首先，我们将（24）的形式展开式替换为方程（18）（用θc和θγ替换c和γ），并根据θ中的零、一阶和二阶对项进行分组。其次，我们通过执行验证参数证明，在（25）中的极限保持不变的情况下，这种形式的二阶展开是有效的。第一部分（形式解）：将（24）代入（18）并设置与θtovash成比例的项(th+uq+βUh+ηUUh+4 k(qh+bq）=0，h（T，q，U）=-αq+ψ（U）。（47）很容易验证方程（47）的解为h（t，q，U）=f（t）+f（t）q+f（t）q+g（t，U），（48a）f（t）=4kZTt（f（s））ds，（48b）f（t）=u（t- t） （4 k+m（t- t） ）4 k+2 m（t- t） ，（48c）f（t）=-k m2 k+m（T- t）-b、 （48d）g（t，U）=E[ψ（￠UT）| UT=U]，（48e）d￠UT=βdt+ηdZt。（48f）类似地，与θ成比例的分组项给出cth+βUh+ηUUh+2 k(qh+b q）(qh+呃）+γth+βUh+ηUUh+2 k(qh+bq）qh公司-σq- ρσηq嗯-η(呃）= 0，c h（T，q，U）+γh（T，q，U）=0。（49）我们寻求不依赖于c或γ的方程（49）的解，因此，我们将方程（49）方括号中的每个项独立设置为零。因此，将（49）中的第一个方括号设置为零，以h（t，q，U）=λ（t，U）+λ（t，U）q的形式写入h（t，q，U），并将qand qterms设置为独立消失，并获得(tλ+βUλ+ηUUλ+2 kf（λ+Ug）=0，λ（T，U）=0，（50）和(tλ+βUλ+ηUUλ+2 k（2 f+b）λ+2 k（2 f+b）Ug=0，λ（T，U）=0，（51），其中f0,1,2（T）和g（T，U）在方程（48b）至（48e）中给出。根据费曼-卡克公式，方程（50）和（51）的解由λ（t，U）=E给出ZTtf（s）2 kλ（s，~Us）+Ug（美国）ds公司Ut=U, （52）λ（t，U）=-m2 k+m（T- t） E类ZTt公司Ug（s，~美国）dsUt=U.

（53）接下来，将（49）的第二个方括号设置为零，以h（t，q，U）=∧（t，U）+∧（t，U）q+∧（t）q的形式写入h（t，q，U），并将q，q和qterms分别设置为零，然后写入(t∧+βU∧+ηUU∧+2 kf∧-η(Ug）=0，∧（T，U）=0，（54）(t∧+βU∧+ηUU∧+2 k（2 f+b）∧+k∧f- ρ σ η Ug=0，∧（T，U）=0，（55）(t∧+k（2 f+b）∧-σ=0，∧（T）=0。（56）ODE（56）的解为∧（t）=-σ（T）- t） 12 k+6 k m（t- t） +米（t- t） 6（2 k+m（t- t） ）。（57）根据Feynman-Kac公式，方程（54）和（55）的解∧（t，U）=2 kEZTt公司f（s）∧（s，~Us）-kη(Ug（美国）Ut=U, （58）∧（t，U）=kEZTt2 k+m（T- s） 2 k+m（T- t）f（s）∧（s）-kρσηUg（美国）ds公司Ut=U. （59）最后，将与θ成比例的项分组，得到cth+βUh+ηUUh+4 k(嗯+qh）+2 k(qh+b q）(嗯+qh）+cγth+βUh+ηUUh+2 k(qh+呃）qh+2 k(qh+b q）(嗯+qh）-η嗯嗯- ρσηq嗯+γth+βUh+ηUUh+4 k(qh）+2 k(qh+b q）qh公司- η嗯嗯- ρσηq嗯= 0，ch（T，q，U）+cγh（T，q，U）+γh（T，q，U）=0。（60）我们寻求不依赖于c和γ的（60）的解，因此我们将方括号中的三项分别设置为零。进行替换sh（t，q，U）=A（t，U）+A（t，U）q+A（t，U）q，（61a）h（t，q，U）=B（t，U）+B（t，U）q+B（t，U）q，（61b）h（t，q，U）=C（t，U）+C（t，U）q+C（t，U）q，（61c），以获得A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2的PDE系统。在引理9（出现在这个证明的末尾）中，我们证明了这些函数是有界的，并且对于U具有有界导数的函数是连续可微的。第二部分：（近似精度）。根据（24）给出的^h，定义^h（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qS+^h（t，q，U；θc，θγ））。

