具有循环传染风险的动态投资组合优化

2022-6-25 02:05:37

（2010）考虑一个具有alog效用的有限期投资组合优化问题，并假设违约风险溢价和违约强度都取决于一个外部因素，然后经过一个差异化过程，并表明违约前价值函数可以简化为一个aquasilinear抛物型偏微分方程（偏微分方程）的解。Capponi和Figueroa Lopez（2011）假设马尔科夫政权转换模型，推导出可违约债券的动力学，并证明了一个验证定理，并将其应用于测井和电力设施。Callegaro等人（2012年）考虑了一个财富分配问题，该问题涉及多个可违约资产，其动态取决于部分观察到的外部因素过程。传染风险或内生风险已成为人们关注的一个主要话题，因为很明显，使用协方差矩阵的传统资产相关性建模无法捕捉突然的市场协同运动。一家公司的倒闭将直接影响其他关联公司的业绩。例如，在2007-2008年全球金融危机期间，雷曼兄弟的违约导致其他投资银行的股价和道琼斯美国金融指数等股票指数大幅下跌。由于违约是罕见的事件，人们可能不得不依赖其他公司的市场信息或指数来推断一家特定公司的违约概率。例如，人们经常可以在金融市场数据中观察到，一家公司的股价与另一家公司的CDS（信用违约掉期）利差（违约概率的代表）呈负相关。一种常用的传染风险模型是互动强度模型（见Jarrow和Yu（2001）），其中，当一个名字的默认强度在一本手册中出现其他名字的默认强度时，该模型就会跳变。

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2022-6-25 02:05:40

传染风险对组合信贷衍生品的定价和对冲有很大影响（见Gu et al.（2013））。关于具有传染风险的动态投资组合优化的文献研究有限。Jiao和Pham（2011）考虑了一个金融市场，其中一只股票在违约时间跳下*英国伦敦SW7 2AZ帝国理工学院数学系（隆杰。jia13@imperial.ac.uk)+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ（m。pistorius@imperial.ac.uk)对应作者。英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ（h。zheng@imperial.ac.uk)未交易且不受股票影响的交易对手，对于电力公司，通过凸对偶方法解决违约后问题，并显示违约前价值函数满足BSDE（倒向随机微分方程）定义的过程。焦和Pham（2013）讨论了具有指数效用的aportfolio的多重违约，并证明了以BSDE系统为特征的值函数的验证定理。Bo和Capponi（2016）认为市场由无风险银行账户、股票指数和一组CDS组成。一个名字的违约可能会导致投资组合中其他名字的违约强度激增，进而导致参考幸存名字的CDS的市场估值激增，并影响最佳交易策略。他们用DPP（动态规划原理）解决问题，对于电力公司，发现股票指数上的最佳交易策略是默顿策略，而CDS上的交易策略可以通过递归常微分方程（普通微分方程）系统确定。Capponi和Frei（2017）引入了一种股票信贷组合，其市场由无风险银行账户、可违约股票和引用这些股票的CDS组成。

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2022-6-25 02:05:43

公司违约强度是股价和一些外部因素的函数，它提供了一个真正的循环传染违约结构。对于对数效用投资者，存在一个明确的最优策略，这在很大程度上取决于投资组合中是否存在CDS，详情请参见备注3.2。本文分析了市场和信用风险的相互作用及其对动态投资组合优化的影响。假设市场有一个无风险储蓄账户和多个可违约股票，其中标的公司可能违约，违约股票价格的价值为零。任何股票的defaulttime是由依赖于所有存续股票价格的强度过程驱动的纯跳跃过程的第一个跳跃时间，并且存续股票价格在违约时跳跃。这种结构的特点是，投资于多个相互密切依赖的股票，无论是内源还是外源。与文献中的外生因子模型相比，循环传染模型强烈依赖于因子参数的历史校准，它能够根据投资组合中的当前股票价格自动调整交易策略。在这个循环传染框架下，我们研究了具有广义效用函数的终端财富效用最大化问题。Bo和Capponi（2016）以及Capponi和Frei（2017）的上述论文将价值函数描述为HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的解，并分别针对功率和对数效用，用一些隐式未知函数找到最优交易策略。对于一般实用程序，基本上不可能猜测HJB方程的解形式，也不可能应用验证定理。在这种情况下，研究值函数的标准方法是粘度溶液法。

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2022-6-25 02:05:46

除验证定理外，我们还证明了值函数是HJBequation的唯一粘度解。这一结果很重要，因为它为数值格式找到值函数奠定了坚实的理论基础，而验证定理要求先验地存在HJB方程的经典解，这通常很难证明。据我们所知，这是首次在具有循环传染风险的效用最大化文献中研究并建立了值函数的粘度解性质。这是本文的主要贡献之一。基于两种交易策略，一种使用强度过程的全部信息，另一种使用代理恒定强度过程，我们进行了一些数值和稳健测试，以比较对数效用和电力效用的终端财富的统计分布。这两种策略可以分别被视为主动和被动的组合投资。数值例子表明，从统计上看，它们具有相似的最终财富分布，但积极的组合投资通常更具波动性。此外，我们还通过一个类似的数值测试，说明了循环传染模型的财务洞察力，但初始股价不同。数值测试假设恒定强度是根据历史校准窗口估计的，但在投资开始时，股价会大幅下跌。数值例子表明，基于股票依赖强度策略的终端财富比使用恒定强度策略的终端财富具有更高的预期回报率和标准差。

