因此，对于横截面回归的常见实现，更精确的“非参数对应物”是第3.1节方程式（7）中引入的可加分离模型。加性可分性假设将有助于改善“维度诅咒”；事实上，可以表明，在该模型中，速率限制J log（max（J，T））/n→ 0和nT/J→ 0（即，当d=1时的假设3）有助于确保估计量的一致性和共正态性，基于d≥ 1特点。5均方展开式和实践指南随着投资组合排序估计器的一阶理论性质的建立，我们现在开始讨论实施问题。其中最主要的是投资组合数量的选择：根据方程式（5）中定义的估计量，从业者剩下的就是选择jt。前两部分的结果强调了JT选项在获得有效推理中所起的关键作用。相比之下，Jtin实证研究的选择非常随意，几乎总是设置为5或10个投资组合。在这里，我们将提供简单的数据驱动规则来指导参数数量的选择。为了有助于这一点，我们将考虑投资组合估值器的均方误差扩展，特别着眼于测试感兴趣的中心假设：H：u（zH）- u（zL）=0，作为构建插件最佳选择的起点。本节的主要结果是投资组合排序估值器均方误差的以下特征。为了简化计算，本节假设分位数已知（而不是在每个横截面中进行估计）。

这种简化只影响MSE扩展中高阶项的常数，但不影响相应的速率（有关相关示例和更多讨论，请参见Calonico、Cattaneo和Titiunik（2015））。回想一下，n和J分别代表{nt}和{Jt}的共同增长率。定理3。假设假设1、2和3成立，zare的边际分位数已知。那么，呃^u（zH）- ^u（zL）-u（zH）- u（zL）Z、 X，F，FTi=V（1）JdnT+V（2）J2dnT+BJ+CJ3d/2n3/2T3/2+OPnT公司+ oP公司J-2+J2dnT,其中Z=（Z，…，znTT），X=（X，…，xnTT）和B=PTt=1Bt（zH）-PTt=1Bt（zL）和V（`）=PTt=1V（`）t（zL）+PTt=1V（`）t（zH），`∈ {1，2}和Bt（z）、V（1）t（z）、V（2）t（z）和C在补充附录中定义。术语C（有条件地）平均为零，1阶/（nT）的术语捕捉到了pn/TPTt=1（βt）的极限可变性-βt），且不依赖于J。在定理3中的条件下，并在时间序列结构上施加适当的正则性条件（例如，混合条件），可以证明'B=plimn，t→∞B、 \'V（1）=plimn，T→∞V（1），\'V（2）=plimn，T→∞V（2），其中‘B’、‘V（1）和‘V（2）是非随机和非零量。然而，在本文中，我们仍然不知道发生概率收敛的特定正则条件，因为我们的方法不依赖它们。为了获得投资组合数量的最佳选择，请注意，扩展的第一个方差项将与定理1的一阶渐近方差相匹配，这建议选择J来共同最小化扩展的下两个项：偏差和高阶方差（该逻辑的另一个应用见Cattaneo、Crump和Jansson（2010））。这种方法在推理目标意义上是最优的，因为它最小化了定理1中近似值未考虑的两个引导项。

用于测试H：u（zH）- u（zL）=0我们找到了最佳投资组合数量？t型=$“Bd”V（2）ntT公司2d+2%，（10），其中b·c是表达式的整数部分。在所有期间强制执行相同数量的投资组合的一个简单选择是在该表达式中简单地将ntn替换为n。这是为了验证J？tsatis fies假设3：对于T，所需条件仍然是Bd<2 nB，限制排序特征的数量和/或允许的时间序列长度（见假设3的讨论）。为了获得J的直觉？t、 考虑一个单变量同构线性模型的简单情况：u（z）=bz，σit=σ。然后是B∝ |b |和V∝ σ、 因此，更陡的线（更大的| b |）需要更多的投资组合，而更多的特殊噪音（更大的σ）需要更少的投资组合。为了使这一选择切实可行，我们可以选择J来最小化MSE扩展基本方程（10）的样本版本，[MSE^u（zH）- ^u（zL）；J=^V（2）J2dnT+^BJ（11），其中估值器^V（2）和^B本身是J的函数。因此，在J值的网格上搜索并根据方程（11）中表达式的最小值进行选择是很简单的（更多细节请参见补充附录）。或者，如果我们有V（2）和B的初步估计，那么我们可以直接利用公式不等式（10）来获得每个Jt的选择。备注7（欠平滑）。在半参数和非参数分析中，通常的做法是通过对均方误差最优选择进行平滑处理来选择调谐参数。从理论上讲，这是可行的，但它必然是临时的；更多讨论请参见Calonico、Cattaneo和Farrell（2018、2019）。

