使用我们的符号（5），我们可以重新写入买入价格（3）a s：C=F√2π∞Zz公司-k（ek-z+y-1） ze公司-y2zdy（8）让我们介绍Mellin-Barnes在（8）中对热核的表示（见附录（74）和[9，7]或任何关于积分变换的专著）：ze-y2z=zc+i∞Zc公司-我∞Γ（t）y2z-tdt2iπ（c>0）（9）因此我们有：c=F√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）∞Zz公司-k（ek-z+y-1） y型-2tdy z2t-1dt2iπ（10）II剩余和4在y积分中按部分积分得到：C=F√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）2t-1.∞Zz公司-酒桶-z+yy1-2tdy z2t-1dt2iπ（11）让我们介绍另一个Mellin-Barnes对剩余指数的表示（再次参见附录（74））：ek-z+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）k-z+y-tdt2iπ（c>0）（12）因此调用过程为：c=F√2π×c+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tt2t-1Γ（t）Γ（t）∞Zz公司-ky1-2吨k-z+y-tdy z2t-1dt2iπ∧dt2iπ（13）y积分是Bêta积分[1]的特例，等于：∞Zz公司-ky1-2吨k-z+y-tdy公司=z- k2.-2吨-tΓ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（2t-1） （14）收敛于条件Re（t）<1和Re（2t+t）>2；插入（13），使用Gamma函数函数关系（2t- 1） Γ（2t- 1） =Γ（2t）和勒让德重复公式f或伽马函数[1]：Γ（t）Γ（2t）=21-2吨√πΓ（t+）（15）我们得到了积分（7）。二、留数求和现在我们通过多维留数求和来计算二重积分（7）。定理1。设Z：=Z√（归一化波动率）；那么欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯价格是：C=F∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n）Z- k新西兰元-n（16）证明。设ω为复微分2形式ω：=(-1)-t型-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（t+）z-k2.-2吨-tz2t-1dt2iπ∧dt2iπ（17）II剩余和5图1：除数D（斜线）由Γ(-2+2t+t）项，D（水平线）乘以Γ（t）项。

交点集D∩ D（点）位于相容的格林锥∏中，产生的余数在整个锥中的和等于积分（18）。这样我们就可以把买入价（7）写成：C=FZc+iRω（C∈ P） （18）该复积分可通过C-残数求和的方式进行，通过与残数定理有效f或这类特定积分的多维类似（见附录（90）和参考文献）。事实上，与微分形式（17）相关的特征量（见附录中的定义（82））为： =2.-11-1 + 1=（19） 允许的半平面为∏:=nt公司∈ C、 Re公司( . t） <.欧氏标量积意义下的co（20）。因此，该半平面位于直线T=-t+c+c（21）在该半平面中，圆锥体∏如图1所示，由∏定义：=nt∈ C、 Re（t）≤ 0，Re（2t+t）≤ 2o（22）包含并兼容两个除数族D=nt∈ C-2+2 t+t=-n、 n个∈ 节点=nt∈ C、 t=-n、 n个∈ Γ诱发的No（23）II残基求和6(-2+2t+t）和Γ（t）。该配置如图1所示。计算与奇异集D的每个元素相关联的剩余s∩ D、 我们改变变量：（u：=-2+2t+tu：=t-→t=（2+u- u） t=udt∧dt=du∧du（24），所以在这个新的配置中ω读ω=(-1)-uu公司-u-1Γ（u）Γ（1- u） Γ（u）Γ（1+u-u+1）z- k-uzu公司-u+1du2iπ∧du2iπ（25）对于这个新变量s，由（u，u）=(-n-m） ，n，m∈ N

根据伽马函数在奇异性（72）附近的奇异行为，我们可以写出ω~（u，u）→(-n-m）(-1)-u型(-1） n+mn！m！u-u-1Γ(1 - u） Γ（1+u）-u+1）z-k-uzu公司-u+1du2iπ（u+n）∧du2iπ（u+m）（26），因此，根据柯西公式，残基为：(- n-m） ω=(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z- k新西兰元-n+1（27）根据留数定理（90），整个锥中的留数之和等于积分（18）：V=F∞∑n、 m=0(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z-k新西兰元-n+1（28）我们可以通过改变指数m来进一步简化→ m+1，引入Z：=Z√=σ√τ√, 我们最终得到了系列（16）。公式（16）是欧式看涨期权Black-Scholes价格的一种新表示，可以很容易地实现，以便进行精确计算；人们可能会注意到，与Sc黑洞公式（6）相比，这个展开式出人意料地简单紧凑。在表1中，我们通过将通过常用BlackScholes公式（6）获得的价格s与系列（16）的各种截断（n=0…nmax和m=1…Mmax）给出的价格进行比较，来测试（16）的精度。人们注意到，收敛速度非常快：通常，Nmax=Mmax=10足以获得10的精度-7，而且，当期权深度流入或流出时，收敛速度略慢，但仍然非常有效（尤其是在ITM地区）。

