然而，由于响应时间不对称，没有对称的RUM-CF使SCF-RT合理化。所有合理化RUM CFs必须不对称，且v（x，y）>0。现在考虑任意（x，y）∈ 存在z的C\\D∈ X带t（X，z）≤ t（y，z），因此0<r（2v（x，z））≤ r（2v（y，z））由上述权利要求确定。因为只要r（v）>0，r在v中严格递减，所以u（x）如下- u（z）=v（x，z）≥ v（y，z）=u（y）- u（z），因此v（x，y）=u（x）-u（y）≥ 0，即x对y的显示偏好。如果t（x，z）<t（y，z），所有不等式都必须严格，因此显示偏好是严格的。t（z，x）的情况≥ t（z，y）或t（z，x）>t（z，y）是类似的。之前已经观察到，响应时间可以用来推断未观察到的原因的偏好。Krajbich et al.（2014）认为，缓慢选择z而非x，再加上快速选择相同的z而非y，则会产生f或x而非y的偏好，即使x和y之间的选择没有直接观察到，且过渡期不适用。根据计时关系，正效用差异u（z）- u（x）必须小于正效用差u（z）- u（y），表示u（x）>u（y）。目前尚不清楚如何将这一想法推广到随机框架。我们的定理2回答了这个问题。条件t（z，x）≥ t（z，y）是z对x的随机选择的适当公式，它比z对y的随机选择慢。当然，类似的论点适用于x对z的快速选择和y对z的缓慢选择，正如我们的替代条件t（x，z）所形式化的那样≤ t（y，z）。

重要的是，我们需要比较响应时间分布的特定百分位数，这取决于选择概率，而不仅仅是平均或最大响应时间。不足为奇的是，定理2所揭示的偏好也可以通过传递的方式完成。我们将把这作为更一般推论的一部分加以说明。通过（X，y）定义二进制关系Rsrton X∈ Rsrt<=> （x，y）∈ C\\D和z∈ X带t（X，z）≤ t（y，z）或t（z，x）≥ t（z，y）。推论4。在对称RUM CFs类中，一个合理化的SCF-RT表明，如果（x，y）为x，则倾向于y∈ T（卢比∪ Rsrt）和严格首选项if（x，y）∈TP（卢比∪ Rsrt）。本节中的结果支持样本预测。考虑一个未观察到的选择问题（x，y）∈ C\\D.如果基于推论4，SCF-RT揭示了对称RUM CFs类中x对y的astrict p参考，那么我们预测p（x，y）>p（y，x），因为v（x，y）>0的每个对称模型都会产生这样的选择概率。如果SCF-RT显示x和y之间存在差异，那么我们甚至可以预测精确的概率p（x，y）=p（y，x）=1/2。这样的预测很容易进行经验检验。在下一节中，我们将表明，在对公用事业分布的更强有力的假设下，预测可以更精确。3.3费希纳案例随机效用的微观经济计量模型假设了更多的结构。例如，著名的probit或logit模型是Fechnerian模型的特例，它与Debreu（1958）的表示结果一致。

如果存在一个围绕零对称且具有完全支撑的公共密度g，即g（δ）=g，则RUM（u，g）或RUM-CF（u，g，r）是费希纳的(-δ）>0表示所有δ≥ 0，这样，对于每个（x，y）∈ C和allv∈ R、 g（x，y）（v）=g（v- v（x，y））。换句话说，每对（x，y）的效用差异分布具有相同的形状∈ Cand只是移动，使其预期值变为v（x，y）。这种额外的结构使我们可以通过与第三种选择进行比较来推断偏好，仅依赖于选择概率。提案3。在费希内尔拉姆斯类中，合理化的SCF揭示了x对y的优势，其中（x，y）∈ C\\D，如果存在z∈ X使得p（X，z）≥p（y，z），如果p（x，z）>p（y，z），则为严格偏好。与命题2的情况一样，这个结果是众所周知的，我们在附录中提供了一个简短的证明，仅用于完整性。传递闭包扩张也很容易得到。通过（X，y）定义二元关系Rfon X∈ 射频<=> （x，y）∈ C\\D和z∈ X带p（X，z）≥ p（y，z）。然后，结合命题2和命题3得出以下结果。推论5。在费希内尔拉姆斯类中，一个合理的SCF揭示了如果（x，y）x大于y的概率∈ T（卢比∪ Rf）和严格的首选项if（x，y）∈ TP（卢比∪射频）。关系rf包含未观测对（x，y）的语句∈ 无论何时（x，z），（y，z），C\\D∈ D表示第三个选项z。因此，即使在选择数据集之外，强制使用费希尼安假设也可以彻底引出顺序偏好，而无需使用响应时间（前提是假设有效）。我们现在证明，使用响应时间可以超越顺序偏好，并做出精确选择概率的样本预测。定义8。

