（118）定价公式背后的直觉是，如果以单位本金连续支付利息，则账户将以指数形式累积价值，这导致了连续货币市场账户的标准表达式。但如果利息作为股息持续支付，那么账户本身的价值必须保持不变，我们将得到（118）。根据上述考虑，定价核可以表示为πt=Et形式的条件期望Z∞trsπsds. （119）在纽约定价核心模型中，这种关系是成立的，正利率承认了一个浮动利率，而不是e[13，44，71]。特别地，我们可以把以下条件作为我们的基本假设：Z∞rsπsds< ∞, （120）其中int egr和严格为正。现在假设一个过程{γt（x）}是可预测和可满足的ZtZxγs（x）ν（dx）ds<∞= 1.（121）那么由Xt=ZtZ | x |>0γs（x）~N（dx，ds）（122）定义的过程{Xt}是一个局部过程。如果额外碱基ZtZxγs（x）ν（dx）ds< ∞ （123）对于所有t≥ 0，那么{Xt}是一个平均值为零的平方可积鞅，我们有Xt公司= EZtZxγs（x）ν（dx）ds. （124）然后是ifEZ∞Zxγs（x）ν（dx）ds< ∞. （125）我们发现极限X∞= 限制→∞几乎可以肯定的是，随机变量X∞是平方可积的，且mart-ingale{Xt}由X闭合∞. 因此，我们得出结论，如果可预测过程{γt（x）}是（125）成立的，那么积分lX∞=Z∞Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds）（126）是适定andE十、∞< ∞. （127）回到定价核的构造，我们考虑前面的一个特例，通过观察γt（x）=1定义的可预测过程∧| x | qRx（1∧ |x |）ν（dx）√卢比-πs-（128）因（120）而满足（125）。

很明显，随机变量x∞=qRx（1∧ |x |）ν（dx）Z∞Z | x |>0√卢比-πs-(1 ∧ |x |）~N（dx，ds），（129）是F∞-可测且平方可积，其中f∞= σ[0≤t型<∞英尺！。（130）我们继续计算X的条件方差∞, 由Vart[X]定义∞] = Et公司（十）∞- Et[X∞]). （131）为了计算（131），我们使用泊松随机测度的条件Ito等距来获得“Z∞tZ | x |>0γs（x）~N（dx，ds）#= Et公司Z∞tZxγs（x）ν（dx）ds, （132）根据第（125）款规定有效。利用（129），（131）和（132）进行计算，然后给出第[X]部分∞] = Et公司Z∞trsπsds, （133）我们看到随机变量（129）的条件方差是形式（119）的定价核。因此，我们确定了以下内容：命题5。在任何由泊松随机m测度驱动的正利率模型中，与支持连续浮动利率票据存在的n维L'evy过程相关，定价核可以表示为平方可积F的条件方差∞-可测量的随机变量。我们将刚才描述的设置称为pricingkernel的条件方差表示。这使我们得到了[13，37，38，44，71，78]中布朗情况下得到的结果的非平凡扩展，我们现在继续讨论。众所周知，在概率空间具有由n维标准布朗运动生成的过滤比n的情况下，任何平方可积F∞-可测随机变量允许所谓的维纳混沌展开[48，80]。

混沌展开式以多重随机积分的收敛和的形式表示随机变量，其中第k项包含由三角形区域上定义的k个时间变量函数给出的被积函数，满足平方可积条件。这一特性扩展到了由n维泊松随机测度生成融合的情况【49、59、68】，在这种情况下，混沌扩展的第k项包含由k个时间变量和k个空间变量函数给出的被积函数，每个空间积分都是泊松随机测度状态空间的副本。作为一个序列，随机变量X∞与任何利维-伊藤型利率模型中的定价核心相关，允许混沌扩展，前提是该模型支持永久连续支付利息的浮动利率票据。如果chaosexpansion只接受j阶的项，那么我们可以说我们有一个一般的j阶混沌模型。如果展开式只包含j阶项，那么我们可以说我们有一个纯j-th或der混沌模型。作为结果方案的一个例子，我们将给出由泊松随机测度驱动的一般二阶混沌模型中贴现债券的形式。在这种情况下，我们得到了一对确定性函数{φs（x）}0≤s<∞, x个∈Rn，{φs（x，x）}0≤s≤s<∞, x个∈Rn，x∈Rn（134）满意Z∞s=0Zxφs（x）ν（dx）ds<∞, （135）andZ∞s=0ZxZss=0Zxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds<∞. （136）这两个函数用于定义F∞-x给定的可测随机变量∞=Z∞s=0Z | x |>0φs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=0Z | x |>0Zss=0Z | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds），（137）其中我们有x∈ Rnand x∈ 注册护士。确定关联利率模型的第一步是计算X的条件方差∞.

