离散时间序列最优期望效用的收敛性

2022-6-24 11:50:47

离散时间市场序列最优期望效用的收敛性David M.Kreps和Walter Schachermayer*2020年2月5日摘要我们检验了Kreps的猜想[17]，即classicBlack–Scholes–Merton（BSM）经济中的最优预期效用是一系列以自然方式“接近”BSM经济的离散时间经济体的最优预期效用的极限：第n个离散时间经济体是由一个按比例n步随机游走生成的，基于平均值为零、方差为1和有界支持度的无标度随机变量ζ。如果消费者效用函数U的渐近弹性严格小于1，我们证实了Kreps的猜想，并且我们提供了一个关于效用函数U的猜想的反例，该效用函数的渐近弹性等于1，对于ζ，使得E[ζ]>0.1引入固定了均值为零、方差为1和有界支持的随机变量ζ。对于n=1，2。，构建一个由两种证券组成的金融市场经济，一种是无风险债券，其作为计价单位（因此，利率为0），另一种是风险证券，称为股票，其在时间0、1/n、2/n……与无摩擦市场中的债券进行交易，（n）- 1） /n.股票的定价过程如下：对于i.i.d.序列{ζj；j=1，2，…}，其中，每个ζ都是ζ的分布，此时k/n isS（k/n）：=eξ（k/n），其中ξ（k/n）：=kXj=1ζj的股票价格规律√n、（ξ（0）≡ 0和S（0）≡ 1）在时间1，债券支付的消费股息为1，股票支付的消费股息为上文定义的S（1）。将此模型嵌入标准状态空间Ohm = C[0，1]。设ω表示Ohm, ω（t）是ω在时间t的值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:50:50

天生赋予Ohm 具有sup范数拓扑；*（斯坦福大学商学院和维也纳大学数学系）Kreps的研究得到了斯坦福大学商学院的支持。Schachermayer感谢奥地利科学基金会（FWF）在P28661赠款下以及维也纳科学技术基金会（WWTF）通过MA14-008和MA16-021项目提供的支持。Schachermayer还感谢斯坦福大学数学系在撰写本论文时的热情好客。设F表示Borelσ场，设{Ft；t∈ [0，1]}表示标准过滤Ohm. 对于每个n，设Pn为Ohm 使得联合分布（ω（0），ω（1/n），ω（1））匹配（ξ（0），ξ（1/n），ξ（1）），因此，对于k/n<t<（k+1）/n，ω（t）是ω（k/n）和ω（（k+1）/n）的线性插值。让我们：Ohm → R+由S（ω，t）=eω（t）定义。Donsker定理告诉我们Pn=> P、其中P是C[0，1]上的维纳测度；也就是说，P下的ω是标准布朗运动，从ω（0）=0开始，S（ω）under是几何布朗运动，因此P与无风险债券一起规定了Black和Scholes[5]和Merton[21]的简单连续时间经济（以下简称BSM经济或模型）。我们想象一个预期效用最大化的消费者，她被赋予初始财富x，用它购买股票和债券的初始投资组合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 11:50:53

此后，她以非预期和自我融资的方式进行股票和债券交易（即，（a）她在k/n时所掌握的信息，即她交易的基础，是[仅]k/n时之前（包括k/n时）股价的历史，以及（b）0后的任何股票购买都是通过出售债券来融资的，任何股票出售的收益都是投资于债券的），寻求效用函数U的期望值最大化：（0，∞) → 与她在时间1持有的投资组合产生的最终股息挂钩。构成本文基础的问题是：如果我们把这个消费者放在第n个离散时间经济体中（其中股票和债券（仅）在0、1/n、2/n、，（n）- 1） /n），她能达到的最佳预期效用是否接近，如n→ ∞, 在持续时间的BSM经济中，她能获得什么最佳效果？假设un（x）是她在第n个离散时间经济体中所能达到的最高预期效用，如果她的初始财富是x，那么u（x）是她在经济体中所能达到的最高预期效用。Kreps【17】获得了部分单侧结果，表明lim infnun（x）≥ u（x）。他证明了limnun（x）=u（x），在u具有恒定溶质或相对风险厌恶的非常特殊的情况下。但他只是猜测下半部分，奥利姆·苏普农（x）≤ u（x）对于gernal（凹的和可微分的）u是正确的。利用Kramkov和Schachermayer[16]提出的效用渐近弹性的概念（并广泛使用他们的分析），我们验证了如果效用函数u的不对称弹性小于1，limnun（x）=u（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 11:50:56

然而，我们举例说明，如果U的渐近弹性为1，则U（x）可能是有限的，而Limnun（x）=∞, 对于所有x>0.2的先前和当代文献，大量文献关注金融市场中的效用最大化问题，可以追溯到R.Merton的开创性工作[20]，并继续，例如，（[6、13、16、8、11、24、4]）。关于金融市场弱收敛下效用最大化的连续性，在（[10]、[23]、[25]）中获得了积极的结果；这些结果表明，在每个离散时间模型中，市场都是完整的。我们的兴趣来自于【17】中的讨论，是针对离散时间市场不完整的情况。自Cox、Ross和Rubinstein的开创性论文【7】以来，金融经济学家一直认为，如果ζ有两个元素的支持（所谓的二次型情况），并且每个离散时间经济体中的市场都是完整的，那么大n的离散时间经济体的行为（在经济方面）就像连续时间限制一样，至少对于BSM连续时间限制是这样的。但是，如果ζ有sizethree的支持，但只有这两种证券呢？任何特定的市场都是不完整的；这种不完整性是否意味着不同的经济结果？或者，如果控制离散时间证券价格过程的概率定律弱收敛于P，那么limnun（x）=u（x）是真的吗？众所周知，弱收敛是不够的。默顿（Merton）[20]观察到，如果U具有恒定的相对风险规避，且风险规避参数小于1/2，则BSM经济中的最佳策略是卖空债券，利用杠杆实现风险资产中当前财富的（固定）分数大于100%。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 11:50:59