在一类模型中，合理化的SCF-RT预测了未观察到的选择（x，y）的选择概率p（x，y）∈ C\\D如果使其合理化的类中的所有RUM CFs满足G（y，x）（0）=p（x，y）。这一论点可以追溯到费希纳（1860）和瑟斯通（1927）。在经济学中，这一点在Ballinger和Wilcox（1997）中有详细阐述。为每个（x，y）陈述以下结果∈ 当p（x，y）>p（y，x）时，将θ（x，y）定义为x响应时间分布的1/q′-百分位数，对于q′=2p（x，y），即F（x，y）（θ（x，y））=2p（x，y）。注意，θ（x，y）>0是偏好强度的度量，d显示出与t（x，y）非常相似的比较静力学特性。定理3。在Fechnerian RUM CFs类别中，合理化的SCF-RT预测每个（x，y）的选择概率∈ 存在z的C\\D∈ X带（X，z），（y，z）∈ D、 假设p（x，z）≥ p（y，z）w.l.o.g.，预测为'p（x，y）=p（x，z）F（x，z）（θ（y，z）），如果p（y，z）>1/2，如果p（y，z）=1/2,1- 如果p（y，z）<1/2，则p（z，x）F（z，x）（θ（z，y））。证据设（u，g，r）为使SCF-RT（p，f）合理化的任何费氏RUM-CF。对于任何固定（x，y）∈ C、 这个特殊的RUM-CF预测SP（x，y）=G（y，x）（0）=G（v（x，y））。（10） Let（x，y）∈ C\\D和z∈ X使得（X，z），（y，z）∈ D和w.l.o.g.p（x，z）≥ p（y，z）。我们区分了三种情况。情况1：p（y，z）>1/2。根据命题2，v（y，z）>0。从（1）weobtainp（y，z）F（y，z）（t）=1- G（y，z）（r-1（t））对于所有t>0的情况，根据（RUM.2）和费希尼假设，p（y，z）F（y，z）（t）=G（z，y）(-r-1（t））=克(-r-1（t）- v（z，y））=G（v（y，z）- r-1（t））。在t=r（v（y，z））yieldsF（y，z）（r（v（y，z））=G（0）p（y，z）=2p（y，z）（回想一下G（0）=1/2）时评估此等式。

因此，通过定义θ（y，z），我们得到θ（y，z）=r（v（y，z））。类似地，我们也得到了p（x，z）F（x，z）（t）=G（v（x，z）- r-1（t）），对于所有t>0，对于t=r（v（y，z））yieldsp（x，z）F（x，z）（r（v（y，z）））=G（v（x，z）- v（y，z））=G（v（x，y））。结合（10）和θ（y，z）的上述表达式，这意味着p（x，y）=p（x，z）F（x，z）（θ（y，z）），这是声明中给出的与模型无关的预测'p（x，y）。情况2：p（y，z）=1/2。根据命题2，v（y，z）=0。我们得到p（x，y）=G（v（x，y））=G（v（x，z）- v（y，z））=G（v（x，z））=p（x，z），这是声明中给出的与模型无关的预测'p（x，y）。情况3：p（y，z）<1/2。根据命题2，v（z，y）>0。按照与案例1相同的步骤，但每对备选方案的顺序相反，得出模型独立预测'p（x，y）=1- \'p（y，x）=1- p（z，x）F（z，x）（θ（z，y）），如语句中所示。要理解定理中的概率公式，只需考虑p（x，z）>p（y，z）>1/2的情况。那么u（x）>u（y）>u（z）必须在Fechnerianasumption下成立，其中第一个不等式来自命题3，第二个不等式来自命题2。因此，我们可以得出结论，未知的p（x，y）必须严格小于p（x，z），因为费希纳选择概率在二元选择问题的潜在效用差异v（·，·）中是严格单调的。Theorem现在表明，通过将观测到的p（x，z）乘以贴现因子F（x，z）（θ（y，z））可以得到p（x，y）的预测。该系数是一个可观察的、基于响应时间的指标，表示区间【u（x），u（z）】内u（y）的相对位置。结合Fechn-er-ian假设，使用响应时间可以预测样本外的准确选择概率。