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2022-6-25 02:05:49

因此，如果在金融危机期间使用依赖于股票的违约强度信息，可以极大地提高投资绩效。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了市场模型并陈述了主要结果，包括单侧传染情况下值函数的连续性（定理2.5）、验证定理（定理2.7）以及值函数的唯一粘性解性质（定理2.10和2.14）。在第3节中，我们使用对数和功率效用的统计分布分析进行了数值和稳健测试。在第4节中，我们证明了定理2.5、2.7、2.10和2.14。第5节总结了本文。2模型设置和主要结果let(Ohm, G、（Gt）t≥0，P）是满足通常条件的完全概率空间，且（Gt）t≥0a过滤如下所述。让市场由一个无风险的银行账户组成，该账户具有价值流程（Bt）t≥0和利率以及N个具有价格过程（St）t的可违约股票≥0：=（St，…，SNt）Tt≥0，其中aTis是向量的转置。Let（Ft）t≥0be由N个相关布朗运动（Wt）t生成的过滤≥0：=（Wt，…，WNt）Tt≥0，表示市场信息。设τ：=（τ，…，τN）为非负随机变量向量，表示每个可违约股票的违约时间，由τi：=inf定义s≥ t:Zsthiudu≥ xi,where（hit）t≥0是强度-速率过程，xi是概率空间上的标准指数变量(Ohm, G、 P）且独立于过滤（Ft）t≥0，这意味着τiis是一个完全无法访问的停止时间。对于i 6=j，我们进一步假设xi独立于xjj。

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2022-6-25 02:05:52

在此假设下，每只股票的违约是独立的。Let（Ht）t≥0是默认指标流程（Ht）生成的过滤≥0：=（Ht，…，HNt）Tt≥0其中每个默认进程hit都与强度进程（hit）t关联≥0按命中定义：=I{τI≤t} ，如果τi>t，则指示函数等于0，否则为1。用z表示指示剂过程的值，因此z∈ I：={0，1}N。指示符进程ht只能从z：=（z，…zN）跳到其相邻状态zi：=（z，…，1-zi。。。，zN）倍率（1- zi）hitfor i∈ {1，…，N}。当Ht=z时，我们表示NZ为存活股票数，IZ为存活股票数集。最后，让（Gt）t≥0为放大过滤，由Gt=Ft定义∨ Ht，其中包含市场信息和默认信息。以上述方式定义的停止时间τ满足所谓的假设，这意味着任何F-平方可积鞅也是G-平方可积鞅（seeBielecki和Rutkowski（2003）），我们将在后面的证明中使用该性质。市场模型由以下随机微分方程（SDE）驱动：dSitSit-= uidt+σidWit- LTidHt，dBtBt=rdt，对于整数i∈ {1，…，N}其中uiS分别是Si的增长率，σiS是波动率。向量Li：=（Li1，…，LiN）t表示每个股票对第i个股票的默认影响，因此Lii=1。所有系数都是正常数，以简化讨论。我们假设股票违约不会同时发生。在默认时间τ，当i 6=j时，可违约股票价格应降至零，其他股票价格应减少Lji的一个百分比。对于i 6=j，我们要求Lii=1且Lij<1。Lji<1确保其他股票价格sj在默认时间τi不会降至零。我们用K表示一个通用常数，该常数在不同的位置可能有不同的值。假设2.1。

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2022-6-25 02:05:55

强度过程（hit）t≥默认指示器进程（Hit）的0 t≥0可以用HIT=h（Szt）表示-, z），生存股价的函数Szt-:= （坐下-)我∈I和默认指示器进程的状态HT-= z、为简单起见，我们表示h（Szt-, z）由hiz（St-). 我们进一步假设在Szt中hizis有界且连续-对于z∈ 我和我∈ {1，…，N}。为了对循环传染模型进行分类，我们给出了两个例子，其中市场上只包含两支股票，用（St）t表示≥0和（Pt）t≥0.示例2.1。（单侧传染）在这种情况下，（St）t≥0表示DJ美国金融指数和（Pt）t上ETF（交易所买卖基金）的价格≥0表示美国投资银行的价格。我们可以将ETF视为无违约基金，其股票价格反映了整个美国银行业，因此对个别银行的业绩有影响。然后由DSTST给出模型-= uSdt+σSdWSt- LSdHt、dPtPt-= uPdt+σPdWPt- dHt，其中uSandu分别表示S和P的增长率，σSandσ表示波动率，LS<1表示股票P违约时股票S的损失百分比。在默认时间τ，默认股票价格pFall为零，股票价格S减少了LS的百分比。强度过程（ht）t≥默认指示器进程（Ht）的0≥0可用ht=h（St）表示-, Pt公司-).示例2.2。（循环传染）在这种情况下≥0和（Pt）t≥0表示单个股票的价格。然后由DSTST给出模型-= uSdt+σSdWSt- dHSt公司- LSdHPt、dPtPt-= uPdt+σPdWPt- LPdHSt公司- dHPt。在S（resp.P）的默认时间，股价S（resp.P）降至零，股价P（resp.S）减少LP（resp.LS）的百分比。默认指示器过程（HSt）t的强度过程hS（0,0）（t）（分别为hP（0,0）（t））≥0（分别为HPt）t≥0）可表示为hS（0,0）（t）=hS（0,0）（St-, Pt公司-) （分别为。

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2022-6-25 02:05:58

hP（0,0）（t）=hP（0,0）（St-, Pt公司-)).在S（resp.P）缺省值之后，缺省指示剂过程（HPt）t的强度过程hP（1,0）（t）（resp.hS（0,1）（t））≥0（分别为HSt）t≥0）可表示为hP（1,0）（t）=hP（1,0）（Pt-) （分别为hS（0,1）（t）=hS（0,1）（St-)).投资者动态分配比例（π，…，πN，1-PNi=总财富的1πi）存入股票和银行账户。容许控制集A是相对于过滤（Gt）和πt可渐进测量的控制过程集π∈ A代表所有t∈ [0，T]。集合A由A定义：=（π∈ O和1-NXi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}），其中O是RNand中的有界集Ais是一个正常数。财富过程动力学≥0由DXTXT给定-=r+πTtDtθdt+πTtDtσdWt- πTt-DtLdHt，（2.1），其中DT：=1.- Ht。0.........0 . . . 1.- HNt公司, θ :=u- ruN- r, σ :=σ. . . 0.........0 . . . σN, L：=LL1N。。。。。。。。。LN1。LNN公司.矩阵值过程（Dt）t≥0适用于过滤（Ht）t≥0并起到删除默认库存的作用。即使容许控制集在默认时间τi之后仍然是A，πit=0，并且不是变量，而是常数。要求1-PNi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}确保当jthstock违约时，财富损失的最大百分比不超过1- A、换句话说，如果x是违约前的财富，那么违约后的财富至少是Ax。备注2.2。对于给定的控制过程π∈ A、方程（2.1）允许一个唯一的强解满足∈[0，T]E[XαT]≤ Kxα（2.2），对于任何α>0。这可以很容易地验证为Xαt=XαNtMt，其中：=expαZtr+πTuDuθdu+（α- α） ZtπTuDu∑Duπudu+αNXj=1Ztln1-NXi=1Lijπiu-!dHju公司,Mt：=经验ZtαπTuDuσdWu-αZtπTuDu∑Duπudu,Σ :=(σ)ρσσ. . . ρ1NσσN。。。。。。。。。。。。ρN1σNρN2σN。（σN）,πu：=（πu。