假设，在我们的特殊离散时间设置中，证券价格过程由单个随机变量ζ的缩放副本驱动，ζ具有下面无限的支持。试图在任何一个时间有限的经济体中实现这样的杠杆战略都会带来积极的破产可能性，这与这些效用函数是不相容的。在这种情况下，最好的投资者能为足够大的n做的就是将她的财富百分之百地持有在风险资产中，这会导致limnun（x）<u（x）。另一方面，仅Pnto P的弱收敛性并不排除渐进套利的可能性（[12]，[15]），在这种情况下，limnun（x）=∞, 即使u（x）是有限值的（并且u表现得很好）；参见第7章【17】。通过在我们的设置中假设ζ具有有界支撑，我们避免了第一个问题。而且，在我们的环境中，排除了渐进套利；见【17】，提案7.1。尽管如此，行为不端的U也会带来问题：在我们的设置中，如果U的渐近弹性小于1，我们证明了对于所有x>0，limnun（x）=U（x）。但如果U的渐近弹性为1，即使市场对每个n都是完整的，收敛也可能失败，并在惊人的衰退中失败。E.Bayraktar、Y.Dolinsky和J.Guo【2】最近以更具普遍性的方式处理了我们关注的不完整市场案例。他们的论文假设金融市场（Sn）∞n=1是一般半鞅，极限市场是连续半鞅。此外，文献[2]中的效用函数U可以测量地取决于观察到的股价轨迹。因此，他们的模型包括我们的特殊情况，其中（Sn）由单个（缩放）随机变量ζ诱导，andS是几何布朗运动。在这个更一般的设置中，它们使假设SSU足以显示limnun（x）=u（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-6-24 11:51:02

[2]中的关键假设是假设2.3（ii），即某个随机变量族是一致可积的，以及假设2.5，其有效地假设了渐进套利的可能性。[2]的引理2.2提供了一些相当强的条件，在这些条件下，假设2.3（ii）是满足的，这些条件与渐近弹性的概念无关。相比之下，我们从U的渐近弹性度大于1的假设出发，得出了对偶随机变量的某些对应族（见下文（8.8）和（8.14））的一致可积性。而且，在我们更为有限的环境中，渐近仲裁的不可能性是一个结论。本文【2】于2018年11月在ArXiv上发表；2019年7月，在ArXiv上发布了当前论文的第一个版本后，作者很高兴地提请我们注意他们的论文。其结果参考自2019年9月起的ArXiv版本[2]。3效用函数、共轭函数和共有弹性我们始终假设如下：假设（3.1）。效用函数U是严格递增、严格凹且连续可微的，并且满足limx的INDA条件→0U（x）=∞ andlimx公司→∞U（x）=0。此外，在不丧失一般性和便于标记的情况下，除非另有规定，否则我们假设U是归一化的，因此limx→∞U（x）>0，但不排除limx→∞U（x）=∞. （当然，limx→0U（x）可以是有限的或-∞.)我们让V表示U的共轭函数：对于y>0，V（y）=supx>0U（x）- xy型, 对于y>0。以下结果是标准的（参见，例如，[16]），并遵循假设（3.1）：o让我：（0，∞) → (0, ∞) 是U的倒数；也就是说，I（y）=（U）-1（y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:05

那么很早以前∈ (0, ∞), V（y）=U（I（y））- 易（y）。o函数y→ V（y）是严格凸的，连续可微的，严格递减的五(∞) = U（0）和V（0）=U(∞), 其中，U和V的值在0和∞ 当x和y接近0和∞, 分别为：V（y）=-I（y），so limy→0V（y）=-∞ 和limy→∞V（y）=0oU（x）=infy>0V（y）+xy]，对于x>0。【16】中定义的U的渐近弹性概念在我们的分析中起着重要作用。对于效用函数U，其渐近弹性写为AE（U），由AE（U）定义：=lim supx→∞例如，如果U（x）=xα/α表示α，则xU（x）U（x）∈ （0，1），则AE（U）=α。U的凹度表示AE（U）≤ 1在所有情况下；如果U在andif U上有界(∞) > 0，则AE（U）=0。但是如果你(∞) = ∞, AE（U）可以等于1；例如，对于足够大的x，U（x）=x/ln（x）。我们的许多结果依赖于AE（U）<1的假设，这是从U提供的平均效用和边际效用的比较中得出的，作为U方法的参数∞: AE（U）<1相当于：对于某些γ<1，对于所有足够大的x，U（x）<γU（x）x。U上的条件（3.1）包括limx→∞U（x）>0；这完全是为了AE（U）≥ 在所有情况下均为0。如果我们考虑到消费者将其从非常大的消费水平获得的边际效用与她在某个基准水平x上累积的平均效用进行比较，那么对这种情况的经济学解释就会更加清晰。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:09

因为Elimx→∞U（x）- U（x）x- x=极限→∞U（x）x，对于所有x>0，AE（U）<1是等价的：对于某些γ<1且每x>0，U（x）<γU（x）- U（x）x- x、对于所有足够大的x，其中“足够大”取决于x的值。如【26】所述，通过应用de l\'H^opital规则，渐近弹性的概念与相对风险规避的极限行为相联系，如下所示：如果相对风险规避系数的极限，则limx→∞-xU（x）/U（x），存在且严格正，然后limx→∞xU（x）/U（x）存在且小于1；也就是说，U的渐近弹性小于1。由于人们认为经济主体的相对风险厌恶程度不增加是“常见的”，这种观点意味着具有这种共同性质的主体的渐进弹性小于1。4连续时间经济的解众所周知，连续时间BSM经济允许一个唯一的等价鞅测度，用P表示*; 也就是说，在Ohm 这可能等价于P，因此{S（ω，t）；t∈ [0，1]}是一个鞅（在自然过滤{Ft}上）。此度量值P*具有关于P givenby的Radon-Nikodym导数数据处理*数据处理（ω） =经验值-ω(1)-.而且，众所周知，这种经济有“完整的市场”也就是说，消费者可以构造（作为一个随机积分）任何可测量的正或有索赔X，其中她可以提供的是单一预算约束EP*[X]≤x、其中EP*[·]表示对P的期望*.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:13

