程具有有效的实现。（ii）子空间Uψ，Uψn有限尺寸。（iii）子空间Uγ，Uγ线尺寸有限。因此，如果有人对a ffne实现的存在感兴趣，这建议选择模型，其中γ，γnare常数和纯跳跃Lévy过程x，具有有限跳跃大小分布的Xnare复合泊松过程。在这种情况下，存在有效变现的一个充分条件是所有波动率σ，σ和γ，γ是准指数。具有仿射实现的真实世界远期利率动态25因此，当考虑在其真实世界约束下的期限结构动态的全貌时，在有限活动的情况下，只有非常受限的期限结构模型才可能存在。

这对现实的期限结构建模有着明显的影响。感谢匿名推荐人对我们的论文进行了认真的研究，并提出了宝贵的意见和建议。附录A.关于实分析函数的结果在本附录中，我们提供了本文所要求的关于实分析函数的结果。在下文中，我们用J表示 我 R两个任意非空的开放区间。A、 1。引理。让f，fm：I→ 对于某些m，R是线性无关的实解析函数∈ N、 然后，存在元素θ，θm∈ J这样做f（θ）···f（θm）。。。。。。。。。fm（θ）···fm（θm）6= 0.证据首先，我们假设m=1。自f6起≡ 根据解析函数的恒等式定理，假设线性相关，存在θ∈ f（θ）6=0时的J。对于m≥ 我们从归纳法出发，假设存在θ，θm-1.∈ J这样做f（θ）···f（θm-1).........fm公司-1（θ）···fm-1（θm-1)6= 0.然后函数g:I→ R由g（θ）=det给出f（θ）···f（θm-1） f（θ）。。。。。。。。。。。。fm公司-1（θ）···fm-1（θm-1） fm公司-1（θ）fm（θ）···fm（θm-1） fm（θ）也是实解析的，其形式为g（θ）=mXi=1ξifi（θ），θ∈ i带ξ，ξm∈ R和ξm6=0。由于f，Fm是线性独立的，我们有g 6≡ 由于g是实解析的，根据解析函数的恒等式定理，存在θm∈ J，g（θm）6=0，这完成了证明。A、 2。评论我们参考【4，第5.5条】，了解与Emma a.1相似的结果。A、 3。提议让f：I→ R为实解析函数，设∧：R+→ 对于某些x，∧（x）=0的连续非常数函数∈ R+，θ+λ（x）∈ I表示所有θ∈ J和x∈ R+。如果我们有DIMHF（n）：n∈ Ni=∞,（A.1）26埃克哈德压板和斯特凡攻丝我们还有DIMHF（θ+λ）：θ∈ Ji=∞.（A.2）证明。该证明与[33，Thm.7.1]中的证明有一定的相似性。让m∈ Nbe武断。

根据（A.1），函数f，f，f（米-1） 是线性独立的。因此，引理A.1中存在元素θ，θm∈ J使得det B 6=0，其中B∈ Rm×mdenotes矩阵，对于k=0，…，Bki=f（k）（θi），m级-1 andi=1，m、 我们将显示DIMHF（θi+λ）：i=1，mi=m（A.3）的确，让ξ，ξm∈ 如果（θi+λ）=0，则R应为mxi=1ξ。因为f是I上的实分析，所以存在 > 0使得mXi=1ξ如果（θi+z）=mXi=1ξi∞Xn=0f（n）（θi）n！锌=∞Xn=0mXi=1ξif（n）（θi）n！z代表所有z∈ (-, ).这给了我们∞Xn=0mXi=1ξif（n）（θi）n！所有z的zn=0∈ ∧（R+）∩ (-, ).因为∧是连续的，对于某些x，∧（x）=0的非常数∈ R+，存在序列（zn）n∈N ∧（R+）∩ (-, ) zn6=0时，n∈ 氮和锌→ 因此，幂级数的恒等式定理适用于所有n，如果（n）（θi）=0，则yieldsmXi=1ξ∈ N、 因此Bξ=0。由于det B 6=0，我们推断ξ，ξm=0，证明（A.3）。自m起∈ N是任意的，我们得出结论（A.2），这就完成了预测。附录B.测量结果在本附录中，我们提供了本文要求的测量结果；特别是关于拉普拉斯变换的唯一性结果。由于双边拉普拉斯变换的唯一性定理（见定理B.7）在文献中不是立即可用的，我们提供了一个自包含的证明。B、 1。定义。对于（Rd，B（Rd））上的有限度量u，我们定义其傅里叶变换fu：Rd→ C、 Fu（u）：=ZReihu，xiu（dx）。B、 2。定理。设u和ν是（Rd，B（Rd））上的两个有限度量，使得Fu=Fν。那么我们有u=ν。证据例如，参见[24，Satz 15.6]。具有仿射实现的真实世界远期利率动态27B。3、定义。对于（R+，B（R+）上的有限测量u，我们定义其LaplacetransformLu：R+→ R+，Lu（λ）：=ZR+e-λxu（dx）。B、 4。定理。设u和ν是（R+，B（R+）上的两个有限度量，使得Lu=Lν。那么我们有u=ν。证据