相比之下，选择J？tof方程（10）的优点是在客观意义上是最优的，并且适合进行推理。J的可能替代品？通过平衡选择J\'\'B针对V（1）；然而，这将导致选择Jt∝ （ntT）d+1与J相比，哪一个会导致选择更多的投资组合？t。备注8（参数化组件）。J的另一个优势？这是d的≤ 2（经验应用中最常见的情况）对参数分量的推断对于J的选择也是有效的。可以表明，对于任何实数、非零向量a∈ Rdx，TPTt=1a（βt- βt）qTPTt=1（a（^βt- βt））→dN（0，1）（12）在这种情况下，Fama和MacBeth（1973）方差估计器相对于“插件”替代方案的一个优点是，可以在不必非参数估计给定z的x的条件期望的情况下进行关于ptt=1βt的推断。备注9（构造因素）。当目标是点估计而不是推断时，也可以使用定理3。使用前导方差项和偏差，我们得到j？？t型=$“Bd”V（1）（ntT）d+2%，这在常数上是不同的，但更重要的是发散率也不同：例如，当d=1时，则J？？t型∝ n1/3tT1/3而J？t型∝ n1/2tT1/4。在横截面样本量远大于时间周期数的应用中，J？？t=o（J？t），即在构建因素时，投资组合的最佳数量比在推断预期回报是否与特征显著相关时小。非正式地说，这已在经验文献中得到承认，因为用于构建因素的投资组合数量相对较少（如Fama和French（1993））。

正如补编中所讨论的，J？？tcan按照（11）中的步骤构建，将^V（2）J2d/（nT）替换为^V（1）Jd/（nT）。6实证应用在本节中，我们回顾了文献中考虑的一些显著的股权异常变量，并证明了前几节理论讨论的实证相关性。我们重点关注大小异常（如Banz，1981；Reinganum，1981）和动量异常（如Jegadeesh和Titman，1993）。6.1数据和变量结构我们使用证券价格研究中心（CRSP）1926年1月至2015年12月的月度数据。我们将这些数据限制在纽约证券交易所（NYSE）、美国证券交易所（AMEX）或纳斯达克上市的公司，并仅使用普通股回报率（即CRSP股票代码10或11）。为了处理退市申报，我们遵循Bali、Engle和Murray（2016）中描述的程序。当形成市场权益时，我们在收盘价不可用时使用报价，并且在0股流通股的情况下，我们将忽略所有观察结果。在形成动量变量时，我们遵循12个月前的累积回报率定义动量的流行惯例（即t-12） 直到当月前一个月（即t-2). 一个月的间隔是为了避免将动量异常变量与短期反转异常混淆（Jegadeesh，1990；Lehmann，1990）。如果在此期间缺少任何月度回报，我们将设置为缺少此变量。我们还构建了一个行业动量变量。为此，我们使用Ken French数据库中使用的38个行业组合的定义，这些定义基于四位数的SIC代码。