因此，对于财富x，消费者的问题是最大化EP[U（x）]，根据EP*[X]≤ x、 Letu（x）：=辅助EP[U（X）]：EP*[X]≤ x个.也就是说，u（x）是消费者在BSM经济中可以达到的预期效用水平的上限，从财富x开始。为了便于以后的目的，可以定义密度函数Z:C[0，1]→ (0, ∞)byZ（ω）：=exp-ω(1)-.也就是说，Z是随机变量dP的唯一连续（ω）版本*/数据处理当然，EP*[十] =EP[X·Z]对于任何随机变量X，使得（至少）其中一个预期有意义。在这个符号中，u（x）=supEP【U（X）】：EP【X·Z】≤ x} 。我们从考克斯和黄（6）、卡拉萨斯（Karatzas）、莱霍奇（Lehoczy）和什里夫（Shreve）（14）和（16）获得了以下信息。（具体见[16]定理2.0。）4.1. u（x）≥ U（x）（因为消费者总是可以购买和持有x债券）。4.2. x个→ u（x）是连续可微的、严格递增的和凹的。4.3. 从4.1和4.2，如果u（x）<∞ 对于任何x>0，则u（x）<∞ 对于所有x>0.4.4。如果u（x）<∞, 如果消费者问题有一个解（即，如果达到上界），则存在y（x）>0，使得解的形式为x（ω）=Iy（x）·Z（ω）, 式中，y（x）=u（x）和（如前所述）I=（u）-1、如果消费者的问题在财富水平x>0时有一个解决方案，那么它对所有财富水平x>0都有一个解决方案，使得x<x。然而，至少对于某些x，u（x）<∞ 然而，定义u（x）的上限并不是通过任何未定权益x来实现的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:16

（第5节【16】中给出了一个示例；我们在下面给出了示例。）如果（对于给定的效用函数u）对某个有限x是真的，则设x是所有x中没有解（但u（x）<∞); 在x上有一个解，因此x的范围是区间（0，x）。函数x→ u（x）是连续可微的，“拉格朗日乘子函数”x→ y（x）=u（x）是连续的，并且在（0，x）上严格递减。4.5. 设v为u的共轭函数，即v（y）=sup{u（x）- xy:x>0}，对于y>0。Thenv（y）=EP五、yZ公司.函数y→ v（y）是凸的且不递增的，在有限的地方严格递减且连续可微。当然，可能是u（x）≡ ∞, 在这种情况下，v（y）≡ ∞. 但假设u（x）<∞对于某些人，因此对于所有人，x>0。虽然u（x）必然是凹的、可区分的，并且严格地增加，但通常limx不是真的→∞u（x）=0。也就是说，随着财富水平的上升，财富的边际（最大预期）效用不必接近零∞. 粗略地说，当消费者可以在概率越来越小的事件上购买越来越多的消费品时，就会发生这种情况，但当购买量与事件概率的比率以快速足够的速度接近时，就会发生这种情况。Kramkov和Schachermayer【16】利用这一思想，通过基于U选择与P不同但起类似作用的特定度量，对满足AE（U）=1的任何效用函数U进行了研究*和P。这里，P*P是固定的，它们来自BSM，因此我们通过选择特定的效用函数U来展示这种可能性。承认这是可能的（我们证明是），考虑v的含义，特别是v在y值附近的含义，其中y=limx→∞u（x）。在y（y<y）的左边，我们有v（y）=∞. 右边的v（y）是有限的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:19

但是当y从右边接近y时，v的极限行为是什么呢？理论上，我们可以得到limy&yv（y）=∞. 奥利米和伊夫（y）<∞, 和limy&yv（y）=∞. 或limy和yv（y）<∞, 和limy和yv（y）<∞.所有这些都是可能的。事实上，给出完整的目录，我们有命题1：命题1。假设U满足条件（3.1）。有可能u（x）=∞（适用于所有x≥ 0). 但如果u（x）<∞ 对于某些x，因此对于所有x，必须是x→ u（x）急剧增加。此外，我们还有以下可能性。a、对于某些效用函数U，limx→∞u（x）=0，在这种情况下，对于ally>0，v（y）是有限的。（自limy→0v（y）=极限→∞u（x）和石灰→∞v（y）=limx→0u（x），功能v可以有限制∞ 或当y接近0时有一个有限的极限；v可以有限制-∞ 或有限限制为y→ ∞.)b、对于其他效用函数U、limx→∞u（x）>0。如果我们表示limx→∞u（x）乘以y，然后v（y）=∞ 对于y<y，而v（y）<∞ 对于y>y。至于v asy和y的行为，我们有以下可能性：i.limy和yv（y）=∞二。石灰和钒（y）<∞ 和limy&yv（y）=∞;iii.石灰和yv（y）<∞ 和limy和yv（y）<∞.此外，y>0的任何值都可能存在。最后，AE（u）≤ AE（U）；因此，AE（U）<1意味着limx→∞u（x）=0。也就是说，小于1的渐近弹性消除了b部分给出的情况。a部分中概述的可能性很容易说明：采用具有恒定相对风险规避的效用函数，其解是众所周知的，并且是案例a。最终断言不需要证明；它源自【16】，定理2.2。要举例说明b部分中概述的三种可能性，需要进行一些计算。由于这是对我们的主要信息的转移，我们把它留给第10节。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:23

事实上，虽然b部分似乎是命题最有趣的方面，但我们注意到，对于下面定理1的证明，我们只依赖命题1.5的最终断言离散时间渐近不比连续时间命题2差。对于第1节所述的离散时间经济序列，以及满足条件（3.1）的效用函数U，lim infn→∞un（x）≥ u（x）表示所有x>0。注：如果u（x）=∞, 这一主张仍然适用，意味着limn→∞un（x）=∞.证据Kreps（[17]，命题5.2）指出，如果在BSM经济中，有界且连续的未定权益X满足EP[U（X）]=z和EP*[十] =X（因此u（X）≥ z），则对于 > 0，存在N，因此对于所有N>N，第N个离散时间经济体中的消费者可以为x的初始投资合成一个索赔Xn，使得epn[U（Xn）]≥ z- .假设我们知道u（x）<∞ 对于给定的x，存在消费者问题的解决方案（即，定义u（x）为最大值的sup）。然后我们知道，由于对于某些乘数y>0（见上文（4.4）），解的形式为X=I（yZ），因此解X：Ohm → (0, ∞) 是ω的连续函数。通过截断解X，我们得到了近似u（X），其中u（X）是有界和连续的。因此，我们得出结论：Lim infnun（x）≥ u（x）。u（x）<∞ 但不存在解，其中u（x）=∞ 有点微妙，因为我们先验地不知道我们接近上限（在第一种情况下是有限的，∞ 在第二种情况下）具有有界和连续的未定权益。但我们可以证明这是事实。假设对于某个z级，有一个可测量的未定权益xSoch，EP[U（X）]=z和EP*[十] =X.在这种情况下，当然是X≥ 0、修复 > 0.我们首先将X替换为有界索赔X，有界索赔远离∞在0上方和远离0下方，分两步进行。首先，对于α<1但接近1，设Xα：=αX+（1- α） x。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:26