例如，参见[24，Satz 15.6]。B、 5。定义。设u为（R，B（R））上的有限度量，并设 > 0这样的thatZRe-λxu（dx）<∞ 对于所有λ∈ (-, ).（B.1）然后我们定义其拉普拉斯变换u: (-, ) → R+，Lu（λ）：=ZRe-λxu（dx）。B、 6。引理。设u为（R，B（R））上的有限度量，设 > 0使（B.1）满足，并让G C是开放集：={z∈ C：Re z∈ (-, )}.（B.2）然后函数lu：G→ C、 Lu（z）：=ZRe-zxu（dx）（B.3）是全纯的。证据我们定义了映射f:G×R→ C、 f（z，x）：=e-zx。然后，我们很容易验证是否满足以下条件：（a）f（z，·）∈ L对于所有z∈ G、 （b）对于所有x∈ R映射f（·，x）：G→ C是全纯的。（c） 对于每个紧凑型球K G有一个非负函数gK∈ lsuchthe | f（z，·）|≤ GK适用于所有z∈ K、 因此，根据[17，Satz IV.5.8]，函数Lu是全纯的。B、 7。定理。设u和ν为（R，B（R））上的两个有限度量，并设 > 0这样的话-λxu（dx）<∞ 安德兹雷-λxν（dx）<∞ 对于所有λ∈ (-, ),和Lu=Lν. 那么我们有u=ν。证据我们定义了开集G C除以（B.2）和函数Lu，Lν：G→ 根据（B.3）。那么Lu和Lν是引理B.6的全纯的。自L起u=Lν、 我们有Lu| H=Lν| H，其中H G表示子项：={z∈ C：Re z∈ (-, ) Im z=0}。通过全纯函数的恒等定理（例如，参见[31，Satz 8.1.3]），我们推断出Lu=Lν。适用于所有u∈ R我们有iu∈ G、 和henceFu（u）=ZReiuxu（dx）=Lu（iu）=Lν（iu）=ZReiuxν（dx）=Fν（u），表明Fu=Fν。根据定理B.2，我们推导出u=ν。本附录的最后一个辅助结果表明，aLebesgue空间的等价类最多可以有一个连续代表。28 ECKHARD压板和STEFAN TAPPEB。引理。

设I=[c，d]是c，d的区间∈ R和c<d，设F是（R，B（R））上的绝对连续测度，使得F几乎所有x的dfdλ（x）>0∈ 一、 设f，g:R→ R是两个函数，使得f | i和g | i是连续的，对于λ-几乎所有x，wehavef（x）=g（x）∈ R、 （B.4）那么我们有f | I=g | I证明。通过f和g的连续性，证明了对于allx，f（x）=g（x∈ （c，d）。相反，假设存在x∈ （c，d）使得f（x）6=g（x）。根据f和g的连续性，存在δ>0，使得（x-δ、 x+δ） （c，d）和f（y）6=所有y的g（y）∈ （十）- δ、 x+δ）。然后，设置ρ：=dFdλ，我们有f（（x- δ、 x+δ））=Zx+δx-Δρ（x）dx>0，这与（B.4）相矛盾。附录C.关于线性独立函数的结果在本附录中，我们收集了关于线性独立函数的结果。让Xbe成为一个有限集。我们用`（X）表示所有函数f:X的向量空间→ R、 对于f，g∈ `（十） 我们定义线段[[f，g]] `（十） as[[f，g]]：={f+t（g- f） ：t∈ [0, 1]}.C、 1。提议设f，g∈ `（十） 使集合（g-f） （X）不明确。那么下面的陈述是正确的：（1）子空间U `（十） 给定byU：=hexp（h）：h∈ [[f，g]]是有限维的。（2） 如果[[f，g]] 汞柱- fi，然后是子空间V `（十） 给定byV：=hexp（h）- 1：小时∈ [[f，g]]是有限维的。证据我们设置h：=g- f首先，我们将显示每个m∈ N功能SP（j2-mh），j=-2m，2m（C.1）在`（X）中线性独立。的确，让c-2m，厘米∈ R应确保MXK=-2mcjexp（j2-mh）=0。定义d：=2m+1和向量γ∈ Rd+1asγj：=cj-2对于j=0，d weobtainexp（2-mh）dXj=0γjexp（2-mh）j=0。由于h（X）根据假设是有限的，因此存在元素X，除息的∈ X使得h（xi），i=0，d两两不同。我们得到dxj=0γjexp（2-mh（xi））j=0，i=1。

