资本充足率测试与金融机构有限责任

2022-6-24 20:22:37

资本充足率测试和金融机构的有限责任*Pablo Koch Medina，苏黎世大学圣地亚哥Moreno Bromberg银行和金融系，瑞士苏黎世理工大学数学系，瑞士苏黎世，瑞士2014年1月29日摘要接受集理论及其相关风险度量在资本充足率测试的设计中起着关键作用。本文的目的是在有界金融头寸的背景下，研究剩余不变接受集的类别。其特点是，可接受性并不取决于资本头寸的积极部分或盈余。我们认为，从监管角度来看，盈余不变性是一个合理的要求，因为它关注金融机构负债持有人的利益。我们提供了盈余不变性、凸接受集的双重特征，以及盈余不变性和一致性的组合如何适用于一系列狭窄的资本充足率测试，基本上仅限于基于情景的测试。最后，我们强调了将盈余不变接受集作为主要目标处理的优势，而不是直接处理风险度量，例如基于损失的风险度量和盈余不变风险度量，Cont、Deguest&He在[6]和Staum在[19]中分别对此进行了研究。关键词：盈余不变性、有限责任、资本充足率、风险度量、基于损失的风险度量、短缺风险度量、盈余不变性EMSC:91B30、91B32JEL分类：C60、G11、G22*我们要感谢J.Staum对本文第一版的宝贵意见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-24 20:22:40

感谢通过SNF项目51NF40-144611“保险公司的资本充足率、估值和投资组合选择”提供的部分支持。电子邮件：pablo。koch@bf.uzh.chEmail：圣地亚哥。moreno@bf.uzh.chEmail：cosimo。munari@math.ethz.ch1引言接受集和风险度量理论在当前保险界和禁止世界关于解决机制的辩论中占有重要地位。本文的目的是研究剩余不变接受集及其相关的风险度量。这些验收集的特点是，验收不取决于资本头寸的积极部分或盈余。进一步，我们认为盈余不变接受集和风险度量具有从外部风险度量的角度来看是自然的属性，这是Kou、Peng和Heyde【18】创造的一个术语，表示用于外部监管而非纯粹用于内部风险管理的风险度量。事实上，Cont、Deguest&He在[6]中称之为基于损失的风险度量，Staum在[19]中称之为超额不变量，最近引入并独立研究了具有相关属性的风险度量。Artzner、Delbaen、Eber&Heath在开创性论文[3]中针对有限样本空间引入了一致风险度量，Delbaen在[7]中针对一般概率空间引入了一致风险度量。Follmer和Schied在【13】中研究了凸风险度量，Frittelli和Rosazza Gianin在【15】中研究了凸风险度量。最近，Artzner、Delbaen和Koch-Medina【4】和Farkas、Koch-Medina和Mun-ari【10】和【11】强调了将接受集视为原始对象的重要性，并将风险度量作为衡量“距离”到可接受性的一种特殊方式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:22:42

根据这一观点，我们采用了在【10】和【11】中开发的框架。本文中的盈余不变接受集金融机构的资本头寸（资产减去负债）由以下要素表示：∞, 概率空间上的本质有界随机变量空间(Ohm, F，P）。如果一家机构的资本状况属于预先规定的接受集合，即属于L的非空的适当子集a，则称其资本充足∞这样Y∈ A无论何时Y≥ X几乎可以肯定对于某些X∈ A.对于有限责任金融机构，资本头寸X的正负部分有明确的财务解释。正部分X+：=max{X，0}称为su rplus，表示可用资金超过负债所需金额的部分。负部分X-:= 最大值{-十、 0}表示可用资金无法满足负债的金额。自X起-反映了机构所有者的有限责任，通常被称为所有者违约选择权。如第2节所述，在评估金融机构的资本充足率时，代表负债持有人行事的监管机构应主要关注违约选择权。这是研究剩余不变接受集的基本原理，即接受集A L∞具有以下属性：X∈ A和Y-= 十、-暗示Y∈ A.（1.1）换句话说，如果一个位置是可接受的，那么任何其他具有相同负面部分的位置也是可接受的，无论其盈余如何，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 20:22:46

可接受性并不取决于资金过剩，而是取决于资本状况下降的可能性。风险测度与剩余不变性本文以接受集为出发点，文[6]和[19]的作者在正风险测度的框架内讨论了剩余不变性问题，即递减函数ρ：L∞→ [0, ∞) 满足归一化条件ρ（0）=0。当被视为资本要求时，数字ρ（X）被解释为需要筹集以使头寸可接受的额外资本的最小金额。[6]和[19]的重点是在以下意义上盈余不变的积极风险度量：如果资本头寸X∈ L∞金融机构的资本不可接受，则使其可接受所需的资本不取决于盈余X+，即ρ（X）=ρ(-十、-) 对于所有X∈ L∞. （1.2）尽管在这种普遍性水平上，正风险度量ρ并没有明确建立在可接受集的基础上，但以下“可接受性”的概念隐含在其作为资本要求的解释中：位置X∈ L∞如果它不需要额外资本，即如果它属于setA（ρ）：={X，则可以接受∈ L∞; ρ（X）=0}，（1.3），很容易被视为接受集。然而，ρ的操作意义既不明确也不隐含。这是一个至关重要的方面，因为在任何运营环境中，不仅要知道需要筹集多少资金，而且要知道如何利用筹集的资金来改善公司的资本状况。因此，我们认为，在资本充足率的背景下，始终从“可接受性”开始，然后才考虑相关的风险度量，这一点很重要，如【4】、【10】和【11】所述。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:22:48