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2022-6-25 02:06:01

注意，ρij是布朗运动wi和Wj之间的相关性。因为A是有界集，1-PNi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}，我们有| Nt |<K，与t无关，并且Mt是指数鞅，因此E[Mt]=1，这给出了（2.2）。我们的目标是最大化终端财富的预期效用，即supπ∈AE【U（XπT）】，其中U是【0】中定义的效用函数，∞) 并满足以下假设。假设2.3。效用函数U是连续的、非递减的、凹的，且满足U（0）>-∞ 和| U（x）|≤ K（1+xγ）表示所有x∈ [0, ∞), 其中K>0和0<γ<1是常数。根据默认情况，值函数由Vz（t，x，s）=supπ定义∈（T，X，s）的AE[U（XπT）| Xt=X，St=s，Ht=z]∈ [0，T]×（0，∞)新西兰+1和z∈ 一、注意，如果h独立于s，则值函数vzis仅为t，x的函数。备注2.4。结合假设2.3和备注2.2，我们得到了| vz（t，x，s）|≤ K（1+xγ）。对于例2.1中定义的单边传染模型，问题可以自然地分为违约前和违约后两种情况。后者是一个标准的效用最大化问题，因为股票P消失，违约后价值函数仅与时间t和财富x有关，见Pham（2009）。对于预设值函数v，我们有以下连续性结果。定理2.5。对于单侧传染模型（例2.1），进一步假设h在p中是非递增的，在s中是单调的，在s、p和U中是Lipschitz连续的| U（x）- U（x）|≤ K | x- x |γ表示所有x，x∈ [0, ∞). 然后，预设值函数在（t，x，s，p）中连续∈ [0，T]×[0，∞) × (0, ∞).备注2.6。我们假设h在p中不增加，因为直觉上，一家公司的违约概率不随其股票价格而增加。

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2022-6-25 02:06:04

我们还假设h在s中是单调的，因为我们认为s和P在某种意义上是强相关的，即股票P的违约概率受到股票s的正向或负向影响。单边传染模型违约前价值函数的连续性依赖于一种特殊结构，即该位置只有一个违约过程。对于一般的循环传染模型，由于多次跳跃的顺序是随机的，很难获得值函数的连续性。应用DPP，可以表明值函数满足以下HJB方程：- supπ∈ALπwz（t，x，s）=0（2.3）（t，x，s）∈ [0，T）×（0，∞)新西兰+1和z∈ I终端条件wz（T，x，s）=U（x），其中Lπ在过程s，H和x的极小生成器内，控制π，给定byLπwz（T，x，s）=wz公司t+（r+θtπ）xwz公司x+Xi∈Izuisiwz公司si+πT∑πxwz公司x+Xi∈Izσisiwz公司si+Xi，j∈Iz，i<jρijσiσjsisjwz公司硅sj+Xi∈IzρTiσπσixsiwz公司x个si+Xi∈伊兹兹（s）wzi公司t、 x个1.-NXj=1Ljiπj, 硅- wz公司, （2.4）其中si：=（s（1- L1i），sj（1- Lji），序号（1- LNi））t用于j∈ Iziandρi：=（ρi1，…，ρij，…，ρiN）Tforj∈ Iz。请注意，Si的尺寸为Nzi，其等于Nz- 1因为我们已经删除了第i个defaultedstock。接下来，我们给出了值函数的验证定理。定理2.7。假设函数元组w：=（wz）z∈我在哪里wz∈ C[0，T]×（0，∞)新西兰+1∩C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1对于任何z∈ 我用终端条件wz（T，x，s）=U（x）求解（2.3），wz满足增长条件| wz（T，x，s）|≤ K（1+xγ），当0<γ<1时，在A中的bπ（t，x，s，z）处达到（2.3）中哈密顿量的最大值，并且SDE（2.1）允许一个唯一的强解Xbπ，控制bπ。然后，以值函数vzand和bπ为最优控制过程的wzcoincides。备注2.8。对于对数效用U（x）=ln x，假设U（0）>-∞ 不满意。

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2022-6-25 02:06:08

然而，可以假设值函数的形式为wz（t，x，s）=lnx+fz（t，s），其中f是线性偏微分方程的解，见（3.1）。如果我们假设fz∈ C[0，T]×（0，∞)新西兰+1∩ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1并且是有界的，那么我们可以用与定理2.7相同的证明来证明wzis确实是值函数，除了一个变化：而不是使用| wz（t，x，s）|≤ K（1+xγ），不适用于对数效用，使用| wz（t，x，s）|≤ K（1+| ln x |）。Sinceln Xu=ln x+Zutr+πT'uD'uθ-πT'uD'u∑D'uπ'ud'u+ZutπT'uD'uσdW'u+NXj=1Zutln1-NXi=1Lijπi'u-!dHj？ufor u∈ [t，t]，我们有呃| ln Xu | i≤ K（1+（lnx）），它在证明中提供了所需的一致可积性。验证定理假设存在HJB方程（2.3）的经典解，这对于值函数vz可能不是真的。接下来，我们展示值函数{vz}z∈II是PDE系统的独特粘度溶液，其特征为（2.3），基于以下定义。为了便于讨论粘度溶液，我们通过FZ定义F函数t、 x、s、w、，（t，x，s）wz，（x，s）wz= - supπ∈ALπwz（t，x，s），其中（t、x、s）wz∈ RNz+2是Wz相对于（t，x，s）的梯度向量，和（x，s）wz∈ R（Nz+1）×（Nz+1）是关于（x，s）的wz的海森矩阵。Wzan及其衍生物在（t，x，s）处进行评估。HJBequation（2.3）与FZ相同t、 x、s、v、，（t，x，s）vz，（x，s）vz= 0用于z∈ 一、定义2.9。

