SPX每日日志回报的案例研究表明，与传统的自相关函数和周期图相比，拟议的分位数频率分析（QFA）方法提供了更丰富的序列相关性视图，从而使谱发散度量能够识别不同分位数频率区域金融时间序列模型的潜在不足。这种能力可以用来开发更好的时间序列模型，或帮助更好地理解金融市场的行为。GARCH型模型基于平稳性假设。因此，SPX系列在5年内不稳定的可能性可能会在诊断响应中表现出来。传统的LB和LM统计数据和基于QFA的指标都不是专门用来检测非平稳性的，但文献中已经研究了非平稳GARCH模型（例如Francq和Zakoian 2013）。这些portmanteau诊断应与针对特定类型模型违规的其他技术相结合，以确定缺乏信息的根本原因。在本文中，为了演示，我们分别评估了每个指标的整体强度，并通过p值深入诊断能力，而没有对模型的fit进行过于简单的二元陈述。有人提出了一个有趣的问题，即当需要一个结合所有诊断证据的二进制语句时，假警报的总体概率。这与一个更普遍的问题有关，称为多重比较（例如，Hsu 1996）。从数学上量化这种概率是很困难的，因为它需要诊断的联合分布，这很难解决。然而，可以使用参数自举技术并模拟分布。

例如，如果当至少一个诊断的p值小于0.05时，模型被拒绝，则可以通过落入拒绝区域的模拟样本的分数来估计假警报的总体概率。在本文中，我们强调了基于QFA的指标在不同分位数频率区域而不是在这样一个二元语句中解释缺乏fit的能力。为了将来的研究，我们将研究基于QFA的白噪声和适当更广泛类别的随机过程的谱分散度量的渐近分布。ReferencesAng，A.和Timmermann，A.（2012）《制度变迁和金融市场》。《金融经济学年鉴》4313–337。Bollerslev，T.（1986）广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》31307–327。Darling，D.A.（1957）科洛莫戈罗夫·斯米尔诺夫，克拉姆·冯·米塞斯测试。《数理统计年鉴》28823–838。Dette，H.、Hallin，M.、Kley，T.和Volgushev，S.（2015），《copulas，quantiles，ranks and Spectrum：光谱分析的L方法》。伯努利21，781–831。Ding，Z.，Granger，C.W.J.和Engle，R.F.（1993）股票市场收益的长记忆性和一个新模型。《经验金融杂志》1，83–106。Engle，R.F.（1982）英国通货膨胀方差估计的自回归条件异方差。计量经济学50，987–1007。Efron，B.和Tibshirani，R.（1993）《引导简介》。佛罗里达州博卡拉顿：查普曼和霍尔/CRC。Fajardo，F.A.、Reisen，V.A.、L'evy Leduc，C.和Taqqu，M.S.（2018）长期相依时间序列分析的M周期图。统计学：理论与应用统计学杂志52665–683。Fama，E.F.（1965）股票市场价格的行为。《商业杂志》38，34–105。Francq，C.和Zakoian，J.-M。

（2013）非平稳非对称GARCH模型的推断。《统计年鉴》411970-1998年。Glosten，L.R.、Jagannathan，R.和Runkle，D.E.（1993）关于预期值与股票名义超额收益率波动性之间的关系。《金融杂志》481779-1801。Hagemann，A.（2011）稳健谱分析。。Hansen，P.R.和Lunde，A.（2005）《波动率模型的预测比较：有什么能击败GARCH（1,1）？《应用计量经济学杂志》20873–889。Hecke，R.V.、Volgushev，S.和Dette，H.（2018）序列相关性度量的傅立叶分析。时间序列分析杂志39，75–89。Higgins，M.L.和Bera，A.K.（1992）一类非线性拱模型。《国际经济评论》33137–158。Hong，Y.（2000）序列相关性的广义谱检验。《皇家统计学会杂志》B辑62557–574。许建中（1996）《多重比较：理论与方法》，佛罗里达州博卡拉顿：华润出版社。Huang，H.、Ombao，H.和Stoffer，D.（2004）使用SLEXmodel对非平稳时间序列进行识别和分类。《美国统计协会杂志》，99763-774。Jordanger，L.A.和Tjostheim，D.（2017）通过局部高斯相关进行非线性光谱分析。。Kakizawa，Y.、Shumway，R.和Tanaguchi，M.（1998）多元时间序列的判别和聚类。《美国统计协会杂志》，93328-340。Koenker，R.（2005）分位数回归。英国剑桥：剑桥大学出版社。Kullback，S.和Leibler，R.A.（1951）关于信息和效率。《数理统计年鉴》22，79–86。Lee，J.和Subba Rao，S.（2011）非线性时间序列的分位数谱密度和基于比较的测试。。Li，T.H.（2008）时间序列分析的拉普拉斯周期图。《美国统计协会杂志》103，757–768。Li，T.H.（2012）分位数周期图。

《美国统计协会杂志》107，765–776。完整版本可作为IBM研究报告RC25199提供。Li，T.H.（2013）《混合光谱时间序列》，佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社。Li，T.H.（2014）分位数周期图和时间相关方差。时间序列分析杂志35322-340。Lim，Y.和Oh，H.S.（2015）用于光谱分析的复合分位数周期图。时间序列分析杂志37195-221。Ljung，G.M.和Box，G.E.P.（1978）关于时间序列模型中缺乏fit的度量。Biometrika 65297–303。Portnoy，S.和Koenker，R.（1997）高斯黑兔和拉普拉斯乌龟：平方误差与绝对误差估计的可计算性。统计科学12279–300。Priestley，M.B.（1981）频谱分析和时间序列。加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社。Skaug，H.J.和Tjostheim，D.（1993）基于经验分布函数的序列独立性非参数检验。Biometrika 80，59–602。Schwert，G.W.（1990）《股票波动与87年的崩溃》。财务研究回顾3，77–109。Taylor，S.J.（1986）《金融时间序列建模》。纽约：威利。Weiss，A.A.（1984）具有ARCH误差的ARMA模型。时间序列分析杂志5129–143。Whittle，P.（1962）《平稳时间序列中的高斯估计》。《国际统计学会公报》39，105–129。Wuertz，D.（2017）Rmetrics–自回归条件异方差建模。。Zakoian，J.M.（1994）阈值异方差模型。《经济动力与控制杂志》18931–955。