定价核心是πt=Et（十）∞- Et[X∞]), （138）一种计算方法，包括打破时间积分并利用独立增量属性givesIt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=tZ | x |>0Zss=0Z | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds），（139），其中它=x∞- Et[X∞]. 然后，我们在t处打破积分，得到它=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）+Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）。（140）形成（14 0）的平方，我们得到它=ζt+ηt+2θt（141），其中ζt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）, （142）ηt=Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）, （143）θt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）×Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）。（144）然后取上述三项的条件期望，并利用泊松随机测度的Itoisometry，我们haveEt[ζt]=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds，（145）Et[ηt]=Z∞s=tZ | x |>0Et“Zss=tZ | x |>0φs s s（x，x）~N（dx，ds）#ν（dx）ds，（146）Et[θt]=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）×EtZss=tZ | x |>0φs s s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（147）我们观察到，（146）可以通过使用Ito等距进一步简化，（147）消失。因此，定价内核对m取以下值：πt=Z∞s=tZxφs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=tZxZss=tZxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds。（148）这个公式可以计算出贴现债券价格、短期利率和风险市场价格的表达式。现在，标准估值公式（107）给出了到期日为t的债券的价格a t时间t。利用（132）进行的计算表明，et[πT]=Z∞s=TZxφs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=TZxZss=tZxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds。

（149）然后通过在（107）中插入（148）和（149），我们能够在一般的二阶混沌模型中明确地确定债券价格。对于混沌展开中的高阶能级，可以得到类似的结果，也可以加入布朗项。七、可分解二阶混沌模型作为二阶混沌模型的特例，我们可以考虑我们所称的分解模型，对应于确定性二阶混沌系数分解为φs（x，x）=βs（x）γs（x）形式的乘积的情况。（150）在此简化假设下，定价核的形式为πt=Z∞s=tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞s=tZxβs（x）ν（dx）Zss=tZxγs（x）ν（dx）dsds+2Z∞s=tZxφs（x）Zts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=tZxZts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（151）如果我们在第一项中根据sin拆分积分，则得出πt=Z∞s=tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞s=tZxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）-Zts=0Zxγs（x）ν（dx）dsds+2Z∞s=tZxφs（x）βs（x）ν（dx）dsZts=0Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=tZxZts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（152）然后，我们发现定价核是一对集线器的线性组合。更准确地说，如果我们定义过程{Mt}t≥通过设置Mt=Zts=0Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds），（153），我们发现{Mt}是一个平方可积函数，其相关的可预测二次变化过程{Qt}t≥0由qt=Zts=0Zxγs（x）ν（dx）ds给出。（154）然后可以检查进程{Mt-Qt}t≥0也是一个极大值，pricingkernel取f rmπt=At+BtMt+Ct（Mt- Qt），（155），其中确定系数At、bt和cta定义为：At=Z∞tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞tZxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）dsds，Bt=2Z∞tZxφs（x）βs（x）ν（dx）ds，Ct=Z∞tZxβs（x）ν（dx）ds。（156）取πT的条件期望，利用马丁格尔条件，我们得到et[πT]=AT+BTMt+CT（Mt- Qt）。

（157）方程式（155）和（157）表明，债券价格由Mt的有理函数给出。更具体地说，我们看到，PtT以一对二次多项式的形式出现在Mt中，具有确定性系数：PtT=1{t<t}AT+BTMt+CT（Mt- Qt）At+BtMt+Ct（Mt- Qt）。（158）或者，我们可以将债券价格视为由一对鞅的线性比率na l函数给出的。值得注意的是，债券价格系统的结构与可分解的二阶布朗混沌模型[13，44，71]中的结构相同，该模型也显示了线性理性结构。我们继续考虑可分解二阶混沌模型对市场数据的校准。我们可以对任何具有自由规定的时间相关自由度的利率模型提出的第一个要求是，我们应该能够将模型校准为任意规定的初始收益率曲线。因此，在目前的情况下，我们假设初始折扣函数{P0t}t≥0以一个严格递减函数的形式给出，该函数包含一个连续的一阶导数。问题是选择确定性函数{φt（x）}、{βt（x）}、{γt（x）}，这样对于t≥ 0我们有\'P0t=At/A.（159）。首先，我们注意到，我们可以通过一个公共常数因子重新缩放{φt（x）}和{βt（x）}，而不改变由此产生的债券价格，以这样的方式，A=1。完成后，我们必须选择重整化函数{φt（x）}，{βt（x）}，{γt（x）}，以便'P0t=Z∞tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞t型Zxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）dsds。（160）下一步是区分该方程关于t的每一侧，并确定固定远期利率f0t=-d lo g'P0tdt。（161）然后校准条件采用以下形式：f0t'P0t=Zxφt（x）ν（dx）+Zxβt（x）ν（dx）ZtZxγs（x）ν（dx）ds。