这里，我们关注风险度量ρA，S:L∞→定义为ρA，S（X）：=infm级∈ RX+mSST∈ A.对于X∈ L∞, （1.4）如果 L∞是给定的接受集，S=（S，ST）是初始价格S>0且正支付的交易资产∈ L∞. 量ρA，S（X）具有明确的操作意义。事实上，当确定且为正值时，它表示需要筹集和投资于资产S以使资本头寸X可接受的资本金额。当确定为负值时，它表示在不影响其资本充足率的情况下，可以从该机构提取的最大资本额。当A是盈余不变性时，风险度量ρA，sen具有以下盈余不变性：ρA，S（X）=ρA，S(-十、-) 对于所有X∈ L∞ρA，S（X）处的th≥ 0 . （1.5）注意，上述等式要求ρA，S（X）≥ 因此，对于s修正负部分的不可接受头寸，资本要求是相同的。相比之下，对于可接受头寸，在不影响可接受性的情况下可提取的资本量通常不仅取决于消极部分，还取决于头寸的可接受程度。对于正风险度量，条件ρA，S（X）≥ 每X自动满足0∈ L∞. 这是因为上述风险度量没有提供任何关于在保持可接受性的同时可以提取的资本金额的信息。忽视这一层面的主要论点似乎是，监管者只应该对需要积极注资的情况感兴趣，即改善资本状况不佳的机构的资本充足率。然而，从金融机构的管理者和监管者的角度来看，是否有从资本充足的机构提取资本的空间这一问题仍然是个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

kedemingshi

2022-6-24 20:22:51

事实上，金融机构对有效管理其资本基础有着浓厚的兴趣，也就是说，他们有兴趣知道自己是否能够返还资本，如果能够，返还多少资本。另一方面，对于一家机构的主管来说，重要的是要知道该机构是否正处于可接受的极限，在这种情况下，破产可能即将到来，或者它是否有合理的负担，可以证明监管力度不够。因此，我们认为，从资本充足率的角度来看，研究也可以获得负值的风险度量更为自然。主要贡献在第3节介绍了剩余不变接受集的几个例子之后，我们重点讨论了凸或相干的剩余不变接受集，即凸锥。凸集和相干接受集很重要，因为它们反映了更高的多样性将导致更低的资本要求这一原则。在定理4.4中，我们提供了关于弱集闭的凸、剩余不变量接受集的对偶特征*L上的拓扑∞. 由于相应的风险度量ρA满足theFatou属性，因此其对偶表示涉及概率度量，而非完全可加性度量，因此该拓扑属性在文献中是普遍假设的。此外，如果(Ohm, F，P）是非原子的，众所周知，例如[20]，范数闭的每个定律不变的凸接受集也是弱的*关闭因此，对于满足Fatou性质的凸剩余不变风险测度，我们也得到了相应的对偶表示。利用上述对偶表示，我们在定理4.9中表明*-剩余不变的封闭、一致的接受集是基于场景的接受集，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:22:54

span（A）的验收集：={X∈ L∞; X1A型≥ 0几乎可以肯定}（1.6）对于某些场景集A∈ F因此，如果我们同时坚持一致性和剩余不变性，那么我们最终只能选择极为有限的可接受性标准，这些标准可能并不总是可取的。实际上，如果A 6=Ohm, 那么，SPAN（A）对资本头寸的行为视而不见，如果A=Ohm, 我们最终要求一家机构的违约概率为零，这才是可接受的。因此，如果我们将剩余不变性视为一种理想的属性，那么为了获得更广泛的可接受性标准，我们需要放弃连贯性。如果还需要定律不变性，那么情况就更加极端了：只有微弱的*-同时具有定律不变性和超越s不变性的闭合相干接受集是正锥L∞+. 特别是，基于风险尾值的接受集不是盈余不变的。值得注意的是，基于风险值的验收集，实践中使用的其他标准验收测试是盈余不变的，尽管不是凸的。这一讨论对政策有影响。首字母缩略词SPAN代表标准投资组合分析，指的是许多中央交易所采用的计算保证金要求的方法。因为这表明监管风险措施的选择并不简单，需要进行权衡。基于损失和超额不变风险度量本文的最后一节致力于阐明超额不变接受集与Cont、Deguest&He【6】和Staum【19】中研究的风险度量类型之间的联系。这些风险度量是正的，盈余不变。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:22:58

我们的分析以我们认为从资本充足率角度最相关的资产为目标：相关的可接受性标准和相应的运营解释。我们在第6.2节中表明，与【6】中提供的所有示例相关联的可接受性标准（基于情景的风险度量除外）是最具限制性的标准：位置X∈ L∞当且仅当X时需要nocapital≥ 0几乎可以肯定。从资本充足率的角度来看，这似乎过于严格，因为唯一资本充足的机构将是那些违约概率等于零的机构。与ρA，S形式的风险度量相反，正的盈余不变风险度量ρ不具有明显的操作解释。文献[6]中也提到，赋予ρ操作意义的一种自然方式是要求ρ与现金兼容：ρ（X+ρ（X））=0表示所有X∈ L∞. （1.7）在此假设下，增加资本金额ρ（X）并以现金持有将足以确保可接受性。并非所有正的盈余不变风险度量都满足这一操作性质；例如，Jarrow在[16]中研究并在[6]中考虑的看跌期权溢价与现金不兼容。在定理6.24中，我们展示了现金兼容的每个正盈余不变风险度量ρ，并满足El Karoui&Ravanelli[9]中引入的现金次可加性公理，可以写成ρ（X）=X的最大值{ρA，S（X），0}∈ L∞, （1.8）其中 L∞是盈余不变量且S=（1，1Ohm) 是现金资产。由于[6]中基于损失的风险度量在凸时始终是现金次级的，所以只要它们是现金兼容的，就可以表示为（1.8）中形式ρA，Sas的截断风险度量。正如【19】中所考虑的，对于每一个具有积极性的现金加成风险度量，情况也是如此。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 20:23:00

这再次强调了研究ρA形式的风险度量的重要性，它与剩余不变接受集有关。2资本充足率测试和风险度量我们考虑一个日期为t=0和t=t的周期经济。时间t=t的不确定性由概率空间建模(Ohm, F，P）。作者：L∞我们将表示所有实值随机变量X的Banach空间(Ohm , F）几乎可以肯定的是。通常，如果两个随机变量几乎肯定重合，则会识别它们。如果A∈ F我们用1A表示其指示函数。空间L∞当具备自然有序性时，即对于X，Y，变为aBanach晶格∈ L∞我们有Y≥ 当这个不等式几乎肯定成立时。随机变量X∈ L∞如果X≥ 0、正锥L∞+是由所有正随机变量组成的闭合凸锥。给定X∈ L∞,we s et X+：=最大{X，0}和X-:= 最大值{-十、 0}。在我们的经济中，金融机构在t=0时发行负债并投资于资产。他们使用在t=t时持有的资产的收益来结算负债。假设资产和负债按固定数量进行终止，并属于∞. 让A∈ L∞和L∈ L∞分别代表机构资产和负债的最终支付的随机变量。机构的净财务状况或资本状况为随机变量x：=A- L∈ L∞. （2.1）假设机构所有人有无限责任，X代表负债结算后留给他们的金额。更典型的情况是机构所有者承担有限责任。在这种情况下，如果机构的资产无法偿还其债务，则机构违约，所有者没有义务为该机构融资。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 20:23:04

