我们采用L-范数来衡量我们所考虑的基于价格和基于体积的辅助模型的差异，通常为第k个辅助模型提供dk（θ）=Dbβk，bβ*k（θ）=qkXi=1hbβkii-血红蛋白β*k（θ）ii. （17） 对于每个qk维辅助模型，k=1，K、 4.2.3多目标优化和帕累托最优的作用当我们搜索应满足多目标函数的最优参数向量θ时，在向量D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]中最小化，在许多情况下，每个单独目标都不会有全局最小值。在这种情况下，可以考虑将帕累托最优的概念作为优化方法产生的单一最优值的替代方法，并参考帕累托效率边界。非正式地说，这是对解决方案的搜索，在搜索空间中没有任何解决方案可以单方面改进一个标准（目标函数），而不会恶化另一个标准，这在我们的估计框架的定义4中正式定义。定义4（参数解的帕累托最优优势）。考虑产生参数向量{βK}K的K辅助模型集∈{1,2，…，K}，每个都基于基础参数向量θ∈ Ohm, 对于选定的目标函数，产生值D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]。然后选择θ∈ Ohm 对于可行区域中的解集，称为部分最优或（非支配）Ohm, if@eθ ∈ Ohm s、 t D（eθ） D（θ），（18），其中我们说D（θ）支配D（eθ），用D（θ）表示 D（eθ），ifDk（θ）≤ Dk（eθ）k∈ {1，2，…，K}和k s.t.Dk（θ）<Dk（eθ）。

（19） 由此，我们可以陈述总体目标，包括所有K个辅助模型和基于随机代理的模型的参数向量θ的L2范数目标函数的共同选择，如下所示Bθ=arg minθ∈Ohm[D（θ），…，DK（θ）]=arg minθ∈OhmnD公司^β,^β*(θ), . . . , D^βK，^β*K（θ）o=arg最小θ∈Ohm（qXi=1h^βii-h^β*（θ） 二, . . . ,qKXi=1h^βKii-h^β*K（θ）ii)以θL为准≤ θ≤ θU。。。，θnL≤ θn≤ θnU（20），其中[θiL，θiU]，对于所有i，表示可行区域的边界Ohm.为了完成我们提出的基于多目标间接推理模拟的估计框架的规定，我们需要一种搜索约束参数空间的方法Ohm 可行解和帕累托最优解。在这种情况下，可以使用多种随机搜索方法，参见Coelloet al.（2007）中的讨论。为此，我们提出了一种进化遗传搜索方法，在文献中称为多目标进化算法（MOEAs）。我们开发了这种随机搜索框架的一个版本，该框架结合了Deb等人[2002]广泛使用的NSGA-II遗传搜索算法，这是一种基于帕累托排序的方法，以及我们根据Peters等人[2012]开发的框架专门为协方差矩阵变异算子设计的额外变异核。这个额外的突变成分与NSGA-II的框架相结合，以确保在搜索的每个步骤中提出的随机代理LOB模型中的协方差矩阵保持正定义和对称。附录A.5中提供了该遗传搜索算法的详细信息。随机代理LOB模型评估和realLOB数据校准。我们描述了我们开发的基于随机代理的LOB模型，该模型用于建模交易交互及其依赖关系。

此外，我们还开发了一种校准模型参数以观测LOB数据的方法。在本节中，我们通过一系列旨在实际评估随机代理LOBmodel规范每个组件重要性的研究，说明了实际数据的校准结果。为了实现这一点，我们进行了大量的模型简化，并逐步放宽这些简化假设，以便了解我们提出的模型的每个特征在模拟框架中所起的作用。参考模型是我们比较模型更详细版本的基本框架，如下所述。5.1开发基线简化参考随机代理业务线模型在基于随机代理的业务线模型中，流动性提供方代理具有限额订单提交和取消组件，每个组件都需要为买卖双方指定四个独立的lt维多元斜t分布，lp=5个“被动”级别，ld=3个“直接”级别，或总oflt的积极级别=书的每一面的8个积极建模级别。对于每个随机模型组件，我们需要估计参数：m∈ Rd，平均强度向量的位置；γ ∈ Rd，随机强度向量的偏度；ν ∈ R+直接影响随机强度向量的重尾性，∑∈ Rd×d订单到达的随机强度向量的协方差矩阵。我们以10秒为间隔对活动进行聚合，对于所考虑资产的8.5小时交易日，我们每天的时间间隔为T=3060。基本参考模型的特点是以下模型假设：o我们假设bid和ask的相关限额订单提交分布具有公共参数值设置。