（162）让我们将函数{γt（x）}视为满足limt的模型的自由度的自由指定函数→∞ht<∞ 对于t>0，ht>0，其中ht=ZtZxγs（x）ν（dx）ds。（1 63）然后我们设置θt（x）=βt（x）ht。因此，问题是找到{φt（x）}和{θt（x）}，使得f0t'P0t=Zxφt（x）+θt（x）ν（dx）（164）适用于所有t≥ 该方程可以通过设置φt（x）=f0t'P0tpt（x），θt（x）=f0t'P0tqt（x），（165）来求解，其中函数{pt（x）}和{qt（x）}被设定为非负函数，并且对于所有t≥ 满足（166）的函数的存在性可以用pt（x）=p（1）来证明∧ x） Rx（1∧ x） ν（dx），qt（x）=q（1∧ x） Rx（1∧ x） ν（dx），（167），其中p和q为正常数，使得p+q=1；但很明显，我们也可以找到更一般的功能满足（166）。我们满足了这些条件（164）。因此，总而言之，我们确定了以下内容：提案6。在一个可复制的二阶混沌模型中，将初始瞬时正向速率曲线表示为一个非n负连续函数{f0t}。然后，通过让{γt（x）}自由给出，定义{ht}如（163）中所示，并让{φt（x）}和{βt（x）}由φt（x）=f0t'P0tpt（x），βt（x）=htf0t'P0tqt（x），（168）给出，其中{pt（x）}和{qt（x）}为非负且满足（166）的条件，可以获得该初始数据的模型校准解决方案。然后，可以使用剩余的功能自由度，通过类似于[38，78]中在布朗案例中使用的t软管的方法，将模型校准为其他市场工具的价格。lso可以使用L'evy测量本身作为校准目的的功能自由度，如【10】中的示例所述。八、外汇的L'EVY-ITO模型我们考虑一个汇率系统{Fijt}t≥0对于N种货币（i，j=1，…，N）。

这里，Fijt表示一个货币单位i在时间t的价格，以货币单位j表示。在我们之前的考虑中，我们让N（dx，dt）表示与具有L'evy测度ν（dx）的基本N维L'evy过程相关的泊松随机测度。通常，我们要求≥ N- 1以确保模型具有足够的自由度。我们将其中一种货币确定为基础货币（或“本国”货币），并考虑N- 1剩余货币，当这些价格以基础货币单位表示时。因此，我们希望L'evy-Ito过程的状态空间至少为N维- 例如，在三种货币的情况下，基本的二维L'evy过程是必要的最小结构。为了构造汇率矩阵的一般形式，我们建立了一个N pricingkernels{πit}t系统的模型≥0，每种货币一个，通过设置πit=πiexp-Ztrisds公司-ZtZ | x |>0λ为（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司e-λ为（x）- 1+λ为（x）ν（dx）ds.（169）这里我们抑制了L’evy-Ito过程的n维布朗成分；包含布朗项的一般情形可以很容易地重构。这里对每个定价核施加的条件与第三节中对定价核施加的条件相同，只是这里可以方便地给每个定价核一个不同的初始值。每种货币都有一个定价内核的想法是，可以使用给定货币的定价内核对以该货币定价的资产进行估值。如果基于不同货币的两个经济体在经济上是独立的，那么我们期望相应的定价内核在概率意义上是独立的。

当然，在现实中，主要经济体以各种复杂的方式相互依存，因此通常情况下，我们会将与各种货币相关的定价内核表现出相关性。然后，汇率矩阵的基本性质是，对于每一种货币对，矩阵的相关分量由与这两种货币相关的定价核的比率给出【33、58、73】。更准确地说，我们有fijt=πit/πjt。（170）然后，我们提出以下建议：提案7。在一般情况下，汇率矩阵的形式为Fijt=FijexpZt（rjs- ris+Rijs）ds+ZtZ | x |>0σijs（x）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司eσijs（x）- 1.- σijs（x）ν（dx）ds, （171）初始汇率Fij=πi/πj，其中超额收益率为giv en byRijt=Zxeσijt（x）- 1.1.- e-λjt（x）ν（dx），（172），对于汇率波动率，σijt（x）=λjt（x）- λit（x）。（173）证明。如果我们将（169）和（170）结合起来，则一个简单的前向计算给出了ijt=FijexpZt（rjs- ris）ds+ZtZ | x |>0σijs（x）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司e-λ为（x）- e-λjs（x）+λis（x）- λjs（x）ν（dx）ds. （174）接下来我们观察到，通过（67）和（69），它认为pZtZ | x|≥1e级-λ为（x）ν（dx）ds<∞= 1，P“sup0≤s≤tsup0≤|x个|<∞λ为（x）<∞#= 1（175）对于i=1，n、 从中我们推断出PZtZ | x|≥1eλjs（x）-λ为（x）ν（dx）ds<∞= 1，（176）对于i，j=1，n、 因此，Rijt<∞ 对于i，j=1，…，也可以，n和所有t≥ 0，因此我们可以重新组合（174）中的项以获得（171）。特别是，从命题7可以看出，一旦确定了每种货币的短期利率和风险规避过程以及初始汇率，那么汇率动态就完全确定了。值得注意的是，对于每一对货币，汇率波动分解为一对条款，每一个条款都适用于这两种货币。