在这种情况下，所有者的盈余和所有者的违约选择权分别为K：=X+和D：=-十、-. （2.2）特别是，违约选择权D代表机构在时间T=T时违约的金额。所有者的利益与责任持有人的利益之间存在着固有的冲突。如果资产收益不足以抵偿债务，违约选择权赋予所有人离开的权利。因此，所有者将关注违约的可能性，但不关心违约的程度，即他们将更多地关注盈余K，而较少关注违约选择权D。另一方面，负债持有人将关注违约选择权，而不是盈余，因为他们会承受前者的后果，而不会从后者中获益。事实上，外部监管的一个关键目标是帮助控制金融机构可能违约的可能性和规模，从而将违约对责任持有人的负面影响降低到可接受的水平。验收集和风险度量用于形成设定资本要求的过程。通常，我们表示byR：=R∪ {±∞} 扩展实线。定义2.1。非空的可操作子集A L∞如果X，则称为验收集∈ A和Y≥ Ximply Y公司∈ A.称为凸锥的接受集是相干的。任何验收集A L∞可被视为监管机构规定的资本充足率测试：资本状况为X的机构在X∈ A.定义2.2。A映射ρ：L∞→ 如果R在下降，即如果ρ（Y），则称R为风险度量≤ 任意Y的ρ（X）≥ X，（2.3），如果setA（ρ）：={X∈ L∞; ρ（X）≤ 0}（2.4）是非空且正确的。备注2.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:06

对于每个风险度量ρ：L∞→R、集合A（ρ）是一个可接受集合。测量距离t到可接受性将操作意义赋予风险度量ρ：L∞→R、我们需要描述如何解释量ρ（X）。在本文中，最初的重点是风险度量ρA，与特定的验收集A相关 L∞以及预先指定的交易资产S=（S，ST），初始值S>0，且非零终端收益∈ L∞+. 资产S称为合格资产。这些风险措施旨在捕捉以下运营情况：为了修改其资本头寸的可接受性，金融机构的管理层将被允许筹集资本并将其投资于S。当为正值时，数字ρa，S（X）代表需要筹集和投资的最小资本额，以使头寸X可接受。从这个意义上讲，ρA，S（X）可以解释为X到可接受性的“距离”的度量，使用资产S作为基本“尺度”。正式定义如下：定义2.4。让A L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。与A和S相关的风险度量是映射ρA，S:L∞→由ρA定义，S（X）：=infm级∈ RX+mSST∈ A.对于X∈ L∞. （2.5）如果S=（1，1Ohm) 是无风险资产，我们只需写出ρA（X）：=inf{m∈ RX+m∈ A}表示X∈ L∞. （2.6）很容易证明每个mapρA确实是一个风险度量，并满足以下S-加性属性。定义2.5。设S=（S，ST）为交易资产。A风险度量ρ：L∞→如果ρ（X+λST）=ρ（X），则R称为S-加性- λs对于所有X∈ L∞和λ∈ R（2.7）如果ρ是关于S=（1，1）的S-加性Ohm), 那么ρ被称为现金加法。备注2.6。（i）设S=（S，ST）为交易资产。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:09

很容易证明，如果风险度量ρ：L∞→R是S加性的，则ρ=ρA（ρ），S.（ii）如果S=（S，ST）是一般交易资产，则相应的S加性风险度量不需要精确估值或连续。完整性和连续性的条件见【10】和【11】。然而，如果STI基本上是从零开始的，那么ρA，Sis始终是固定值，并且Lipschitz连续。现金附加风险度量就是这种情况，我们也参考了[14]中的第4章。3盈余不变接受集和风险度量在本节中，我们介绍了盈余不变接受集和风险度量，认为从监管角度来看，使用资本充足率测试是合理的，因为资本充足率测试的可接受性无法通过增加金融机构的盈余来实现。剩余不变验收集定义3.1。验收集A L∞如果Y，则称为剩余不变量∈ A无论何时Y-= 十、-对于某些X∈ A.从责任持有人的角度来看，盈余不变性是一项重要的财产。事实上，假设A不是盈余不变量。然后我们可以找到位置X∈ A和Y 6∈ A带X-= Y-. 然而，负债持有人应与拥有X或Y的机构不同：如果公司违约，那么在这两种情况下，其违约金额将相同。因此，让X相对于Y可以接受的只是资产超过负债，这将由公司所有者而非负债持有人承担。因此，债务持有人的劣势（违约）将通过所有者的优势（超额收益）得到补偿。备注3.2。L中的剩余不变接受集∞在文献[19]中，它们被称为dexcess不变量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:12

我们之所以选择“盈余”一词，是因为它在保险文献中更为常见。我们首先提供剩余不变接受集的基本但有用的特征。引理3.3。让A L∞成为验收集。那么下面的语句是等价的：（a）a是剩余不变的；（b）如果X∈ A，然后是X1A∈ A代表每A∈ F（c）如果X∈ A那么-十、-∈ A.特别地，任何剩余不变接受se t都包含0。证据假设（a）保持不变，让X∈ A和A∈ F请注意-十、-∈ A由剩余不变性决定。然后，自-十、-≤ X1A，我们得到X1A∈ A的单调性使得（b）成立。如果（b）保持且X∈ A，将A：={X<0}设置为-十、-= X1A型∈ A、p粗纱（c）。最后，假设（c）保持不变，并取X∈ A和Y∈ L∞这样Y-= 十、-. 然后紧接着-Y-∈ A，暗示∈ A单调性。因此，A是SUPPLU s不变量。剩余不变接受集示例示例示例3.4（SPAN）。设A是Ohm. A生成的量程接受集为设置量程（A）：={X∈ L∞; X1A型≥ 0} . （3.1）这是一个闭合的一致接受集，它是sur加不变量。正如我们在eorem 4.9中所示，span接受集本质上是唯一相干的、剩余不变的接受集。首字母缩略词Span代表标准投资组合分析。它指的是一种用于计算许多中央交易所选择的保证金要求的方法，例如参见[6]中的讨论。示例3.5（跨度类型）。设A是Ohm 然后取V∈ L∞. 由A和V生成的量程类型接受集是设置量程（A，V）：={X∈ L∞; X1A型≥ V 1A}。（3.2）这是一个封闭的凸接受集，当且仅当V 1A时，它是剩余不变的≤ 示例3.6（短缺风险）。允许l : R→ R是一个非恒定的、凸的、递减的函数，Fα>infx∈Rl（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:14

