我们展示了集成模拟中的时间发展模式（保费、收入、活动公司数量），提供了风险模型多样性设置之间存在系统差异的证据，并讨论了公司破产级联规模和未收回债权数量的分布。第4.3小节通过将基本情景中的模拟与再保险公司的正常补充（如前一小节所述）和无再保险部门的反事实再保险公司进行比较，研究再保险的影响。第4.4小节讨论了新兴的企业规模分布，这些分布很好地再现了非对称的企业规模分布，尽管模型中的企业规模最初相等。如果未另行说明，参数设置如附录A.4.1中的表4所示，再现保险周期。此处提供的保险模型能够再现第2.2节中讨论的保险周期最重要的样式化事实。在图4的面板a）中，显示了80多年来模型单次运行中保费的时间演变。为了简单起见，我们在没有再保险的情况下运行了此模拟。从软市场到硬市场的转变可能需要几年的时间。与实际保险周期一致，波动的频率和幅度都不规则。图4的面板b）显示了同一模拟运行中行业的盈亏时间序列。在大多数年份，该行业都在增长（盈利是积极的），但这一增长在发生灾难的年份和接下来的几年都会中断。

整个行业只有在几年的灾难中才会亏损。在图5中，我们展示了保险经纪人盖伊·卡彭特（Guy Carpenter）发布的真实保险周期与模型生成的模拟保险周期之间的比较。该模型生成的周期是一个25年的样本，在200多年的单次运行中。盖伊·卡彭特用来生成索引的算法并不公开，因为它是商业敏感信息。为了获得一个可比较的衡量标准，我们重新调整了ABM产生的溢价时间序列，以获得与真实指数中相同量级的单位。两个时间序列在周期和振幅上的变化范围大致相同。4.2模型同质性导致的系统性风险我们现在研究保险系统的特征，因为我们将保险和再保险公司可用的distinctrisk模型的数量从绝对同质性（一个风险模型）更改为四个风险模型，中间案例为两个和三个备选方案。图6显示了在相同的灾难时间表和所有四种风险模型多样性设置的

保费发展过程中出现的保险周期（a）具有现实的特点，不同于（尽管受到影响）盈亏发展过程（b）。图5：a）实际保险周期，以在线费率指数表示（与图1相同）。b） ABM产生的保险周期，重新缩放至与面板（a）中相同的量级，并且与之前的图相比，在较短的平局范围内。我们不得不重新调整比例，因为用于计算的算法不是公开的，但周期和振幅的变化范围是相似的。0 20 40 60 80年102%105%108%110%112%PremiumOne风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型图6：不同风险模型多样性设置下相同风险事件产生的保险周期比较。在一种风险模型的情况下，保险周期似乎更长。波动率/资本比率在所有情况下都是相似的。0 50 100 150 200 4000 6000非保险风险（保险）一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型0 50 100 150 200年50100150200非保险风险（保险）图7：非保险风险的数量随时间的变化。每个风险模型多样性设置400次重复的集成模拟。安全裕度为u=2。显示时间步长1200-4000（月）（删除瞬态时间设置1-1199）。集合平均值显示为实线。具有一个（红色）和两个（蓝色）风险模型的设置的四分位范围被描绘为阴影区域。（两个区域的重叠部分以洋红色着色。）0 50 100 150 200 405060708主动保险人一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型0 50 100 150 200年456789主动再保险人图8：运营保险公司数量。

参见图7.0 50 100 150 200 10000000000010000002000030000000004000000超额资本（保险公司）一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型50 100 150 200年1000002000000030000000004000000超额资本（再保险人）图9：超额资本金额（超出当前承保合同所需的资本）。这提供了写额外业务能力的度量。参见图7.0 50 100 150 2000.1800.1820.1840.1860.188保费（保险）一个风险模型两个风险模型三个风险模型我们的风险模型0 50 100 150 200年0.1900.1920.1940.196保费（再保险）图10：保险费。请参见图7的标题。波动率/资本比率在所有情况下都是相似的。在一种风险模型的情况下，保险周期似乎更长。如前所述，我们选择了这些模型，因此它们的平均精度是相同的，但它们在不同的情况下会出错。具体而言，每个模型都低估了不同危险区域的风险。因此，特定危险区域的灾难将对采用单一风险模型的公司造成打击，该模型严重低估了该危险区域。我们对四种可能数量的模型进行了400次模拟，并计算了每种情况下的平均值和行为分布。任何给定模拟的结果都非常不同，每次运行都有很大的变化。通过执行400次模拟，我们有效地减少了变化，以明确差异。