让我们也注意到，当资产处于货币远期时（即，当S=F时，当k=0时），那么（16）恢复到幂级数：C=S∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n） Zm+n（29）II残留物总和7市场配置BS公式Nmax=Mmax=5 Nmax=Mmax=10 Nmax=Mmax=20Deep OTM（S=3000）25.8385546 14.6150001 25.9147783 25.8385533OTM（S=3800）235.5135954 235.5112726 235.51359554 235.51359554 ATM forward 315.4523494 315.4501517 315.4523494 315.4523494ITM（S=4200）458.7930654 458.7883563 453 8.7930654 458.7930654深ITM（S=5000）1093.1653246 1091.35218291093.1662581 1093.1653246表1：对于各种市场配置，序列（16）与常用Blac k-Scholes公式的收敛性。在所有情况下，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y。然而，尽管公式（16）很简单，但它并不能清楚地显示Z的幂次排序和可操作的简化；例如，在幂级数（29）中，Z的所有偶数幂都为零（正如正态分布的泰勒级数所期望的那样）。因此，让我们将（16）定义为一个具有更易于处理的结构的扩展。推论1。设ДJbe为由ДJ（x）=J定义的实函数-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）- n） （1）- x） nJ=1，2。（30）然后，欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯价格isC=F∞∑J=1ZJДJkZ公司（31）证明。设J：=级数（16）中的m+n，J≥ 1、作为m≥ 1，这意味着J- n≥ 1，that是指，此新配置中n总和的上限为n≤ J- 这意味着我们沿着斜线而不是水平线或垂直线进行求和（见图2）；因此，我们可以引入第J部分和（回想一下，现在m- n=J- 2n）CJ：=FJ-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）- n） （Z）-k） nZJ公司-2n（32）=FZJJ-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）-n）1.-kZ公司n（33）和所有斜线J的求和≥ 1得出公式（31）图2：求和（16）可以在斜线（J=1，2，…）上进行。

)而不是垂直线m=1，2。或水平线n=0，1。II剩余求和8命题2。对于任意整数j≥ 1，Z2jД2jkZ公司=kjj！（34）证明。通过定义Д2j，我们得到了Д2jkZ公司=2j-1.∑n=0(-1） nn！Γ（j+1- n）1.-kZ公司n（35）由于分母中的伽马函数对于负整数是有限的，因此n=j之后的所有项都会消失，因此总和c可以写为：Д2jkZ公司=j∑n=0(-1） nn！Γ（j+1- n）1.-kZ公司n（36）=j∑n=0n！（j）- n） 哦！kZ公司-1.n（37）=j！kjZ2j（38）根据二项式定理。定理2。欧式看涨期权的B-Lack-Scholes价格为：C=（S- F） +F∑j≥0n≤2jZ2j+1(-1） nn！Γ（+j-n）1.-kZ公司n（39）证明。让我们写下C=F“∞∑j=1Z2jД2jkZ公司+∞∑j=0Z2j+1х2j+1kZ公司#（40）=F“（ek-1) +∞∑j=0Z2j+1х2j+1kZ公司#（41）其中，我们使用命题2来计算第一笔金额。回顾ek=SfandSimplifingyields公式（39），公式（3-9）不如公式（16）紧凑，但可能更适合实际应用。值得注意的是，它紧跟着调用put奇偶校验C- P=S- F，Black-Scholes put由以下公式得出：P=（F- S） +F∑j≥0n≤2jZ2j+1(-1） nn！Γ（+j- n）1.-kZ公司n（42）II剩余和9In（43）我们将展开式（3 9）记为Z阶：C=（S- F） （43）+F“ZΓ（）+ZΓ（）-Γ()1.-kZ公司+2Γ()1.-kZ公司!+ ZΓ（）-Γ()1.-kZ公司+2Γ()1.-kZ公司-6Γ()1.-kZ公司+24Γ(-)1.-kZ公司!+ ···注意，（39）中涉及的伽马函数值实际上是分析已知的，这是函数关系Γ的结果+ j- n=+ j- nΓ+ j-n（44）和γ函数的p值的t半整数[1]：Γ+ j- n=（2（j- n） ）！j- n（j- n） 哦！√π（j- n≥ 0)(-4） | j-n | | j- n |！（2 | j-n |）！√π（j- n<0）（45）因此，这些术语的评估恢复到fa c torial的计算，无需复杂的工具即可轻松完成。