setAl:= {X∈ L∞; E类[l(-十、-)] ≤ α} （3.3）是一个闭的、凸的s urplus不变接受集，它也是定律不变的。实践中使用最广泛的两种风险度量是风险价值和尾部风险价值。详细的处理方法见【14】第4.4节。虽然对应于风险值的可接受集是盈余不变的，但基于风险尾值的可接受性标准通常不是这种情况。示例3.7（VaR）。风险价值X∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为Varα（X）：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} . （3.4）相关验收集aα：={X∈ L∞; VaRα（X）≤ 0}={X∈ L∞; P（X<0）≤ α} （3.5）很容易被视为盈余不变性。它是一个闭合的圆锥体，通常不是凸的。回想一下，验收设置了 L∞如果X 6，则称为敏感∈ A表示任何非零X∈ L∞这样的X≤ 0、备注3.8。唯一敏感的剩余不变接受集是L∞+; 另见【19】中的命题4.2。示例3.9（TVaR）。风险尾值为X∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为asTVaRα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。（3.6）尾部风险值也称为预期短缺、条件风险值或平均风险值。相应的接受集aα：={X∈ L∞; TVaRα（X）≤ 0}（3.7）是一个封闭的一致接受集。然而，由于Aα众所周知是敏感的，因此在备注3.8中它不是盈余不变性的（除了与L重合的平凡情况∞+). 通过考虑以下示例，也可以直接看到这一点：∈ 0<P（A）<1且setX=的F-ε1A+γ1Ac对于ε，γ>0。（3.8）如果β<P（A）且VaRβ（X）=-γ否则。在P（a）<α<1时取TVaR水平α，如th。ThenTVaRα（X）=αZP（A）VaRβ（X）dβ+αZαP（A）VaRβ（X）dβ（3.9）=εαP（A）+γP（A）α- 1.. （3.10）通过相同的计算，我们还得到了VaRα(-十、-) =εαP（A）>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:17

（3.11）因此-十、-对于Aα而言总是不可接受的，而当剩余γ足够大时，X是可接受的。盈余不变风险度量与盈余不变接受集相关的s-加性风险度量具有以下特性：它们将相同数量的所需资本分配给具有相同负部分的不可接受头寸。基于这一特性（如下所示），我们定义了s urplus不变风险度量的概念。剩余不变风险度量的类别包括Cont、Deguest和He在[6]中引入的基于损失的风险度量，以及Staum在[19]中引入的剩余不变风险度量。定义3.10。A风险度量ρ：L∞→如果ρ（X）=ρ，则R称为剩余不变量(-十、-) 对于所有X∈ L∞ρ（X）处的th≥ 0 . （3.12）备注3.11。根据【19】中引入的术语，满足（3.12）要求的风险度量也可以称为“盈余不变量服从正性”。为了使语言尽可能轻，我们避免这样做，因为要求ρ（X）≥ 通常需要0英寸（3.12）。实际上，假设ρ是归一化的，即ρ（0）=0，ρ（X）=ρ(-十、-) 对于某些X∈ L∞. 然后，通过单调性，0=ρ（0）≤ ρ(-十、-) = ρ（X）。提案3.12。让A L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。（i）如果A是剩余不变的，那么ρA，Sis是剩余不变的。（ii）如果A是闭合的且ρA，则Sis剩余不变且未达到该值-∞, 那么A是盈余不变的。证据（i）取X∈ L∞. 自从-十、-≤ 很明显，我们有ρA，S（X）≤ ρA，S(-十、-). 现在假设x+λST∈ A对于某些λ>0。根据剩余不变性，我们得到- （X+λST）-∈ A.因为λ是正的，所以我们看到-（X+λST）-≤ -十、-+ λST.该imp位于-十、-+ λST∈ 因此，ρA，S(-十、-) ≤ λ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 20:23:20

因此，我们得到ρa，S(-十、-) ≤ ρA，S（X）。（ii）由于A是闭合的，我们有A={X∈ L∞; ρA，S（X）≤ 0}. 取X∈ 使ρA，S（X）≤ 0，并设置λ：=ρA，S（X）/S。由于ρA，S（X+λST）=0，我们有ρA，S(-（X+λST）-) = 0的剩余不变性。这意味着-（X+λST）-∈ A.然而-（X+λST）-≤ -十、-自λ起≤ 0，因此-十、-∈ A.引理3.3表明A是剩余不变量。备注3.13。在前面的命题中，要求ρA，Sdoes不能达到值-∞ 是合理的。实际上，任何位置X∈ L∞ρA，S（X）=- ∞ 将具有以下病理特性：一个人可以在不影响可接受性的情况下提取任意数量的资本。此外，ifA是闭的和凸的，那么ρA，Sis是凸的和下半连续的，这意味着ρA，如果达到该值，则不能满足任何实值-∞ 根据[8]第一章中的命题2.4。4对偶表示在本节中，我们给出了与弱*拓扑σ（L∞, 五十）。在这里，我们用实值的Banach格表示变量X(Ohm, F）使E[| X |]<∞, 其中，再次确定了几乎完全重合的随机变量。Lis中的正锥体由L+表示。请注意，每个元素Z∈ Lcan用函数ψZ:L表示∞→ R通过配对ψZ（X）：=E【XZ】。备注4.1。σ（L）的兴趣∞, 五十） -关闭验收集A L∞在于相应的风险度量ρA，具有所谓的Fatou性质，即它们相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十）。此外，Svindland在[20]中指出，如果潜在的概率空间是非原子的，则L∞它是凸的，闭的，且律不变性自动为σ（L∞, 五十） -关闭（另见Jouini、Schachermeyer和Touzi【17】）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:22

