具有仿射实现的真实世界远期利率动力学

2022-6-24 08:29:24

使用AFFINEREALIZATIONSECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEAbstract实现真实世界的远期利率动态。我们研究了现实世界概率测度下Lévy driveninterest-rate期限结构模型的存在性，到目前为止，仅在假设的风险中性概率测度下对其进行了研究。对于由维纳过程驱动的模型，所有在风险中性方法下获得的关于a ffne实现存在性的结果都转移到一般情况下。对于由具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程驱动的模型，类似的结果也是成立的。然而，在有限活动出现跳跃的情况下，我们对风险市场价格的结构进行了严格限制；通常，它甚至必须是常数。1、引言本文的目的是研究HJM（Heath Jarrow Morton）利率期限结构模型drt公司=ddξrt+α（rt，Yt）dt+σ（rt）dWt+γ（rt-)基准方法框架中的dXtr=hY=y（1.1）（见[30]）允许一种有效的实现。这里，W是一个Rd值维纳过程，X是一个Rn值纯跳跃Lévyprocess X，其组件具有规范表示Xk=X*uXkfork=1，m和Xk=x* （uXk- νk）对于k=m+1，n、式中，νkdenotes为相应的补偿器。在风险中性定价下，对于维纳过程驱动的经典HJM模型，我们参考[21]，对于莱维过程驱动的HJM模型，我们参考[11]–[16]。我们研究了真实世界概率测度下的项结构方程（1.1），并采用Musiela参数化（见[7]），这在某种适当的希尔伯特空间H上产生了一个符合[28]精神的随机偏微分方程（SPDE），我们将（1.1）称为HJMM（Heath Jarrow Morton Musiela）方程。风险中性HJMM方程已在[18、19、1、29、27]中进行了研究。

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2022-6-24 08:29:27

（1.1）中的过程Y是某个状态空间Y上的外部状态过程，出现在下面的漂移项（1.2）中。为了确保债券市场无套利，pt（T）=exp-ZT公司-trt（ξ）dξ2010年数学学科分类。91G80、60H15。关键词和短语。利维驱动的利率模型、真实世界的远期利率动态、有效实现、风险的市场价格。2 ECKHARD PLATEN和STEFAN Tappew在基准方法的框架内，基准债券价格必须是局部鞅，通过选择形式为（1.2）α（h，y）=-dXk=1σk（h）∑k（h）- Θk（y）σk（h）-mXk=1γk（h）ZRxΦk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）-nXk=m+1γk（h）ZRxΦk（y，x）exΓk（h）- 1.Fk（dx）。我们参考第2节了解基准方法，参考第3节了解漂移条件的推导（1.2）。这里我们使用符号∑（h）=-Ro∑（h）（ξ）dξ和Γ（h）=-Ro（h）（ξ）dξ和fk是Lévy测度。此外，（θ，ψ）=（Θ（Y），ψ（Y））表示风险的一对市场价格，我们设置Φ（Y）=1- ψ（Y）。我们称（θ，ψ）为风险的一对市场价格，因为每个∈ 债券价格的动态形式为P（T）=P（T）E（R+a（T））·λ+b（T）·W+c（T）* （uX- ν),（1.3）其中，R表示短期利率，（θ，ψ）是方程a（T）=hb（T），θiRd+hc（T），ψiL（F）的解。（1.4）此外，严格正的supermartingaleZ=E- θ·W- ψ * （uX- ν)（1.5）定义了等价局部鞅测度的密度过程的候选者，并且当且仅当ifZ是P（Z）的一致可积鞅时，它提供了等价局部鞅测度∞> 0) = 1.（1.6）HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在确保了模型的较大分析可跟踪性，并且在经典风险中性方法下，存在关于期限结构模型的有效实现的成熟文献。

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2022-6-24 08:29:30

例如，对于维纳过程驱动模型，我们参考[6、5、20、32]，对于莱维过程驱动模型，我们参考[33]。在所有这些参考文献中，分析实现的主要思想是，对于每个初始曲线H，都存在一个有限维子流形，求解过程r停留在该子流形上。与有效实现的这种风险中性定义相比，在我们的框架中，我们要求对于每个初始曲线H，存在一个有限维子流形，以便对于状态过程Y的每个起始点Y，HJMM方程（1.1）的解r保持在该子流形上，这意味着我们可以自由指定风险的市场价格。本文的第一个目标是推导出一个标准，该标准引用了上述文献中提到的风险中性情况。也就是说，我们的主要结果（见定理5.3）表明，HJMM方程（1.1）在满足以下两个条件的情况下具有有效性：（i）风险中性HJMM方程具有有效性。（ii）我们有dim Uψ，γ<∞.这里，风险中性HJMM方程对应于（Θ，ψ）=0，但在我们的框架中，我们不假设存在等价的局部鞅测度，以及子空间Uψ，γ H定义为asUψ，γ：=DnXk=1ZRψk（y，x）exΓk（H）Fk（dx）：H∈ H和y∈ 是的。（1.7）文献中已经深入研究了具有仿射实现3的真实世界远期利率动态，我们的下一个目标是更仔细地研究条件（ii），以找到更容易检查的等效条件。我们随后的结果（见命题8.1和定理9.1、10.1）表明，在适当的假设下，条件（ii）等价于以下两个条件：（a）我们有dim Uψk<∞ 对于k=1，n、（b）我们有dim Uγk<∞ 对于k=1，n、这里的子空间Uψk L（Fk）和Uγk L（Fk；H）定义为asUψk：=hx 7→ ψk（y，x）：y∈ Yi，k=1。

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2022-6-24 08:29:33

，n，（1.8）Uγk：=hx 7→ exΓk（h）：h∈ 嗨，k=1，n、（1.9）条件（ii）和（a）导致在有限活动中出现跳跃时，风险的市场价格受到严格限制。我们将看到，作为进一步的结果，在这种情况下，风险的市场价格通常甚至必须保持不变；（ii）得出的结果见命题7.1，而（a）得出的结果见命题9.2。此外，定理10.1甚至表明，在适当的假设下，条件（ii）意味着波动率γ是常数。因此，我们得出结论，在适当的假设下，条件（a）和（b）等价于以下两个条件：（a’）莱维过程Xk，k=1，n是具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程。（b’）挥发性γk，k=1，n是常数。在概述了与（ii）等价的条件之后，让我们继续解释条件（ii）。注意，子空间Uψ，γ仅依赖于ψ和γ。因此，对于没有跳跃的纯维纳过程驱动模型，在风险中性的情况下，一个α实现的存在等同于一个α实现的存在，而对于有跳跃的利率模型，我们需要一个附加条件，即子空间Uψ，γ是有限维的。