当然，EP*[Xα]=X。通过双重应用单调收敛（将EP[U（Xα）]拆分为EP[U（Xα）{Xα≥x} ]+EP[U（xα）{xα<x}]），我们有limα→1EP[U（Xα）]=EP[U（X）]=z。因此，选择αo足够大，以使EP[U（Xα）]≥z-/4、当然，Xα以（1）为界-α） x.至于上限，cap xα是一些大的β。也就是说，设Xαo，β为Xαo∧β. 对于足够大的βo，这是有界的，并且将满足EP[U（Xαo，βo）]>z- /2，虽然限制Xα，但只能放松预算约束。因此，wlog假设我们的原始X（使预期效用接近zand，并满足X的预算约束）在上方有界且远离零。现在应用Luzin定理和Tietze扩张定理的组合：我们可以用一个连续函数X来近似X，该函数在一组任意球测度上与X不同，并且与X具有相同的上下界；这允许选择XT以满足EP[U（X）]>z- 3./4.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:30

可能是EP*[十] >X，但最后/4用于将X替换为X-（EP*[X]-x），给出一个有界且连续的未定权益，其成本为x（或更少），并提供预期效用z-, 此时，命题5.2可以用来证明命题2.6的“放松”问题。为了解决命题2中的逆不等式，我们需要做一些准备。这一命题的证明依赖于[18]中的定理1，该定理指出，对于大n，任何有界和连续的未定权益x都可以与第n个离散时间经济体中的“x控制风险”合成，其中“近似合成”表示： > 0和足够大的n（取决于), 合成的权利要求，xnsatis fies Pn|xn公司- x |>< ; “x控制风险”指综合索赔xnsatis fies xn（ω）∈infωx（ω），supωx（ω）Pn概率为1。对于第n个离散时间经济体，消费者面临三种类型的约束：1。她拥有x级初始财富，其初始投资组合的价值不能超过x。在0到1倍之间，她进行的任何交易都必须是自我融资的。她只提供价格过程允许的交易。总之，她的最终消费捆绑必须是可综合的或有权益。3的重要性在于，对于ζ具有两个以上元素的支持，消费者不会面临“完全市场”。然而，我们知道，她在当时的经济中构建的任何最终消费捆绑X都必须满足这三个约束条件*n【X】=X，式中：*关于任何概率测度Q的ndentes期望*n这是Pn的一个等价鞅测度（emm）。我们为每个Pn固定一个特定的emm，即emm，以下用P表示*n、由Esscher transform提供：数据处理*ndPn（ω） =经验值- anω（1）- bn公司对于常数anand bn，选择如下所示：*nis是鞅概率测度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:33

具体而言，由“鞅方程”确定数据处理*ndPneω（（k+1）/n）Fk/n= eω（k/n），然后bn固定为归一化常数，给定an的值。此外，可以显示an=1/2+E[ζ]√n+o（1/√n）式中，E[ζ]是ζ的三阶矩，limnbn=1/8。（符号E[·]用于表示对ζ的期望。）当然，Pn=> P（弱在C[0，1]上赋上范数拓扑），对于这个特定的等价鞅测度，P*n=> P*.因此，假设我们为消费者提出以下问题：最大化EPn[U（X）]，服从EP*n【X】=X，（6.1），其中EPn[·]表示对Pn和EP的期望*n[·]表示对特定emm P的期望*n、换句话说，我们允许消费者购买任何她希望购买的消费索赔X，但仅限于她可以按照dP给出的“价格”提供X*n/dPn。设Zn为C[0，1]上的函数，由Zn（ω）=exp给出-anω（1）-bn公司. 因此，Znisa是随机变量dP的特定版本*n/dp和约束EP*n[X]=X可以写成EPn[ZnX]=X。也就是说，我们可以简单地考虑消费者面临的复杂性，因为我们假设ζ的均值为零，方差为1，我们知道pn允许emm。关于详细的推导，请参见[17]，引理5.1。具有未定权益“定价内核”的市场。使用这种解释，我们知道消费者可以在问题（4.1）asuZnn（x）：=sup中获得的最高效用EPn【U（X）】，受EPn【ZnX】约束≤ x个. （6.2）问题的关键在于（6.1）放松了在第n个离散时间经济体中实际面对消费者的约束；在（6.1）中，她面临“完全市场”；在她的实际问题中，她面临着进一步的“可综合性”限制。因此，我们知道Uznn（x）≥ un（x）对于所有x>0且n=1，2。（6.3）如果我们可以证明limnuZnn（x）=u（x），我们将知道lim supnun（x）≤ u（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:37

这与命题2一起，将确定limnun（x）=u（x）。这就是我们要做的。7一个类似的问题事实上，我们又增加了一个情节元素。如上所述，Z是函数Z（ω）=exp(-ω(1)/2 - 1/8），这是ofdP的一个版本（唯一的连续版本）*/数据处理定义（x）=supEPn[U（X）]：EPn[ZX]≤ x个. （7.1）换句话说，uZn（x）是消费者在第n个离散时间经济体中面对完整市场和“价格”Z时所能达到的最高预期效用。也就是说，从BSM模型中的消费者问题转移到（7.1）中描述的问题，将消费者的概率评估从P更改为Pn，而不是她面临的“价格”。在从（7.1）移动到（6.2）的过程中，我们将概率评估保持为Pn，但将价格从Z更改为Zn。这种“一步一个脚印”在接下来的分析中很有用。8如果渐近弹性小于1，则最优预期效用是有限且收敛的。在本节中，我们证明了以下结果：定理1。假设效用函数U满足条件（3.1），且AE（U）<1。然后，对于所有x>0，值函数x→ u（x）是有限值且最小值→∞un（x）=u（x）。（8.1）定理1的证明将采取几个步骤，并消耗整个部分。Webegin有一个引理。引理1。对于任何常数γ，limn→∞EPn公司exp（γω（1）= EP公司exp（γω（1））.引理1的证明。在Pn下，ω（1）=Pnk=1ζk/√n对于{ζk}，一个具有ζ定律的随机变量i.i.d.序列。因此，EPnexp（γω（1））= EPn公司经验值γnXk=1ζk√n=E经验值γζ√nn、 exp（γζ）的泰勒级数近似/√n）为1+γζ/(√n） +γζ/（2n）+o（1/n），其中o（1/n）项在ζ的值中是一致的，因为ζ具有有界支撑。因此，EPnexp（γω（1））=E1 +γζ√n+γζ2n+o（1/n）n个=1+γ/（2n）+o（1/n）n、 rhs上的项收敛到eγ/2，这当然是EPexp（γω（1））.现在我们来证明定理1：步骤1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:40