这一事实的意义在于，似乎无法通过简单地为{σijt（x）}设定一种特殊形式来“直接”模拟汇率波动。当然，有大量文献致力于对汇率波动性建模，必须指出的是，这在很大程度上是在没有考虑与每种货币相关的风险规避函数以及方程式（173）给出的分解的情况下进行的。我们声称，如果建模是在不同货币的个人风险规避函数水平上进行的，则此类调查更为自然。我们现在来考虑超额回报率，它在外汇的纯跳跃L'evy Ito模型中采用了形式（172）。问一个有趣的问题是，对于所有货币对，Rijt是否可能为正。如果模型具有此特性，我们称其满足西格尔条件。西格尔（Siegel）[76]似乎是第一个发现看似矛盾的事实的人，即在随机模型中，欧元-美元汇率和美元-欧元汇率同时显示正超额收益率是一致的，即使汇率彼此相反。确定在设置为N种货币的情况下，所有货币对的Rijt是否可能为正的问题包括显示N（N- 1） 不同的汇率具有正的超额回报率。直觉是，如果这些利率中的任何一个表现出负超额回报率，那么投资者就会卖出定价过高的货币，直到房地产价格达到新的水平，超额回报率不再为负。我们将证明L'evy型N货币模型的存在性，其中所有N（N-1） 超额回报率严格来说是正的。

即使在布朗酶中，这个论点也很重要，所以我们首先考虑这一点。然后，我们看一个模型，该模型涉及agiven L'evy过程的n个相同副本（该示例基于匿名审阅者的建议）。接下来，我们构造了一类N-货币Merton型模型，即带高斯跳的复合泊松模型。最后，我们考虑由方差gamma过程的N维代数化驱动的N货币模型。在这些例子的基础上，我们得出这样一个结论，即Siegel条件可以在一大类L’evy Ito模型中得到满足。几何布朗运动模型。在布朗情形下，我们让{Fijt}表示由N个独立布朗运动族驱动的N种货币（i=1，…，N）之间的一组交换率。货币i的定价内核被视为f形式πit=πiexp-rit公司- λi·Wt-λi·λit, （177）其中，Ri是货币i的利率，λiis是i的每个值的向量，单位为Rn，{Wt}是取Rn值的布朗运动。点表示Rn中各因子之间通常的内积。由（170）可知，fijt=Fijexp（rj- ri）t+Rijt+σij·Wt-σij·σijt, （178）式中σij=λj- λi和Rij=σij·λj。因此，问题是我们是否可以选择λi因子（i=1，…，N），这样对于所有i，j（i 6=j），一个λj- λi· λj>0。（179）答案是肯定的，如下结构所示。设λi（i=1，…，N）是N个不同向量的集合，每个向量的长度相同，因此对于所有i，对于某些长度L>0的向量，我们有λi·λi=lf。然后对于每对i，j（i 6=j），我们有λi·λj=Lcosθij，（180），其中θij是两个向量之间的角度。我们假设N个等长向量是不同的，因此对于每对i，j（i 6=j），θij6=0。因此，我们看到每一对的cosθij<1，这导致了结果（179）。

因此，我们证明了N-货币几何布朗运动模型的存在性，对于每个货币对，Siegelcondition都成立。更一般地说，我们已经证明，对于任何N≥ 2可以构造非平凡的无套利外汇模型，其性质是N（N）中的每一个的超额收益率都是正的-1） 汇率。一份独立的、完全相同的法律程序副本。作为另一个示例，设{Xit}，i=1，N、 是L'evy进程{Xt}的N个独立相同副本的集合。我们假设{Xt}允许指数矩，因此我们可以在包含原点的一些非平凡区间中形成α的L'evy exponentψ（α）=tlog E[exp（αXt）]（181）。然后我们形成一组N个独立定价核{πit}，形式为πit=πiexp-rit公司- λXit- ψ(-λ） t型. （182）因此，对于相关的汇率体系，我们有fijt=Fijexp（rj- ri）t+Rijt+λ（Xjt- Xit）- (ψ(λ) + ψ(-λ） ）t, （183）其中Rij=ψ（λ）+ψ(-λ） 对于所有i，j（i 6=j）。因此，所有的超额回报率都是相同的。此外，自Xjt-Xithas意味着每对货币为零，Jensen\'sinequality表示超额回报率为正。因此，我们有一个由N L'evy过程驱动的N货币模型，其性质是每个货币对的超额收益率为正。这个例子有点奇怪，因为所有风险的市场价格都是相同的，所有汇率波动都是相同的。尽管如此，它证明了一个原则，即西格尔条件可以在多币种电动汽车市场中的所有货币对中保持一致。如果这里的L'evy过程碰巧是布朗运动，那么本例将简化为前一例的特例。默顿模型。