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2022-6-24 08:29:36

在备注6.3和6.4中，我们将提供几何解释，我们将在此总结：o第一种解释是一种不同的几何解释：–在维纳过程驱动的情况下，条件（i）意味着对于agiven子流形，我们需要的随机不变性所需的切向条件对于y的每一个选择都已经满足了∈ Y、 –相反，如果模型有跳跃，则当且仅当子空间Uψ，γ是有限维的时，这些切向条件才是完整的。o第二种解释涉及量度变化。y的所有选择∈ Ygives上升为等价局部鞅测度的密度过程的候选者（1.5）。如果条件（1.6）已满，则以下陈述为真：–对于没有跳跃的维纳过程驱动模型，新概率测度下的漂移项与经典HJM漂移条件一致。因此，更改y∈ Y在等价测度变化后导致动力学，这不会影响agiven子流形的随机不变性否则，在存在跳跃的情况下，新概率测度下的漂移项与arisk中立型模型的HJM漂移项不一致。因此，更改y∈ Y通常不能与等价的度量变化相关联，因此，不保持随机不变性。4 ECKHARD PLATEN和STEFAN Tappen本文的其余部分组织如下。在第2节和第3节中，我们回顾了基准法下债券市场模型的基本思想和概念。在第4节中，我们提供了由Lévy过程驱动的一般SPD的不变叶理和函数化的结果。在第5节中，我们讨论了HJMM方程的实现，并给出了子空间Uψ，γ的指示结果。

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2022-6-24 08:29:39

然后，作为特例，在第6节中，我们研究了维纳过程驱动的HJMM方程，在第7节中，Lévy过程驱动的NHJMM方程，其中漂移项可以用Lévy过程的累积量生成函数来描述。在第8节中，我们展示了条件（a）和（b）隐含条件（ii）。在第9节和第10节中，我们讨论了这个结果的相反含义。第11节结束。为了方便读者，附录A–C提供了我们在本文中需要的辅助结果。2、基准法下的债券市场模型本节，我们回顾了基准法的基本思想和概念，这是我们在本文中对债券市场模型的要求。即将到来的定义和结果是众所周知的，可以在[30]中找到，但我们提供它们（提供证据），以保持我们的演示文稿的完整性，并引入符号，这将在后续章节中需要。从现在开始，让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是具有右连续过滤的过滤概率空间。在续集中，我们将使用[23]中的符号；特别地，δ·P表示局部有界可预测过程δ相对于半鞅P的随机积分。对于每个T∈ R+设P（T）=（Pt（T））T∈[0，T]是到期日为T的零息票债券的定价过程，我们假设它是PT（T）=1的负半鞅。我们回顾了资产定价理论中的一些基本概念。2.1. 定义。对于每个n∈ N和所有0≤ T<…<Tn<∞ 我们称之为avectorδ=（δT，…，δTn），由局部有界的可预测过程δTk=（δTkt）T组成∈[0，Tk]一种策略。2.2. 定义。对于策略δ=（δT，…，δTn），我们定义了投资组合Sδ=（SδT）T∈[0，T]作为向量内积Sδ：=δP，其中P=（P（T），P（Tn））。2.3. 定义。策略δ=（δT。

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2022-6-24 08:29:42

，δTn）和相应的投资组合Sδ称为自我融资，如果我们有Sδ=Sδ+δ·P，其中P=（P（T），P（Tn）），δ·P表示向量It^o积分。2.4. 定义。如果Sδ=0且存在停止时间τ，则非负自融资投资组合Sδ称为套利投资组合≤ t确认P（SΔτ>0）>0。请注意，定义2.4是一个相当弱的套利概念，因为我们只考虑非负投资组合。2.5. 定义。一个严格正的投资组合过程Sδ*= （Sδ*t） t型∈如果对于每个非负自我融资投资组合Sδ，基准投资组合Sδ=（Sδt）t∈[0，T]定义为^Sδ：=Sδ/Sδ*是局部鞅。2.6. 评论设Sδ*成为增长最优投资组合，让Sδ成为非负的自我融资投资组合。因为Sδ是非负的，Sδ*如果是正的，则基准Portfolio^Sδ是非负局部鞅，因此是超鞅。具有仿射实现的真实世界远期利率动态52.7。评论增长最优投资组合的名称来源于Sδ*是最大化预期对数效用的投资组合；有关更多详细信息，请参见[30]。下一个结果证明了增长最优投资组合对于套利投资组合的重要性。为了完整性，我们在这里提供它的证明。2.8. 提议假设存在一个增长最优投资组合Sδ*. 那么就不存在套利投资组合。证据设Sδ为非负的自融资投资组合，使得Sδ=0。此外，设τ≤ t停车时间。由于^Sδ是一个非负的上鞅，我们得到了byDoob的可选采样定理0≤ E[^SΔτ]≤ E[^Sδ]=0，其屈服于[Sδτ/Sδ*τ] =E[^SΔτ]=0。自Sδ/Sδ*为非负，则得出usP（Sδτ/Sδ*τ=0）=1，并且，由于Sδ*是严格正的，我们得到P（Sδτ=0）=1。接下来，我们回顾如何在基准方法下执行实际定价。2.9. 定义。