此外，还假设买卖区域的市场订单提交分布具有公共参数值设置。这与在整个交易日观察Lob任何一方的提交活动时，对大量资产的经验Lobservations是合理一致的由于绝大多数订单在执行前被取消，我们考虑取消分布的参数也与限额订单的分布相匹配我们还设置m=0，并考虑偏态向量γ，以在所有级别的bid和ASK中取一个公共值，这样γ=γ1，其中1是一个1的向量单调映射F（·），将随机变量ΓLO、k、s、ΓC、k、s、ΓMO、kinto强度随机变量∧LO、k、s、∧C、k、s、∧MO、kis转换为标准法线的CDF。这种转换是必要的，以确保强度为正，并限制事件计数对于各级限额指令活动的基线强度，我们假设双方的“被动”限额指令的强度相同，即uLO，a，1=…=uLO，a，lp=uLO，b，1=…=uLO，b，lp=uLO，p，而“激进”限制指令将具有不同的限制指令强度，即uLO，a，0=…=uLO，a，-ld+1=uLO，b，0=…=λb，-ld+1=uLO，d。市场订单基线强度在任何一侧也相等，即uMO，a=uMO，b=uMO。取消基线活动将与提交基线活动相同。o最后，我们假设订单大小不变，即所有i的OLO、k、si、t=c=OMO、kj、tf∈n1，NLO、k、sto、j∈n1，NMO、kto、k∈ {a，b}，s∈ {-ld+1，lp}和t∈ {1, . . .

，T}。因此，基本参考模型具有以下参数向量uLO，p，uLO，d，uMO，γ，ν，σMOo，以及待估计的协方差矩阵∑。取消由动态变化的批量过程建模，即按照NC、k、st在模型中的规定，将Cox过程截断为每个级别的可用订单数|~VLO，k，st=v~P o（λC，k，st）I（NC，k，st<v），其中我们用VLO，k，st表示-1水位Liat的体积- 1，t）间隔~VLO、k、STI是在时间t到达限额订单之后，但在取消和执行之前的可用量。可以从模型中进行模拟，以获得时间t、L时LOB的状态*t、 然后计算可用交易量v，这样就可以从截短的泊松分布中得出v的截短极限。在我们开始研究基于随机代理的LOB模型及其校准和模拟行为之前，我们首先展示了代表性交易日的价差演变，以及书顶附近交易量过程的强度，图5所示为CAC40中流动性最强的股票之一，即BNPParibas。这提供了一个LOB动态的示例，我们应该在精确校准模型后恢复该动态。我们根据当天的数据估计模型，作为校准程序的说明。5.2参考模型：校准我们在表1中给出了使用本文提出的多目标II方法的估计结果。在帕累托最优前沿分布着8个非支配解，每个解都有一个相关的协方差矩阵，由于空间的考虑，这里没有包括协方差矩阵，相反，我们提供了一个摘要。

在表中，我们还提供了另外4个非支配秩为2的解，即在两个目标函数中仅由一个其他参数向量支配的参数向量。我们在图6中给出了非支配秩以及整个最终参数填充的目标函数值。我们注意到，就与这些参数向量相关的2个目标函数值而言，它们分布在帕累托前沿。我们通过将模拟结果与估计参数进行定性比较来评估fit。在图7中，对于表1中参数向量的前2个帕累托最优解，我们总结了重复模拟的价格过程，以及一整天LOB演变的示例。我们看到，这两个帕累托最优解参数向量产生了各种不同的价格轨迹，这些轨迹超越了模拟。特别是，该基本参考模型解决方案的帕累托前沿上的一些点产生了模拟价格的时间序列，该序列复制了交易活动相对不稳定的交易日，而帕累托前沿上的其他点则支持更受约束的交易模拟价格活动。为了了解这种情况是如何发生的，我们注意到，这可能是由于与第二组帕累托最优解决方案相比，第一组帕累托最优解决方案中的市场订单基线率相对较高。在附录B中，我们提供了参考模型的进一步校准结果，针对多个资产，延长了15个交易日。