我们继续考虑由（N）驱动的N货币模型- 1） Merton型多维pure-j ump过程[65]。这将有助于展示由二维默顿过程驱动的三种货币模型的细节；读者将能够对N-货币的情况进行简单的概括。因此，我们考虑由一对过程给出的二维复合泊松过程，其形式为ξt=NtXκ=1Xκ，ξt=NtXκ=1Yκ，（184），其中（Xκ）κ∈n构成同分布随机变量的独立性，即（Yκ）κ∈n建立另一个这样的独立性，{Nt}t≥0是一个n独立的泊松过程。对于固定κ，随机变量Xκ和Yκ不一定是独立的，对于一对典型的X，Y我们写φ（α，β）=EeαX+βY, （185）假设矩母函数在α和β的非平凡范围内是有限的。然后用ψ（α，β）=tlog Eheαξt+βξti（186）定义相关的双变量L'evy指数，计算表明ψ（α，β）=m[φ（α，β）- 1] ，（187），其中m是基础泊松过程的强度。因此，在本例中，两个进程的跳转时间是一致的，但跳转大小是随机的，通常是不同的。对于默顿型模型，我们有X，Y~ N（u，u，σ，σ，ρ），因此ψ（α，β）=m经验值α u+ β u+ασ+βσ+ α β σσρ- 1.. （188）我们引入向量ξt=ξt，ξt（189）和λ=（a，b），λ=（a，b），λ=（a，b）。（190）对于与三种货币相关的定价核，我们设置πit=πiexp-rit公司- λi·ξt- ψλit型, （191）对于i=1，2，3。汇率矩阵由fijt=Fijexp给出rj公司- 国际扶轮社t+Rijt+λj- λi· ξt- ψλj- λit型, （192）其中Rij=ψλj- λi+ ψ-λj- ψ-λi.

（193）由（188）和（193）得出，为了建立满足西格尔条件的三货币纯跳跃模型的存在性，必须表明可以选择双变量正态分布的参数以及三个向量{λi}i=1,2,3so thate（λj-λi）uT+（λj-λi）C（λj-λi）T+e-λjuT+（λj）C（λj）T>e-λiuT+（λi）C（λi）T+1，（194），其中u=（u，u），（·）T表示转置操作，C是N（u，u，σ，σ，ρ）分布的协方差矩阵。为了构造一个明确的示例，让我们假设u=0、u=0、σ=1、σ=1和ρ=0。然后条件（194）取- ai）+（bj- bi）]+e（aj+bj）>e（ai+bi）+1，（19 5），其中ai=（a，a），bi=（b，b）。如果我们选择向量{λi}i=1,2,3so，则不等式（195）明显满足，因为它们是不同的且长度相等；也就是说，λ6=λ，λ6=λ，λ6=λ，（196）和λ=λ=λ. （197）对于每一货币对，我们有AI+bi=aj+bj（198），但也有（aj- ai）+（bj- bi）>0，（199），因此（195）。因此，我们证明了一个非平凡的三货币有限活动纯跳跃L'evy模型的存在，该模型满足所有六种汇率的西格尔条件。任何数量的货币的对应结构都是类似的。方差伽马模型。以下是一个有趣的例子，说明了一个有限的活动列维过程导致了一个外汇模型，该模型满足任何数量货币的西格尔条件。我们全面介绍了三种货币的情况。首先，让我们回顾方差伽马过程理论的一些细节【61–63】。设{t}t≥0是一个伽马过程，其参数的选择应确保E[Γt]=t，Var[Γt]=t/m。我们应将该过程称为强度为m的标准伽马从属r，如下所示[15，16]。有关伽马过程的更多方面，请参见【23、24、81】。