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能者818

2022-6-24 08:29:45

设Sδ*成为增长最佳的投资组合，让T∈ R+是任意的，设H是非负的FT可测随机变量，使得H/Sδ*T∈ L（P）。我们定义了真实世界的价格过程πδ*（H） =（πδ*t（H））t∈[0，T]通过真实世界定价公式πδ*t（H）：=Sδ*tEP公司HSδ*T英尺, t型∈ [0，T]。(2.1)2.10. 评论请注意，定义2.9不依赖于局部鞅测度的存在，并且实际价格过程πδ*（H）在基准真实世界价格过程^πδ的意义上，支付是公平的*（H） =πδ*（H） /秒δ*是鞅。2.11. 评论如果对于给定的未定权益H，为自融资投资组合πδ*（H）存在，满足上述现实世界的定价公式（2.1），那么该投资组合为H提供了最便宜的对冲，见道具。3.3英寸【10】。如果考虑其他定价规则，例如正式应用的风险中性定价，则相应的基准非负、自我融资对冲组合是局部鞅，通常更昂贵。有人可以说，在竞争激烈的市场中，最小可能的价格过程是经济上正确的价格过程，这巩固了基准法的真实世界价格过程的特殊作用。2.12. 评论在第3节中，我们将研究（3.5）形式的债券市场以及（3.4）中给出的远期利率。漂移项的形式（3.3）确保∈ 零息票债券（3.5）的基准价格过程是局部鞅。根据实际定价公式pt（T）=Sδ*tEP公司Sδ*T英尺6 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEit甚至是一个真正的鞅，它代表了这一支付的最低可能债券价格过程。

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2022-6-24 08:29:48

由于任何基准自我融资投资组合都是在我们设定的一个局部鞅中，所以（3.4）的结构非常普遍，还涵盖了通过非负性投资组合以自我融资方式复制各自收益的其他定价。这些定价规则不需要与任何定价措施相关联；详情请参阅第3节。为了将我们的方法与现有文献更紧密地联系起来，让我们在numéraire pairs的框架内说明基准方法，例如，如[22]中所述。2.13. 定义。我们引入以下概念：（1）一对（N，Q）称为numéraire对，如果Q~ P是一个等价的概率测度，N是一个严格的正半鞅，对于每个非负自融资投资组合Sδ，贴现投资组合Sδ/N是一个Q-局部鞅。（2）如果（N，Q）是numéraire对，那么我们称N为numéraire，Q为估值度量。2.14. 评论If（Sδ*, P）是一个numéraire对，然后是Sδ*是定义2.5意义上的最佳增长投资组合。在经典的框架下，如果anuméraire对（N，Q）存在，债券市场被称为无套利。数字N的典型选择是savingsaccount；请参阅第3节，其中我们将对HJMmodels的情况进行更详细的调查。以下结果表明，经典意义上的无套利意味着基准法精神上的无套利，在这种情况下，定义2.9给出的某些支付的价格过程与经典风险中性定价过程一致。对于本节的其余部分，我们假设f=Wt∈R+Ft.2.15。提议

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2022-6-24 08:29:51

设（N，Q）为numéraire对，Z为Q相对于P的密度过程，Sδ*是一个严格正的F-可测随机变量。那么以下陈述是正确的：（1）进程δ*=Sδ*NNZ（2.2）是一个增长最优的投资组合。（2）对于每个T∈ R+和每个FT可测随机变量H，下面的陈述是正确的：（a）我们有H/Sδ*T∈ L（P）当且仅当H/NT∈ L（Q）。（b）如果（a）中的等效条件已满，则我们有πSδ*t（H）=NtEQHNT公司英尺, t型∈ [0，T]。证据设Sδ为非负的自我融资投资组合。由于（N，Q）是一个数，因此过程SδN=SδZNZis是一个Q-局部鞅。此外，过程1/Z是P相对于Q的密度过程。因此，通过【23，第III.3.8.b款】基准投资组合^Sδ=SδSδ*=NSδ*Sδzn具有仿射实现的真实世界远期利率动力学7是一个P-局部鞅，证明了第一种说法。为了证明第二个语句，设H为非负FT可测随机变量。然后，根据【23】第168页的公式（III.3.9），对于所有t∈ [0，T]我们得到πSδ*t（H）=Sδ*tEP公司HSδ*T英尺=NtZtEP公司HNTZT公司英尺= NtEQ公司HNT公司英尺,这就完成了证明。现在，我们对命题2.15的相反陈述感兴趣。根据（2.2），密度过程Z的自然候选值为Z：=Sδ*NNSδ*（2.3）对于给定的增长最优投资组合Sδ*一个严格正的投资组合N。2.16. 提议设Sδ*是一个增长最优投资组合，N是一个严格正投资组合，Z是（2.3）给出的严格正上鞅。那么下面的陈述是等价的：（i）存在一个等价的概率测度Q~ P打开(Ohm, F）使得（N，Q）是一个数对，Q相对于P的密度过程由Z给出。（ii）Z是与P（Z）一致可积的鞅∞> 0) = 1.证据这是【23，第III.3.5款】的结果。2.17. 评论

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2022-6-24 08:29:54

请注意，提案2.16具有以下后果：一般而言，适当的估价指标Q~ P不存在。这表明，命题2.15的相反之处通常是失败的，并说明了与经典风险中性方法相比，基准方法所获得的建模自由度。在基准方法下，我们可以选择密度过程的候选（2.3）是严格超鞅而不是一致可积鞅的模型。如【30】所述，此类模型更真实地反映了长期市场演变。这为利率期限结构模型提供了相当大的自由度，以允许在现实世界的概率度量下进行有效实现如果适当的估价措施Q~ P存在，则由于密度过程的特定形式（2.3），它是唯一的。从这个意义上说，我们得到了一个唯一的局部鞅测度，即使市场不完全，也能产生最小的可能价格在基准方法下，允许使用真实世界定价以外的其他定价规则，当这些规则产生自我融资的非负投资组合时，这些投资组合将复制给定的收益。当进行基准测试时，这些投资组合是局部鞅，因此是超级鞅，它们比实际价格更昂贵。这些投资组合并不代表基准法下的套利投资组合。3、基准法下的HJM模型本节，我们对基准法下的HJM利率期限结构模型产生的债券市场进行了回顾。正如第2节所述，即将到来的定义和结果是众所周知的，我们提供这些定义和结果是为了保持我们的演示文稿的完整性，并引入我们稍后需要的进一步符号。