（62）那么（25）中的期望极限等于Hψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）+o（θ），（63），其中θ的附加幂来自指数泛函的泰勒展开，并注意（62）的指数中出现的θ的附加因子。为简单起见，我们证明了（63）中的近似对于初始状态为x、q、S和u的t=0成立。t 6=0的情况类似。此后，考虑初始状态x、q、S和U是固定的，取θ∈ (0, θ*),  ∈ (0, *)式中θ*, *如假设4 iii）所示。进一步，设νθ，是一个可容许的控制 θ-最佳，特别是hνθ，（0，x，q，S，U；θc，θγ）+ θ≥ Hψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）。（64）将伊藤引理应用于过程Gt=^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）屈服强度- G=ZT(t+Lνθ，)^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）dt- θγσZT^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Qνθ，tdWt公司- θγηZT^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）U^h（t，Qνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）dZt，（65），其中微分算子Lν由Lν=ν给出q- （S+kν）νx+（u+bν）S+σSS+（β+θcν）U+ηUU+ρση苏。检查U^h（t，q，U；θc，θγ）表明，它是一个关于2次q的多项式，由于引理5，系数相对于（t，U）有界。接下来，我们应用假设4 iii）中（19）中的一致界来证明两个随机积分对于非常小的θ都有期望零。θ的依赖性很大∈ (0, θ*) 因此^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）q≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）），^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）(U^h（t，q，U；θc，θγ））≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）。因此，根据假设4 iii），如果θ<Dγn，则两个随机积分sin（65）中的被积函数在[0，T]×上都是平方可积的Ohm 因此没有任何期望。

如果θ*>DγN，然后我们进一步限制θ∈ （0，DγN）。给定^H的显式形式，我们得到了界(t+Lνθ，)^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）≤ supν(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）（66）=-θγ^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）Xi=3θiPi（t，q，U）。（67）（66）中的最大值在ν+=q^h+θcU^h+b q2 k，经过直接替换和一些繁琐但简单的计算，得到（67），其中，通过引理5，每个Pi（t，q，U），i∈ {3，4，5，6}，是一个关于q的多项式，最多四个，系数有界于t和U（完整表达式见附录C（89））。采用（65）中的期望值，替代Gt的定义，并使用不平等（67），会导致不平等ZT公司-θγ^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Xi=3θiPi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t） dt公司≥ E[^H（T，Xνθ，T、 Qνθ，T、 Sνθ，T、 Uνθ，Tθc，θγ）]-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）=Hνθ，（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）。重新排列并回忆起νθ，是 θ-最优，所以我们有θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤  + EZT公司-θγ^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Xi=3θi-3Pi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t） dt公司. （68）我们再次应用假设4 iii）中（19）中的统一界限。通过构造，^h在U中具有atmost线性增长。此外，具有有界系数的qappear的零阶、线性和二次依赖性。其次，由于每个π在q中最多为四度，有界系数，因此有一个足够大的N，与θ无关∈ (0, θ*), 因此^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）Xi=3θi-3Pi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t）≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）。如果θ*>Dγ与N>N，然后进一步限制θ∈ （0，DγN）和as ∈ (0, *) 和θ<θ*, （19）中的统一界限适用，因此θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤  + θγNC。

（69）最后 ∈ (0, *) 是任意的，我们有limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0，（70），这是所需的限制。引理9。函数A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2是有界的，并且对于U和有界导数是连续可微的。证明Let L=βU+ηUU。将（61）替换为（60）后，函数A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2满足PDE的以下系统：tA+LA+4 k（λ+Ug）+2 kf(Uλ+A）=0，tA+LA+2 k（2f+b）(Uλ+A）+2 kf(Uλ+2A）=0，tA+LA+2 k（2f+b）(Uλ+2A）=0，A0,1,2（T，U）=0，（71）tB+磅+2 kf(Uλ+B）+2 k∧（λ+Ug）- ηUλUg=0，tB+磅+2 kf(U∧+2B）+k∧（λ+Ug）+2 k（2f+b）(U∧+B）-ηUλUg公司- ρσηUλ=0，tB+LB+2 k（2f+b）(U∧+2B）+2 kfU∧- ρσηUλ=0，B0,1,2（T，U）=0，（72）tC+LC+4 k（λ）+2 kfC- ηU∧Ug=0，tC+LC+k∧∧+kfC+2 k（2f+b）C- ηU∧Ug公司- ρσηU∧=0，tC+LC+k（λ）+k（2f+b）C- ρσηU∧=0，C0,1,2（T，U）=0。（73）检查表明，在三个系统中的每个系统中，耦合仅在一个方向上，因此可以逐个求解方程。我们还看到，每个单独的方程都是这样的tw+Lw+F+Gw=0，w（T，U）=0。（74）根据Feynman-Kac公式，w的解为w（t，U）=EZTteRstG（右，~Ur）drF（南，~Us）Ut=U, 式中，dUt=βdt+ηdZt。由于函数f0,1,2，λ0,1，∧0,1,2和Ug有界且可对U连续微分。此外，检查表明，每个折扣项G有界且仅为t的函数。因此，每个A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2有界，且可通过引理5对U连续微分。6.5. 定理7Fixθ>0并取θ的证明∈ (0, θ).

接下来，当代理人遵循推测的近似策略时，考虑库存和非交易风险因素路径，特别是dq^νt=^νt、 Q^νt，U^νtdt，（75a）dU^νt=β+c^νt、 Q^νt，U^νtdt+ηdZt。（75b）通过引理5，函数^ν可以写成^ν（t，q，U）=F（t）+F（t；θ）q+F（t；θ）Ug（t，U），（76）带Ug（t，U）和UUg（t，U）有界，因此^ν（t，q，U）是在变量q和U中线性增长的Lipschitz。因此，SDEs（75）具有唯一的强解（见Karatzas和Shreve（2012）定理5.2.9）。此外，均匀地选择关于θ的线性增长系数∈ （0，θ），所以Q^νt+U^νt我≤ C eCt，t型∈ [0，T]，对于某些常数C。因此，根据Fubini定理，我们有EhRT^νudui<∞.为了证明^ν是渐近近似最优的，我们继续验证参数，同时跟踪优化误差的大小，类似于定理6的证明。我们还注意到asHψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+q S+hψ（t，q，U；θc，θγ）），h^ν（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+h^ν（t，q，U；θc，θγ）），我们期望的近似结果等价于hψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=h^ν（t，x，q，S，U；θc，θγ）+o（θ），（77），这是指数函数的泰勒展开式。我们用给定的初始状态x、q、S和U证明了t=0时的精度结果，我们认为这是固定的。t 6=0的一般结果如下所示。给定控制^ν和产生的状态过程X^νt、Q^νt、S^νt和U^νt，定义过程（Gt）t∈[0，T]其中gt=^H（T，X，Q，v，T，S，U，v；θc，θγ），和^H（T，X，Q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+^h（t，q，U；θc，θγ）。这里，^h是定理6方程（24）中给出的hψ的近似值。