此外，如图3和下一小节中确定的边界所示，只需要序列（39）中的几个项就可以获得布莱克-斯科尔斯公式（6）的非常精确的近似值。图3：通过Black-Scholes公式（6）和系列公式（39）得出的价格之间的比较，在K=4000、r=1%、σ=20%和τ=1Y时，jmax=5（左图）或jmax=10（右图）截断d。可以观察到，对于各种各样的价格（app roximatelyS∈ [2500，650 0]），将序列（39）截断为jmax=5，以复制BlackScholes公式是足够的。将条款数量增加到jmax=10，将收敛范围扩大到更深入的资金内外情况。III收敛速度10III。收敛速度建议3。设α：=最大值1.1.-kZ公司. 然后，级数（39）的一般项有界（在n中一致）为Z2j+1(-1） nn！Γ（+j-n）1.-kZ公司n≤Z√π（αZ）2j(j+ 1)!（46）证明。设Rj，n：=(-1） nn！Γ（+j-n） 。我们有：Z2j+1(-1） nn！Γ（+j- n）1.-kZ公司n≤ Z2j+1Rj，nα2j（47）关于n的导数，很容易看出Rj，nis在n=j+ 1:Rj，n≤Rj，j+1.=(j+ 1)!Γ（+j- j)（48）As x→ Γ（+x）在x>0时增长，我们有Γ+ j-j≥ Γ=√π结束了证明。因此，如果我们希望在s系列表示法（39）中获得精确度为的tta，我们只需要找到整数j，如z√π（αZ）2j(j + 1)!< （49）在每条j线上，有（2j+1）项需要求和，因此，为达到所需精度，需要考虑的项总数为：j∑j=0（2j+1）=（j+1）（50）在表2中，我们将Mj定义为（49）的l.h.s.，并定义了一组典型的市场参数（s=4200，K=4000，σ=20%，r=1%，τ=1Y）。

我们计算j的Mj值≥ 2并推导出达到的精度以及达到多少项后的精度。jMj获得精度（）术语总数（j+1）2 0.0002258 10-23 0.0000170 10-34 4.27 ×10-7.-65 3.21 ×10-8.-76 6.03 ×10-10-97 4.54 ×10-11-10Ta b le 2：确定界限Mj（参数选择：S=380 0，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y）。只有16个任期才能获得10个任期-3，10为64-10精度。在表3中，我们以低三角（j，n）-矩阵的形式绘制了序列表示（39）的第一项（矩阵的第一项是- F） 一组类似的参数。III近似值和对冲参数11（j，n）条款0 1 2 3 4 5 6 7119.9000 315.978 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4.213 12.257 5.943 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4.213价格119.900 440.2125 452.546 458.73 458.81 458.792 458.792 458.792 458.792 458.792Ta b le 3：包含期权价格系列（39）中（j，n）项的数值（S=4200，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y）。认购价格收敛到的精度为-3在对级数中的极少数项求和之后。三、 近似值和对冲参数。按货币价格，如果S=F（因此k=0），则称资产为货币远期。在这种情况下，系列（39）变为ScatMF=S∑j≥0n≤2j(-1） nn！Γ（+j-n） Z2j+1（51）这个级数现在是Z的正幂级数。它从n=0，m=1开始，如下所示：CATMF=SΓ（）Z+O（Z）（52），回顾Z=σ√τ√还有那个Γ（）=√π[1]，我们得到catmf=S√2πσ√τ+O（（σ√τ） ）（53）作为：√2π 0.399 因此，我们恢复了著名的Brenner-Subrahmanyam近似值[4]：CATMF 0.4 Sσ√τ（55）II。