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2022-6-24 08:29:57

本节的主要参考文献为基准法下的HJM模型参考文献[9]和[8]，以及风险中性HJM模型参考文献[11]。8 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEWe fix非负整数d，n∈ n带d+n∈ N和m∈ {0，…，n}。设w为Rd值标准维纳过程，X为Rn值纯jumpLévy过程，其分量的正则表示（见[23，Thm.II.2.34]）由Xk=X给出*uxk对于k=1，m和Xk=x*（uXk-νk）fork=m+1，n、式中，νk表示uXk的补偿器。我们用X的Févy测度表示，用k=1的Févy测度表示，n、用ν表示uX的补偿器，我们得到ν（dt，dx）=dt F（dx）和νk（dt，dx）=dt 对于k=1，…，Fk（dx），n、我们假设Lévy过程X，Xnareindependent独立。我们确定初始正向曲线f*: R+→ R、和挥发性σ：Ohm × → Rd和γ：Ohm × → Rn，其中 RDE记录集合 := {（t，t）∈ R+：t≤ T}。对于本节的其余部分，我们将施加以下条件，这些条件通常适用于HJM型模型。3.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）f*可测且局部可积。（2）波动率σ是O B（R+）-可测且局部有界。（3）波动率γ是P B（R+）-可测且局部有界。根据假设3.1，综合波动率∑：Ohm × → RdandΓ：Ohm × → 定义为∑t（t）：=-RTtσt（s）ds和Γt（t）：=-RTtγt（s）ds定义良好，综合波动率∑是OB（R+）-可测量，以及积分波动率Γ是P B（R+）-可测量。对于以下内容，λ表示R+上的Lebesguemeasure。3.2. 定义。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:30:00

如果φ：=1，则一对（θ，ψ）称为风险市场价格对- ψ满足以下条件：（1）θ：Ohm ×R+→ rdi是一个可选过程，使得kθkRd·λ∈ V+。(2) ψ : Ohm×R+×R→ (-∞, 1） nis是一个可预测的过程，因此对于所有∈ R+我们有xφk（x）ex∑k（T）* νk∈ V+，k=1，m、（3.1）x个φk（x）ex∑k（T）- 1.* νk∈ V+，k=m+1，n、（3.2）（3）α（θ，φ）局部有界，其中α（θ，φ）：Ohm × → R定义为（3.3）α（θ，φ）t（t）=-dXk=1σkt（T）（σkt（T）- θkt）-mXk=1γkt（T）ZRxφkt（x）exΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxφkt（x）exΓkt（T）- 1.Fk（dx）。现在，我们确定了一对风险市场价格（θ，ψ），并定义了（0，∞)n-值过程φ：=1- ψ. 此外，我们根据（3.3）定义漂移α（θ，φ），并考虑HJM期限结构模型f（T）=f*（T）+α（θ，φ）（T）·λ+σ（T）·W+γ（T）·X，T∈ R+。（3.4）这里，“局部有界”一词是指波动率在每个有界子集Γ上有界 .具有仿射实现9的真实世界远期利率动力学对于以下内容，我们假设∈ R+债券价格过程P（T），由pt（T）=exp给出-ZTFT（s）ds, t型∈ [0，T]（3.5）是一个特殊的半鞅。3.3. 评论定义的前两点3.2确保α（θ，φ）定义良好，且α（θ，φ）是O B（R+）-可测量。3.4. 评论请注意，假设3.1和定义3.2意味着f有aO B（R+）-可测量版本，短期利率定义为Rt：=f（t，t），t∈ R+有一个可选的局部可积版本。以下结果表明，在附加可积性条件（3.6）的约束下，市场风险价格对（θ，ψ）按照基准法的精神产生了无套利债券市场。3.5. 提议假设ψ+ψ1 - ψ* ν ∈ V+。（3.6）那么以下陈述是正确的：（1）存在一个增长最优投资组合Sδ*.（2）不存在套利投资组合。校样草图。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:30:03

确定过程Sδ*作为随机指数δ*= Sδ*ER+kθkRd+Dψ1- ψ、 ψEL（F）· λ+θ·W+ψ1- ψ* （uX- ν),（3.7）我们可以验证，对于每一个非负的自我融资投资组合Sδ，基准投资组合Sδ=Sδ/Sδ*是局部鞅。因此，Sδ*是一个增长最优投资组合，根据命题2.8，不存在套利投资组合。3.6. 评论增长最优投资组合Sδ的动力学（3.7）*已在[9]中得到证实。3.7. 评论根据第3.5条建议的证明草图中所示的计算，我们得出，对于每个T∈ R+债券价格过程P（T）的形式为（1.3）。如【9】所示，这对（θ，ψ）是方程（1.4）的解，它解释了术语“风险的市场价格对”。现在，我们回顾一下HJM利率模型（3.4）在风险中性框架内不允许套利的情况。如果存在局部鞅测度，即等价概率测度Q，则债券市场模型无套利~ 这样，对于所有T∈ R+贴现债券价格P（T）/B是Q-局部鞅。3.8. 提议假设F=Wt∈那么下面的陈述是等价的：（i）存在一个等价的局部鞅测度Q~ P打开(Ohm, F）。（ii）我们有（|ψ|）∧ ψ) * ν ∈ V+，（3.8）和（1.5）满意度（1.6）给出的正上鞅Z。如果满足上述条件，则Z是相对于P.10 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEProof的Q密度过程。关于证明，我们参考【11，Thm.3.1】。如前所述，这是Girsanov定理的结果（见[23]），它也基本上包含在[3]中。3.9. 评论现在，我们可以比较基准法实际定价和经典风险中性法下的HJM模型。

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2022-6-24 08:30:06

在bothapproaches中，我们首先写下真实世界概率测度P下的远期利率动态（3.4）；也就是说，我们指定了波动率σ和γ，以及风险的市场价格对（θ，ψ）。如【2】所述，有两种查找数字对的双重方法：o修复进程N和查找Q~ P使得（Q，N）是一个numéraire对。在经典的风险中性方法中，这是通过选择savingsaccount B作为numéraire的候选来实现的。因此，在存在的情况下，numéraire对由（Q，B）给出固定等效度量值Q~ P并找到一个过程N，使得（Q，N）是一对。在基准方法下，这是用现实世界的度量P来完成的。如果存在，则numéraire是一个增长最优投资组合Sδ*, 因此，numéraire对由（P，Sδ）给出*).除了略有不同的可积性条件（3.6）和（3.8），命题3.5和3.8表明基准方法在这方面更为普遍。在基准方法下，我们可以选择模型，其中（1.5）给出的密度过程的候选Z是严格的超鞅，而不是统一积分鞅。如【30】所述，此类模型更真实地反映了长期市场演变。下面是一类利率模型的示例，其中Z是严格的超鞅，即使有终值Z∞= 有关平方贝塞尔过程的详细信息，请参阅【30，第8.7节】及其参考文献。3.10. 实例为简单起见，我们考虑了HJM期限结构模型FORMF（T）=f*（T）+αθ（T）·λ+σ（T）·W，T∈ 由一维标准维纳过程驱动的R~+。让y∈ (0, ∞) 任意设置b：=1/y。然后SDE（dBt=4dt+2√BtdWtB=b（3.9）有一个唯一的正解b，称为四维的平方贝塞尔过程。