应用伊藤引理G givesGT- G=ZT(t+L^ν）^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）dt- θγσZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Q^νtdWt- θγηZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ）dZt=-θγZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）dt公司- θγσZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Q^νtdWt- θγηZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ）dZt，（78），其中每个Mi（t，Q，U），i∈ {3，4，5}，是一个q次多项式，最多4次，系数为t和U的一致有界函数（有关显式表达式，请参见附录C中的（90））。我们继续证明θ∈ （0，θ）两个随机积分都有零期望，Fubini定理可以应用于黎曼积分的期望。首先，我们在底层流程上构造适当的边界。Γν的线性增长条件与Ug表示ν（t，q）≤ ^ν（t，q，U）≤ ν（t，q），其中ν（t，q）=C（1+| q |）和ν（t，q）=-ν（t，q）对于某些常数C>0。此外，过程（Qνt）t∈[0，T]和（QνT）T∈[0，T]是确定性的且满足qνT≤ Q^νt≤ Qνt。同样，存在过程（Sνt）t∈[0，T]，（SνT）T∈[0，T]，（UνT）T∈[0，T]和（UνT）T∈[0，T]这样就是νT≤ S^νt≤ Sνtand Uνt≤ U^νt≤ Uνt，几乎可以肯定（见Karatzas和Shreve（2012）提案5.2.18）。因此，存在sc>0和C>0，使得| S^νt |≤ C1+最大值0≤t型≤T{| Wt |}和| U^νt |≤ C1+最大值0≤t型≤T{Zt}.接下来，确定MW=max0≤t型≤T{| Wt |}和MZ=max0≤t型≤T{Zt}。

这些界限为X^νt | X^νt |提供了以下界限≤ |x |+Zt | S^νt+k^ν（S，Q^νS，U^νS）|ν（S，Q^νS，U^νS）| ds≤ |x |+ZT | S^νt | |ν（S，Q^νS，U^νS）| ds+kZT |ν（S，Q^νS，U^νS）| ds≤ |x |+T CC1+兆瓦+ k T C，其中Cis为常数。上的一致界Ug（t，U）和UUg（t，U）表示^h在uan中最多呈线性增长，因此| h（t，Q^νt，U^νt）|≤ C（1+MZ）和|U^h（t，Q^νt，U^νt）|≤ C、 其中，Cand Care常量。同时应用上述边界可提供-θγC（1+MW+MZ）≤ |^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）|≤ eθγC（1+MW+MZ）。（79）我们可以选择与θ无关的常数Ci∈ （0，θ），因此^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）（Q^νt）≤ Ce2θγC（1+MW+MZ），^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θC，θγ）(U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ））≤ Ce2θγC（1+MW+MZ），其中C=max{（QνT），（QνT）}。因为这两个不等式的右侧在[0，T]×上是可积的Ohm, （78）中的随机积分具有零期望。接下来，如上所述，Mi，i∈ {3，4，5}，是q次多项式，最多四次，系数是t和U的一致有界函数。因此，Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）≤ θC，（80），其中Cis是一个不依赖于θ的常数∈ (0, θ). 这个界和（79）一起允许我们将富比尼定理应用于（78）中的黎曼积分。将这一点与（78）的rhs上的随机积分具有零期望的结果结合起来，我们得到了[H^ν（T，X^νT，Q^νT，S^νT，U^νT；θc，θγ）]-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）=-θEγZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）dt公司（81）利用界（79），我们进一步得到θH^ν（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤ θγCT E[EθγC（1+MW+MZ）]。（82）根据定理6，我们有limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0 .将上述与（82）结合表示Limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-H^ν（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0，（83）根据需要。6.6.