因为AE（U）<1，U（x）<∞ 对于所有x>0。该步骤给出了一个备注：例如，对于[16]中所研究的“一般”价格过程，渐近弹性小于1并不保证最优预期效用是有限的。这里的结果在很大程度上取决于BSM模型给出的价格过程。步骤1的第二个关键是以下界限：存在L>0和α>0，使得V（y）≤ Ly公司-α、尽管如此∈ (0, ∞). （8.2）【16】中的推论6.1建立了该界限，作为AE（U）<1的结果，但仅适用于0<y≤ y、对于某些y>0。如果我们有那个V(∞) = U（0）<0，我们得到ally>0的界。并且，为了这个定理的目的，用常数移动U是不会失去一般性的。所以如果U（0）≥ 0，只需将U替换为U（x）-U（0）-c、对于合适的常数>0。那么我们就有了，并且从现在开始假设，所有y都是8.2∈ (0, ∞).因此，我们可以估计v（y）=EP五、ydP公司*数据处理≤ L EPy-αexp-ω(1)--α= 是的-αeα/8E经验值αω(1)< ∞,（8.3）因为后一个期望值只是高斯变量的指数矩。因此，根据（【16】，定理2.0），对偶值函数y→ v（y）以及原始值函数x→ u（x）具有有限值；我们也从命题1的c部分推导出，AE（u）≤ AE（U）<1。第2步。使用符号（7.1），定义uZ∞（x）对于x>0 byuZ∞（x）：=lim supn→∞uZn（x）。（8.4）然后uZ∞（x） <∞ 对于所有x>0。为每个n定义共轭函数vZn，即vZn（y）=EPn[V（yZ）]。（8.5）通过给出（8.3）的相同论点，我们得到了vzn（y）=EPn五、yZ公司≤ 是的-αeα/8EPn经验值αω(1). （8.6）引理1告诉我们，（8.6）的rhs上的期望收敛，这意味着对于固定的y，Vzn（y）在n上一致有界，这通过关于共轭函数的标准参数证明了uZ∞（x）每个x的定义。步骤3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:43

实际上，limnuZn（x）存在并且等于所有x>0的u（x）。我们证明了对于所有y>0的函数，limnvZn（y）=v（y），这再次证明了步骤3，使用了关于共轭函数的标准参数。比较vZn（y）和v（y）：vZn（y）=EPn[v（yZ）]和v（y）=EP[v（yZ）]。如果V是一个有界函数（当然，V是连续的），那么从Pn可以立即得出结论=> P、但V通常是无界的，因此我们必须证明，从“尾部”对期望的贡献可以统一控制。为此，我们显示以下两个统一边界：对于每个y>0和 > 0，存在M>0，因此EPN|V（yZ）|·{V（yZ）<-M}< , 对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPNV（yZ）·{V（yZ）>M}< , 统一在n.（8.8）中，从（8.7）开始。如果U（0）是有限的，则V（y）紧随其后≥ 五(∞) = 所有y的U（0），取M=-U（0）立即起作用。（稍微）困难的情况是U（0）=-∞.在这种情况下，回想一下，根据Inada的条件，limy→∞V（y）=-石灰→∞（U）-1（y）=0。由于V是凸的，这意味着对于足够大的M，| V（y）|≤ y、提供V（y）≤-M、但是后来呢V（yZ）·{V（yZ）≤-M}≤ EPn公司Z≤ EPn公司Z. （8.9）引理1，limn→∞EPn【Z】=EP【Z】=1，显示（8.7）。并显示（一致）不等式（8.8）：对于参数α和L，给出界（8.2），对于固定y>0和 > 0，设B足够大，以便EPNeαω（1）/2·{ω（1）≥B}≤Ly公司-αeα/8对于所有n.（8.10），这样一个B的存在来自引理1，因为Pn=> P、（1）EPnmin{eαω（1），B}→ EP公司min{eαω（1），B}和（2）Pn（{ω（1））≥ B} （）→ P（{ω（1））≥ B} ），对于所有B>0。和letM=Ly-αexpαB+α.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 11:51:46

（8.11）我们有V（y）≤ Ly公司-α表示所有y>0，依此类推V（yZ）≥ ML（yZ）-α≥ M=L（yZ）-α≥ Ly公司-αe（αB/2+α/8）=Z-α≥ eαB/2+α/8=（e）-ω(1)/2-1/8)-α≥ eαB/2+α/8=eαω（1）/2≥ eαB/2=ω(1) ≥ B.因此，EPnV（yZ）·{V（yZ）≥M}≤ EPn公司L（yZ）-α·{ω(1)≥B}= EPn公司Ly公司-α（e-ω(1)/2-1/8)-α·{ω(1)≥B}= Ly公司-αeα/8EPn[eαω（1）/2·{ω（1）≥B}≤ ,在n中统一。显示了两个统一界限（8.7）和（8.8），剩下的是标准参数。修复y和两者均大于0，并找到M，使（8.7）和（8.8）均成立。Let VM（yZ）：=最大值-M、最小值{M，V（yZ）}; 也就是说，VM（yZ）在±M处被V（yZ）“截断”。这个截断函数是有界的和连续的，所以Pn=> P表示EPn【VM】→EP[虚拟机]。以及差异EPn【V（yZ）】-VM（yZ）]一致有界于2. 因此，vn（y）=EPn[V（yZ）]→ EP[V（yZ）]=所有y的V（y），这意味着uZn（x）→ 所有x>0的u（x）。第4步。对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPN|V（yZn）|·{V（yZn）<-M}< , 在n.（8.12）中，与一致不等式（8.7）平行的一致性很明显：（8.7）一致控制积分vZn（y）=EPn[V（yZ）]的右尾；这里我们统一控制积分vZnn（y）=EPn[V（yZn）]的右尾。以及相同的证明作品；实际上，在这种情况下，我们甚至有EPn[Zn]=1（与EPn[Z]相反→ 1之前）。第5步。有一个常数C>1，对于所有n，C≤Zn（ω）Z（ω）≤ C、 Pn编号- a、 s.（8.13）（此步骤的原因是为了证明EPn的统一界限V（yZn）类似于（8.8），即步骤6。）我们有zn（ω）Z（ω）=e-anω（1）-bne公司-ω(1)/2-1/8，其中an=1/2+d/√n+o（1/√n）式中，d=E[ζ]/24，bn=1/8+o（1）。因此，Zn（ω）Z（ω）=expdω（1）√n+ω（1）·o√n+ o（1）.由于ζ具有有界支撑，因此存在一些常数K，使得|ζ|≤ K，概率为1，so |ω（1）|≤ K√n、 Pn-a.s.发现常数C>1（8.13）的能力现在很明显。第6步。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:50