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能者818

2022-6-24 08:30:09

此外，过程Y：=1/B是SDE（dYt=-2Y3/2tdWtY=y（3.10），它是一个正的局部鞅，是一个严格的超鞅，具有终端变量y∞= 我们确定风险的市场价格θ：=2√Y用Z表示：=E(-θ·W）密度过程的候选者，我们得到Z=Y，因为用L表示随机对数，我们得到Z=E(-θ·W）=E(-2.√Y·W）=EY型·- 2Y3/2·W= EY·Y= E（L（Y））=Y。因此，根据命题3.8，不存在等价的局部鞅测度。然而，根据命题3.5，不存在套利投资组合，因此，基于真实世界定价的仿射变现11市场的债券真实世界远期利率动态根据基准法的精神是无套利的。我们可以通过添加纯跳跃Lévy过程来扩展示例3.10。upcomingexample提供了这样一个扩展，其中包含一个额外的驱动泊松过程。3.11. 实例我们考虑具有一维标准维纳过程W和一维标准泊松过程X的形式（3.4）的HJM期限结构模型。通过Y表示SDE（3.10）的解，我们通过θ：=2定义风险的市场价格（θ，ψ）√Y和ψ（x）：=-Y代表x∈ R、密度过程的候选者Z：=E(-θ·W-ψ *（uX-ν)). 那么我们有z=Y E(-ψ * （uX- ν）），因此Z∞= 如例3.10所示，不存在等价的局部鞅测度，但基于真实世界定价的债券市场在基准法的精神下不存在套利。注意，对于特定选择（θ，φ）=（0，1）或等效选择（θ，ψ）=（0，0），漂移项（3.3）成为众所周知的HJM漂移条件（3.11）α（0，1）t（t）=-dXk=1σkt（T）∑kt（T）-mXk=1γkt（T）ZRxexΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxexΓkt（T）- 1.Fk（dx）。让我们回顾一下HJM利率期限结构模型（3.4）在等效度量变化后的动态。3.12. 提议

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2022-6-24 08:30:13

假设命题3.8的条件已满足。然后，在局部鞅测度Q下，我们得到f（T）=f*（T）+α（T）·λ+σ（T）·W+γ（T）·X，T∈ R+，其中W是Rd值标准维纳过程，过程X是Rn值纯跳半鞅，带补偿器φt（X）F（dx）dt，漂移由（3.12）(R)αt（t）=-dXk=1σkt（T）∑kt（T）-mXk=1γkt（T）ZRxYkt（x）exΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxYkt（x）exΓkt（T）- 1.Fk（dx）。证据这源自【11，第3.1条】及其证明。3.13. 评论让我们区分命题3.12中出现的两种情况：o如果HJM模型（3.4）仅由维纳过程驱动，则我们有‘α=α；也就是说，测量值改变后的漂移项与经典的HJM漂移项一致。因此，对于风险θ的市场价格的每一个选择，模型的动力学在广义上可以被视为在等效度量变化之后；当然，只有符合提案3.8的技术要求，尤其是有关密度过程的特殊条件（1.6）。o如果HJM模型（3.4）有驱动跳跃项，则通常我们有‘α6=α（0,1）；也就是说，测量值变化后的漂移项不同于经典的HJM漂移项。这一观察的原因是，与维纳过程相比，在12 ECKHARD PLATEN和STEFAN TappenContrast中，具有跳跃的Lévy过程在测度改变后具有不同的特征。因此，改变风险的市场价格不能再被解释为等价的度量变化；即使在广义上，我们忽略了条件（1.6）。这些考虑因素将为我们即将得出的结果提供几何解释，包括是否存在有效的实现；见下文备注6.3和6.4。4.

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能者818

2022-6-24 08:30:16

由Lévy过程驱动的SPD的仿射实现在本节中，我们提供了关于由Lévy过程驱动的SPD的不变叶理的结果，稍后我们将应用于HJMM方程（1.1）。请参阅[32，第2和3节]和[33，第2节]，了解有关各种叶理的更多详细信息和解释。修复正整数n∈ 设X是具有独立分量的Rn值Lévy过程。为了避免琐事，我们假设ck+Fk（R）>0 fork=1，n、其中ck∈ R+表示高斯部分，FK表示Lévy度量。设Y为非空拓扑空间，设（Yy）Y∈Ybe是一个Y值、自适应和cádlág过程族，Yy=Y表示所有Y∈ Y、我们将处理这种类型的SPDEsofdrt公司=Art+α（rt，Yt）dt+σ（rt-)可分Hilbert空间H上的dXtr=hY=y（4.1）。在（4.1）中，算子a:D（a） H→ H在C-半群（St）t的极小生成元内≥H上为0，α：H×Y→ H和σ：H→ Hnare可测映射。本着[28]的精神，对于h∈ H和y∈ 我们称之为H值cádlág适应过程（rt）t≥0（4.1）的弱溶液，R=手Y=Y，如果每个ζ∈ D（A*) 我们有hζ，rtiH=hζ，hiH+Zt哈*ζ、 rsiH+hζ，α（rs，Yys）iHds+nXk=1Zthζ，σk（rs-)iHdXks，t≥ 0，其中h·，·ih表示希尔伯特空间h.4.1的内积。评论在HJMM方程（1.1）中，族（Yy）y∈Y代表提供风险流程市场价格的来源。更准确地说，在接下来的第5节中，我们将确定确定性映射Θ：Y→ Rdandψ：Y×R→ (-∞, 1） n，我们将任何起点y的风险市场价格定义为（θ，ψ）：=（Θ（Yy），ψ（Yy））∈ Y