，d.具有仿射实现的真实世界远期利率动态29定义Vandermonde矩阵A∈ R（d+1）×（d+1）作为Aij：=经验（2）-mh（xi））jfori，j=0，d我们得到A·γ=0。自exp（2）起-mh（xi）），i=0，d是两两不同的，我们推断γ=0，因此c-2m=…=cm=0，表示函数的线性独立性（C.1）。现在，我们准备证明这两个陈述：（1）让m∈ N是任意的，让c，厘米∈ R应确保mxj=0cjexp（f+j2-mh）=0。然后我们得到exp（f）mXj=0cjexp（j2-mh）=0，因此c=…=cm=0，函数的线性独立性（C.1）。自m起∈ N是任意的，我们推断子空间U是有限维的。（2） 让m∈ 不要武断。自[[f，g]] hhi，存在λ∈ R \\{0}和N∈ N使得集合[[f，g]]∩ {j2-nλh:j=1，2n}至少有m个元素。因此，通过函数（C.1）的线性独立性，有h，hn公司∈ [[f，g]\\{0}这样，当h：=0时，函数sp（hi），i=0，n（C.2）在`（X）中线性独立。现在，让c，厘米∈ R应确保mxi=1ci（exp（hi）- 1) = 0.那么我们有-mXi=1ciexp（h）+mXi=1ciexp（hi）=0，这意味着c=…=cm=0，函数的线性独立性（C.2）。自m起∈ N是任意的，我们推断子空间V是有限维的。C、 2。提议让f∈ `（十） 使有一个序列（xn）n∈N X，所有n的f（xn）6=0∈ N和f（xn）→ 0作为n→ ∞. 那么，对于所有的m∈ 所有成对差异，tm公司∈ R函数sp（tjf），j=1，m（C.3）在`（X）中线性独立。证据这个证明与[33，Thm.7.1]中的证明有一些天然的相似之处。在这个问题中，让c。

厘米∈ R应使mxj=1cjexp（tjf）=0。我们定义了功能G:R→ R、 g（z）：=mXj=1cjexp（tjz）。30 ECKHARD压板和STEFAN挺杆g具有幂级数表示g（z）=∞Xi=0aizi，z∈ R、 其中系数由ai=mXj=1cjtij，i给出∈ N、 实际上，通过指数函数的幂级数表示，对于每个Hz∈ R我们有g（z）=mXj=1cjexp（tjz）=mXj=1cj∞Xi=0（tjz）ii=∞Xi=0i！mXj=1cjtijzi公司=∞Xi=0爱子。我们确定了序列（zn）n∈N R \\{0}为zn：=f（xn）表示n∈ N、 那么我们有锌→ 0作为n→ ∞ 对于所有n，g（zn）=0∈ N、 幂级数的恒等式定理适用于所有i，并得出ai=0∈ N、 定义Vandermondematrix A∈ Rm×mas Aji：=对于i=0，…，Tijj，m级-1和j=1，m、 矢量c：=（c，…，cm）>∈ Rm，我们得到A>·c=0。由于t，t根据不同的假设，我们推出c=0，这证明了函数的线性独立性（c.3）。参考文献【1】Barski，M.，Zabczyk，J.（2012）：带Lévy摄动的Heath Jarrow Morton-Musiela方程。微分方程杂志253（9），2657–2697。[2] Becherer，D.（2001）：无界半鞅的numéraire组合。《金融与随机》5（3），327–341。[3] 比约克，T.，迪马西，G.，卡巴诺夫，Y.，龙戈尔迪耶，W.（1997）：走向债券市场的一般理论。金融与随机1（2），141–174。[4] Bj"ork，T.，Kabanov，Y.，Runggaldier，W.（1997）：存在标点过程的债券市场结构。数学金融7（2），211–239。[5] 比约克，T.，兰登，C.（2002）：关于非线性远期利率模型的有限维实现的构建。金融与随机6（3），303–331。[6] Bj"ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[7] Brace，A.，Musiela，M。

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