为了减少方差，我们为四个风险模型多样性设置中的每一个构建了M=400集合，以便它们具有相同的风险事件。本节图7至图10以不同颜色显示了与四种设置相对应的结果：红色表示所有公司使用相同风险模型的设置，蓝色表示两种不同风险模型的设置，绿色表示三种风险模型的设置，黄色表示四种风险模型的设置。如图7所示，使用一个风险模型的设置通常会导致在没有保险覆盖的情况下留下更多的风险。由于可投保风险的数量保持不变，如果签发的合同较少，则会有更多的风险无法投保，因为没有保险公司愿意投保。这主要是因为保险公司发现，只有一种风险模型就更难实现投资组合多样化，因此他们更不愿意发行更多的合同。当仅使用一种风险模型时，未覆盖的风险数量平均比使用四种风险模型时高出50%。也就是说，我们考虑了400种不同的随机过程实现，这些随机过程控制何时何地发生大小的灾难性风险，并针对每个风险模型设置运行这些实现。用相同的

由于系统的许多方面都受到重尾分布的影响，如果其他三个集合中没有其他风险模型多样性设置，个体实现可能会主导集合，并使比较产生偏差。由于风险模型的多样性较高，市场竞争更加激烈：图8显示，当使用更多模型时，保险公司的数量从平均52家增加到约68家，增长了30%。令人惊讶的是，再保险公司的数量几乎没有变化。如图9所示，这也导致保险和再保险公司的可用资本减少。这里的变化更为显著：对于保险公司来说，有四种风险模型时的可用资本比有一种风险模型时高出约1.5倍。对于再保险公司来说，可用资本高出1.75倍。这表明风险负担更高；公司能够通过更多的模式多样性来吸收更多的灾难性损失。最后，图10显示，对于保险公司来说，一种风险模型的风险保费低于四种风险模型的风险保费，尽管这里的差异很小（只有1%）。令人惊讶的是，再保险公司的这种影响发生了逆转，尽管这种差异再次非常小。在有四种风险模型的情况下，再保险公司的保费比只有一种风险模型的情况低约2.5%。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031051风险模型0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031052风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5101103105频率3风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5破产公司份额111031054风险模型图11：破产事件总规模的柱状图，以每次事件中失败的FIRMSB分数衡量。

400次重复的4000个时间步长的模拟集合，安全裕度u=2。y轴为对数刻度。破产是衡量系统性风险的关键指标。为了研究风险模型的数量如何影响这一点，我们编制了关于破产级联规模的统计数据，我们衡量破产企业的份额Bt=Bt/ft。这里，Bt是t时破产企业的数量，ft是t时破产企业的总数）。同样，我们也关注未收回索赔的数量。这是由于保险公司违约导致保单未支付的次数。我们根据未付索赔的数量来衡量这一点。这两个数字都包括保险公司和再保险公司。我们研究这些变量在所有复制中的分布，以及每个模拟设置中每个复制的整个历史。图11显示了破产规模的分布，而图12显示了未收回债权数量的分布。可用资本是指不涉及现有合同的资本，本质上是写额外业务的能力。为了说明间接影响，此处将破产级联定义为一系列违约公司，包括1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011031风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011032风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 6000001103105频率3风险模型1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000未恢复的损害1011031054风险模型图12：柱状图每个破产级联中未收回的索赔CTI的数量，其中CTI在每个时间步t上定义。见图11的标题。图11中所示的破产事件总数在四种风险模型多样性设置之间差别不大。然而，大型活动的数量非常不同。