回想一下，a集合a L∞当X和Y具有相同的分布时，如果X∈ A意味着Y∈ A.备注4.2。命题3.12同样适用于σ（L∞, 五十） -关闭验收集A L∞按以下形式：如果ρA，则S未达到该值-∞, 则ρA，Sis剩余不变当且仅当ifA是剩余不变的。子集a的（下）支持函数 L∞图σA:L→ R∪ {-∞} d由σA（Z）定义：=infX∈AE【XZ】。（4.1）集合B（A）：={Z∈ LσA（Z）>-∞} 称为A的势垒锥。备注4.3。设A是L的子集∞. 那么σAis是超线性的，并且是半连续的。如果A是acone，那么B（A）={Z∈ LσA（Z）=0}。此外，根据[11]中的引理3.11，如果A是一个接受集，那么B（A） L+。剩余不变接受集的对偶表示我们首先建立了凸、剩余不变接受集的对偶特征，即σ（L∞, 五十）已关闭。显然，这种类型的特征化也提供了一种构建此类接受集的合法方法。定理4.4。L的子集A∞是σ（L∞, 五十） -当且仅当ifA=\\ Z时，闭合、凸、剩余不变接受se t∈B（A）{X∈ L∞; E【XZ】≥ γ（Z）}（4.2）对于某些函数γ：L→ R∪ {-∞} 满足（F1）γ（Z）≤ 0表示所有Z∈ L+；（F2）γ（Z）>-∞ 对于一些Z∈ L+；（F3）γ在下降。在（4.2）中，我们可以选择γ=σA。此外，对于任何满足（4.2）的γ，我们有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。此外，σA（Z）=infX∈AE[-十、-Z] 对于每个Z∈ L+。（4.3）证明。首先，设A（γ）为（4.2）中的交点。作为σ（L）的交点∞, 五十） -由正σ（L）生成的闭合半空间∞, 五十） -连续线性泛函，A（γ）是σ（L∞, 五十） -闭合凸面验收集。特别地，A（γ）是L的一个非空的真子集∞通过（F1）和（F2）。为了证明a（γ）是剩余不变量，取X∈ A（γ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:25

因为γ在减小，所以对于每个Z∈ L+我们获得[-十、-Z] =E[X1{X<0}Z]≥ γ（1{X<0}Z）≥ γ（Z）（4.4）表明A（γ）是引理3.3的剩余不变量。现在假设A是σ（L∞, 五十） -sur加不变量的闭合凸接受集。根据[12]中的定理4.4，我们可以用γ=σA表示（4.2）中的A，并且对于任何满足（4.2）的函数γ，我们必须有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。注意，σAin（4.3）的表示来自A的剩余不变性。因此，σAsatis fies（F3）。由于A是非空且适当的，σA也等于（F1）和（F2）。备注4.5。让A L∞为σ（L∞, 五十） -闭、凸、剩余不变接受集。通过正同质性，我们可以将（4.2）中的交集限制为所有随机变量Z∈ B（A）满足E[Z]=1。这种类型的随机变量可以用Radon-Nikodym导数DQDPOF概率测度Q来识别<< P、即概率度量相对于P是绝对连续的。因此，（4.2）isA中A的对偶表示的“概率”版本=\\Q<<P、 dQdP∈B（A）十、∈ L∞; 等式[X]≥ σAdQdP. （4.5）盈余不变风险测度的对偶表示下一步，我们建立了满足Fatou性质的ConverxRisk测度的标准对偶表示的盈余不变性的结果。对于任何ρ：L∞→ R∪ {∞} 我们用ρ表示*其σ（L∞, 五十）共轭，即ρ*（Z）：=supX∈L∞{E[XZ]- ρ（X）}表示Z∈ 五十、（4.6）提案4.6。设ρ：L∞→ R∪ {∞} 是满足Fatou性质的凸风险测度。如果ρ是剩余不变的，那么ρ（X）=supQ<<P-等式[X]- ρ*-dQdP对于X∈ L∞. （4.7）此外，如果ρ（X）≥ 0，则ρ（X）=supQ<<P公式[X-] - ρ*-dQdP. （4.8）证明。因为ρ是凸的，并且相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十），通过结合[15]中的定理6和推论7，我们得到∈ L∞标准对偶表示ρ（X）=supZ∈L+{-E【XZ】- ρ*(-Z） }。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:28

（4.9）因此，如果我们按照备注4.5中讨论的相应氡Nikodym der ivatives，则（4.7）紧随其后。如果ρ（X）≥ 0，则ρ（X）=ρ(-十、-) 通过剩余不变性，因此（4.8）也是如此。对于ρA，S形式的盈余不变性风险度量，这是与操作相关的度量，我们得到了一个更清晰的对偶表示，盈余不变性的影响更为明显。提案4.7。Le t A公司 L∞是凸的，σ（L∞, 五十） -关闭验收集，并假设ρA，Sdoes notattain the value-∞. 如果A是剩余不变的，那么ρA，S（X）=supQ<<P、等式【ST】=S-等式[X]+infY∈AEQ公司[-Y-]对于X∈ L∞. （4.10）此外，如果ρA，S（X）≥ 0，则ρA，S（X）=supQ<<P、等式【ST】=S公式[X-] + infY公司∈AEQ公司[-Y-]. （4.11）证明。由于ρA，Sdoes未达到该值-∞, 我们可以应用[12]中的推论4.14和定理4.16来获得ρA，S（X）=supZ∈B（A），E[STZ]=S{σA（Z）- E[XZ]}（4.12）每X∈ L∞. 因此，σAin（4.3）在ce上的表示（4.10）我们考虑对应的Radon-Nikodym导数。第二种表示法紧跟着盈余不变性。相干、剩余不变接受集我们现在关注相干、剩余不变接受集，并表明此类基本上与示例3.4中定义的跨度接受集类一致。因此，如果超越不变性被认为是一种可取的特性，为了有更广泛的可接受性标准，我们不得不离开不同的世界。如果我们还需要法律不变性，这一点就更加明显了，这是文献中的一个常见假设。事实上，我们证明了正锥L∞+是唯一的剩余不变量相干接受集，也是定律不变的。在本节中，我们假设空间是可分的。根据文献[5]中的定理19.2，当σ-代数F是可数生成的时，就是这种情况。引理4.8。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 20:23:31