然后通过强度为m的方差gamma过程，我们指的是过程{ξt}t≥ξt=WΓt形式的0，其中{Wt}t≥0是标准布朗运动和{t}t≥0是强度为m的独立标准gammasubordinator。检查ψ（α）=-m日志1.-α2米, （200）对于α，使得-√2米<α<√2米。（201）在下文中，我们考虑由方差伽马过程的推广驱动的三种货币汇率体系。设{Xt}t≥0，a和{Yt}t≥0是独立的布朗运动，设{t}t≥0是强度为m的n个独立的标准伽马从属r，设置ξt=XΓt，ξt=YΓt.（202），然后向量{ξt，ξt}t≥0是一个二维L'evy过程，关联的L'evyexp单位由ψ（α，β）=-m日志1.-α+β2 m, （203）对于α，β，使得0≤ α+β<2m。（204）让我们定义方程（189）中的向量ξtas，方程（190）中的向量{λi}i=1,2,3as，方程（191）中的向量{πit}i=1,2,3as。然后，汇率矩阵由（192）给出，超额收益率由（193）给出。根据（204）可以明显看出，为了很好地定义定价核，风险规避向量必须为λi<√2 m，（205），对于i=1、2、3。为了构造一类满足Siegel条件的模型，我们提出了一种新的方法。固定m，并使向量{λi}i=1,2,3不同且长度相等。紧接着，对于每个货币对，我们有ψ-λi= ψ-λj. （206）则每个货币对的超额收益率f定义良好，且仅当ψλj- λi> 0，（207）对于所有i，j，使得i 6=j，或等效- m日志1-（λj- λi）2 m！>0。（208）由于已假设风险规避向量是不同的，因此允许任何货币对的Rij>0当且仅当λi- λj<√2米。

（209）现在，用L表示风险规避向量的公共长度，我们得到λi- λj= 2升（1-cosθij），（210），其中θij表示λi和λj之间的角度。因此，当且仅当ifcosθij>1时，Rij>0-mL.（211）另一方面，因为<√2 m x（205），这是一个有效条件，可确保每对货币的超额回报率为正iscosθij>，（212），也就是说，每个风险规避向量之间的角度小于60度。因此，通过这一选择，我们证明了三种货币单位活动L'evy模型的存在，该模型满足所有六种汇率的西格尔条件。事实上，如果l<m，（213），那么风险规避向量可以彼此成任意角度，西格尔条件将保持不变。将该论点扩展到四种或四种以上的货币很简单。致谢作者感谢D.Brody、E.Eb erlein、M.Grasselli、T.Hurd、A.Lokka、A.Macrina、D.Meier、B.Meister、K.Owari、G.Peskir、M.Pistorius、A.Rafailidis、M.Schweizer和T.Tsujimoto以及里约热内卢IMPA 2019年研究行动会议和曼彻斯特大学金融数学研讨会的与会者提出的有益意见。我们感谢（a）Timelineapp Limited、Basildon【GB】、（b）Fields Institute f for Research in Mathematic Sciences、Aspen Centerfor Physics和Simons Foundations n【LPH】、（c）加拿大国家科学与工程研究理事会（National Sciences and EngineeringResearch Council of Canada）、RGPIN-2018-05705 a和RGPAS-2018-5 22715【SJ】、（d）墨西哥国家科学与技术委员会（CONACyT）的支持，LMAX交易所，伦敦，a nd Oriel学院，牛津[LSB]。参考文献[1]Andersen，L.&Lipto n，A.（2013）《指数L'evy过程及其波动率微笑的渐近性：调查和新结果》。《国际理论与应用金融杂志》16（1），135001:1-98。[2] Applebaum，D。

（2009）《列维过程与随机过程》，第二版。剑桥大学出版社。[3] Baxter，M.W.（1997）《一般利率模型与HJM的普遍性》。摘自：《衍生证券数学》（M.A.H.Dempster&S.R.Pliska，eds.），剑桥大学出版社。[4] Bertoin，J.（19 98）Levy过程。剑桥大学出版社。[5] Biagini，F.&H¨artel，M.2014年，列维期限结构中的长期收益率行为。《国际理论与应用财务杂志》17，1450016。[6] Bj¨ork，T.、Di Masi，G.、Kabanov，Y.&Runggaldier，W.（1997）迈向债券市场的一般理论。金融与随机1，141-174。[7] Bj¨ork，T.，Kaba nov，Y.&Rungg aldier，W.（1997）存在标记点过程的债券市场结构。数学金融7（2），211-239。[8] 黑色，F。（1990）均衡汇率对冲。《金融杂志》45（3），899907。[9] Black，F.&Scholes，M.（1973）《期权与公司负债的定价》。《政治经济学杂志》81（3），637-654。[10] Bouzianis，G.和Hughston，L.P.（201 9）资产定价模型中L'evy指数的确定。《国际理论与应用金融杂志》22（1），195008:1-18。[11] Boyarchenko，S.I.&Levendoskii，S.Z.（2002）非高斯Merton-Black Scholetheory。新加坡：世界科学出版社。[12] Brace，A.、Gat erek，D.&Musiela，M.（1996）《利率动态的市场模型》。参见：Vasicek a and Beyond（L.P.Hughston，ed.）第19章，第305-326页。伦敦：风险出版物。[13] Brody，D.C.&Hughston，L.P.（2004）《混沌与一致性：利率建模的新框架》。皇家学会会刊A 46085-110。[14] Brody，D.C.和Hughston，L.P.（20 18）社会贴现和长期利率。数学金融28306-334。[15] 布罗迪，哥伦比亚特区，哈格斯顿，L。P、 &Macrina，A。