对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPNV（yZn）·{V（yZn）>M}< , n.（8.14）中的一致性将（8.13）中的左侧不等式改写为Z（ω）/C≤ Zn（ω），在Pn的支撑下。由于V是一个递减函数，这意味着，对于所有y>0，V（yZ（ω）/C）≥ V（yZn（ω）），因此，V（yZ（ω）/C）>MV（yZn（ω））>M,两者都限于支持Pn。因此，对于任何M>0，EPnV（yZn）·{V（yZn）>M}≤ EPn公司V（yZ（ω）/C）·{V（yZ（ω）/C）>M}.但是，可以应用toy=y/C来证明M的存在，从而证明（8.8）是满足的，这就完成了这一步骤。第7步。对于所有y>0，limnEPn【V（yZn）】- EPn【V（yZ）】= 当V（0）=U时，此步骤的参数会发生一点变化(∞) 和/或V(∞) = U（0）为有限值。因此，我们首先给出V（0）=U的情况下的参数(∞) = ∞和V(∞) = U（0）=-∞, 然后概述如何处理一个或另一个不确定的较容易的情况。修理 > 0和y>0，并拾取足够大的M>0，以便（8.7）、（8.8）、（8.12）和（8.14）都保持不变。设M=M+2。让wand wbe溶液分别为V（yZ（w））=和V（yZ（w））=-M、其中Z（w），我们暂时是指exp(-带2个- 1/8). 这意味着如果ω是ω（1）∈ [w，w]，然后V（yZ（ω））∈[-M、 M）。此外，通过V、Z和Zn（后两者视为ω（1）的函数）的连续性和单调性，以及对于固定w，Zn（w）→ Z（w），存在这样的情况：对于所有n>n，ω（1）∈ [w，w]表示V（yZn（ω））∈ [-M-1，M+1]。函数V、Z和zn在紧域上都是一致且偶数Lipschitz连续的（对于V，严格有界远离0），因此有一个Lipschitz常数`，使得V（yZn（w））- V（yZ（w））≤ ` ·锌（w）- Z（w）,如果n>nand w∈ [宽，宽]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:53

在ω（1）事件上∈ [w，w]，对于所有n>n，| Zn（ω）- Z（ω）|</`.因此，在事件D={ω（1）上∈ 对于n>max{n，n}，我们有| V（yZ（ω））-V（yZn（ω））|≤ , 和EPn|V（yZ（ω））-V（yZn（ω））|·D< . 通过构造，D的补码是四个事件的并集的子集，在这四个事件上我们一致控制了V（yZ（ω））和V（yZn（ω））的积分，因此对于n>max{n，n}，EPn|V（yZ（ω））- V（yZn（ω））< 5., 在n中一致，这证明了步骤7。当V（0）和/或V(∞) 如果不确定，这个论点需要稍加修改。假设V（0）<∞. 当yZ和yZnare都接近零时，这与路径ω有关，其中ω（1）较大。对于这些路径，Zn（ω）可能离Z（ω）很远。然而，即使这些项相距很远，V（yZ（ω））和V（yZn（ω））也会很近，因为它们都接近于有限的V（0）。类似的论点适用于V(∞) 是有限的。第8步。结合步骤7和3，得出limn→∞uZnn=u（z）表示所有z>0。步骤3显示vZn（y）→ v（y）对于所有y>0（这就是我们得出uZn（x）的结论）→u（x））。步骤7则意味着vZnn（y）→ v（y）表示所有y>0。反过来，这意味着Limn→∞uZnn（x）→ 共轭函数上的标准参数的u（x）。步骤9。结合步骤8和命题2完成证明。已经给出了论点。这一证明阐明了为什么我们引入了类似的问题，即概率评估消费者面临Z给出的完整市场和价格：与BSM模型相比，最优预期效用函数的共轭Vn和v sun和u是不同概率度量的固定函数的期望值。因此，在控制定义这些共轭函数的积分的尾部之后，我们在步骤3中得到了或多或少的弱收敛结果的标准结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:51:56

在步骤7中，概率评估和价格（两个比较问题中的一个）都随n而变化。虽然比较的问题对仅在价格上有所不同，但由于被积函数和积分测度pn都随n而变化，因此需要一定程度的谨慎。9 Kreps猜想Theorem 1的反例保证，对于满足条件（3.1）且渐近弹性小于1的效用函数U，在BSM模型和我们假设的BSM离散时间近似的背景下，一切都能很好地进行。那么，很自然地会问，如果我们维持（3.1）和这些金融市场的特定模型，我们能说些什么，但我们看看效用函数U，其中AE（U）=1。在这种情况下，事情可能会在定理1的意义上解决。但也有可能lim supn→∞un（x）>u（x）。也就是说，当AE（U）=1时，Kreps的猜想可能会失败。在这一节中，我们提供了一个例子来以鲜明的方式说明这种失败：在这个例子中，u（x）<∞ 而lim supn→∞un（x）=∞, 都适用于所有x>0。在本例中（以及在第9节中，我们完成命题1的证明），我们构造共轭函数V，形式为V（y）：=∞Xk=1βky-αk，其中αk，βk>0，并且选择序列{αk}和{βk}，以便所有y>0的和定义v（y）是有限的。我们从共轭对U和V的一些标准事实开始，当V的形式为V（y）=βy时-α.引理2。对于α>0和β>0，用Vα，β（y）表示函数Vα，β（y）：=βy-αfory>0。对于与Vα，β共轭的效用函数Uα，β，如果x=-Vα，β（y）=βαy-α-1给定y，则uα，β（x）=（1+α）Vα，β（y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:52:00