如果A L∞是一个相干的剩余不变接受集，它是σ（L∞, 五十）闭合，然后b（A）={Z∈ L+；E[X-Z] =0，十、∈ A}。（4.13）证明。根据σAin（4.3）的表示，对于所有X∈ A和Z∈ L+σA（Z）=infY∈AE[-Y-Z]≤ -E[X-Z]≤ 0 . （4.14）自B（A）={Z∈ L+；σA（Z）=0}通过注释4.3，我们立即得到（4.13）。定理4.9。设A是L中的相干剩余不变接受集∞对于σ（L）是闭合的∞, 五十）拓扑结构。然后存在一个∈ F使得A=跨度（A）={X∈ L∞; X1A型≥ 0} . （4.15）证明。验收集A可以表示为（4.2）中的γ：=σA。根据表4.8，很容易显示A=\\Z∈B（A）{X∈ L∞; E[X-Z] =0}。（4.16）由于Lis是可分的，所以[2]中的推论3.5意味着存在B（a）的可数密集子集（Zn）。我们声称a=\\n∈N{X∈ L∞; E[X-Zn]=0}。（4.17）我们只需证明包含”” 因为逆向包含紧随其后（4.16）。为此，选择X∈ L∞满足E[X-Zn]=0表示所有n∈ N和Z∈ B（A）。根据密度，在L中存在（Zn）的子序列（Yn）收敛到Z。这意味着X-Yn公司→ 十、-Zin L，表示E[X-Z] =0。因此，从（4.16）可以看出X属于a，因此（4.17）中a的双重表示成立。最后，设置A:=Sn∈N{Zn>0}∈ 如果我们获得a=\\n∈N{X∈ L∞; P（{X<0}∩ {Zn>0}）=0}={X∈ L∞; X1A型≥ 0}，（4.18），这是证明的结论。自正锥L∞+是唯一具有定律不变性的跨度接受集，我们立即得到以下结果。推论4.10。设A是一个相干的剩余不变接受集∞对于σ（L）是闭合的∞, 五十）拓扑结构。如果A是定律不变的，那么A=L∞+.备注4.11。例3.6中引入的基于短缺风险的凸接受集既具有盈余不变性又具有法律不变性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:34

这表明，要求一个凸的、剩余不变的接受集具有bealso定律不变性并不像相干情况那样具有限制性。5有限维中的剩余不变性一种重要的情况，特别是从实用的角度来看，是指Ohm 是有限的，F是离散σ-代数，即Ohm. 在这种情况下，L∞可以用RN标识，其中N是Ohm. 我们证明了RNA中的闭、凸、剩余不变接受集本质上是正锥RN+的变换。我们首先将引理3.3改编为案例Ohm 最后，省略标题。引理5.1。验收集A RNis剩余不变当且仅当（δx，…，δNxN）∈ 外汇兑换∈ A和（δ，…，δN）∈ {0，1}N。对于本节的其余部分，我们假设 RN是一个闭合的剩余不变接受集。每个j的定义∈ {1，···，N}vj：=infx∈Axj公司∈ [-∞, 0] . （5.1）我们用ej，j表示∈ {1，···，N}，RN的正则基向量。引理5.2。假设vj=···=vjR=-∞ 对于j，年少者∈ {1，…，N}和R∈ {1，…N}，thenPRi=1xjieji∈ A对于每个xj，xjR公司∈ R、证明。以xj、xjR为例∈ R、假设每个i∈ {1，…，R}我们发现y∈ 这样一来，yi=Rxji。引理5.1表示Rxjieji∈ A和A的凸性，然后yieldsPRi=1xjieji∈ A，asclaimed。请注意，上述情况意味着如果vj=-∞ 对于每个j∈ {1，…N}然后A=RN，这是不可能的，因为A是正确的。因此，存在j∈ {1，…，N}这样vj>-∞. 重新编号后，如有必要，我们可以假设存在1≤ K≤ N使得v，vK公司∈ R和vK+1=···=vN=-∞. 我们用π：RN表示→ Rk由π（x，…，xN）定义的正则投影：=（x，…，xK）。（5.2）通过（a，z）：=（a，…，aK，z，…，zN-K），a∈ RK和z∈ 注册护士-K、我们表示RK×RN的一般元素-K、引理5.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:36

集π（A）是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集i n RKandA=π（A）×RN-K、（5.3）证明。显然，π（A）是RK的一个非空的真子集。取任意a∈ π（A），因此存在sz∈ 注册护士-K如（a，z）∈ A.如果b∈ RK带b≥ a、然后（a，z）≤ （b，z），我们从A的单调性推断出（b，z）∈ A.这又意味着b∈ π（A），因此π（A）是一个接受集。此外，由于π的线性，它是凸的。为了证明π（A）是剩余不变的，取A∈ π（A）。ByLemma 5.1我们获得（a，0）∈ A.由于A是盈余不变量，因此(-一-, 0) ∈ A，因此-一-∈ π（A）表明π（A）是引理3.3的剩余不变量。最后，为了证明π（A）是闭合的，在π（A）中取一个序列（an）收敛到某个A∈ RK。请注意（an，0）∈ 引理5.1再次给出A。因此，由于A是闭合的，我们必须有（A，0）∈ A所以A∈ π（A）。自A π（A）×RN-Kis显然是正确的，为了证明（5.3），我们只需要建立逆向包含。为此，采取（a，z）∈ π（A）×RN-K、引理5.2得出（0，αz）∈ A表示每α>0。此外（a，0）∈ 引理5.1中的A。A的凸性现在意味着（（1- λ） a，λαz）∈ 每λ为A∈ （0，1）和每个α>0。特别是，（（1- λ） a、z）∈ A代表所有λ∈ (0, 1). 因为A是闭合的，所以让λ→ 0我们得出结论（a，z）∈ A.对于 RN，我们用锥（A）表示包含A的最小凸锥，用锥（A）表示其闭包。下一个结果表明，有限维中的剩余不变接受集本质上是正锥的平移。提案5.4。设置w：=（v，…，vK，0，…，0）。然后锥（A- w） =RK+×RN-K、（5.4）证明。显然是A {a∈ RK；aj公司≥ vj、，j=1，K} ×RN-K、因此，圆锥（A-w） RK+×RN-K、注意，对于每个j=1，···，K，我们有（vj+m）ej∈ A每m≥ 0，这意味着λ（vjej-w） +λmejbelongs至锥体（A- w）对于每λ>0和m≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 20:23:39