命题8的证明证明分三部分进行。（i） 我们证明了（36）给出的局部一致逼近；（ii）我们证明（37）中的控制是可接受的；（iii）最后，我们证明了控制（37）在（38）的意义上近似最优到二阶。第一部分：（局部一致逼近）：当代理持有N个非交易风险因子单位时，最优控制的反馈形式由方程（12）以闭合形式给出。用v表示此函数*（t，q，N；c，γ）。当代理具有ψ（U）形式的暴露时，近似最优控制的反馈形式在等式（33）中。由于引理5，等式（33）中的ν和ν对U的依赖性仅通过Ug（t，U）。表示（33）右侧的前三项Ug（t，U）替换为, 由^v（t，q，; c、 γ）。写入v*和^v asv*（t，q，; θc，θγ）=2 k（v（t；θ）+v（t；θ）q+v（t；θ）) , （84）^v（t，q，; θc，θγ）=2 k（^v（t；θ）+^v（t；θ）q+^v（t；θ）) . （85）我们接下来显示limθ↓0θ（vi（t；θ）-^vi（t；θ））=0，对于每个i=0，1，2，在t中均匀。因此，limθ↓0θ（v*（t，q，; θc，θγ）-^v（t，q，; θc，θγ））=0，在（t，q，).为了证明这一点，我们研究了viand^vi所满足的常微分方程的θ依赖性。收敛结果来自于关于这些常微分方程解的参数的连续性和可微性（参见Chicone（2006）定理1.3）。（12）、（33）和（34）的检查表明，v（t；θ）=2 h（t；θ）+b和^v（t；θ）=2 f（t）+b+2θγ∧（t）。函数hand fboth满足形式x=F（x；θ）和x（T）=-α，其中F（x；θ）=σθγ-4 k（2 x+b），F的ODE对应θ=0。当θ↓ 0，F（x；θ）→ F（x；0）在x中均匀分布，因此h（t；θ）→ f（t）在t中均匀分布∈ [0，T]。这也包括v（t；θ）→ 2 f（t）+b均匀分布在t中∈ [0，T]。

根据L\'Hopital法则，我们有limθ↓0θ（v（t；θ）-^v（t；θ））=limθ↓0(θv（t；θ）-θ^v（t；θ））=2 limθ↓0(θh（t；θ）-γ∧（t））。（86）接下来，从（11c）开始，对于θ>0，h（t；θ）具有连续的混合二阶导数（wrt t和θ）。我们这样写道t型(θh）=θ(th）=σγ-k（2小时+硼）θ手θh（T；θ）=0。我们还有t∧=σ-k（2 f+b）∧和∧（T）=0，因为h→ t为θ时呈漏斗状↓ 0，我们有θh→ γ∧在t中一致。因此，limθ↓0θ（v（t；θ）-^v（t；θ））=0，在t中均匀。对（12）、（46）和（84）的检查表明，vand v满足ODS电视=-u -2k（2 h+b）v，v（T）=0，tv=θγρση-2k（2 h+b）v，v（T）=θc。我们希望明确表示对θ的依赖关系。为此，对（29b）、（30b）和（33）的检查表明，我们可以写^v+^v = f+θc + θcλ+θγ∧=f+θc + θcλ + θ γ Λ+ θ γ~Λ ,其中引入的函数满足ODEtf=-u -2k（2 f+b）f，f（T）=0，t∧=-2k（2 f+b）（1+異λ），異λ（T）=0，t∧=-k∧f-2k（2 f+b）∧，λ（T）=0，t∧=ρση-2k（2 f+b）∧，∧（T）=0。因此，我们有t^v=-u -2k（2 f+b）f- θ γk∧f+2k（2 f+b）∧,^v（T）=0，t^v=θγ ρ σ η -2k（2 f+b）（c+c∧+γ∧）,^v（T）=θc。类似于我们在上面证明^v=v+o（θ）的方式，我们可以对^vand^v证明相同的情况：首先，重复参数以表明相关常微分方程的rhs收敛到适当的极限，因此limθ↓0vi（t；θ）-^vi（t；θ）=0，接下来重复参数以显示limθ↓0θvi（t；θ）-θ^vi（t；θ）=0。所有限值可在t中统一取值∈ [0，T]。第二部分（可接受性）：在反馈表中，候选交易策略isv*（t，q，Ug（t，U））=2 k（v（t；θ）+v（t；θ）q+v（t；θ）Ug（t，U））。（87）这与（76）中的反馈策略形式相同（时间相关系数不同，但对于固定θ，它们是有界的）。