对于一个风险模型案例（最上面的面板，红色），分布体持续延伸到超过三分之一的扇区（0.35），而在四个风险模型案例（最下面的面板），在所有400个复制的160000个时间步中，仅观察到超过0.27的一些分散异常值。如表3所示，约有4200家公司采用一种风险模型违约，而只有约1500家公司采用四种风险模型违约。未收回的索赔额也出现了类似的情况，尽管不太明显（图12）。这些柱状图在半对数尺度上的线性表明，指数为这些分布的主体提供了一个曲线。作为系统性风险的另一种衡量方法，我们对每个分布进行假设，以衡量这些半对数图中分布衰减的斜率Bλ。较低的值表示发生非常大事件的风险较高。如表3所示，我们发现，对于多样性更大的环境，破产级联规模分布的斜率b更陡，从一个风险模型的bλ=119变为四个风险模型的bλ=149。该结论是可靠的，并适用于表中报告的四个不同的模拟系列（每个系列都有四个风险模型多样性设置）：（1）标准案例，（2）无再保险但所有其他设置相同的比较案例（在第4.3节中讨论），（3）安全边际较低的比较案例（u=1），（4）安全边际较低且无再保险的情况（在C小节中讨论）。因此，与多样性较少的比较设置相比，更多的多样性导致特定尾部分位数中的事件更少。

表3下半部分报告的破产事件数量证实了这一点，破产事件影响了超过10%的保险和再保险公司。连续时间步，无中间时间步，其中无破产发生。图11和图12中半对数图中分布的近似线性形状表明，指数族或类似的长期分布。但是，必须截断指数形式，因为观察到的变量是必须介于0和1之间的共享。对于未赔付索赔额C的影响不太明确。例如，对于只有一种风险模型的设置，C较低，因为保险业务的规模较小，但预期缺口较大。在没有再保险的情况下，四种风险模型多样性设置之间的差异会变得更大。第4.3小节对此进行了更详细的讨论（比较图13）。参数设置安全边际u=2u=2u=1u=1风险是否图11 13 18 19破产级联规模的斜率Bλ（B）一个风险模型119 138 60 72两个风险模型145 151 65 83三个风险模型154 173 65 87四个风险模型149 181 67 91超过10%的公司违约事件数一个风险模型4212 4385 22486 21928两个风险模型3013 2453 16137 12699三个风险模型模型1981 1686 12419 7952四个风险模型1561 1229 10323 5441表3：破产级联（B）规模分布的向下斜率Bλ，从指数函数和右尾超过所有破产事件10%的事件数中获得。4.3再保险的影响在没有再保险公司的情况下，可以通过运行模拟来观察再保险的影响。结果如图13（破产级联规模直方图）、14（未收回债权金额直方图）以及15和16（时间序列）所示。

可以看出，在这种情况下，风险模型的多样性或同质性对破产级联的影响要大得多。例如，在没有再保险的情况下，四种风险模型设置的分布形状明显不同（图13），而对于多样性更大的设置，尾部会变得更短。由于只有一个风险模型，样本中有4385起事件影响了10%以上的保险公司。对于四个风险模型，这将减少到1229起事件，减少71%（见表3第二列）。在与再保险相同的情况下（图11），从4212起事件减少到1561起事件仅为62%。从半对数破产规模历史图（即指数分布参数，bλ）的拟合线斜率也可以看出差异：如果没有再保险，它从bλ=181变为bλ=149，变化率为21%，再保险从bλ=149变为bλ=119，变化率仅为16%（见表3第一列和第二列）。虽然再保险为系统性风险增加了第二个传染渠道，因为对手方暴露于再保险合同，但它部分缓解了风险模型同质性的系统性影响。因此，通过再保险，大型破产事件的数量（超过10%的公司受到影响）高达20%。这可以在表3的第一列和第二列中看到。它适用于至少有2个风险模型的所有设置。在风险模型同质性设置（只有一个风险模型）中，这是相反的，没有再保险的情况下，大型破产事件的数量大于有再保险的情况。

前段讨论的风险模型同质性与再保险的增加效应，在这种情况下比交易对手风险敞口效应更为强烈。在图15和16所示的时间序列中也可以看到风险模型同质性的更强影响（与图8、7和10相比）：不同的风险模型多样性设置的集合平均值相差更大：有再保险，风险模型多样性可以将活跃保险公司的数量从大约50家增加到大约65家（图8），并减少0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031051风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51011031052风险模型0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5102104频率3风险模型0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5破产公司的份额11031054风险模型图13：无风险的破产事件总规模直方图再保险。参见图11.0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011031风险模型0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000001011032风险模型0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 600000101003频率3风险模型0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000未恢复的损害1011034风险模型图14：每次Ctat未恢复索赔数量的柱状图使用再保险时的步骤。参见图11.0 50 100 150 2006080100主动保险人一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型0 50 100 150 200年20004000600010000非保险风险（保险）图15：运营公司数量和无再保险的保险风险数量。参见图7.0 50 100 150 200年0.1760.1780.1800.1820.1840.186保费（保险）一个风险模型两个风险模型三个风险模型四个风险模型图16：无再保险的保险费。请参见图7的标题。未投保风险的数量约为6000至一半（图7）。