（9.1）当x>0时，产生的效用函数Uα，βisUα，β（x）=1+ααα/（1+α）β1/（1+α）xα/（1+α）。由于α>0，α/（1+α）∈ （0，1）和AE（Uα，β）=α/（1+α）<1。引理3提供了BSM模型中消费者最大化问题的一些分析，当其效用函数的共轭形式为Vα，β时。引理3。假设BSM经济中的一个消费者，其效用函数Uα，β由（9.1）给出。BSM经济学中对应于Uα，β和Vα，β的（对偶）值函数Vα，β（y）=EPVα，βyZ公司= βe（α+α）/8y-α=e（α+α）/8Vα，β（y）。（9.2）和原始预期效用函数，给出消费者在BSM经济中可以实现的最高预期效用，作为其初始财富x，isuα，β（x）=eα/8Uα，β（x）的函数。（9.3）证明。方程式（9.3）很容易从（9.2）推导出来，因此我们只给出（9.2）的证明。设Y为N（0，1）-分布，使Y-1/8,1/4= -是/2-1/8具有ln（dP）定律*/dP）=ln（Z）。因此，随机变量βy扩展(-是/2-1/8)-α具有Vα，β（y Z）和sovα，β（y）=EP的定律βy扩展-Y--α= βy-αeα/8EP经验值αY= βe（α+α）/8y-α.因子e（α+α）/8偶尔会递归，因此为了节省击键次数，让φ（α）：=e（α+α）/8。用Lζ（λ）表示ζ定律的拉普拉斯变换；isLζ（λ）：=E[exp（λζ）]。如上所述，用Y表示标准（平均值0，方差1）正态变量，并写（λ）：=E[经验（λY）]=Eλ/2。设Yn为ζ的n个独立副本的标度和，Yn=ζ+…+ζnn1/2，我们有lyn（λ）=Lζλn1/2n、中心极限定理对应于众所周知的事实，即LYn（λ）收敛于LY（λ）。另一方面，如果E[ζ]>0，通过考虑-类似于引理1的证明-泰勒级数展开到λ=0附近的exp（λY）的3次，可以得出，对于足够小的λ>0，Lζ（λ）>LY（λ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:52:03

（9.4）现在考虑共轭效用函数Vα，β（y）=βy-α如上所述，其共轭Euα，β，BSM经济体的相应值函数uα，β及其共轭Evα，β，如引理3中所示，我们将其与消费者面临Zn给出的完整市场和价格的各种离散时间经济体的值函数进行比较。在本节中，我们不需要消费者面临价格Z的离散时间经济体的值函数，因此为了简化符号，在本节中，我们将第n个离散时间经济体的值函数与vnα，β（y）的值函数相结合，即vnα，β（y）：=EPnβyZn公司-α对于所有y>0。（9.5）我们写unα，β来表示原始值函数（vnα，β的共轭）。考虑整数k的比值vnα，β（k）/vα，β（1/k）。从（9.2）和（9.5）可以看出，该比率与β的值无关，因此，对于整数k和n，α>0（以及任何β>0），letM（k，n，α）：=vnα，β（k）vα，β（1/k）。（9.6）引理4。对于每个整数k，存在足够大的n，以便对于α：=2λn1/2，M（k，n，α）≥ 22k。证据修复k。在不丧失一般性的情况下，将β设置为1。对于给定的n和α=2λn1/2，分别计算M（k，n，α）中的分母和分子。对于分母，我们有vα，1k= EP公司kexp-ω(1)--α=k-1/αeα/8EPλn1/2ω（1）=k-αeα/8Eexp（λn1/2Y）=k-αeα/8LY（λn1/2）=k-αeα/8（eλ/2）n=k-αeα/8LY（λ）n，其中Y是标准（平均值0，方差1）正态变量，e表示相对于Y的期望值。对于分子，在专门化toy=k和β=1之前，我们计算一般y和β：vnα，β（y）=EPnβ（yZn）-α= EPn公司βy扩展(-anω（1）- bn）-α= βy-αeαbnE经验值2λann1/2ζn1/2++ζnn1/2= βy-αeαbnEexp（2anλζ）n=βy-αeαbnLζ（2anλ）n=y-αH（n，α，β）对于H（n，α，β）：=βeαbnLζ（2anλ）n，（9.7），其中ζj是i.i.d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:52:06

ζ和E的副本表示对这些随机变量的期望。因此m（k，n，α）=vnα，1（k）vα，1（1/k）=k-αeαbnLζ（2anλ）n（1/k）-αeα/8LY（λ）n个=k-4λe2λ（bn-1/8)n1/2Lζ（2anλ）LY（λ）n、（9.8）（9.7）rhs第一个方括号内的术语有一个有限的限制（自bn起→ 1/8），因此n→ ∞, 对于某些常数G，该项的幂n1/2以Gn1/2为界。第二组方括号内的项收敛到Lζ（λ）/LY（λ），根据（9.4），Lζ（λ）/LY（λ）是一个严格大于1的常数。这一项被称为n的幂。因此，对于固定的k，如果n足够大，第二项会压倒第一项，证明引理4。对于每个k=0，1，2，，设nk和αk=2λn1/2k是引理4保证的n和α的值。也就是说，对于每个k（以及所有β>0），M（k，nk，αk）=vnkαk，βk（k）vαk，βk（1/k）>22k。（9.9）很明显，我们可以添加nk≥ k和nk/k在增加，我们也在增加。由于αk=2λn1/2k，这意味着limk→∞αk=∞.设βk：=kvα，1（1/k），使βkvαk，1（1/k）=vαk，βk（1/k）=k.（9.10）乘以（9.9），vnkαk，βk（k）kvαk，βk（1/k）=vnkαk，βk（k）>2k。（9.11）定义（y）：=∞Xk=1βky-αk=∞Xk=1Vαk，βk（y），对于所有y>0。（9.12）很明显，对于所有y>0的函数，其和都是明确定义的，并且函数具有与满足条件（3.1）的效用函数U共轭所需的所有属性。实际上，（9.10）确保V（y）=EP五、yZ）= EP公司∞Xk=1Vαk，βk（yZ）=∞Xk=1vαk，βk（y）<∞, 对于所有y>0，这意味着，对于U，共轭（效用）函数为V，对于U，财富函数的（最大期望）效用对应于BSM经济中的该U，U（x）<∞ 对于所有x，可能值得指出的是，这个效用函数U不是pkuαk，βk。关于离散时间经济体，首先要注意，和（9.12）中的所有项都是正的，所以Vαk，βk（y）≤ V（y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 11:52:09