总结这些结果，我们表明，在我们的估计程序产生的一组解决方案中，通常有一个子集产生的模拟在价格和交易量行为方面与实际交易观察结果类似，这是我们的辅助模型相关的LOB的总结。5.3放宽参考随机代理LOB模型的假设基线模型结果令人鼓舞，但我们仍需要确定参考模型规范中的简化统计模型假设对校准性能的影响。现在将通过逐步放松假设和减少限制性模型假设来评估这一点。相对于参考模型，我们的改进标准是减少帕累托最优前沿上解的目标函数的值。我们只建议，如果我们观察到这样的改进，就应该放松特定的功能。5.3.1结合订单规模分布在我们的基本参考模型中，我们假设订单规模是恒定的，即所有限额订单提交、取消和执行来自相同数量的股份。这类似于Cont等人[2010]的模型，该模型假设所有订单都是单位规模的，他们将单位规模设置为对应于为资产服务的限制订单的平均规模。为了简化模型，抽象出订单大小方面是一种近似方法。然而，如图8所示，数据不太可能支持这种简化假设。

显然，人们注意到，不同资产的订单大小有一系列分布形状。很明显，订单规模的分布将受到诸如交易所最小订单规模等特征的影响（股票数量、批次或权重，取决于交易内容）。我们从经验上观察到，对于在多个国家交易的一系列股票，订单规模的分布在圆形图上有明显的峰值——例如，图8显示了成倍于100股的成批订单量。这似乎与提交订单的级别无关，无论是买入订单还是卖出订单，也与该期间提交订单的强度无关。因此，我们提出了一个案例研究，通过考虑一个随机模型，我们放松了固定订单规模的假设，在该模型中，我们假设订单规模来自混合分布。在这种情况下，我们假设限额和市场订单规模都是通过从以下伽马混合中取样获得的~ wγ（κ，θ）+（1- w） γ（κ，θ），i、 t，k，s（21），其中γ（O；κ，θ）=Γ（κ，θκ）Oκ-1exp-Oθ; O∈ R+，（22）具有正的形状参数κ，κ和正的尺度参数θ，θ。我们设置κ=1，κ=2，因为我们观察到在订单大小的经验分布中存在一个模式，我们估计每个混合物成分的尺度参数，以将模式放置在适当的位置。因此，我们额外估计了参数θ、θ和混合权重w。我们使用相同的设置（40个候选解决方案的参数总体和40代的进化）运行随机优化框架，并使用随机模型将松弛参考模型与订单大小的随机模型校准到参考模型fit中使用的相同数据集，即法国巴黎银行一整天的LOB数据。

我们得到了一个帕累托最优前沿，该前沿再次包含多个参数向量解，这些参数向量解分布在帕累托前沿，表明遗传搜索框架进行了成功的探索性搜索。重要的是，如图9所示，我们观察到relaxedreference模型的已实现目标函数值，我们观察到，在订单大小固定的比较基本参考模型的情况下，这明显改善了所实现的目标。图10显示了从帕累托最优前沿选择的其中两个参数向量的成交量过程的强度和模拟交易日价差的演变。与参考模型类似，在本次校准获得的不同可行帕累托最优解决方案之间，价格和交易量轨迹仍然非常灵活。5.3.2通过对参考模型进行细化，引入不对称性和偏度来限制订单强度，我们假设多变量斜t分布的偏度参数向量γ与LOB每个级别的限制订单数量和取消数量有关，并固定为公共偏度。该节约选择通过参考模型假设γLO、a=γLO、b=γ=γ和γMO=γ编码在模型中，即只有一个偏度参数，这在bid和SK的所有级别上都是通用的。该假设对参考模型中价格和成交量动态的影响现在可以通过将该特征延后并将参考模型的宽松版本校准到巴黎银行当天的数据来评估。现在我们允许γLO，a=γLO，b=γ={γLO，-ld+1，γLO，lp}=γC，a=γC，b，以便在建模限值顺序和取消数据的多元计数偏度时获得额外的灵活性。我们还允许γMO，a=γMO，b=γMOto，以便能够单独建模市场订单数据的偏斜。