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2022-6-25 02:06:11

（i） w：=（wz）z∈在[0，T）×（0，∞)N+1FF'z\'t，\'x，\'s，Д，（t，x，s）Д′z，（x，s）Д′z≤ 0表示所有'z∈ 一、（\'t，\'x，\'s）∈ [0，T）×（0，∞)N\'z+1和测试功能∈我∈ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1使（w'z）*（\'t，\'x，\'s）=Д'z（\'t，\'x，\'s）和（wz）*≤ ^1zforz∈ I在[0，T）×（0，∞)Nz+1，其中（wz）*是wz的上半连续包络，定义为（wz）*（\'t，\'x，\'s）=lim sup（t，x，s）→（\'t，\'x，\'s）wz（t，x，s）。（ii）w：=（wz）z∈{0,1}是PDE系统（2.3）在[0，T）×（0，∞)N+1FF'z\'t，\'x，\'s，Д，（t，x，s）Д′z，（x，s）Д′z≥ 0表示所有'z∈ 一、（\'t，\'x，\'s）∈ [0，T）×（0，∞)N'z+1和测试功能Д：=（Дz）z∈我∈ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1使（w'z）*（\'t，\'x，\'s）=Д'z（\'t，\'x，\'s）和（wz）*≥ ^1zforz∈ I在[0，T）×（0，∞)Nz+1，其中（wz）*是wz的下半连续包络，定义为（wz）*（\'t，\'x，\'s）=lim inf（t，x，s）→（\'t，\'x，\'s）wz（t，x，s）。（iii）我们说w是PDE系统（2.3）在[0，T）×（0）上的粘度溶液，∞)N+1如果它同时是（2.3）的鸟瞰性下解和上解。基于上述定义，我们对值函数具有以下粘度解性质。定理2.10。值函数v=（vz）z∈Iis在[0，T）×（0，∞)N+1，满足生长条件| vz（t，x，s）|≤ K（1+xγ），对于某些常数0<γ<1。为了证明粘性解的唯一性，我们需要在模型上引入一个结构条件。假设2.11。以下不等式成立：Jz（π）≤K|x个- x |+Xi∈Iz | s1i- s2i |！，π ∈ A、 z∈ 一、式中，jz（π）：=πT∑πxQ1,1- xQ1,1+xi∈Izσis1iQki，ki- s2iQki，ki+Xi，j∈Iz，i<jρijσiσjs1is1jQki，千焦- s2is2jQki，千焦+xi∈IzρTiσπσixs1iQ1，ki- xs2iQ1，ki和矩阵Q和Qsatisfy问题00-Q≤INz+1-INz+1-英寸+1英寸+1英寸.备注2.12。矩阵Q和秦定理2.14的维数为Nz+1。

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2022-6-25 02:06:14

我们使用kito表示矩阵的rightindex，它对应于siwhere i∈ Iz。kiis的引入解决了sindex和矩阵索引之间的差距。我们用一个简单的例子来说明ki的定义。例如，Iz：={3，4，6}。在这种情况下，市场上有三只幸存的股票，即s、s、s。矩阵Q和QIS的维数为4（包括3只幸存的股票和财富过程x）。然后k=2，k=3，k=4。备注2.13。对于市场上只有两种可违约股票的最简单情况，例如示例2.1和示例2.2，假设2.11适用于ρ ∈ (-1，1），因为Jz（π）可以写成Jz（π）=ξT问题00-Qξ +(1 - ρ）（σP）πPx，0，p，πPx，0，p问题00-QπPx，0，p，πPx，0，pT、式中ξ=mTπx，σSs，ρσPp，mTπx，σSs，ρσPpT、 m=（σS，ρσP）T，n=（ρσS，σP）andπ：=（πS，πP）T。利用矩阵不等式和简单的代数计算，可以证明jz（π）≤2.（mTπ）| x-x |+（σS）| S-s |+ρ（σP）| P-p|+2.(1-ρ）（σP）（πP）| x- x |+| p- p|.根据控制集A的有界性，假设2.11适用于所有ρ∈ (-1, 1).下一个结果说明了粘度解的唯一性。定理2.14。假设2.11成立。假设值函数v=（vz）z∈Iz，满足终端条件vz（T-, x、 s）=U（x）和边界条件（vz）*（t，x，s）=（vz）*（t，x，s）表示[0]边界上的（x，s），∞)新西兰+1。那么v是[0，T）×（0，∞)N+1。备注2.15。条件（vz）*（t，x，s）=（vz）*边界上（x，s）的（t，x，s）等价于值函数vzat边界点极限的存在性。

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2022-6-25 02:06:17

当（x，s）变量的域为（0，∞)新西兰+1，非(-∞, ∞)Nz+1，在这种情况下，可以对vz施加一些多项式增长条件，有关这一点的进一步讨论，请参见Pham（2009），备注4.4.8。3数值测试在本节中，我们对log和power实用程序执行一些统计和稳健测试。我们假设市场上有两支可违约股票和一个无风险银行账户（示例2.2）。3.1对数效用的最佳策略对于U（x）=ln x，违约后情况z=（1，1）是投资于无风险银行账户，因此πS=πP=0，v（1，1）（t，x）=ln x+r（t- t）。我们推测，预设值函数v（0,0）（t，x，s，p）取mv（0,0）（t，x，s，p）=ln x+f（0,0）（t，s，p），（3.1），值函数v（1,0）（t，x，p），v（0,1）（t，x，s）分别取sv（1,0）（t，x，p）=ln x+f（1,0）（t，p），v（0,1）（t，x，s）=ln x+f（0,1）（t，s）。