如果没有再保险，风险模型多样性可以将活跃保险公司的数量从约70家增加到约120家，并将未投保风险的数量从约8000家减少到约2000家（图15）。在没有再保险的情况下，保费对整体平均值的影响也会增加约50%。此外，虽然集合四分位区间与再保险中的每个变量重叠，但在没有再保险的情况下，这种重叠并不存在，保费价格除外，而且重叠很小。然而，应该注意的是，对于几乎所有风险模型多样性设置，没有保险的风险数量都高于没有再保险的风险数量。这强调了再保险在保险系统中除了重新安排建模的系统性风险模式之外，还具有生产性和重要的作用。0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 80000001 CCDF 1RM0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 80000001 CCDF 2RM0 100000 200000 200000 400000 500000 600000 700000 80000001 CCDF 3 RM0 100000 200000 300000 400000 500000 500000 600000 600000企业规模（资本）01cCDF 4 RM图17：分布的经验互补累积分布函数（CCDF）集合保险公司的资本规模在1000个时间步后，在一组70次模拟中，安全边际u=2。中位数显示为实线，平均值显示为虚线，四分位范围显示为阴影区域。平均值、中位数和四分位间距与CCDF的集合有关，即在x轴方向上进行评估。4.4再现不对称企业规模分布的出现。图17显示了1000个时间步后，保险企业规模分布在资本方面的互补累积分布函数，在一个参数设置的整体运行中具有分散性。

每次复制的公司数量最多可达数百家。具有长尾的分布在所有风险模型多样性设置中一致出现。这对参数（如u、存在或不存在或再保险等）不敏感，也适用于再保险公司（见附录C）。这与已建立的关于企业规模分布的经验模型很好地吻合，虽然具体功能形式的发现存在分歧，但发现其具有长尾性；已提出对数正态、指数或幂律形状。这一事实可以在保险行业得到证实，但无论是在我们研究中的模拟复制还是在保险公司的经验数据集中，公司的数量都不足以确定具体的功能形式。5结论欧盟保险监管框架Solvency II于2016年1月生效。这是保险监管在流动性、资本和透明度要求方面迈出的重要一步，使其能够解决微观审慎方面以及交易对手风险带来的潜在系统性风险。它还包括对风险模型的使用和设计的规定。但我们是否充分了解保险和再保险业务的系统性水平，以便为弹性保险行业设计监管措施，仍然是一个悬而未决的问题。关于是什么推动了保险周期，学术界尚未达成共识。目前尚不清楚，与传统再保险相比，像CATbonds这样的新金融市场工具将对该行业产生什么样的影响。保险系统风险的研究是一个新的、未经探索的领域。在本文中，我们提出了一个基于代理的保险业模型来帮助解决这些问题。

该模型包括再保险和许多其他方面。它再现了各种类型化的事实，从保险周期到企业规模分布，再到再保险的重要性。它还允许调查保险系统中各种要素的作用及其某些特征背后的机制。我们已经证明了该模型再现上述程式化事实的能力，并使用它显示了保险系统中建模的系统性风险的存在和性质。为此，我们考虑了在相同的环境、相同的参数和相同的风险事件比例下的整体运行，但模拟中保险和再保险公司采用的相同质量的不同数量（一个、两个、三个和四个）风险模型。我们发现，具有较大多样性的环境往往经历较少的严重破产级联，尤其是在安全边际较低的情况下，以及在没有再保险的反事实情况下。我们发现，具有风险模型多样性的设置不仅部分成功地解决了大型破产级联的风险，而且往往会导致保险再保险行业具有更大的渗透率（承保风险份额更高）、更活跃的公司，以及更多可供保险公司额外努力的可用资本。然而，我们发现，业务的保险和再保险部分的收益有所不同；毫无疑问，不同的参数会导致这些部门之间的资产重新分配。