如果没有响应时间，做出这样的预测将需要假设一个完整和特定的效用分布形式。因此，与我们之前的结果类似，响应时间再次替代了更强的分布假设。对于愿意做出所需的强分布假设的分析师，例如，通过probit或logit模型，当选择的可用数据为isrich时，响应时间没有额外价值。然而，文献表明，在选择数据稀缺的情况下，即使在logit或probit模型中，使用响应时间也是有价值的（例如Clithero，2018；Konovalov和Krajbich，2017）。与这些研究不同的是，我们的论文表明，当丰富的选择数据无法恢复时，响应时间数据能够恢复偏好7，也就是说，在没有关于效用噪声的不稳定假设的情况下。4来自经济学和心理学的行为模型1为无分布假设的偏好发展提供了有效条件。这一分析留下了两个悬而未决的问题。首先，RUM CFs认为哪些SCF RTs是合理的？其次，有效条件有多严格？在本节中，我们试图通过研究文献中特定行为模型生成的SCF RTs来回答这些问题。

我们将首先对经济学和微观经济学中的标准RUMSF进行此操作，并在其中添加计时函数，然后对心理学和神经科学中的标准顺序抽样模型进行此操作。4.1使用choice数据进行微观经济计量估计时，通常会使用特定经济学的观点。这些模型通常从效用函数u:X开始→ R，并为每个选项添加一个平均值为零的错误项，这样x的总体效用∈ X由arandom变量u（X）=u（X）+给出。作为下一步，即使是更多特定的分布假设也会被强加。两个流行的示例是probit和logit模型。在probit模型中，假设误差为正态分布，且各选项的i.i.d。随机效用差异的分布▄v（x，y）=▄u（x）- 则u（y）也是正常的，可以用g（x，y）（v）=Φ来描述v- v（x，y）σ,其中σ是标准偏差参数，Φ是标准正态分布的cdf。这种简单的特殊性产生了费希纳模型。不同选项的误差项之间的异方差性或相关性的一般化，在这种情况下，参数σ变得依赖于选择集，书写σ（x，y）。这样的代理化模型不再是Fechner-ian，而是对称的。在logit模型中，假设误差服从Gumbel分布，即各选项的i.i.d。在这种情况下，随机效用差异遵循G（x，y）（v）描述的逻辑分布d=1+e-v-v（x，y）s-1，其中s是比例参数。

这个模型又是费希纳模型，然而人们可以想到广义化，在这里尺度参数变得依赖于选择集，在这种情况下，它不再是费希纳模型，而是对称的。现在，我们将任意对称RUM-CF视为真实数据生成过程，并将我们的偏好揭示方法应用于选择和响应的结果数据。这些数据在对称模型类中是合理的，因此在所有模型类中也是合理的，这是微不足道的。更令人惊讶的是，定理1的有效条件总是从数据中恢复正确的偏好。提案4。考虑由对称RUM-CF（u，g，r）生成的SCF-RT（p，f）。然后，对于任何（x，y）∈ D、 u（x）≥ u（y）表示F（y，x）q-FSD F（x，y），u（x）>u（y）表示F（y，x）q-SFSD F（x，y），q=p（x，y）/p（y，x）。如果给我们一个数据集，该数据集由文献中常见的随机效用模型之一生成，并通过计时函数进行补充，那么我们谨慎的揭示偏好标准总是能够恢复正确的偏好，而不是使用特定数据生成过程的信息。即使是相信p robit或logit分布的分析师也可以使用我们的标准。如果他的信念是正确的，那么它将产生与应用全边界模型相同的显示偏好，但如果他的信念是错误的，则可以避免错误。我们对这个结果加上两条评论。首先，RUM-CF的对称性不能保证推论1中的str-on-ger条件也能被SCF-RT所满足。其次，更重要的是，RUM-CF的对称性对于我们在OREM 1中的条件的适用不是必需的。