（2008）大坝降雨和累积。皇家学会议事录A 4641801-1822。[16] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Mackie，E.（2012）《动态资产定价几何L'evymodels的一般理论》。皇家学会议事录A 4681778-1798。[17] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Meier，D.M.（2018）L'evy Vasicek模型和长期债券回报过程。《国际理论与应用金融杂志》21（3），1850026:1-26。[18] Cairns，A.J.G.（1999）Vasicek模型的另一种推导。Herriot WattUniversity，精算数学和统计系，技术说明99/13。[19] Chan，T.（1999年），《由列维过程驱动的股票或有权益定价》。应用概率年鉴9504-528。[20] C,inlar，E.（2011）概率与随机性。柏林：斯普林格。[21]Constantinides，G.M.（1992）利率名义期限结构理论。财务研究回顾，5（4）531-552。[22]Cont，R.&Tankov，P.（2004）《带跳跃过程的金融建模》。伦敦：查普曼和霍尔。Dickson，D.C.M.和Waters，H.R.（19 93）伽马过程和有限时间生存概率。阿斯汀公牛。23, 259-272.[24]Dufresne，F.、Gerber，H.U.和Shiu，E.S.（19 91）伽马过程风险理论。阿斯汀公牛。21, 177-192.[25]Eberlein，E.和Keller，U.（1995）金融中的双曲线分布。伯努利1（3），281-299。[26]Eberlein，E.、Keller，U.和Prause，K.（1998）对微笑、定价失误和风险价值的新见解：双曲线模型。《商业杂志》71（3），371-405。【27】Eberlein，E.&Raible，S.（1999）一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学Fin a nce 9（1），31-53。【28】Eberlein，E.（2001）广义双曲L'evy运动在金融中的应用。《列维过程-理论与应用》（O.Barndorff-Nielsen，T.Mikosch&S。

巴塞尔：Birkhauser，319-336。[29]Eberlein，E.、Jacod，J.和R aible，S.（2005）L'evy期限结构模型：无套利和完整性。金融与随机9，67-88。[30]Eberlein，E.&Ozkan，F.（2005）列维伦敦银行同业拆借利率模型。金融与随机9327-348。[31]Eberlein，E.&Kallsen，J.（2020）数学金融。伦敦：斯普林格。[32]Flesaker，B.和Hughston，L.P.（1996）积极利益。风险9，46-49。【33】Flesaker，B.&Hughston，L.P.（1997）《利率和外汇的国际模型》。净风险敞口3，55-79。再版于：L.P.Hughston，ed.（2000）《新利率模型》。伦敦：风险出版物。[34]Filipovi\'c，D.、Tappe，S.&Teichmann，J.（2010）维纳过程和泊松测度驱动的期限结构模型：存在性和正性。暹罗金融数学杂志1523-554。[35]Gerber，H.U.和Shiu，E.S.W.（1994）Esscher transforms的期权定价。精算师学会会刊46，99-191。[36]Goldammer，V.&Schmock，U.（2012）Dybvig-Ingersoll-Ross定理和渐近极小的推广。数学财务22，185-213。[37]Grasselli，M.R.&Hurd，T.（2005）《维纳混沌与考克斯-英格索尔-罗斯模型》。皇家学会会刊A 461459-479。[38]Grasselli，M.R.&Tsujimoto，T.（2011）利率混沌模型的校准。arXiv:1106.2478。【39】Heath，D.，Jarrow，R.&Morton，A.（1992年），《债券定价和利率的期限结构：持续索赔估价的新方法》。计量经济学60,77-105。[40]Hubalek，F.，Klein，I.&Teichmann，J.（2002）Dybvig-Ingersolross定理的一般证明：长期利率永远不会下降。数学金融12，447-451。【41】Hubalek，F.&Sgarra，C.（2006）关于exp-onentialL'evy模型的Esscher变换和熵。定量金融6（2），125-145。[42]休斯顿，L。