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2022-6-25 02:06:20

（3.2）将（3.1）和（3.2）代入（2.3），我们得到f（0,0）的线性PDE，取决于f（1,0）和f（0,1）的值：f（0,0）t+bT（s，p）Df（0,0）+TrσσT（s，p）Df（0,0）-hS（0,0）（s，p）+hP（0,0）（s，p）f（0,0）（t，s，p）+hS（0,0）（s，p）f（1,0）（t，p（1- LP））+hP（0,0）（s，p）f（0,1）（t，s（1- LS））+r+supπ∈AG（0,0）（s，p，π）=0（3.3），终端条件f（0,0）（T，s，p）=0，其中G（0,0）由G（0,0）（s，p，π）定义：=-πT∑π+θTπ+hS（0,0）（s，p）ln（1- πS- LPπP）+hP（0,0）（s，P）ln（1）- LSπS- πP），其他符号由b（s，P）给出：=uSsuPp, Df（0,0）：=f（0,0）sf（0,0）pσ（s，p）：=σSs 0ρσPpp1- ρσPp！，Df（0,0）：=f（0,0）sf（0,0）spf（0,0）spf（0,0）p.通过相同的参数，我们得到f（1,0）的线性偏微分方程：f（1,0）t+uPpf（1,0）p+（σp）pf（1,0）p- hP（1,0）（p）f（1,0）（t，p）+r+hP（1,0）（p）r（t- t） +supπ∈AG（1,0）（p，π）=0，终端条件f（1,0）（T，p）=0，其中G（1,0）由G（1,0）（p，π）定义：=-（σP）（πP）+（uP- r） πP+hP（1,0）（P）ln（1- πP）。可以类似地获得与f（0,1）相关的PDE。假设控制约束集A由A给出：=π| aS≤ πS≤ B和aP≤ πP≤ 英国石油公司,其中aS、bS、aP、bP∈ R的选择应确保1- LTπ≥ Afor公司π ∈ A、我们需要解决一个约束优化问题：maxπ∈AG（0,0）（s，p，π）。由于A是紧的，G（0,0）是连续的，因此存在一个满足Kuhn-Tuckeropimality条件的最优解uS- r- （σS）πS- ρσSσPπP-hS（0,0）（s，p）1-πS-LPπP-LShP（0,0）（s，p）1-LSπS-πP+u- u=0uP- r- （σP）πP- ρσSσPπS-LPhS（0,0）（s，p）1-πS-LPπP-hP（0,0）（s，p）1-LSπS-πP+u- u=0（3.4）和互补松弛条件u（πS- aS）=0，u（bS- πS）=0，u（πP- aP）=0，u（bP- πP）=0，（3.5），其中ui≥ 0，i=1，4是拉格朗日乘数。

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2022-6-25 02:06:23

由于π扫描只取区间内[aS，bS]或两个端点中的一个，这同样适用于πP，我们有九种可能的组合。如果两个π和π都是内部点，那么对于i=1，…，ui=0，4自（3.5）。假设存在唯一的解决方案（πS）*（0,0），（πP）*(0,0)（3.4）的，使得（πS）*(0,0)∈ （aS，bS）和（πP）*(0,0)∈ （aP、bP），然后（πS）*（0,0），（πP）*(0,0)是最优控制。我们可以逐一讨论其他案例。例如，if（πS）*（0,0）=aSand（πP）*(0,0)∈ （aP，bP），然后u=u=u=0，从（3.5）和（πP）*（0,0）和u是方程式（3.4）的溶液。如果解不满足（πP）*(0,0)∈ （aP、bP）和u≥ 0，则此情况不可能发生。备注3.1。将Kuhn-Tucker最优性条件应用于G（1,0）（p，π），得到了z=（1，0）as（πS）的显式最优控制*（1,0）=0，（πP）*（1,0）=uP- r+（σP）-q（uP- r- （σP））+4（σP）hP（1,0）（P）2（σP），提供（πP）*(1,0)∈ （aP，bP），否则，（πP）*（1,0）等于aPor bP。备注3.2。Capponi和Frei（2017）得出了对数效用投资者的明确最优交易策略，当这些股票有N支股票和N个CDS时。将伊藤公式应用于对数财富过程和TakingExpection，他们得到了e【ln XT】=ln x+ZTE【αt】dt，（3.6），其中αt：=r+f（(R)x）+Pn∈Izhngn（yn）和'x是维数nz的向量，因此每个分量都是Nzcontrolsπ到stock和Nzcontrolsψ到CDSs的线性组合，以及yn，n∈ Iz的定义类似。为了最大化αtover控制π和ψ，Capponi和Frei（2017）使用了一种巧妙的技巧，即分别最大化f（(R)x）和gn（yn），并推导出一个在π和ψ中包含2Nzequations和2Nzvariables的线性方程组。