这将需要估计额外的ld+lpparameters。再次，我们评估在参考模型假设中的约束放松下，帕累托最优解在最小化目标函数方面是否有所改善。表2显示，在多目标II估计方法产生的参数向量中，没有一个是偏态向量的元素彼此接近相等，这表明在多变量skew-t分布中，在bid和ask的LOB的每个级别使用具有不同偏态的偏态向量适合于校准真实数据。正如预期的那样，与参考模型相比，结合这些特性可以提高模拟随机代理LOB模型实现的模型能力和适用性，这是通过Pareto optimalfront中的解决方案实现的目标函数值来衡量的。6监管干预通过SR-ABM随机LOB代理模型建立我们基于随机代理的LOB模拟模型，我们的动机是监管机构、交易所和经纪公司越来越希望更好地理解干预在电子交易所中的作用。在这方面，整个欧洲和美国都在推行一系列新法规，以进一步管理电子交易所中交易的处理、配售和清算。《金融工具市场指令》（MiFID）旨在为欧洲经济区31个成员国的投资服务制定统一的监管。通过我们在本文中进行的分析类型，可以更好地理解MIFID的几个组成部分。

例如，与经纪软管相关的一个方面涉及本指令的关键方面，通常称为“最佳执行”实践。根据该指令的这一特点，MiFID将要求企业采取一切合理措施，在为客户执行订单时取得最佳结果。最佳可能结果不仅限于执行价格，还包括成本、速度、执行可能性和结算可能性，以及这些法规规定的任何其他因素，这些法规在欧洲属于“Lamfalussy指令”的范畴，包括招股说明书指令、市场滥用指令、，《透明度指令》和《金融工具市场指令》（MiFID）MiFIDs最佳执行制度在指令中规定如下。第1级第21条和第2级第44条和第46条规定了代表客户为MiFID金融工具提供执行订单服务的投资公司的要求，以及通过第45（7）条间接规定的，在执行代表客户投资组合交易的决定时，为提供投资组合管理服务的投资公司的要求。相关的显而易见，本指令直接涉及LOB中的流动性，需要更好地了解市场中代理的哪些特征和市场行为会影响流动性，无论是在数量上还是在价格上。这一过程的一个固有部分是考虑LOB不同级别的交易量。除了更好地理解LOB随机过程外，监管机构还可以发挥重要作用，试图确定如何最好地管理代理人的某些类型的潜在不良市场行为。

在这方面，我们指的是在给定资产的LOB中，在整个交易日内可能具有破坏性、导致价格过度波动或流动性不足的行为。6.1监管干预的相关ABM研究MiFID的引入增加了竞争，并允许在泛欧多边贸易设施（MTF）中进行股票交易。通过跨市场套利者的活动，一个地点的交易无疑会影响另一个地点的交易利益。此外，有可能对一个市场实施监管，而不是对另一个市场，这将对监管本身的效力产生影响。Mannaro等人【2008年】和Westerhoff及Dieci【2006年】都在资产负债管理的背景下考虑了这一点，但采用的模型比这里考虑的模型更简单，没有考虑代理人的流动性。我们使用本文中开发的基于随机代理的LOB仿真模型来扩展这些研究。与为研究金融市场交易税的影响而建立的ABM模型Westerhoff【2003】不同，在我们的模型中，代理人的策略不依赖于盈利能力。这是因为我们的交易代理根据其流动性考虑进行了划分：交易员通常会出于考虑而非利益来消耗流动性，例如重新平衡他们在基金中所持股份的权重。

出于多种原因，他们不能简单地选择成为流动性提供者，因为这些代理人的优越性。其中包括在毫秒级环境中实施这一战略所需的技术投资、他们需要持有的库存，以及他们可能必须遵守的监管或交换义务。6.2报价与交易比率作为使用我们的模型可以进行的实验类型的一个例子，我们将在这里考虑的干预是实施报价与交易比率。这一比率已经在某些交易所得到考虑，例如伦敦证交所，它允许每笔交易500个报价。伦敦证交所允许进一步报价，但每笔订单都要收取5便士的附加费。在我们的模型中，我们假设每个级别的baselinelimit订单提交（或报价）强度uLO、a、iis等于基线取消强度uC、a、i。也就是说，在执行之前，可能可以取消在某个时间间隔内提交的所有订单。考虑到我们模型的设置，对过度交易实施随机限制比（比如）100个限制订单对1个市场订单的硬限制更为方便。对于报价与交易比率q=，我们通过指定取消活动uC，a，it=（1）来施加限制-q） uLO，a，it。这一方法与Ait-Sahalia和Saglam（2013）所采取的方法类似，他们没有强制执行500毫秒的严格最小休息时间，而是将每个订单服从指数分布的随机最小休息时间，但平均值相同。http://www.londonstockexchange.com/products-and-services/trading-services/pricespolicies/tradingservicespricelisteffective2december2013.pdfWe在我们的模拟LOB中，针对3种不同的报价与交易比率（即q∈,,.