为了构建行业动量变量，我们对行业内每个企业的动量变量进行了价值加权平均。我们使用13个月的滞后市值来形成权重，使其不受任何后续价格变化的影响。我们实现了第3节中介绍的估计器，如下所示。因为基础数据是每月的，所以投资组合总是形成的，然后在每个月底重新平衡。所有投资组合，包括基于标准实施方法的投资组合，均使用滞后市场股票进行价值加权。由于我们在本节中的目标是推理，因此我们根据使方程（11）中所述的高阶均方误差准则最小化的投资组合数量来实现估值器。最后，必须充分描述这些数据的性质。特别是，股权回报数据在我们的样本期内代表了一个高度不平衡的面板。在样本开始时，CRSP范围包括约500家公司，在20世纪90年代末增加到8000家，目前约为4000家。此外，1962年和1972年的横截面样本量大幅增加，反映出样本中增加了在美国运通和纳斯达克上市的公司（参见补充附录中的图）。即使是纽约证交所上市公司的子公司，这个小组仍然高度不平衡。在样本开始时，大约有500家公司，之后上升到大约2000家的高位，目前略低于1500家。6.2规模异常我们首先考虑规模异常，即规模较小的公司获得的回报高于规模较大的公司的平均回报。为了调查规模异常，我们使用市值作为衡量公司规模的指标。因此，根据第3节的符号，我们得到了Rit=u（mei（t-1） ）+εit，i=1，nt，t=1，T

（13） 这里，meit表示企业i在t时的市场权益，转换方式如下：（i）取企业i在t时的市场权益的自然对数；（ii）每个横截面t=1，T，市场权益的自然对数通过横截面标准差的倒数（即，应用zscore）进行降级和归一化。根据假设1（c），后一种转换是必要的，并确保企业规模的衡量随着时间的推移具有可比性。图3提供了回报与公司规模之间关系的估计值。左列显示估计值{u（z）：z∈ Z} ，基于方程式（5），而右栏绘制了根据文献中当前使用的传统方法形成的十个投资组合中每个投资组合的平均回报。标准方法的投资组合断点通常使用纽约证券交易所上市公司子样本的十分位或基于整个样本的十分位进行选择。在这里，我们选择基于后者的十分位数，因为它们确保了估值器之间更好的兼容性。为确保可比性，将两个估计值放在同一个量表上。从图中可以清楚地看出，传统方法会在平均回报和规模之间产生衰减回报差异。这样做的一个重要原因是，无论横截面样本大小如何变化，标准方法都依赖于相同数量的投资组合。正如我们在第3节和第4节中所示，投资组合数量的选择必须是数据驱动的，并遵守适当的利率条件，以便提供有效的推断。标准方法往往会产生对回报差异的有偏估计，并会损害识别数据中显著差异的能力。

任何不平衡的小组都会出现这一问题，但这些数据的高度不平衡性加剧了这一问题，因为公司数量一直呈明显的加班趋势。估计值{u（z）：z∈ Z} 图3显示了三个不同的子样本，即1926-2015、1967-2015和1980-2015。在三个子周期内，收益和规模之间的估计形状通常非常相似，具有相对的浮动关系，但小型企业除外，因为小型企业的平均收益随着规模的减小而急剧单调上升。最小公司的峰值平均回报率似乎随着时间的推移而上升，在整个样本中约为5%，在1967-2015年的样本中为5.5%，在1980-2015年的样本中略高于6%。表1显示了与图3中的图相对应的相关点估计和测试统计数据。我们显示了许多不同的成对选择（zh，zL）的结果，即（Φ-1(.975), Φ-1(.025)), (Φ-1(.95), Φ-1（.05）），和（Φ-1(.9), Φ-1（.1）），其中Φ（·）是标准正态随机变量的CDF，如图3中的垂直线所示。该表还显示了使用十个投资组合的传统方法的点估计和相应的测试统计数据。在所有三个子阶段，在两个最极端的评估点上评估的功能之间的差异（Φ-1(.975), Φ-1（0.025）），与规模对回报率的统计显著影响密切相关。即使在最短的子样本（1980–2015年）中，t统计也是-5.46. 当评估点向内移动到（Φ）时也是如此-1(.95), Φ-1(.05)). 如图3所示，这一结果是由非常小的公司驱动的。然而，传统的估计员认为，在过去35年左右的时间里，规模效应在统计学上不再与零区分开来。