这意味着，对于每个k，vnkαk，βk（y）≤ vnk（y）表示所有y，因此为unkαk，βk（x）≤ unk（x）表示所有x>0。（9.13）现在我们加入引理2。使用（9.7）中的符号，对于任意yk>0，letxk：=-dvnkαk，βkdy（yk）=αky-αk-1kH（nk，αk，βk）=αkyk·vnkαk，βkyk公司.引理2告诉我们unkαk，βk（xk）=vnkαk，βkyk公司1+αk.因此，unkαk，βk（xk）xk=1+αkvnkαk，βk（yk）αk/yk）vnkαk，βk（yk）=1+αkαkyk>yk。（9.14）选择yk=k1/2。由于vnkαk，βk（k）>2k，并且vnkαk，βk（y）在y中减少，我们知道vnkαk，βkk1/2> 2k。由于αk=2λn1/2k，并且通过构造，nk/k是非减量的，因此我们知道αk/k1/2i是非减量的。把这两个观察结果放在一起，我们知道Limk→∞xk=limk→∞αkk1/2·vnkαk，βkk1/2= ∞. （9.15）对于yk的选择，（9.14）告诉我们→∞unkαk，βk（xk）xk=limk→∞1+αkαkk1/2=∞. （9.16）每个函数unkαk，βkis为凹函数，x=0时的值为0。所以（9.16）意味着，在区间x上∈ （0，xk），unkαk，βk（x）>k1/2x。因此，从（9.13）来看，unk（x）也是如此。但是随着k的增加∞, 这是真的间隔[0，xk]扩展到allof（0，∞] — 这是（9.15）-对unkon这一区间的低估接近实际。这意味着Limk→∞unk（x）=∞, 对于所有x>0。（9.17）在（9.17）中确定的限制并没有完全完成我们计划要做的事情。我们想表明，在第n个离散时间经济体中，消费者面临价格zn和综合其消费主张必须高于的约束，她可以（至少在子序列上）渐进地产生有限的预期效用，尽管她只能在BSM经济体中产生有限的预期效用。（9.17）中的限制涉及到面对价格和完整市场，她能产生什么样的预期效用。但这最后一步很容易。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 11:52:12

用于达到（9.16）的ζ的性质（与极限BSM经济中的最高预期效用不一致）为（1）ζ的平均值为零，（2）ζ的方差为1，（3）ζ的支持度为有限，以及（4）E[ζ]>0。例如，假设ζ是不对称二项式ζ=（2，概率为1/5，和-1/2，概率为4/5。很容易验证所有四个要求的属性都满足。而且，由于ζ有两个元素的支持，对于任何n，它提供了完整的市场。对于这个不对称二项式ζ，unk（x）正是她在第k个离散时间经济体中所能达到的，即使施加了可综合性约束。因此，我们有了克雷普斯猜想的理想反例。对于均值为零且绝对值“上升”大于“下降”的任何非对称二项，我们得出了相同的结论，因为这使得E[ζ]>0。那么，很自然地会问，在对称二项的情况下会发生什么，其中ζ=±1，每个概率为1/2，或者更一般地，对于任何具有E[ζ]的非对称二项≤ 0或更一般地，任何具有平均值零、有界支撑和E[ζ]的ζ≤ 对于此类ζ，上述推理不适用。相反，在对称随机游动的特殊情况下，我们有lζ（λ）=cosh（λ）≤ eλ/2=LY（λ），对于所有λ∈ R、（9.18）通过比较泰勒级数（λ）最容易看出这一点=∞Xk=0λ2k（2k）！相对于eλ/2=∞Xk=0（λ/2）kk=∞Xk=0λ2kkk！。因此，上面构造的反例的逻辑失败了，该反例要求Lζ（λ）>LY（λ）对于某些λ>0。对于对称二项式，lim supnun（x）>u（x），对于某些效用函数u（根据定理1，必须满足AE（u）=1），可能仍然是正确的。或者，在对称二项式的情况下，等式可能成立（并且，可能在所有对称ζ或甚至ζ的情况下，E[ζ]≤ 0).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 11:52:15

我们没有回答这个问题。10命题1BZ=dP的证明*/dP=e-ω(1)/2-1/8，Z的定律是exp（Y）的定律-1/8,1/4），其中Y-1/8,1/4是均值的正态变量-1/8和差异1/4。那么，通过标准计算，Z的定律具有密度函数f（y）=rπyexp- 2.ln（y）+.考虑函数v（y）=f（y）=rπy expln（y）+. （10.1）不同的V表明，只要ln（y）<3/8，它在y中就减少，并且近似计算表明，对于足够小的z>0，Vis在（0，z）上也是凸的。因此，我们可以定义函数V:R++→ 与Von区间（0，z）重合并扩展到所有（0，∞) 这是凸的，递减的，可区分的，方差为1会改变公式，但不会改变基本结论。满意度V(∞) = 因此，表示为U的V的共轭函数满足条件（1.1）。我们想确定严格正y的值的范围，其中值函数v（y）=EP五、y Z）（10.2）是有限的，其值是有限的。显然，这只取决于z=dP的小值*/数据处理在Z=dP的区间内写入期望值（10.2）*/数据处理∈ （0，z）asEP五、yZ（ω）;Z（ω）∈ （0，z）=ZzV（yz）f（z）dz=Zzf（yz）f（z）dz=yZyzf（w/y）f（w）dw，其中最后一步涉及变量w=yz的更改。通过直接计算，我们发现，对于一些依赖于y的常数K，f（w/y）yf（w）=Kw4 ln（y）；因此，EPV（yz）；Z∈ （0，z）= KZyzw4 ln（y）dw。如果4 ln（y），该积分发散≤ -1.也就是说，如果y≤ e-1/4.通过u和v之间的二元性，这表明，对于y=e-1/4，v（y）=∞ 对于y≤ y>y的yand是有限的；此外，作为y＆e-1/4=y，v（y）%∞.这是命题1中的可能性b（i）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