图13显示了监管对个人日常活动实现的影响，以及重复实现中的价格过程。我们从基本模型的估计中选择了一个参数向量，该模型通常表现出过度的波动性。我们注意到，在我们的模型中，增加Q（从而减少取消的相对数量）具有约束中间价过程的效果，从而抑制过度波动。虽然无法通过ABM模拟得出此类干预效果的确切结论，但这是监管机构可以考虑的步骤，尤其是在比较不同方法时。例如，即使在实施报价与交易比率时，监管机构也可能有许多选择，例如，关于他们考虑该比率的期限。我们认为，我们的模型可以为此类考虑提供信息，鉴于其灵活性，可以产生大量的计算实验和情景分析研究，从而更好地告知决策者他们的政策可能对交易员的市场行为产生的影响。7结论我们提出了一种新形式的基于agent的模型，以捕获复杂随机过程的特征，即极限订单簿。我们考虑的代理类型代表了现代金融市场中的市场参与者类别：在电子LOB中，交易员可以根据其流动性要求大致分为流动性提供者和流动性需求者。与过去所考虑的图表主义和原教旨主义模型相比，这无疑更能代表交易活动的动机（例如。

Farmer和Joshi【2002年】、Frankel和Froot【1988年】、Kirman【1993年】、Manzan和Westerho ff【2007年】、Westerho ff和Reitz【2003年】）。我们对整个代理类别产生的活动进行了建模，这使我们能够直接对LOB不同级别之间的事件（限额订单提交、取消和市场订单）活动的依赖性进行建模，而考虑单个代理策略的简单公式是不可能的。我们对事件强度采用了灵活的多元斜t模型，该模型独特之处在于其捕捉不对称和异质依赖的能力，以及其在高维度上的可扩展性【Demarta和McNeil，2005，Fung和Seneta，2010】。这导致了ABM的一个非常通用的公式，这也使得我们能够按照订单大小对异质性进行建模。在我们对模型的估计中，我们提出了对基于标准模拟的方法的扩展，在多目标问题中考虑了多个辅助模型（与价格和交易量过程相关）。我们开发了一种新的间接推理多目标优化方法，该方法在校准随机代理LOB模型时，使用随机排序和帕累托最优的概念来选择最合适的候选参数向量解。我们已经证明，即使是一个简单的基线模型，它假设订单大小固定，并且限额订单安排和取消的分布强度的偏度没有异质性，仍然能够产生一系列合理的LOB随机动态行为。

然而，放松基线模型假设通常会导致模型估计的改进，因为模型估计能够生成模拟，从而密切反映在典型交易日实际数据中观察到的价格和成交量动态，即在冲击或流动性干旱方面的非事件性交易日。本文提出的灵活的LOB框架，以及一种新的基于仿真的估算方法的提议，是对LOB建模的重要贡献。我们提出了一个模型，可以捕捉到罕见的LOB特征，例如不同水平上LOB活动强度的依赖性。此外，我们还表明，该模型非常详细，因此可以将其用作拟议监管的试验台。我们证明，对取消次数的足够高的随机限制（类似于实施报价与交易比率）可以减少模拟LOB中的过度波动。AcknowlementSP感谢Mark Harman教授对基于代理的建模和通过多目标优化进行初始修井校准的讨论的支持。EP和GWP感谢日本东京统计数学研究所（Institute of Statistical Mathematics，Tokyo，Japan）和松井友子（Tomoko Matsui）教授在研究访问期间对本文的支持。EP和GWP还感谢LSE系统风险中心在本手稿期间进行的广泛讨论。GWP感谢牛津大学牛津曼学院的支持。参考文献。Ait-Sahalia和M.Saglam。高频交易者：利用速度。国家经济研究局技术报告，2013年。C、 Andrieu，\'E.Moulines，等。关于一些自适应mcmc算法的遍历性性质。《应用概率年鉴》，16（3）：1462–15052006。W、 Arthur、J.Holland、B.LeBaron、R.Palmer和P.Tayler。