因此，关于可否受理的论点是相同的。第（iii）部分（最优性近似）：这一部分的证明类似于定理7。给定候选策略νt=v*（t，Qνt，Ug（t，Uνt）；θc，θγ），定义随机过程（Gt）t∈[0，T]byGt=^H（T，XνT，QνT，SνT，UνT；θc，θγ），其中^H（T，X，Q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+^h（t，q，U；θc，θγ））。^h是定理6中hψ的近似值。将伊藤引理应用于G和writeGT- G=-θγZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）×Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）dt公司- θγσZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）QνtdWt- θγηZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）U^h（t，Qνt，Uνt；θc，θγ）dZt，（88），其中M3,4,5由（78）给出。数量V通过显式计算表示为beV（t，q，U；θ）=r（t，q，U；θ）q^h（t，q，U；θ）+θcU^h（t，q，U；θ）+bq- 2 k^v（t，q，U；θ）- k r（t，q，U；θ），其中r=v*-^v.附录C中给出了关于v计算的更多详细信息。通过对^v的构造，我们得到了q^h+θcU^h+b q- 2 k^v=θcUh+c(qh+Uh）+cγ(qh+Uh）+γqh+θc（cUh+cγUh+γ呃）.特别是，V（t，q，U；θ）是关于3次q的多项式，系数是t和U的有界函数。此外，由于该证明第一部分中的参数，我们有limθ↓0θV（t，q，U；θ）=0，其中收敛对于q是局部一致的，对于t和U是一致的。定理7证明的所有估计都是相同的（除了可能不同的常数C，…，C）。我们写作Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）≤ θC+V（θ），其中Cas位于定理7的（80）中，其中V满足极限θ↓0θV（θ）=0，（回想一下，Qν是以常数为界的）。

然后我们有| E[GT]-G |=θEγZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）×Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）dt公司≤ γ θθCT E[EθγC（1+MW+MZ）]+V（θ）θT E[EθγC（1+MW+MZ）].因此，limθ↓0θHν（0，x，q，S，U）-^H（0，x，q，S，U）= 0，当与定理6结合时，证明了所需的结果。附录C—P3、4、5、6、M3、4、5和V6.7。P3,4,5,6的完整表达式下列表达式给出了函数P3,4,5,6（t，q，U），它们出现在第6项的证明中。这些表达式是通过显式计算（66）中的上确界和θ的分组幂得到的。回想一下，每个h0,1,2,3,4,5相对于q都是二次的。然后，通过检查，我们看到，Pand Pare三次多项式相对于q，Pand Pare四次多项式相对于q，这些多项式的系数是t和U的一致有界函数。此外，通过引理5，系数对于有界导数的U是连续可微的。P=（γqh+c(qh+（Uh））（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（（cUh+γUh）+2Uh（cUh+cγUh+γUh））+c（cUh+cγUh+γ呃）(qh+bq）2 k+c（γqh+c(qh+（Uh））（cUh+γUh）2 k- γρσηq（cUh+cγUh+γUh），（89a）P=（c（cUh+γUh）+cqh+cγqh+γqh）4 k+c（cUh+cγUh+γUh）（cUh+cqh+γqh）2 k- γη（cUh+γUh）（cUh+cγUh+γUh），（89b）P=c（cUh+cγUh+γUh）（cUh+γUh）2 k+c（cUh+cγUh+γUh）（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（cUh+cγUh+γUh），（89c）P=c（cUh+cγUh+γUh）4 k.（89d）6.8。M3，4，5的完整表达式下面的表达式给出了函数M3，4，5（t，q，U），它们出现在第7项和命题8的证明中。将（33）中的反馈控制^ν代入(t+L^ν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）和θ的分组幂。回想一下，每个h0,1,2,3,4,5相对于q都是二次的。

然后，我们通过检查发现，M是关于q的三次多项式，M是关于q的四次多项式，这些多项式的系数是t和U的一致有界函数。此外，通过引理5，系数是关于U的有界导数的连续可微的。M=（γqh+c(qh+（Uh））（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（（cUh+γUh）+2Uh（cUh+cγUh+γUh））+c（cUh+cγUh+γ呃）(qh+bq）2k+c（γqh+c(qh+（Uh））（cUh+γUh）2 k- γρσηq（cUh+cγUh+γv嗯，（90）米=c（γqh+c(嗯+qh））-2 kγη（cUh+γUh）2 kcUh+cγUh+γ嗯,（90b）米=-γη（cUh+cγUh+γ呃）。（90c）6.9。在计算V之前，我们将更详细地说明计算V所需的步骤，这出现在命题8的证明中。我们从(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+νq^h+θcνU^h+b qν- kν,（91）回想一下，在反馈形式中，控制ν由v给出*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）。我们编写了反馈控制asv*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）=^v（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）+r（t，q，U；θ），（92），其中r（t，q，U；θ）=v*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）-^v（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）。现在我们在（91）中替换（92），然后展开并将包含r（t，q，U；θ）的项与不包含r（t，q，U；θ）的项分开。