选择m：=λ，我们可以看到λ（vjej- w） +ejalso属于锥体（A- w）对于每个λ>0，使λ→ 0，我们获得ej∈锥体（A- w）对于所有j=1，K、因为，通过引理5.2，向量±ej∈ A表示j=K+1，N我们获得Rk+×RN-K锥体（A- w）。证据到此结束。备注5.5。在以下情况下，不会出现相应的结果：(Ohm, F，P）是一个有限概率空间。事实上，对于任何成对不相交的序列（An），正概率定义的可测量集：={X∈ L∞; X1An≥ -n1An， n∈ N} 。（5.5）集A很容易被看作是一个凸的剩余不变接受集，即σ（L∞, 五十）已关闭。但是，不可能存在W∈ L∞用一个- W L∞+, 因为这意味着Aare中的元素从下面一致有界。6个积极的盈余不变风险度量因此，到目前为止，我们将注意力集中在盈余不变接受集A上 L∞以及ρA，S形式的盈余不变量风险度量，以及合格资产S。在最后一节中，我们试图澄清这些对象与Cont、Deguest&He在[6]和Staumin[19]中研究的风险度量类别之间的关系，重点关注我们认为从资本充足率角度最相关的那些资产。为了进行比较，我们使用了现金附加风险度量，即合格资产采用beS=（1，1Ohm). 回想一下，在这种情况下，我们写的是ρA，而不是ρA，S。备注6.1。让A L∞是一个可接受集，那么ρAis是众所周知的具有完整价值和Lipschitzcontinuous的。此外，ρA=ρAandA={X∈ L∞; ρA（X）≤ 0}. 在续集中，我们使用这些事实，而无需进一步参考。定义6.2。如果风险度量ρ被归一化，即ρ（0）=0，并且如果它只取正实值，则称为正风险度量。备注6.3。（i）正的盈余不变风险度量与[19]中引入的短缺风险度量一致。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:42

这是因为，对于正风险度量，su-rplus不变性等价于ρ（X）=ρ(-十、-) 对于每X∈ L∞. （6.1）（ii）[6]中引入的基于损失的风险度量是正的盈余不变风险度量ρ，满足现金损失性质：ρ(-α） =每个α的α≥ 0.6.1ρ形式的风险度量和ρaca形式的风险度量的截断可以是正的，因为现金可加性意味着ρAis不受下面的约束。然而，有两种从ρA构造正风险度量的自然方法。除了[6]和[19]中考虑的一个例子之外，我们在下面回顾的所有例子都是基于这两种构造原则之一。示例6.4。让A L∞成为验收集。1、映射ρ∧A： L∞→ [0, ∞) 通过设置ρ确定∧A（X）：=ρA（X∧ 0）=ρA(-十、-) 对于X∈ L∞. （6.2）如果ρA（0）=0，则th enρ∧Ais是一种正的盈余不变风险度量。这种风险度量被称为基于损失的ρAin版本【6】和ρAin的超额不变对应物【19】。2、映射ρ∨A： L∞→ [0, ∞) 通过设置ρ确定∨A（X）：=ρA（X）∨ 0=最大{ρA（X），X为0}∈ L∞. （6.3）如果ρA（0）≤ 0，则ρ∨Ais是一种积极的风险度量，但并不总是盈余不变。在下面的第6.7节中，我们描述了这种情况。示例6.5。下表列出了【6】和【19】中处理的风险度量ρ的主要示例。注意，所有这些风险度量都可以写成ρ∧A此处A L∞是（不一定是剩余不变的）接受集A（ρ）。有关更多详细信息，请参阅[6]和[19]。1.（基于情景的保证金要求，[6]）与∈ F是由ρ（X）：=ess sup（1AX）定义的正盈余不变风险度量-) , （6.4）其中ess s up（X）表示随机变量X的基本上确界∈ L∞.2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-24 20:23:45

（看跌期权溢价[6]）看跌期权溢价是由ρ（X）：=E[X]定义的正盈余不变风险-] 对于X∈ L∞. （6.5）Jarrow在【16】中研究了该风险度量。3.（光谱损耗测量，[6]）LetД：（0，1）→ [0, ∞) 是一个递减函数，rД（x）dx=1。与Д相关的光谱损失度量是由ρ（X）：=Z（VaRβ（X）定义的正盈余不变风险度量∨ 0）Д（β）dβ（6.6）=ZVaRβ(-十、-) Д（β）dβ代表X∈ L∞. （6.7）Acerbi[1]中引入了相应的未运行版本。注意，（6.6）中的等式是由于风险值的s urplus不变性。特别是，对于给定的α，设置Д（β）：=α（0，α）（β）∈ （0，1）我们得到ρ（X）：=TVaRα(-十、-) 对于X∈ L∞, （6.8），在【6】中称为预期尾部损失。4.（短缺风险，[19]）让u:R→ R是u（0）=0的递增函数。短缺风险度量是由ρ（X）定义的正盈余不变风险度量：=-E【u】(-十、-)] 对于X∈ L∞. （6.9）这类风险度量是由Follmer和Schied在[13]中提出的。[6]中的以下示例令人感兴趣，因为它显示了一个不能以ρ形式书写的正风险度量∧A对于任何验收集A L∞.示例6.6（损失确定性当量，[6]）。让u：[0，∞) → R是严格递增的，d是严格凸的。损失确定性等价物是由ρ（X）：=u定义的正的s urplus不变风险度量-1（E[u（X-)]) 对于X∈ L∞. （6.10）如【6】所述，损失确定性当量通常不能以ρ的形式书写∧a适用于合适的验收集。我们现在提供ρ形式的when风险度量的特征∨Aare剩余不变，建立与su rplus不变接受集的链接。提案6.7。让A L∞成为验收集。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 20:23:48