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它们的流行有几个原因：它们本质上是平行的，它们的特点是操作员组合和变异候选解决方案，以快速获得改进的解决方案，并能够在优化过程中捕获多个帕累托最优解决方案【Zitzler et al.，2000】，这可以分布在整个帕累托前沿。此外，最近在更好地理解此类优化搜索框架和随机遗传搜索方法之间的关系方面取得了一些进展，例如，参见Emmerich et al.（2013）中的讨论。在本文中，我们探索了在基于模拟的多目标II框架中利用自适应变异核来有效探索参数空间，我们的方法将传统遗传搜索算法与自适应MCMC方法中使用的自适应马尔可夫核相结合，如Haario等人【2006年】、Roberts andRosenthal等人【2009年】和Andrieu等人【2006年】所研究的方法。本文中使用的MOEA基于Deb等人【2002】开发的NSGA-II（非支配排序遗传算法II）。这是一个精英的MOEA，在每一次迭代中，都将最好的parentsolutions与最好的Off-spring相结合，以产生一系列新的候选解决方案。它产生了一个具有低计算要求（O（mN）计算复杂度，其中m是目标数，N是总体大小）的多样的Paretooptimal front（即，由于算法使用了拥挤距离操作符，因此解决方案在front上分布良好）。该算法可能是最受欢迎的MOEA，经常被用作其他算法的性能基准【Coello等人，2007年】。它已被用于各种应用，包括电力系统中的发电扩建规划问题【Kannan等人，2009年】，以及地下水监测设计中的平衡目标Reed和Minsker【2004年】。

此外，为了解决离散的多目标可分解问题，已在贝叶斯环境中对其进行了进一步开发（见Khan【2003】、Khan等人【2002】、Laumansand Ocenasek【2002】）。在该算法中，我们还通过对基于agent的随机LOB模型参数θ的子集加入自适应全局和局部变异核来扩展特征。我们首先概述了优化算法的结构：1。首先，从可行区域中随机初始化N个候选解的族或总体。对于每个解，计算目标函数并获得反映帕累托优势的秩。也就是说，解决方案分为多个方面，第一个方面包括不受任何其他解决方案支配的解决方案，第二个方面包括仅受单个解决方案支配的解决方案，依此类推。解决方案还指定了一个拥挤距离值，表示与同一战线上其他解决方案的欧几里德距离。3、从这一族解中，应用拥挤比较算子，并根据其排名选择最佳解，如果是平局，则根据拥挤距离值选择最佳解。4、然后，应用一个或多个进化算子（详见下一节）进化所选的一组解。5、将新的解决方案与当前的解决方案系列相结合，并从第二步开始重复该过程，进行一定次数的迭代。该算法输出排名最高的非支配解集。在下一节中，我们将详细介绍多目标间接推理过程中使用的运算符。A、 1算法设置和进化算子MOEA中使用的大量进化算子的详细信息可在Coello等人【2007】中找到。

在NSGAII中，除了迭代次数（在MOEA术语中称为代数）外，还必须首先为算法的每次迭代选择候选解的总体大小。在我们的优化中，我们使用N=40个参数集的总体规模，并对总共40代进行优化。我们提到了许多用于在解决方案集中进化和选择的操作符，并在此提供了有关其功能的更多信息：o选择操作符：从算法的第二次迭代开始，步骤3中将有2N组候选解决方案。根据a）优势和b）拥挤距离，或解决方案与其邻居的距离，选择最佳N个解决方案。如果第一条战线上的解决方案数量少于N，则全部选中，其余部分取自其他战线。如果必须选择的解决方案数量少于特定战线上的解决方案数量，则会选择拥挤距离值最高的解决方案交叉算子：使用模拟二进制交叉（SBX）算子。从两个候选解θ，θ，形成两个新解θ，θ，其中第k个元素如下：θ1，k=[（1- αk）θ1，k+（1+αk）θ2，k]（23）θ2，k=[（1+αk）θ1，k+（1- αk）θ2，k]（24）这里，αkis是密度（α）=（（η+1）αηcif 0<α的分布中的随机样本≤ 1（η+1）αηc+2如果α>1，我们使用概率为0.7且分布指数ηc=5的交叉算子变异算子：使用多项式变异算子。变异算子根据与边界的距离扰动解的元素。θk=θk+δk（θkU- θkL），其中我们有δkδk=（（2γk）ηm+1- 1如果γk<0.51- [2(1 - γk）]ηm+1ifγk≥ 0.5此处，γkis均匀分布在（0，1）上，分布指数ηm=10。