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2022-6-25 02:06:26

明确的最优控制来自于方程系统的求解，见卡波尼和弗雷（2017）电子伴侣论文中的方程（B.3）。在Capponi和Frei（2017）中找到显式最优控制的成功关键取决于模型中是否存在相同数量的CDS。当投资组合中没有CDS（如我们的情况）时，分别最大化f（(R)x）和gn（yn）将导致2Nzequations与Nzvariables不兼容的系统。因此，在我们的循环传染模型中，应用Capponi和Frei的技术不可能得到对数效用投资者的闭式最优控制。事实上，将伊藤公式应用于记录财富过程，并在我们的模型中取期望值，我们得到e[lnxt]=lnx+ZTE[eαt]dt，其中eαt：=r+πTtDtθ-πTtDt∑Dtπt+Pj∈Izhjz（s）ln1.-圆周率∈IzLijπit-. 取eαtwith对π的导数将得到与（3.4）中相同的方程组。3.2状态相关和恒定强度的性能比较我们现在进行一些统计分析。使用的数据与基准案例相同：T=1，S=100，P=100，x=100。假设强度函数h由h（x，y）=minnmaxnh（kx+ky）给出-α、 hmo，hmo（3.7），最小强度hm=0.05，最大强度hm=1.0，参数α=1。关于每个股票和默认状态的默认强度函数由hS（0,0）（s，p）=h（s，p），hP（0,0）（s，p）=h（p，s），hS（0,1）（s）=h（s，0），hP（1,0）（p）=h（p，0）给出。请注意，h控制初始强度和权重k，k控制强度h对股价S和p的敏感性。我们设置h=10.0，使初始强度为0.1，k=0.7，k=0.3，这意味着一只股票的默认强度对其自身股价略为敏感。

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2022-6-25 02:06:29

此外，当一只股票违约时，另一只股票的违约强度会上升，这体现了相互作用的违约强度模型的优点，seeBo和Capponi（2013）。图1：股票价格、违约强度和财富的样本路径图1显示了两种不同交易策略下的股票价格、违约强度和最佳财富的样本路径。左侧面板显示S和P的股价路径。在这种情况下，只有股票是默认的。在违约时，股价S降到零，股价P跳下来，然后继续。中间的面板显示了违约强度过程hSz（St，Pt）和hPz（St，Pt），它们是股价St，Pt的函数。股票的强度S在默认情况下变为零，而默认强度hP（0,0）（St，Pt）跳升至hP（1,0）（Pt）。右侧面板显示了当使用的最优控制策略基于S、P依赖强度和恒定强度（值等于0.1）时的财富路径示例。当违约发生时，具有S、P依赖强度和恒定强度的财富路径都会上升，然后两条财富路径以相同的模式移动。与恒定强度相比，S、P依赖的财富路径跳跃更多。这并不奇怪，因为在违约时，强度为h（St，Pt）的策略卖空S和P的股票比强度不变的策略卖空更多，这意味着收益更多，见图2。当然，这是因为在违约时，S和P的默认强度都高于0.1。当违约时的强度hP（St，Pt）大于恒定强度0.1时，就会出现相反的现象。图2：最优控制和终端财富分配。图2显示了与图1中的股票路径和时间T时财富的统计分布相关的最优控制π和π。

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2022-6-25 02:06:32

左面板和中面板分别是投资于股票S和P的财富比例。很明显，随着违约强度的增加，对股票S和P的投资都会减少，而对储蓄账户B的投资也会增加，这在直觉上被认为是一只股票的违约概率会增加，那么人们就会减少对股票S和P的持有，以减少系统确实发生故障时的损失风险。在这种情况下，股票S和P的最佳投资策略都是短期抛售，这是所选参数和违约的组合效应。我们使用依赖于S，P的违约强度h（St，Pt）来模拟股票价格S和P的10000条路径。在所有这些路径中，大约有1/5（确切地说是1752条路径）包含S或P的默认值。终端财富由两种策略产生：一种是基于h（St，Pt）全信息的最优策略，另一种是基于恒定强度0.1的最优策略。右面板显示了这两种策略的最终财富直方图。

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2022-6-25 02:06:35

很明显，它们的分布相似，但在尾部有一些细微的差异，即在S、P依赖强度下，表现过度的概率较高，表现不足的概率较低。这些直方图似乎表明，对于对数效用，S、P相关最优策略和常数策略的总体性能相似，而S、P相关最优策略在极值情况下表现更好。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数所有样本+h（S，P）107.78 22.60 84.08 171.82所有样本+常数h 107.59 19.27 78.60 157.80默认值+h（S，P）134.81 36.04 83.80 225.20默认值+常数h 134.68 21.50 95.29 178.04无默认值+h（S，P）102.17 12.82 84.11 134.68无默认值+常数h 101.96 12.99 78.13 130.48表1：样本平均值、标准偏差和分位数值。表1包含S、P依赖强度和恒定强度0.1的低端（2.3%）和高端（97.7%）的样本均值、样本标准偏差和分位数值。很明显，S，P依赖最优策略的总体样本均值（略）高于恒定强度最优策略，因为前者是真正的最优控制，然而，S，P依赖最优策略的样本标准差也更高，这意味着S，P依赖最优策略可能具有波动性和风险性，而常数最优策略更为保守。然而，如果我们检查分布的分位数（这是一个不同的风险度量），我们会发现，S，P依赖的最优策略总体上产生了较高的2.3%分位数（较少的损失）和较高的97.7%分位数（更多的收益），而S，P依赖的最优策略在极端情况下优于常数策略。

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2022-6-25 02:06:38

请注意，上分位数的表现优于卖空（预计股价非常低时会出现违约）。备注3.3。到目前为止，得出的结论依赖于基准参数值，在这种情况下，两支股票的最优控制在大多数情况下都是卖空。我们在另外两个参数集上重复相同的比较测试（如果没有规定，参数值与基准情况相同）。o参数集1。σS=0.2，σP=0.3，LS=0.1，LP=0.2，ρ=0.4，h=5.0，hm=0.01参数集2。r=0.01，uS=0.15，uP=0.2，LS=0.05，LP=0.1，ρ=0.7，h=5.0，hm=0.01。在大多数情况下，参数集1的策略是卖空股票S和期望股票P，参数集2的策略是期望股票S和P。依赖于S，P的最优策略的总体性能与恒定强度的最优策略非常相似。总体样本均值与S、P依赖的最优策略相比（略）高于恒定强度的最优策略，而与S、P依赖的最优策略相比，样本标准差也更高，这意味着尾部分布的差异，并且S、P依赖的最优策略可能更不稳定。3.3模型参数的稳健检验（3.7）给出了消费强度函数h，并根据该函数生成股票价格S和P。即使知道强度函数的精确形式，也很难精确校准参数。我们对参数k、k、α、hm、hm、h进行了一些稳健测试，即我们比较了两个投资者的最优表现，一个使用基准参数值，另一个使用不正确的估计值。