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kedemingshi

2022-6-24 08:30:19

因为对家庭（Yy）y没有限制∈Y、这提供了风险过程市场价格的一般类别，参数形式将便于技术目的，例如在第9节中，当我们将证明公布的结果，即在某些假设下，风险的市场价格必须是恒定的。在本节中，我们施加以下正则性条件，以确保（4.1）弱解的存在性和唯一性。4.2. 假定我们假设存在常数K，L>0，使得Kα（h，y）kH≤ K（1+khkH）（4.2）真实世界远期利率动态，所有h的仿射实现13∈ H和y∈ Y、 andkα（h，Y）- α（h，y）kH≤ Lkh公司- hkH，（4.3）kσk（h）- σk（h）kH≤ Lkh公司- hkH，k=1，n（4.4）对于所有h，h∈ H和y∈ Y、在下面的内容中，让V H是有限维线性子空间。4.3. 定义。A系列（Mt）t≥a ffine子空间Mt的0 H、 t型≥ 如果存在ψ，则0称为V生成的接触∈ C（R+；H）使得mt=ψ（t）+V，t≥ 映射ψ称为叶理（Mt）t的参数化≥0.在下面的内容中，让（Mt）t≥0是由子空间V生成的叶理。4.4. 定义。让y∈ 你可以任意。叶理（Mt）t≥0被称为（4.1）的不变量，Y=yif表示所有t∈ R+和h∈ M弱溶液r至（4.1），r=手Y=ysatis fiesp（rt∈ Mt+t）=1表示所有t∈ R+。4.5. 定义。叶理（Mt）t≥0对于（4.1）称为不变量，如果对于everyy∈ Y对于（4.1）Y=Y是不变的。以下两个结果的证明类似于[33，第2节]（另见[32，第2节]），因此省略。在下文中，子空间T Mt：=ψ（T）+V表示时间T时叶理的切线空间。其定义不取决于参数化ψ的选择；参见【32】。4.6. 定理。让y∈ Y是任意的，假设叶理（Mt）t≥0是Y=Y的（4.1）变量。

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何人来此

2022-6-24 08:30:22

那么我们有 D（A），t∈ R+，（4.5）Ah+α（h，y）∈ T Mt，T∈ R+和h∈ Mt，（4.6）σk（h）∈ 五、 t型∈ R+，h∈ M和k=1，n、（4.7）4.7。定理。以下陈述是等效的：（i）叶理（Mt）t≥0对于（4.1）是不变的。（ii）我们有 D（A），t∈ R+（4.8）Ah+α（h，y）∈ T Mt，T∈ R+和（h，y）∈ Mt×Y，（4.9）σk（h）∈ 五、 t型∈ R+，h∈ M和k=1，n、（4.10）4.8。定义。让y∈ 你可以任意。（1）让V H是有限维子空间。Y=yh的SPDE（4.1）是由V if为每个h生成的a ffne实现∈ D（A）存在叶理（Mt）≥0由V和h生成∈ M、对于Y=Y的（4.1）是不变的。（2）Y=Y的SPDE（4.1）是一个明确的实现，如果它具有由某个有限维子空间V生成的Y=Y的能量化。4.9. 定义。（1）让V H是有限维子空间。SPDE（4.1）每小时由V if生成一个函数∈ D（A）存在叶理（Mt）t≥0由V和h生成∈ M、这对于（4.1）是不变的。注意，根据定义4.5，后一种情况意味着每年∈ Y叶理（Mt）t≥0对于（4.1）Y=Y.14 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPE，它是不变的（2）如果SPDE（4.1）有一个由某个有限维子空间V生成的a ffine实现，则它有一个ffine实现。从现在起，我们固定元素y*∈ Y、并处理当Y=Y时存在一个有效实现的问题*这意味着存在一种功能化。为此，我们定义了子空间Uy* H asUy公司*:= hα（h，y）- α（h，y*) : h类∈ H和y∈ 易。（4.11）在这里，以及在续集中，我们用hBi表示由一些子TB生成的线性空间 H、没有混淆希尔伯特空间内积的危险，我们用H·，·iH表示。4.10. 定理。

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kedemingshi

2022-6-24 08:30:25

以下陈述是等效的：（i）SPDE（4.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的SPDE（4.1）*有一个有效的实现*是D（a）的有限维子空间。证据（一）=> （ii）：根据假设，Y=Y的SPDE（4.1）*有一个很好的认识。设V是生成a ffine实现的有限维子空间，设h∈ D（A）任意。然后存在叶理（Mt）t≥0由Vwith h生成∈ M、这对于（4.1）是不变的。根据定理4.7的条件（4.9），weobtainAh+α（h，y）∈ 所有h的T M∈ 曼德所有y∈ Y、特别是，对于所有h∈ 曼德所有y∈ 我们得到α（h，Y）- α（h，y*) =Ah+α（h，y）-Ah+α（h，y*)∈ 五、因此，我们推导出α（h，y）- α（h，y*) ∈ V代表所有h∈ D（A）和所有y∈ Y、因为α（·，Y）对于每个Y都是连续的∈ Y、域D（A）在H中是稠密的，Vis是闭合的，我们得出结论α（H，Y）- α（h，y*) ∈ V代表所有h∈ H和所有y∈ Y、证明了子空间Uy*是有限维的。此外，根据定理4.7的条件（4.8），它包含在D（A）中。（二）=> （i）：存在一个有限维子空间V，生成Y=Y的（4.1）的a ffine实现*. 让h∈ D（A）任意。那么就存在一个冲突（Mt）t≥0由V和h生成∈ M、对于（4.1）y=y不变*. 根据定理4.6，对于所有t∈ R+我们有MT D（A），（4.12）Ah+α（h，y*) ∈ T Mt，h∈ Mt，（4.13）σk（h）∈ 五、 h类∈ M和k=1，n、（4.14）自Uy起*是D（a）的有限维子空间，通过刚导出的关系（4.12）子空间'V：=V+Uy*也是D（a）的有限维子空间。我们确定了新叶理（\'Mt）t≥0as“Mt：=Mt+”V。然后，通过（4.12）和（4.14），对于所有t∈ R+我们获得'Mt D（A），σk（h）∈？V，h∈ M和k=1。