相反，“较大”的小企业在最后一个子样本中不再产生更高的回报。这种模式可以在最里面的一组评估点中看到，（zH，zL）=（Φ-1(.9), Φ-1（0.1）），其中尺寸效应估计可以逆转，尽管在统计上与零没有区别。为了进一步调查表1的结果，我们仅使用图4中纽约证券交易所上市的公司，重新考虑了回报与公司规模之间关系的估计。在这种情况下，与最近的子样本相比，全样本中估计的关系的形状发生了显著变化。在全样本中，估计的关系似乎与图3中三个图表所示的形状非常相似——从较小的公司到较大的公司呈急剧下降趋势。然而，在1967-2015年和1980-2015年的样本中，估计形状明显朝着倒置的“U”形变化。重要的是要强调，标准方法意味着该样本公司的回报率和规模之间关系的形状和模式非常不同，尤其是1967-2015年和1980-2015年的样本。图5的左面板显示了基于方程式（11）选择的尺寸异常样本中最佳portfoliosin数量的时间序列图，使用了我们三个子周期的数据，并基于zH=Φ-1（.975），zL=Φ-1(.025). 值得注意的是，最佳的投资组合数量远远大于标准的十种选择。相反，最大横截面的最佳选择约为250，最小横截面的最佳选择约为50。此外，在所有三个样本中，最优投资组合数量存在显著差异，再次反映了这些数据中横截面样本大小的巨大差异。图表还显示了仅纽约证券交易所样本中的最佳投资组合数量。

在这一限制性样本中，横截面样本量较低，其他条件相同时，这将减少投资组合数量的最佳选择。然而，在仅纽约证券交易所的样本中，偏差-方差交易效应也会发生变化，因此，受限样本对于最佳投资组合数量的价值并不总是较小的。在1980-2015年的样本中，投资组合的最佳选择比使用所有股票的情况略大（处于峰值），这进一步说明，投资组合数量的适当选择将受到所用数据特性的强烈影响。6.3动量异常我们接下来考虑动量异常，即过去相对回报较好的公司平均相对回报也较高。如第3节所述，我们抽样假设的普遍性意味着我们的结果适用于异常情况，如动量，其中滞后回报进入未知的利益函数。Speci ficallyrit=u（momit）+εit，i=1，nt，t=1，T、 （14）这里，momit表示在时间T时，企业i的12-2动量度量，转换方式如下：在每个横截面，T=1，T，12-2动量通过横截面标准偏差的倒数进行减量和归一化（即，应用zscore）。与大小异常的情况不同，无需进行转换即可满足假设1（c）。我们选择以这种方式对每个横截面进行规范化，因为它是动量异常的标准投资组合排序方法的自然对应物。此外，直接基于12-2动量的结果是相似的。图6显示了收益和动量之间关系的估计。甚至比大小异常的情况更为如此，我们观察到{u（z）：z∈ Z} 在子样本中非常相似。

这种关系似乎与过去的“赢家”（即动量值高达12-2的赢家）呈凹形，平均回报率约为2%。另一方面，投资于过去的“失败者”（即动量值为12-2的失败者）的策略导致了后面的子样本中的损失增加。估计关系的最低点大约出现在-全样本中的0.8%，略低于1967–2015年子样本中的0.8%，以及-1980-2015年的子样本为1.5%。这表明，近年来，购买利差投资组合的空头部分似乎变得更加有利。这一结论对于排除金融危机及其后果是有力的。图6的右栏显示，使用传统的估计器无法收集到这种见解。此外，传统估计表明，收益率和动量之间存在近似线性关系，赢家和输家的平均回报率之间存在明显的压缩差异。这强调了我们更一般的方法是如何得出关于底层数据生成过程的托里彻结论的。表1的底部面板显示了动量异常的相应点估计和测试统计数据。结果有力地证实了动量是一种稳健的异常现象。在所有三对评估点和三个不同的样本中，差异在统计学上非常显著（最后一列）。分别关注u（zH）和u（zL），我们发现，在我们的所有规范中，点估计值分别为正和负。事实上，在后一个样本中，以u（zL）表示的价差交易的短端似乎变得更强（另请参见图6），产生的统计数据在1980-2015年样本中具有最大的幅度，当在其中一个（Φ-1(.975), Φ-1（.025））或（Φ-1(.95), Φ-1(.05)).