再保险倾向于减轻风险模型同质性的系统性风险影响的强度，但在某些情况下，通过增加额外的传染渠道（再保险对手风险敞口），可能会加剧这种影响。应该注意的是，这里报告的结果代表了一个完全假设的世界，仅根据相互作用机制的准确功能和环境参数的可信设置进行校准，如风险分布、利率、市场进入率。运行根据真实保险再保险市场的经验数据进行校准的模拟是非常可取的，但需要高质量的数据以及模型校准中的重要作用，这将留给未来的研究。经验分布甚至比模型中通常出现的分布更为重尾。基于代理的模型校准仍然是一个非常活跃的研究领域；灵活且计算可行的方法是最新的，仍在开发中（Lamperti et al.，2017；Fagiolo et al.，2017；Barde and van der Hoog，2017；Platt，2019）。确认这项工作得到了Amlin女士在建模系统风险项目下的充分支持。我们感谢与JB Crozet、Trevor Maynard和DavidSingh进行的富有启发性的讨论。我们还感谢Sandtable允许我们使用其平台Sandman来计算本文所需的仿真集合。参考Anderson，S.（2000）。1693年的英荷“士麦那街”。在汉密尔顿，A.、亨德里克·德格罗特，A.和范登·布格特，M.，《东方的编辑、朋友和竞争对手：17世纪至19世纪初在黎凡特的格洛-荷兰关系研究》，托马斯·布朗爵士莱顿研究所出版物，第95页，116。荷兰：布里尔，莱顿。Barde，S.和van der Hoog，S.（2017）。

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我们通常设置λ=3/100，即平均每33年发生一次灾难。我们在模拟开始时提取所有必要的随机变量，以设定风险事件（灾难发生时以及损失大小）。为了将n个不同的“世界”与不同的风险模型多样性设置进行比较，我们为所有n个风险模型多样性设置的M个复制设置了相同的M个风险事件文件。也就是说，相同的假设“世界”具有不同的风险模型设置，但相同的灾难发生在同一时间，规模相同，进行比较。B、 2全球损失分布我们对每一次灾难造成的总损失使用帕累托概率分布，因为历史上它们遵循幂律。帕累托分布定义为Д（Dx）=σDσ+1x，（6），其中Dx是灾难造成的损失值。我们通常将指数σ设置为2。该分布被截断为最小值（低于该值，损伤将太小，不能被视为灾难性事件）和最大值。保险损失价值给出的最大值。因此，密度函数为：￠Д（Dx）=0 1 ≤ Dx，Д（Dx）R0.25Д（Dx）dDx0.25≤ Dx公司≤ 1,0 Dx≤ 0.25.（7） 与分离时间一样，灾难的损失在模拟开始时绘制，对于不同的风险模型设置也是相同的。我们将从截断的帕累托分布中提取的总归一化损失表示为Li。B、 3个人损失分布为了简单起见，我们假设该地区的所有风险都会受到灾难的影响，尽管强度不同。

为了确定已知总体损害在各个风险中的具体分布，我们使用β分布，定义为β（dx）=Γ（g+h）xg-1(1 - dx）h-1Γ（g）Γ（h），（8）式中，Γ是伽马函数，在这种情况下，dx是由灾难影响到每个个体风险的个体损失。两个参数g和h决定了分布的形状，并确定了β分布的预期值，即E[β（x）]=gg+h。（9）由于受灾难影响的总损失为Lx，这应与预期值相匹配（对于大量风险），我们使用这一事实来计算每次灾难的h，同时始终设置g=1。也就是说，Lx=1+h。（10）求解b我们得到h=Lx- 1.（11）个人损失分布的形状取决于总损失值，必须针对每次灾难进行调整。我们从分布中提取的值与我们在危险区域中存在的风险一样多。最后，保险人j从j投保的一切险i中收到的索赔计算为ClaimsX，j=Xi（min（ei，dx，i·v）- 奇奇≤ dx，i·vi，0 dx，i·vi≤ 气。（12） 其中EI为保险合同的超额部分，dx、iis为个人损失，Vit为风险总价值，QI为免赔额。为方便起见，我们通常将vi=1。B、 4如果存在正利润，则模拟中的股息投资者在每次迭代中支付其利润的固定份额作为股息。如果公司在某个时间段内写入的数据丢失，则无需支付股息。也就是说，R=最大值（0，%·利润），（13），其中R是股息，%是作为股息支付的利润份额。