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2022-6-24 08:30:28

，n.具有仿射实现的真实世界远期利率动态15以上，按（4.13），对于所有t∈ R+和（h，y）∈ Mt×Y我们得到Ah+α（h，Y）=Ah+α（h，y*)+α（h，y）- α（h，y*)∈ 因此，根据定理4.7，SPDE（4.1）有一个由V生成的有效实现。4.11. 提议假设Y=Y的SPDE（4.1）*有一个很好的认识。然后子空间U H定义为U：=Pnk=1hσk（H）i是D（a）的有限维子空间。证据存在一个有限维的子空间V来生成a ffine实现。让h∈ D（A）任意。然后存在叶理（Mt）t≥0由Vwith h生成∈ M、这对于（4.1）是不变的。根据定理4.6的条件（4.7），我们得到σk（h）∈ V对于所有k=1，n、由于挥发度σk，k=1，n、是连续的，域D（A）是稠密的inH，V是闭合的，我们得出结论σk（H） V对于所有k=1，n、这证明了子空间U是有限维的。此外，根据定理4.6的条件（4.5），我们有V D（A），证明U包含在D（A）中。5、具有真实世界远期利率动态的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们开始分析具有真实世界远期利率动态的HJMM方程的存在性，并给出我们的第一个主要结果，这就建立了HJMM方程与现实世界远期利率动态之间的函数实现与基于风险中性定价的经典HJMM方程之间的联系。首先，我们介绍了前向曲线的空间。

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2022-6-24 08:30:31

我们固定了一个不减损的C功能w:R+→ [1, ∞) 使w-1/3∈ L（R+），用H表示所有绝对连续函数的空间H:R+→ R这样的塔赫语：=|h（0）|+ZR+| h（ξ）| w（ξ）dξ1/2< ∞.[18]中已经使用了此类空间，我们将其属性引用到这些空间中。用（St）t表示≥0 H上的平移半群，HJMM方程（1.1）是SPDE（4.1）的一个特例，其中在域上的最小生成元A=d/dξ（d/dξ）={H∈ H∩ C（R+）：h∈ H} 。接下来，我们提出了贯穿本文的长期假设。如第3节所述，我们将维纳过程W，Wdand pure jump Lévy processesX，与第4节一样，设Y是非空拓扑空间，设（Yy）Y∈Ybe是一系列Y值、自适应和cádlág过程，其中Yy=Y表示ally∈ Y、 Letσ：H→ Hd，γ：H→ HnandΘ：Y→ Rd，ψ：Y×R→ (-∞, 1） NBE可测量映射。我们定义Φ：Y×R→ (0, ∞)nasΦ：=1- Ψ.5.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）α：H×Y→ （1.2）给出的H满足线性增长条件（4.2）和Lipschitz条件（4.3）。(2) σ, . . . , σ和γ，γnare-Lipschitz连续。（3）对于每个y∈ Y这对（θ，ψ）=（Θ（Yy），ψ（Yy））是一对满足可积条件（3.6）的风险市场价格。16 ECKHARD压板和STEFAN TAPPE（4）有p、q∈ [1, ∞] p+q=1时，ψk（y，·）∈ Lp（Fk）和X 7→ 对于所有k=1，…，exΓk（h）属于Lq（Fk；h），n、（5）对于所有（h，y）∈ H×Y和k=1，n映射ZRψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）属于D（（D/Dξ）），导数DξZRψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）=-γk（h）ZRxψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）。在扩展状态空间Y之后，如果需要，我们可以假设存在元素Y*∈ Y使得（Θ（Y*), ψ（y*, ·)) = 0和Yy*= y*.5.2. 评论

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2022-6-24 08:30:34

注意，对于所有h∈ 我们有（5.1）α（H，y*) = -dXk=1σk（h）∑k（h）-mXk=1γk（h）ZRxexΓk（h）Fk（dx）-nXk=m+1γk（h）ZRxexΓk（h）- 1.Fk（dx）。在基准方法中，我们总是使用numéraire对（Sδ*, P），但指出（5.1）只是经典的HJM漂移项，它也出现在numéraire对（B，Q）中，其中B是储蓄账户，Q是~ P是一个风险中性指标。从这个意义上讲，存在Y=Y的a ffine实现*对应于经典HJM利率模型存在一个有效的实现，对于这种情况，文献中已经建立了许多结果。很明显，a ffne实现的存在意味着Y=Y的a ffne实现的存在*. 为了在这两种实现之间提供更紧密的联系，我们引入了子空间Uψ，γ H乘以（1.7）。5.3. 定理。以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个有效的实现，我们有dim Uψ，γ<∞.证据假设Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。然后，根据命题4.11，子空间pdk=1hσk（h）i是D（D/Dξ）的有限维子空间。此外，通过（1.2）和（5.1），对于所有（h，y）∈ H×Y我们有α（H，Y）- α（h，y*) =dXk=1Θk（y）σk（h）-nXk=1γk（h）ZRx（Φk（y，x）- 1） eΓk（h）Fk（dx）=dXk=1Θk（y）σk（h）+nXk=1γk（h）ZRxψk（y，x）eΓk（h）Fk（dx）。因此，sincePdk=1hσk（h）i是D（D/Dξ）的有限维子空间，子空间Uy*（4.11）中定义的是D（D/Dξ）的有限维子空间，当且仅当子空间dnxk=1γk（h）ZRxψk（y，x）eΓk（h）Fk（dx）：h∈ H和y∈ Yes是D（D/Dξ）的有限维子空间。根据假设5.1，当且仅当Uψ，γ是D（（D/Dξ））的有限维子空间时，这是完全的。

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2022-6-24 08:30:37

具有仿射实现的真实世界远期利率动力学17定理5.3证明了经典HJM模型和具有真实世界远期利率动力学的HJM模型存在不同的实现。关键点是子空间Uψ，γ，它必须是有限维的。注意，该条件仅涉及不连续部分的波动率γ和风险市价ψ，而不涉及连续部分的波动率σ和风险市价Θ。根据定理5.3，提供一个结果，为Y=Y的HJMM方程（1.1）的有效实现提供充分条件，这将非常有用*. 为此，我们回顾了映射σ：H→ D（（D/Dξ）∞) 称为拟指数，ifdimh（d/dξ）mσ（h）：h∈ H和m∈ 镍<∞.5.4. 提议假设满足以下条件：（1）σ，σd拟指数。(2) γ, . . . , γnare常数和准指数。然后是Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。证据由于σ，σ和γ，γnare拟指数，子空间v：=dXi=1h（d/dξ）mσi（h）：h∈ H和m∈ Ni+nXj=1h（d/dξ）mγj（h）：h∈ H和m∈ Niis有限尺寸。因此，结合[32，第6.2项]和[33，第5.1项]中的参数，可以得出Y=Y的HJMM方程（1.1）*具有由V生成的a ffenerealization。6、维纳过程驱动的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究了具有维纳过程驱动的真实远期利率动态的HJMM方程的一个有效实现的存在性。那么相应的HJMM方程（1.1）具有特定的形式drt公司=ddξrt+α（rt，Yt）dt+σ（rt）dWtr=hY=y（6.1），Rd值标准维纳过程W。6.1. 定理。