相比之下，传统的实施方法发现，在任何子样本中，交易的空头部分都不显著，并且仅在-1980–2015年样本为0.36。到目前为止，横断面回归是投资组合排序最常用的经验替代方法（见备注1和备注6中的讨论）。可以说，对实证研究者来说，横截面回归最吸引人的特点是能够包含大量的控制变量。鉴于我们已将这两种方法结合在一个统一的框架中，很自然会考虑一个例子。在这里，我们将考虑回报和动量之间的非参数关系，同时控制行业动量。这种经验主义的精神与莫斯科维茨和格林布拉特（1999）相似。然后，模型变为，Rit=u（momit）+β·Immit+β·Immit+β·Immit+εit，（15），其中Immit是时间t时企业i的行业动量。我们还包括行业动量的平方和立方，作为一种灵活的方式，以允许此控制中的非线性。图7显示了回报和动量之间关系的估计值，如等式（15）所示（实线）。作为参考，左列中的曲线图还包括{u（z）：z∈ Z} （虚线虚线）没有控制变量（即，基于方程式（14）），对于每个时间t的投资组合数量的相同选择。为了提高可比性，没有控制变量的估计函数使用与控制变量相同的{Jt:t=1…t}序列。因此，该估计函数与图6所示不同。对于较大的12-2动量值，两个估计函数之间的差异倾向于更大，最多占全样本动量回报的约0.5%。

在最近的两个次样本中，差异较小，但在经济上有意义。也就是说，通过对IndustryMontum的控制，回报率和股票动量之间关系的大致形状保持不变。这表明，对于这种规格选择，单个企业的动量通常不同于行业内的动量（Moskowitz和Grinblatt，1999；Grundy和Martin，2001）。表1的底部面板在标有“w/controls”的行中提供了基于方程式（15）的点估计和相关测试统计数据。首先，很明显，产业动量的加入确实对推断有明显的影响。一般来说，高评估点、低评估点和差异的t统计量的大小接近于零。对于高评估点和差异而言，这是一致的，并且在所有情况下，都会导致相关p值大幅增加的t统计。也就是说，对于所有子样本，高评估点和低评估点的差异导致5%水平的回归差异具有统计学意义。本练习说明了我们的统一框架的有用性，因为它允许以简单明了的方式增加控制变量。最后，图5的右面板显示了动量异常样本中最佳投资组合数的时间序列图。正如规模异常的情况一样，投资组合的最佳数量远高于10个。然而，许多规范导致最多约55个投资组合。一般来说，这比大小异常要小得多。图表还显示了在控制行业势头时，不同时期的最佳投资组合数量。它们比左列中对应的行大得多。

直观地说，控制的加入吸收了一些以前仅用12-2动量解释的反转变化。这种较低的方差导致J的选择较高（见方程式（10））。这个例子清楚地表明，投资组合数量的适当选择反映了数据的一系列不同特征，如横截面样本大小、时间序列观察数量、关系形状和创新的可变性。7结论本文开发了一个基于评估和差异的投资组合排序形式化框架。尽管在实证金融领域使用了数十年，但投资组合排序几乎没有得到正式的处理。通过将投资组合排序形式化为非参数过程，本文迈出了发展这一广泛使用的技术的计量经济学特性的第一步。我们已经发展了一阶渐近理论以及基于均方误差的投资组合数量最优选择，处理了最常见的应用，测试了基于经验分位数的高回报与低回报。我们已经表明，投资组合数量的选择对于从数据中得出准确结论至关重要，在标准的实证金融应用中，投资组合数量应随时间而变化，并受数据和其他方面的指导。我们就如何实施这一选择提供了实际指导。此外，我们还表明，一旦以适当的、数据驱动的方式选择了投资组合的数量，基于“Fama-MacBeth”方差估计量的推断是渐近有效的。实证金融文献中的一个关键挑战是在多特征环境中进行排序，其中特征的数量很快会受到空投资组合的限制。相反，研究人员往往求助于横截面回归，从而强加了一个约束性参数假设。