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2022-6-25 02:06:42

我们仅在每次测试中更改一个参数，而将所有其他参数固定在基准值上。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数基准107.78 22.60 84.08 171.82k=0.5，k=0.5 107.69（-0.09%）22.85（1.10%）83.00（-1.29%）173.82（1.16%）k=0.3，k=0.7 107.69（-0.09%）23.15（2.44%）80.95（-3.73%）174.67（1.66%）α=0.8 111.59（3.53%）53.15（135.20%）53.18（-36.75%）。0.58（52.82%）α=1.2 105.17（-2.42%）、9.43（-58.26%）、84.52（0.53%）、122.93（-28.45%）hm=0.01，hM=1.5 107.77（-0.01%）、22.60（0.01%）、84.08（0.00%）、171.82（0.00%）hM=0.07，hM=0.5 107.76（-0.02%）、22.62（0.07%）、83.91（-0.20%）、171.82（0.00%）、h=5 105.36（-2.25%）、9.52（-57.86%）、85.24（1.39%）、124.36（-27.62%）、h=15 109.76（1.84%）、37.64（66.55%）、70.59（-16.04%）、221.49（28.91%）。表2：强度参数稳定2的稳健测试表明，样本均值在广泛的模型参数范围内基本相同。主要差异是样本标准偏差。基准值的百分比变化列于附件中。状态相关强度策略的性能对某些参数（包括权重k、k、最小强度水平hM和最大强度水平hM）具有鲁棒性。这些参数的变化不会显著改变样本标准偏差和低端和高端的分位数值。另一方面，对参数α和hto进行正确估计似乎很重要，以避免标准偏差发生较大变化。这些参数对估计的强度水平有很大影响。例如，如果一个人高估了初始默认强度（h=15，而不是正确值h=10），那么样本标准偏差会大大增加，在低端分位数值处会有很大损失。接下来，我们进行一些稳健测试，以查看模型参数变化对最优终端财富分布的影响，包括漂移u、波动率σ、相关性ρ和损失百分比LS。

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2022-6-25 02:06:45

我们将漂移和波动率参数更改为基准值的20%，并将相关性和损失百分比参数更改为一些较大的偏差。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数本分位数107.78 22.60 84.08 171.82uS=0.12 107.05（-0.68%）、17.54（-22.39%）、91.98（9.39%）、158.13（-7.97%）、uS=0.08 108.55（0.71%）、28.35（25.44%）、75.99（-9.62%）、187.88（9.35%）uP=0.18 107.53（-0.23%）、21.78（-3.61%）、80.93（-3.75%）、165.05（-3.94%）uP=0.18 107.53 0.12 108.08（0.28%）、25.58（13.17%）、83.68（0.48%）、182.54（6.24%）σS=0.36 107.28（0.46%）、18.87（16.49%）88.04（4.71%）、161.89（5.78%）、σS=0.24 108.47（0.64%）、27.88（23.37%）、78.37（6.79%）、188.35（9.62%）、σP=0.48 107.74（0.04%）、21.94（2.92%）、84.12（0.04%）、169.01（1.63%）、σP=0.32 107.86（0.07%）、23.56（4.24%）、83.84（0.29%）、175.82（2.33%）ρ=-0.3 108.21（0.40%）、25.50（12.83%）、83.45（0.75%）、183.56（6.83%）、ρ=0.3 107.57（0.20%）、21.83（3.39%）、82.74（1.59%）、167.26（2.65%）、LS=0.1 107.49（0.26%）、20.49（9.33%）、87.32（3.85%）、166.49（3.10%）、LS=0.4 108.24（0.43%）、26.45（17.05%）、77.52（7.80%）、181.95（5.90%）LP=0.15 107.70（-0.07%）、21.94（-2.91%）、83.26（-0.97%）、169.43（-1.39%）、LP=0.6 107.88（-0.10%）、23.90（5.74%）、84.69（0.73%）177.53（3.32%）表3：模型参数稳健检验表3列出了参数变化对分布敏感性的统计结果。很明显，所有参数的样本均值基本相同，但样本标准差对漂移、波动性、相关性和损失百分比的变化很敏感，这将显著影响最优终端财富的总体分布。这需要对这些参数进行良好的估计，以获得正确的分布。众所周知，很容易估计波动性，但很难估计漂移（见Rogers（2013）），损失百分比信息很少可用。

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2022-6-25 02:06:48

由于最优交易策略和最优财富分布受到这些参数的极大影响，这些参数很难正确估计，因此在使用状态依赖强度来建模和解决最优投资问题时需要谨慎。使用次优但保守且稳健的交易策略，而不是基于不可观测参数和强度的最优策略，可能更明智，风险更低。3.4不同初始股价稳定1的绩效比较表明，无论使用强度hiz（s，p）还是恒定强度0.1作为近似值，最终财富的总体分布都是相似的。这可能是因为S和Pare的初始价格均为100，这导致初始强度hiz（S，p）等于恒定强度。值0.1来自仅依赖历史数据的校准，而h（s，p）是一个前瞻性函数，取决于未来股价。表1表示校准窗口中的默认概率接近投资窗口中的默认概率的正常情况。然而，如果初始强度hiz（s，p）与校准窗口估计值中的0.1有很大差异（例如，校准窗口刚好在金融危机之前，而投资开始于金融危机时期），则最终财富的分布可能会有显著差异。我们用一个数值例子来说明这一点。为了简单起见，让强度函数由hiz（s，p）=20/（s+p）给出。这意味着在P默认值之后，S的默认强度从20/（St+Pt）跳到20/S。S违约的情况也是如此。