结果表达式为(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+v*q^h+θc v*U^h+b q v*- k（v*)= -θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+^vq^h+θc^vU^h+b q^v-k^v+r(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司= (t+L^ν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）- θγ^Hr(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司= -θγ^HXi=3θiMi（t，q，U）+r(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司.最后一行中的总结来自于理论证明7中Mi的定义，也在本附录前面概述。大括号中的其余项用V（t，q，U；θ）表示。参考Almgren，R.和N.Chris（2001）。投资组合交易的最佳执行。风险杂志3，5–40。Bacry，E.、A.Iuga、M.Lasnier和C.-A.Lehalle（2015年）。市场影响和投资者订单的生命周期。市场微观结构和流动性01（02），1550009。Bechler，K.和M.Ludkovski（2015年）。具有动态订单流量不平衡的最佳执行。暹罗金融数学杂志6（1），1123–1151。Cartea，'A.和S.Jaimungal（2017年）。不可逆转的投资和模糊厌恶。《国际理论与应用金融杂志》20（07），1750044。Cartea、A.、S.Jaimungal和J.Penalva（2015年）。算法和高频交易。剑桥大学出版社。Chicone，C.（2006年）。《普通微分方程及其应用》，第34卷。SpringerScience&Business Media。Cont，R.、A.Kukanov和S.Stoikov（2014年）。订单簿事件的价格影响。《金融计量经济学杂志》12（1），47–88。Donier，J.、J.Bonart、I.Mastromatteo和J.-P.Bouchaud（2015年）。针对非线性市场影响的完全一致的最小模型。定量金融15（7），1109–1121。Duncan，T.E.（2013）。线性指数二次高斯控制。

IEEE自动控制交易58（11），2910–2911。格拉塞利，M.（2011）。使用实物期权实现实物期权：不完全市场中基于效用的有限时间投资方法。《商业财务与会计杂志》38（5-6），740–764。Grasselli，M.和V.Henderson（2009年）。风险规避和阻止执行股票期权的行使。《经济动力与控制杂志》33（1），109–127。Gu’eant，O.（2015）。最优执行和大宗交易定价：一般框架。AppliedMathematical Finance 22（4），336–365。Gu’eant，O.（2016）。《市场流动性的金融数学：从最佳执行到做市》，第33卷。CRC出版社。Henderson，V.（2002年）。使用效用最大化对非交易资产的债权进行估价。数学金融12（4），351–373。Henderson，V.（2007年）。评估在不完全市场中投资的期权。数学与金融经济学1（2），103–128。Jacobson，D.（1973年）。具有指数性能准则的最优随机线性系统及其与确定性微分对策的关系。IEEE Automaticcontrol交易18（2），124–131。Karatzas，I.和S.Shreve（2012年）。布朗运动与随机微积分，第113卷。施普林格科学与商业媒体。Leung，T.和M.Lorig（2016年）。最优静态二次套期保值。量化金融16（9），1341–1355。Leung，T.和R.Sircar（2009a）。考虑风险规避、行权、工作终止风险以及员工股票期权估值中的多次行使。数学金融19（1），99–128。Leung，T.和R.Sircar（2009b）。最优停止指数套期保值及其在员工股票期权定价中的应用。《暹罗控制与优化杂志》48（3），1422–1451。Potters，M.和J.-P.Bouchaud（2003年）。订单簿和价格影响的更多统计特性。Physica A：统计力学及其应用324（1-2），133–140。