以下陈述相等：（a）ρ∨Ais盈余不变量；（b） A是剩余不变的。如果ρA（0）=0，则上述（A）和（b）等于（c）ρ∨A=ρ∧A、证明。假设（a）成立。对于任何X∈ A我们有ρA（X）≤ 0，hen ceρ∨A（X）=0。自ρ起∨Ais盈余不变，这意味着ρ∨A(-十、-) = 因此，ρA(-十、-) ≤ 0以便-十、-∈A和（b）由Emma 3.3决定。因此，（a）意味着（b）。相反，假设（b）成立。那么ρAis盈余由命题3.12保持不变，因此ρAsinceρA=ρA也是如此。现在，取X∈ L∞. 如果ρA（X）≥ 0然后ρ∨A(-十、-) = ρ∨A（X）紧随其后，因为ρAis盈余不变。否则，如果ρA（X）<0，则得到X∈ A因此-十、-∈ A的剩余不变性。因此，ρA(-十、-) ≤ 0表示ρ∨A(-十、-) = 0 = ρ∨A（X）。总之，（b）意味着（a）。假设ρA（0）=0，且（b）成立。由于ρA=ρA，r isk通过命题3.12再次度量ρAis剩余不变量。如果ρA（X）≥ 0然后ρ∨A（X）=ρA（X）=ρA(-十、-) = ρ∧A（X）。另一方面，如果ρA（X）<0，则X∈ 剩余不变性意味着-十、-∈A.因此0=ρA（0）≤ ρA(-十、-) ≤ 0，因此ρ∧A（X）=0=ρ∨A（X）。因此，（b）意味着（c）。最后，由于ρ∧Ais总是剩余不变量，（c）暗示（a），结束证明。现金可加性取决于正性在本节中，我们确定正盈余不变风险度量的形式为ρ∨A对于Somesuplu s-不变接受集A L∞. 为此，我们回顾了文献[19]中介绍的现金可加性服从正性的性质。定义6.8。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞ ) 如果ρ（X+α）=ρ（X），则称为正现金加成- α（6.11）每X保持一次∈ L∞和α∈ R使得ρ（X）>α∨ 0、提案6.9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 20:23:50

对于正的盈余不变风险测度ρ：L∞→ [0, ∞) 以下语句等效：（a）ρ=ρ∨A对于一些剩余的变量接受集A L∞;（b） ρ为正的现金加成。（a）中设置的验收可始终视为a：=a（ρ）。证据ρAreadily的现金可加性意味着ρ∨Ais现金添加剂受积极影响。因此，（a）意味着（b）。现在假设（b）保持不变，取X∈ L∞. 我们声称ρ=ρ∨A（ρ）。如果ρ（X）=0，则ρA（ρ）（X）≤ 因此ρ（X）=0=ρ∨A（ρ）（X）。如果ρ（X）>0，则紧随其后的是所有ε>00的现金可加性≤ ρ（X+ρ（X））≤ ρ（X+ρ（X）- ε） =ρ（X）- ρ（X）+ε=ε。（6.12）尤其是X+ρ（X）- ε /∈ A（ρ）使得ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）- ε所有ε>0。出租ε→ 0，我们得到ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）。此外，让ε→ 在（6.12）中，我们还得到ρ（X+ρ（X））=0，因此ρA（ρ）（X）≤ ρ（X）。这表明ρ（X）=ρA（ρ）（X）=ρ∨A（ρ）（X），得出（b）意味着（A）的证明。备注6.10。之前的结果适用于任何正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果我们不要求（a）中的接受集是剩余不变的。现金损失可加性【6】中引入的现金损失可加性性质表征了ρ形式的正盈余不变风险度量∧A、定义6.11。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果对everyX来说≤ 0和α>0满足ρ（X- α） =ρ（X）+α。（6.13）【6】第4.2节在凸性假设下证明了以下结果，然而，凸性假设对于证明是不必要的。提案6.12。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量。以下是等效的：（a）ρ=ρ∧A对于一些剩余的变量接受集A L∞;（b） ρ是现金损失的加法。（a）中设置的验收可始终视为a：=a（ρ）。备注6.13。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 20:23:53

（a）中的验收集始终满足ρa（0）=0，这对于ρ是必要的∧是积极的风险措施。6.2资本充足率：可接受性和运营意义在本节中，我们重点讨论将正风险度量ρ解释为资本要求时需要解决的两个重要问题：ρ中隐含的可接受性标准是什么？ρ（X）的操作意义是什么？可接受性如前所述，当正风险度量ρ被解释为资本要求时，有一个与之相关的自然资本充足率测试或可接受性标准：可接受头寸正是那些不需要任何额外资本的头寸，即属于a（ρ）：={X的头寸∈ L∞; ρ（X）=0}。（6.14）正的盈余不变风险度量所产生的可接受性标准始终是盈余不变的。这个简单的结果在[6]和[19]中考虑的风险度量类型与本文开发的理论之间建立了关键联系。引理6.14。如果ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量，那么接受集a（ρ）是盈余不变的。证据如果X∈ A（ρ）然后ρ(-十、-) = ρ（X）=0，表明-十、-∈ A（ρ）。因此，A（ρ）是引理3.3的盈余不变性。以下结果在理解与[6]和[19]中考虑的正盈余不变风险度量相关的隐含可接受性标准方面起着关键作用。回想一下，如果ρ（X）>0表示所有非零X，则风险度量ρ称为敏感∈ L∞X处的此类th≤ 0、提案6.15。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量。如果ρ是敏感的，那么A（ρ）=L∞+.证据很明显，我们有∞+ A（ρ）。确实，如果X∈ L∞+然后0≤ ρ（X）≤ ρ（0）=0，表示x∈ A（ρ）。为了证明逆包含，取X∈ A（ρ）并假设P（X<0）>0，因此X-为非零。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