在这里，我们弥补了这两种方法之间的差距，提出了一种新的投资组合排序估计器，该估计器允许线性条件变量。我们通过回顾文献中发现的两个显著的股票收益率异常，即规模异常和动量异常，证明了我们理论结果的经验相关性。我们发现，收益与规模之间的估计关系是单调递减和凸的，在规模变量的极值处评估的函数之间存在显著的收益差异。然而，统计意义是由非常小的公司产生的，一旦从样本中删除最小的公司，结果就不再可靠。我们还发现，回报与过去回报之间的估计关系似乎是单调递增和凹形的，具有显著和稳健的回报差异。我们发现，动量价差交易的“空头”部分在随后的子阶段变得更加有利。在这两种理论应用中，投资组合的最佳数量随时间变化很大，远远大于经验金融文献中常用的十个标准选择。8参考Adrian，T.、Crump，R.K.和Moench，E.（2015），“基于回归的动态资产定价模型估计”，《金融经济学杂志》，第118211–244页。Andrews，D.W.K.（2005），“常见冲击的横截面回归”，计量经济学，731551–1585。Ang，A.、Liu，J.和Schwarz，K.（2018），“在因子模型测试中使用股票或投资组合”，《金融和定量分析杂志》（即将出版）。Bali，T.G.、Engle，R.F.和Murray，S.（2016），《经验资产定价：股票回报的横截面》，新泽西州霍博肯：John Wiley&Sons，股份有限公司Banz，R.W。

（1981），“普通股回报与市值之间的关系”，《金融经济学杂志》，第9期，第3-18页。Basu，S.（1977），“与市盈率相关的普通股投资绩效：对有效市场假说的检验”，《金融杂志》，32663-682。Berk，J.B.（2000），“分类”，金融杂志，55407-427。Calonico，S.、Cattaneo，M.D.和Farrell，M.H.（2018），“非参数推理中偏差估计对平均准确性的影响”，《美国统计协会杂志》，113，767–779。（2019），“局部多项式回归的覆盖误差最优置信区间”，arXiv:1808.01398。Calonico，S.、Cattaneo，M.D.和Titiunik，R.（2015），“最优数据驱动回归不连续图”，《美国统计协会杂志》，1101753-1769。Cattaneo，M.D.、Crump，R.K.、Farrell，M.H.和Feng，Y.（2019），“关于Binscatter”，arXiv:1902.09608。Cattaneo，M.D.、Crump，R.K.和Jansson，M.（2010），“密度加权平均导数的稳健数据驱动推断”，《美国统计协会杂志》，1051070–1083。Cattaneo，M.D.和Farrell，M.H.（2013），“最优收敛速度、Bahadur表示和分割估计量的渐近正态性”，《计量经济学杂志》，174127-143。Cattaneo，M.D.、Farrell，M.H.和Feng，Y.（2018），“基于划分的序列估计量的大样本性质”，《统计年鉴》（即将出版）。Cochrane，J.H.（2011），“贴现率”，《金融杂志》，661047-1108。Connor，G.、Hagmann，M.和Linton，O.（2012），“AMA-French模型和扩展的有效半参数估计”，计量经济学，80713-754。Conrad，J.S.、Cooper，M.J.和Kaul，G.（2003），“价值与魅力”，《金融杂志》，第58期，1969-1996年。De Bondt，W.F.M.和Thaler，R。