P、 ，ed.（1996）Vasicek及其后。伦敦：风险出版物。[43]Hughston，L.P.（2003）《期限结构建模的过去、现在和未来》。《现代风险管理：历史》，彼得·菲尔德介绍，第7章，107-1 32。伦敦：风险出版物。[44]Hughston，L.P.&Rafailidis，A.（2005）利率建模的混沌方法。金融与随机9，45-65。[45]Hull，J.&White，A.（1990）利率衍生证券定价。财务研究回顾3573-592。【46】Hunt，P.J.&Kennedy，J.E.（200 4）《金融衍生品的理论与实践》，修订版。奇切斯特：威利。【47】池田，N.&渡边e，S.（1989）《随机微分方程和微分过程》，第二版。阿姆斯特丹：北霍拉和大丹沙。【48】Ito，K.（1951）多重维纳积分。日本数学学会的Jo urnal 3（1），157-169。重印于：D.W.Strook&S.R.S.Varadhan，eds.（1987）KiyoshiIto，论文选集。柏林：斯普林格·维拉格。【49】Ito，K.（1956）具有静态增量的不同过程的位移变换的光谱类型。《美国数学学会学报》81253263。[50]Jamshidian，F.（1996）《单因素期限结构模型中的未定权益定价》。摘自：瓦西塞克和比扬d（L.P.Hughston，ed.）第7章，第111-127页。伦敦：风险出版物。【51】Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.（2009）《金融市场的数学方法》。伦敦：春天。[52]Jin，Y.&Glasserman，P.（2001）均衡正利率：统一观点。金融研究回顾14，187-214【53】Jobert，A.&Rogers，L.C.G.（2002）估值和动态凸风险度量。数学金融18，1-22。[54]Kardaras，C.&Platen，E.（2012）关于D Ybbig-Ingersoll-Ross定理。MathematicalFinance 22，729-740。【55】Kijima，M。

（2002）《随机过程及其在金融中的应用》。伦敦：查普曼和霍尔。[56]K¨uchler，U.&Tappe，S.（2014）由回火稳定过程驱动的指数股票模型。《计量经济学杂志》181（1），53-63。【57】Kyprianou，A.E.（2014）《应用中的列维过程波动》，第二版。柏林：斯普林格。[58]Lipton，A.（2001）《外汇数学方法》。新加坡：世界科学出版社。[59]Lokka，A.（2005）L'evy过程泛函的鞅表示。随机分析与应用22（4），867-892。[60]Mackie，E.T.B.（2011）有理项结构模式l s和几何l’evy鞅。伦敦帝国理工学院博士论文。[61]Madan，D.&Seneta，E.（1990）股票市场收益的方差gamma（VG）模型。《商业杂志》63511-524。[62]Madan，D.&Milne，F.（1991）带有VG鞅分量的期权定价。数学金融1（4），39-55【63】Madan，D.，Carr，P.&Chang，E.C.（1998）方差伽马过程和期权定价。《欧洲金融评论》2，79-105。【64】Merton，R.C.（1974）《公司债务定价：利率风险结构》。《金融杂志》29（2），449-470。[65]Merton，R.C.（1976）基本股票回报不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》3125-144。[66]Meyer，P.A.（1966）概率和潜力。马萨诸塞州沃尔瑟姆：BlaisdellPublishing Company。【67】Norberg，R.（2004）Vasicek beyond the norma l.《数学金融》第14期，第585-604页。【68】Nualart，D.&Schoutens，W.（2000）L’evyprocess的混沌和可预测表示。随机过程及其应用90（1），109-122。[69]Oksendal，B.&Sulem，A.（2004）应用了跳跃差异的随机控制。柏林：斯普林格。[70]Protter，P.E。

（2 005）随机积分和微分方程，第二版。柏林：斯普林格。[71]Rafa ilidis，A.（2005）动态资产定价理论的混沌方法。伦敦国王学院数学系博士。[72]Rogers，L.C.G.（1995）利率期限结构的哪种模型应该使用？摘自：数学金融（M.H.A.Davis，D.Duffe，W.H.Fleming&S.Shreve，eds.）数学及其应用研究所65，93-116。纽约：斯普林格。[73]Rogers，L.C.G.（1997）《利率期限结构的潜在方法》和《外汇汇率》。数学金融7，157-176。【74】Sato，K.（1999）列维过程和完全可分分布。剑桥大学出版社。【75】Schoutens，W.（2004）《金融中的列维过程：金融衍生品定价》。纽约：威利。【76】Siegel，J.J.（1972年）《风险、利率和远期汇率》。《经济学季刊》86，30 3-309。[77]Tankov，P.（20 11）《指数L'evy模型中的定价和对冲：重新集中结果回顾》。《巴黎普林斯顿数学金融讲座2010》（A.R.Carmona et al.，eds.）《2003年数学课堂讲稿》，319-359。柏林：斯普林格。【78】Tsujimoto，T.（2010）混沌利率模型的校准。圣安德鲁斯大学博士论文。【79】Va sicek，O.（197 7）期限结构的平衡特征。《金融经济学杂志》5177-188。[80]Wiener，N.（1938）齐次混沌。美国数学杂志60879-936。[81]Yo r，M.（2007）因此，伽马过程具有显著的性质。年：数学金融进展，Festschrift卷纪念Dilip Madan（R.Elliott，M.Fu，R.Jarrow&Ju-Yi Yen，eds.），巴塞尔：Birkhauser。