正如命题4的证明所揭示的那样，还有许多对称模型可以生成数据，我们的标准可以从中直接恢复偏好。我们可以更进一步，假设在响应时间内，除了随机效用已经产生的噪声外，还有第二个噪声源。噪声可能是行为模型的一部分，例如，由于实现响应的生理过程中的随机计时功能或随机性，或者可能是由于分析人员的观察不完善。我们假设附加噪声与效用的随机性无关，因此它不会系统地逆转计时关系。经验文献（如Chabris等人，2009；Fischbacher等人，2013；al\'os Ferrer和Ritschel，2018）中的一种常见方法是：。i、 d.噪声对日志响应时间的影响，其中记录日志可确保响应时间保持为非负。等效的建模方法是利用乘性噪声，这在技术上对我们的目的很方便。形式上，通过将已实现效用差异的响应时间设为v，可以从RUM-CF中获得具有失谐计时函数的随机效用模型（RUM-NCF）∈ R成为随机变量▄R（v）=R（▄v▄）·▄η。附录B中所示的SCF-RT示例违反了这一更强的条件，实际上是由sy m met ric RUM-CF生成的。该RUM-CF具有双峰效用差异分布。可以将对称性和单峰性显示在一起，这意味着推论1中更强的效率条件总是令人满意的。

probit和logit模型都是单峰的，因此，如果这两个模型中的任何一个都是数据生成过程，那么使用更强的条件不会有任何损失。形式上，我们的证明依赖于v（x，y）的性质≥ 0表示1- G（x，y）（v）≥ G（x，y）(-v） 对于所有v≥ 0，对于某些v≥ 当v（x，y）>0时为0。这一特性可以通过symmetricmod els得到满足，但也可以通过非对称模型得到满足。这里，△η是一个平均值为1的非负随机项，根据R+上的密度h假设为i.i.d。在x大于y的条件下，实际响应时间最多为t>0的概率现在是实际效用差异至少为r的概率-1（t/￠η），条件是差值为正值。因此，对于由RUM-NCF（u，g，r，h）生成的SCF-RT（p，f），我们有∞1.- G（x，y）（r-1（t/η））h（η）dη1- G（x，y）（0）=F（x，y）（t），对于所有t>0和所有（x，y）∈ D、 这类似于定义6中的方程式（1）。当realdata生成过程是RUM-NCF时，我们基于RUM CFs的偏好揭示方法是错误的，因为额外的噪声被额外的随机性错误地解释为效用。然而，正如下一个命题所示，这种误判往往无关紧要。对于由具有完全支持效用分布g（如probit或logit）和任意噪声分布H的对称RUM NCF类生成（且ce合理化）的整个SCF RTs类，我们之前的条件仍然是偏好揭示的正确标准。提案5。考虑由对称RUM-NCF（u，g，r，h）生成的SCF-RT（p，f），其中每个g（x，y）都是严格正的。

然后，对于任何（x，y）∈ D、 u（x）≥ u（y）表示F（y，x）q-FSD F（x，y），u（x）>u（y）表示F（y，x）q-SFSD F（x，y），因为q=p（x，y）/p（y，x）。证明基于q-FSD对独立pertu rbations不变性的认识。每当SCF-RT（p，f）满足f（y，x）q-FSD f（x，y）时，则通过对数加性或乘性n噪声静止满足f（y，x）q-FSD^f（x，y）扰动响应时间后获得的SCF-RT（p，^f）。从对称RUMCFs获得的RUM NCF的情况就是这种见解的自然应用。然而，我们的偏好揭示准则的稳健性在更普遍的情况下适用于任何数据生成过程的扰动，而该准则对这些扰动具有约束力。这可能是一个非对称的随机效用模型，也可能是下一节研究的序列抽样模型之一。4.2从心理学的角度来看，产生随机选择和反应时间的不同方式是通过在心理学和神经科学中广泛使用的顺序抽样模型。二元选择问题的基本构造块是Ratcliff（1978）的漂移扩散模型（DDM）。具有恒定边界的DDM由漂移率u给出∈ R、 a如果没有对效用差异分布的充分支持，一些响应时间可能只会因为额外的噪声而出现，但决不会由已实现的效用差异产生。这些反应时间的分布不会提供有用信息，也不符合计时关系。扩散系数σ>0，对称势垒B和-B>0时的B。s-tochasticprocess从Z（0）=0开始，并根据布朗运动Z（t）=udt+σdW（t）随时间演化。该过程导致选择x（分别为y），如果上部（分别为。