（1985），“股市是否反应过度？”《金融杂志》，40793-805。Fama，E.F.和French，K.R.（1992），“预期股票回报的横截面”，《金融杂志》，47427-465。（1993），“股票和债券回报中的常见风险因素”，《金融经济学杂志》，33，3–56。（2008），“剖析异常”，《金融杂志》，631653-1678。Fama，E.F.和MacBeth，J.D.（1973），“风险、回报和均衡：实证检验”，《政治经济学杂志》，81607-636。Gospodinov，N.、Kan，R.和Robotti，C.（2017），“降阶资产定价模型中的虚假推理”，《计量经济学》，第85期，第1613-1628页。Goyal，A.（2012），“经验横截面资产定价：调查”，金融市场与投资组合管理，26，3–38。Grundy，B.D.和Martin，J.S.（2001），“理解动量投资的风险性质和回报来源”，《金融研究评论》，第14、29–78页。Hong，H.、Lim，T.和Stein，J.C.（2000），“坏消息传播缓慢：规模、分析师报道和动量策略的可行性”，《金融杂志》，55265–295。Ibragimov，R.和M¨uller，U.K.（2010），“基于t统计的相关性和异质性稳健性”，《商业和经济统计杂志》，28453-468。（2016），“几乎没有异质集群的推断”，《经济学和统计学评论》，98，83–96。Jegadeesh，N.（1990），“证券收益可预测行为的证据”，《金融杂志》，45881-898。Jegadeesh，N.和Titman，S.（1993），“买入赢家和卖出输家的回报：对股市效率的影响”，《金融杂志》，48，65–92。（2001），“动量策略的可行性：替代解释的评估”，《金融杂志》，56699-720。Kleibergen，F.和Zhan，Z.（2015），“未解释因素及其对二次通过Rsquared的影响”，《计量经济学杂志》，189101-116。莱曼，B.N。

（1990），“时尚、鞅和市场效率”，《经济学季刊》，105，1-28。Lewellen，J.、Nagel，S.和Shanken，J.（2010），“资产定价测试的怀疑评估”，《金融经济学杂志》，96175-194。Lo，A.W.和MacKinlay，A.C.（1990），“金融资产定价模型测试中的数据窥探偏差”，《金融研究评论》，3431–467。Moskowitz，T.J.和Grinblatt，M.（1999），“工业能解释动量吗？”《金融杂志》，541249-1290。Nagel，S.（2005），“卖空、机构投资者和股票回报的横截面”，《金融经济学杂志》，78277-309。Nagel，S.和Singleton，K.J.（2011），“条件资产定价模型的估计和评估”，《金融杂志》，66873-909。Patton，A.J.和Timmermann，A.（2010），“资产回报的单调性：应用于期限结构、CAPM和投资组合分类的新测试”，《金融经济学杂志》，98605-625。Reinganum，M.R.（1981），“资产定价的错误说明：基于收益率和市场价值的经验异常”，《金融经济学杂志》，9，19–46。Romano，J.P.和Wolf，M.（2013），“预期资产回报的单调性测试”，《经验金融杂志》，23，93–116。Shanken，J.和Zhou，G.（2007），“估计和测试贝塔定价模型：替代方法及其模拟性能”，《金融经济学杂志》，84，40–86。Stattman，D.（1980），“账面价值和股票回报”，《芝加哥MBA：精选论文杂志》，4，25–45。图1：介绍性示例此图显示了真实函数（虚线）和估计函数（实线）。左侧面板显示n=500个数据点（灰点），中间面板显示每个时间段的估计函数（浅灰色线）。

选择断点作为z的估计分位数，其中z~ β（1，1）/z~ 奇偶时间段的Beta（1.2，1.2）。J=4，T=10 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82J=4，T=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.811.21.41.61.82J=4，T=500 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.82J=10，T=10 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.61.82J=10，T=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82J=10，T=500 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82图2：动量异常示例该图显示了股票收益与12-2动量之间的估计关系。左栏用J？表示^u（z）？t；右栏显示了使用J=10的标准实现的估计关系。所有收益均为月度变化，所有投资组合的价值均基于滞后的市场权益进行加权。样本期为1927年至2015年。^u（z）与最佳J-5 0 5-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02标准实施，J=100 2 4 6 8 10-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02表1：经验结果该表报告了使用J？t、 标准估计器是指J=10的标准实现。使用方差估计量的^vfm形成检验统计量。