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2022-6-25 02:06:51

假设S和P的初始价格分别为S=10，P=10，则初始强度为hS（0,0）（S，P）=hP（0,0）（S，P）=1，这使得股票违约的可能性比恒定强度h=0.1（从校准窗口）建议的可能性高十倍。这将导致人们采取不同的控制策略（当n=10，p=10时，卖空更多），并将对下表所示的终端财富分布产生重大影响。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数所有样本和h（S，P；S=10，P=10）179.74 63.21 58.63 316.08所有样本和h≡ 0.1 66.26 22.87 44.62 138.28违约与健康（S，P；S=10，P=10）195.90 52.78 99.20 318.65违约与健康≡ 0.1 57.70 7.16 44.23 73.82无违约&高（S，P；S=10，P=10）88.18 31.46 50.36 172.72无违约&高≡ 0.1 114.78 20.69 78.99 157.11表4：样本统计。数据：x=100，S=10，P=10，T=1表4显示了终端财富的统计数据，其中10000个模拟场景产生了8542个默认场景，反映了高初始违约强度hiz（S，P）=1。当股价很低时，可违约的股票很可能违约。在S，P依赖强度的情况下，最优控制是卖空更多的股票，这会导致平均值（195.90）比恒定强度的平均值（57.70）大得多H≡ 0.1如果股票S或P确实违约（预期）。然而，如果股票没有违约（非预期），则会出现相反的结果。这一数值测试表明，依赖于S，P的控制策略可能会优于或低于S，P独立的控制策略，这取决于预期的市场事件（股票违约）是否发生。备注3.4。我们对备注3.3中定义的其他两个参数集重复相同的测试。

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2022-6-25 02:06:55

数值结果显示出与表4中相似的模式，因此本节得出的结论是可靠的。3.5功率利用率的数值方法对于功率利用率U（x）=（1/γ）xγ，0<γ<1，默认后的情况是众所周知的，最优控制πS=（uS- r） /（（σS）（1- γ））和πP=0）以及后默认值函数v（t，x）=（1/γ）xγg（t），其中g（t）=表达式γ+γ2（1- γ)uS- rσS!（T- t）！。我们推测预设值函数的形式为w（t，x，s，p）=xγγf（t，s，p）。（3.8）将（3.8）代入（2.3），我们得到f的半线性PDE：-ft型-Tr公司σσT（s，p）Df- supπ∈A.bT（s，p，π）Df- β（s，p，π）f+g（t，s，p，π）= 0，（3.9），终端条件f（T，s，p）=1，其中b（s，p，π）：=uS+γmTπσSsuP+γnTπσPp, Df：=fsfp, σ（s，p）：=σSs 0ρσPpp1- ρσPp！，Df：=fssfspfspfpp,和β（s，p，π）：=-rγ+h（s，p）- γθTπ+（γ- 1） πT∑π,g（t，s，p，π）：=h（s，p）g（t）（1- LTπ）γ。方程（3.9）是一个具有两个状态变量的非线性偏微分方程，如果不是不可能的话，也不太可能找到闭合形式的解f。然而，根据Pham（2009）（备注3.4.2），方程（3.9）是以下最优控制问题的值函数v的HJB方程：v（t，y）=supπ∈AE“ZTtΓ（t，u）g（u，Yu，πu）du+Γ（t，t）Yt=y#，（3.10），其中Yu：=（Su，Pu）T，T≤ u≤ T是一个受控的马尔可夫状态过程，满足以下SDE：dYu=b（Yu，πu）du+σ（Yu）dWu，T≤ u≤ T、（3.11）初始条件Yt=y：=（s，p）T，W是二维标准布朗运动，且Γ（T，u）：=exp-Rutβ（Yl，πl）dl是一个折扣系数。根据我们的理论结果，我们认为值函数v（t，y）是HJBequation（3.9）的唯一粘度解。此外，如果HJB方程（3.9）有一个经典解，那么它就是值函数v（t，y）。换句话说，我们可以通过解一个随机最优控制问题（3.10）来找到方程（3.9）的解f（t，s，p）。

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2022-6-25 02:06:58

由于SDE（3.11）的扩散系数不包含控制变量π，我们可以使用Kushner和Dupuis（2001）的数值方法来找到（3.10）中的最优值函数，这将为我们提供方程（3.9）的解f（t，s，p）的数值近似值。接下来我们给出一些细节。根据Kushner和Dupius（2001），过程Y可以用马尔可夫链过程来近似，马尔可夫链过程将时间t的一个点Yt=（s，p）转换为九个点Yt中的一个+t在时间t+t、即，（s，p），（s±δ，p），（s，p±δ），（s+δ，p±δ），（s- δ、 p±δ），具有以下跃迁概率：aδ，t（（s，p），（s，p）|π）：=1-tδ（| b |+| b |）-tδ（σSs）+（σPp）- |ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s±δ，p）|π）：=tδb±+t2δ（σSs）-t2δ|ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s，p±δ）|π）：=tδb±+t2δ（σPp）-t2δ|ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s+δ，p±δ）|π）：=t2δρ±σSσPspaδ，t（（s，p），（s- δ、 p δ) | π) :=t2Δρ±σSσPsp，其中δ是空间的步长，t：=（t- t） /N是带N的时间步长≥ 1一个整数，b：=（uS+γmTπσS）S，b：=（uP+γnTπσP）P和x+：=max{x，0}，x-:= 最大值{-x、 0}。数值格式基于以下离散化动态规划原理：v（kt、 Sk公司t、主键t）≈ supπk∈A.g（kt、 Sk公司t、主键t、 πk）t+经验-β（SNk、PNk、πk）t型Ev（k+1）t、 SNk+1，PNk+1对于k=N-1.1，0，其中πkis是分段常数控制，期望值是利用上述马尔可夫链转移概率计算的。终端条件由v（N）给出t、序号t、 PN编号t） =1。我们比较了在电力设施设置下的被动投资和主动投资。power utility案例中使用的大多数参数值与log utility benchmark案例相同，除了空间步长δ=5，时间步长t=0.1，控制参数集为aS=aP=-1.0，bS=bP=1.0。

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