多项式变异算子的使用概率为0.2。协方差矩阵变异和采样：上述NSGA-II算法只能为输出解向量生成二进制、整数或实数编码。然而，流动性提供者提交limitorder活动的随机过程需要指定正定义和对称性方差矩阵，以从多元斜t分布生成强度。我们不能天真地扩展上述进化算子（交叉和变异），以产生新的协方差矩阵集合，从而保证协方差矩阵的正不确定性和对称性约束得以保持。因此，我们提出了对MOEA的一个扩展，有效地是另一个将生成协方差矩阵的条件解的算子，这样每一个新的一代都保持在正有限矩阵的流形中。一旦应用了前面讨论的进化算子，该算子将生成新的候选协方差矩阵。为了确保优化算法能够高效地搜索可行解空间，并且不会陷入可能解空间的次优区域，我们的协方差矩阵采样算子有两个组件来执行探索和利用类型的移动。根据Peters等人【2012】的建议，变异核由具有不同参数的逆Wishart分布的混合体组成，一个混合组件用于提供全局搜索（探索），另一个混合组件用于提供局部搜索（利用）。为了有效地做到这一点，它基于一种针对局部混合成分的自适应学习策略。

在这种情况下，该算法将以较高的概率探索局部区域，但可能以较小的概率进行较大的移动。我们现在描述一个完整的协方差变异步骤。在第n代MOEA中，我们生成{∑n，i}，i=1。N来自混合物分布q（∑N，i），定义如下：q（∑N，i）=（1- w） IW（ψn，p）+wIW（ψ，p），其中p，pare自由度参数，p<p，其中wi很小，因此从第二个分布进行采样的频率很低。这里ψ表示一个无信息的正定义矩阵，其影响是从第二个分布中取样会导致远离正在探索的局部区域。ψnis也是一个正定义矩阵，基于与多目标优化前一阶段中成功提出的候选解决方案的样本平均值的矩匹配，如下所示：ψn=Pnt=1wtnXt=1wtPNi=1rt，iNXi=1rt，i∑t，其中rt，iis是第t代中第i个解决方案的非支配秩，w<1的wt是一个指数权重因子。B进一步的结果在第5.2节和第5.2节中，我们分别给出了参考模型和模型的校准结果，其中，我们加入了某些假设。该校准使用单一资产（法国巴黎银行）一天的数据进行，以便能够提供有关目标函数值的详细结果、使用帕累托前沿个别解决方案的个别模拟的LOB演变以及重复模拟的总结。在本节中，我们在2012年2月1日至2012年2月21日的每个交易日重复校准5项资产的参考模型（法国巴黎银行、法国农业信贷银行、道达尔股份有限公司、德希尼布股份有限公司和萨诺菲）。这些股票选自法国CAC40股票，因此是该国流动性最强的股票之一。

具体而言，我们选择了代表不同行业（银行、能源和制药）的资产，这些资产具有不同的规模（最低价格增量）和市值，因为这些都是影响日常交易活动的因素。我们将结果总结如下：我们首先分别为每天和每个资产校准参考模型，从中我们每次都会获得一组J解（即帕累托前沿的非支配解）。对于每个解（参数向量^θj，j∈ 1.J） ，我们模拟LOB模型N=50次，并将辅助模型与模拟数据进行拟合，以获得N个辅助模型参数向量βi，J，*和βi，j，*, 我∈ 1.N、 前者是ARIMA模型参数，适用于买卖双方的交易量过程，后者是GARCH模型参数，适用于日志收益。然后，我们可以构建这些向量中每个参数的经验分布，并确定95%的置信区间。由此，我们可以确定对于帕累托前沿的每项资产，辅助模型的参数系数与实际数据是否在该范围内。在图14和图15中，我们显示了对于每个日期、每个资产和每个辅助模型参数，帕累托前沿上的解决方案比例，其中辅助模型系数与真实数据的比例在辅助模型系数与模拟数据的95%置信区间内。我们注意到，正如人们所预期的那样，这一比例随着时间的推移而变化，因为并非所有帕累托前沿的解决方案都会产生LOB动态，从而密切反映真实数据中观察到的结果。然而，我们注意到，对于大多数参数和大多数天数，该比例通常超过25%。