对于我们在本文中报告的结果，我们对所做的所有模拟都固定了%=0.4。B、 模型中的5个价格是全球性的，但保险和再保险合同的价格不同。保险费ptat时间步长t取决于当时保险中可用的总资本，KTt:pt=最大值最大值≤ ptpf* 最大值-s×KTtKI×eD×HMinL≤ pt公司≤ MaxLMinL pt公司≤ MinL，（14），其中MaxL是投保人愿意接受的最大负荷（上限），MinL是保险人愿意考虑的最小负荷，以便写下保单（下限）。下限M inL小于1，因为保险人通常在软市场条件下承保保费，以保持市场份额。在上下限之间，价格是资本量的下降线性函数，其截距为pf×MaxL和斜率-siki×eD×His申请。这里，PFI是与预期损失加上加价相匹配的标准溢价。该等式还取决于市场上可用的风险数量H、风险预期损失eD和模拟开始时保险公司持有的初始资本ki。最后，Si是一个灵敏度参数。再保险保费价格方程与等式14不同，因为K中只考虑再保险资本，敏感性参数Sr不同。库存-流量一致性由于模型没有宏观经济视角，标准意义上的库存-流量一致性要求不适用。然而，仿真模型不允许任何东西从无到有或消失在无中。经济体的其他部分被视为一个独立的准代理人，负责处理保险和保险部门的所有付款，并拥有非常大但有限的资本。这将在模拟开始时初始化，并在每个模拟步骤中更新。

在实践中，向保险客户支付的股息和索赔款项都是向该代理人支付的，而保险客户的赔款则是由该代理人支付的。这使我们能够跟踪保险部门与其他经济部门之间的支付平衡。C系统敏感性我们研究安全边际u对系统的影响及其与风险模型同质性影响的相互作用。这种影响如图18和图19所示，与图11和图13所示的u=2的标准情况相比，安全边际降低到u=1。这大大加剧了风险模型同质性和相关系统风险的影响，尤其是（但不仅仅是）低风险模型多样性的案例更易波动。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61011031051风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61011031052风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6101103105Frequency3风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6破产公司的份额1021044风险模型图18：在400个4个重复的模拟中，破产事件总规模（退出公司的份额）的密度（柱状图），000个时间步，安全裕度u=1。y轴为对数刻度。0.2 0.4 0.6 0.8 1.01021051风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.01032风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.0102105频率3风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.0破产公司的份额1021054风险模型图19：在400个重复的4，000个时间步，无再保险，安全边际u=1。

y轴为对数刻度。0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 1RM0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 2RM0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 3RM0 200000 400000 600000 800000 10000000企业规模（资本）01cCDF 4RM图20：保险公司规模在400个重复组合中的资本分布的经验互补累积分布函数（CCDF）集合模拟4000个时间步，无再保险，安全边际u=2。主题显示为实线，平均值显示为虚线，四分位范围显示为阴影区域。平均值、中位数和四分位间距与CCDF的集合有关，即在x轴方向上进行评估。500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 1RM0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 2RM0 500000 1000000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 3RM0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 4000000企业规模（资本）01cCDF 4RM图21：经验互补累积分布函数集合（CCDF）在4000个时间步模拟的400个副本中，安全边际u=2的再保险公司规模在资本方面的分布。中位数显示为实线，平均值显示为虚线，四分位范围显示为阴影区域。平均值、中位数和四分位间距与CCDF的集合有关，即在x轴方向上进行评估。非对称、长尾型企业规模分布的出现在多次修改下得以保持，包括改变安全边际和转换再保险（见图20）。

再保险公司的规模分布遵循相同的特征，尽管由于总数较小，会受到更多噪音的影响（见图21）。敏感性分析涉及对利率r、风险模型不准确参数ζ、保险与再保险公司capitalki（0）/kr（0）的初始比率以及合同的运行时间的修改，这些分析是在较小的集合和较短的运行时间下进行的。模拟的主要结果对所研究的修改具有稳健性。较小的总体规模不支持关于定量结果差异的陈述，且具有合理性。