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2022-6-24 08:30:40

以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（6.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（6.1）*有一个很好的认识。证据这是定理5.3的直接结果。定理6.1允许我们得出以下重要结论：对于维纳过程驱动的期限结构模型，在假设的风险中性概率测度下，所有关于HJM利率模型有效实现存在性的已知结果，参见[6，5，20，32]，转移到具有真实世界远期利率动态的利率模型。特别是，我们得到了以下结果。6.2. 推论假设σ，σd拟指数。然后，HJMequation（6.1）有了一个有效的实现。18 ECKHARD压板和STEFAN TapperProof。这源自定理6.1和命题5.4。6.3. 评论让我们给出定理6.1的两种几何解释。为此，让（Mt）t≥0是由某个有限维子空间生成的叶理，并假设该叶理对于y=y的HJMM方程（6.1）是不变的*.（1）根据定理4.6的切向条件（4.6），（4.7），对于每个t∈ R+我们有ddξh-dXk=1σk（h）∑k（h）∈ T Mt，h∈ Mt，σk（h）∈ 五、 h类∈ M和k=1，d、这两个条件意味着∈ 我们有dξh-dXk=1σk（h）∑k（h）+dXk=1Θk（y）σk（h）∈ T Mt，h∈ Mt，即定理4.7中关于位移项的切向条件（4.9）已满足。（2）让y∈ Y应确保θ=Θ（Yy）满足命题3.8的条件。然后，通过命题3.8和3.12，从（6.1）的漂移α（·，y）动力学得到（6.1）的漂移α（·，y）动力学*) 在测量值发生等效变化后。因此，叶理（Mt）t≥0对于具有漂移项α（·，y）的HJMM方程（6.1），也是不变的。6.4. 评论

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2022-6-24 08:30:44

我们在定理5.3中看到，如果我们考虑带跳跃的一般HJMM方程（1.1），而不是维纳过程驱动的HJMM方程（6.1），情况会变得更加复杂。一旦我们有跳跃，注释6.3中的两个几何解释就会失败，我们将简要解释：（1）条件dDξh+α（h，y*) ∈ T Mt，h∈ mt通常不表示dξh+α（h，y）∈ T Mt，h∈ M和y∈ Y、因为漂移项（1.2）太复杂了。（2）正如我们在备注3.13中所看到的，对于带有跳跃的一般HJMM方程（1.1），风险市场价格的变化不再（甚至在国外意义上）被解释为等效的度量变化。6.5. 实例我们考虑具有一维维纳过程W和拟指数波动率σ：H的HJMM方程（6.1）→ H、我们选择状态空间Y=R+和Y*= 0.对于y∈ (0, ∞) 我们用yy表示示例3.10中提供的SDE（3.10）的解。此外，我们定义了映射：Y→ R asΘ（y）：=2√y、然后，根据命题5.4和推论6.2，HJMM方程（6.1）有一个有效的实现。此外，实施例3.10中的asseen，对于初始值y没有选择∈ (0, ∞) 利率模型允许一个等价的局部鞅测度。具有仿射实现的真实世界远期利率动态197。仿射实现存在的必要条件对于由Lévy过程驱动的HJMM方程和由其累积量生成函数描述的漂移项，我们推导了HJMM方程存在有效实现的必要条件，对于该方程，我们假设跳跃部分的市场风险价格的特殊结构。为了简单起见，我们假设（1.1）中的Lévy过程X是一维的。

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2022-6-24 08:30:47

我们用F表示其Lévy测度，并假设映射Φ：Y×R→ (0, ∞) 其形式为Φ（y，x）=exp（x·θ（y）），具有连续映射θ：y→ R、此外，我们假设拓扑空间Y是连通的，并且存在 > 0，使得z{| x |>1}ezxF（dx）<∞ 对于所有z∈ (-, ).我们定义了累积量生成函数κ：(-, ) → R如下所示。如果X的类型为X=X*uX，然后设置κ（z）：=ZR（ezx- 1） F（dx），z∈ (-, ),如果X的类型为X=X*（uX- ν），然后我们设置κ（z）：=ZR（ezx- 1.- zx）F（dx）z∈ (-, ).累积量生成函数κ是实解析的(-, ). 我们假设Γ（h）（ξ）∈ (-, ) 对于所有h∈ H和ξ∈ R+，θ（y）+Γ（h）（ξ）∈ (-, ) 对于所有（y，h）∈ Y×H和ξ∈ R+。7.1. 提议我们假设HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。此外，我们假设γ6≡ 0和thathκ（m）：m∈ Ni=∞.（7.1）则θ为常数。证据相反，假设θ不是常数。由于Y是连通的，且θ是连续的，因此存在a，b∈ R，a<b，使得[a，b] θ（Y）。由于γ的连续性，存在h∈ H使得γ（H）6=0，这意味着Γ（H）6=0。Foreach y公司∈ Y我们有ZRψ（Y，x）exΓ（h）F（dx）=ZR（1- Φ（y，x））exΓ（h）F（dx）=ZR1.- exθ（y）exΓ（h）F（dx）=κ（Γ（h））- κ（θ（y）+Γ（h））。由于Γ（h）6=0，通过命题A.3和（7.1），我们推断Uψ，γ是有限维的，这与定理5.3相矛盾。条件（7.1）表示对于无m∈ N函数κ满足m阶k（m）=Pm的线性有序微分方程-1k=0ckκ（k）。这种情况通常适用于具有有限活动的纯跳跃过程，例如双边伽玛过程（见[25]），它涵盖了方差Gammaprocess的流行类别，或者适用于回火稳定过程（见[26]和其中的参考文献），它涵盖了研究充分的CGMY过程类别。

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