使用OCMat从0D到1D空间模型

2022-6-27 06:05:49

使用OCMatD从0D到1D空间模型。GrassORCOS，维也纳理工大学经济数学方法研究所，奥地利维也纳A-1040。电子邮件：dieter。grass@tuwien.ac.atJuly7，2021摘要我们表明，OCMAT中的标准类最优控制模型可用于分析一维空间分布式系统。该方法是格拉斯和尤克尔（2015）提出的女性离散化方法的中间步骤。因此，通过有限差分离散化将空间分布模型转换为标准模型。然后使用OCMat分析该（高维）标准模型。作为一个例子，我们将此方法应用于Brock和Xepapadeas【2008】中制定的空间分布浅水湖模型。然后将结果与Grass和Uecker【2015】中的有限元离散结果进行比较。关键词：空间分布最优控制模型、有限差异离散化、浅水湖模型、模式差异阈值点1简介空间分布最优控制问题的分析（在有限的时间范围内）成为经济建模中的一个重要问题，参见Brock和Xepapadeas【2008】，Brock等人【2014】。从技术上讲，这意味着空间分布态的时间演化是由抛物线偏微分方程描述的。Brock和Xepapadeas【2008】中，作者提供了平衡的局部稳定性分析，即与导出的正则系统相关的椭圆偏微分方程的解。他们提出了一组导致这些平衡点图灵不稳定性的条件，并称之为分岔模式平衡点POSS解，即。

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2022-6-27 06:05:53

与均匀或平坦的最佳稳态（FOSS）相比，图形化/非均匀的最佳稳态。但是，正如Grass和Uecker【2015】所示，局部稳定性分析不足以证明非均相平衡解的合理性。为了回答最优性问题，必须比较收敛到不同平衡点的路径的目标值。这一分析也为关于差异阈值和阈值的讨论提供了新的线索，参见Kiselevand Wagener【2010年】、Kiseleva【2011年】。因此，我们引入了有缺陷和无缺陷平衡的新术语。这一性质区分了稳定或不稳定的最优平衡。由于一般情况下，偏微分方程无法解析求解，因此我们必须求助于数值方法。在Grass和Uecker【2015年】中，我们提出了一种数值程序，该程序依赖于衍生正则系统的有限元离散化，并结合了延拓策略，类似于OCMat中的方法，参见Grass【2012年】。作为一个例子，我们使用分布式浅水湖模型公式（19）。OCMat是一个MATLAB软件包，它为（非分布式）最优控制问题的数值分析提供了工具，尤其是在有限的时间范围内。可从以下网址下载http://orcos.tuwien.ac.at/research/ocmat_software.This允许我们识别存在无缺陷POS的参数区域，以及缺陷POS和相应的稳定流形将FOSS和POS的吸引区域（阈值点/流形）分开的参数区域。

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2022-6-27 06:05:55

此外，我们能够证明同质/异质差异阈值（Skiba）点的存在，并计算了差异阈值点的连接流形。在本文中，我们采取一个中间步骤，对规范系统进行完全有限元近似，以证明OCMat标准最优控制类的能力，即有限时间水平问题，其中状态的时间演化由ODE描述。为了将OCMat过程直接应用于初始化和文件生成，我们通过有限差分格式（FD）离散状态方程的偏微分方程。这就产生了许多可以由OCMat处理的ODE。然后将该方法的数值结果与Grass和Uecker【2015】的类似结果进行比较。本文的结构如下。我们首先讨论和介绍了generalterms，并在第2节简要介绍了有限的差异离散化。在第3节中，我们总结了0D（非分布）浅水湖模型的重要性质和结果，该模型在Scheffer【1998】、M¨aler等人【2003】、Carpenter和Brock中介绍和分析。[2004]和Wagener[2003]。在下一节4中，将建立一维空间分布浅水湖泊模型及其离散化模型。然后对后一种模型进行了详细的数值分析。2一般定义2.1空间尺寸为0（0D模型）的模型maxu（·）Z∞e-ρtg（x（t），u（t））dt（1a）s.t.˙x（t）=f（x（t），u（t））（1b）x（0）=x∈ 注册护士。（1c）带f∈ C（Rn×Rm，Rn），g∈ C（Rn×Rm，R）。Let（x*（·），u*（·））是式（1）的最优解。

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2022-6-27 06:05:58

然后存在λ（·），使得（x*（·），u*（·），λ（·））是正则系统˙x（t）=f（x）的解*（t），u（t））（2a）˙λ（t）=ρλ（t）- H（x*（t），u*（t），λ（t），λ）（2b）x*（0）=x（2c），带U*（t） =argmaxuH（x*（t），u，λ（t），λ）（2d）和h（x，u，λ，λ）：=λg（x，u）+λ>f（x，u），（2e）为了简化符号，我们进行以下假设假设假设2.1。问题等式（1）是正常的，即λ=1。因此，我们省略了参数λ。假设2.2。Let（x*（·），u*（·））是最优解，λ（·）是相应的协态。然后，存在一个显式函数uo（x，λ）∈ C（Rn×Rn，Rm），使得对于每个tH（x*（t），uo（十）*（t），λ（t）），λ（t））=最大值（x*（t），u，λ（t））。然后是最优解（x*（·），u*（·））可以在满足˙x（t）=f（x（t），λ（t））（3a）˙λ（t）=ρλ（t）的解中找到-\'Hx（x（t），λ（t））（3b）x（0）=x（3c），其中\'f（x（t），λ（t））：=f（x（t），uo（x（t），λ（t）））和'H（x（t），λ（t））：=H（x（t），uo（x（t），λ（t）），λ（t），1）。（3d）随后，我们将省略条形标志。定义2.1（OSS）。Let（x*（·），u*（·））带x*(·) ≡ ^x∈ R和u*(·) ≡ ^u∈ Rmbe问题（1）的最优解，其中x（0）=^x。然后（^x，^u）被称为最优平衡，并表示为asOSS。Let（^x，^λ）∈ R2nbe正则系统的平衡方程式（3）。然后（^x，^λ）∈ R2nis表示CSS和j（^x，^λ）：=df（x，λ）dxdf（x，λ）dλ-dH公司o（x，λ）dxr-dH公司o（x，λ）dλ（^x，^λ）（4）是相应的雅可比矩阵，如果没有歧义，我们只写^J。响应于J（^x，^λ）的特征空间表示为asEs（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=ξv，Reξ<0}，ns：=尺寸Es（^x，^λ）（5a）Eu（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=ξv，Reξ>0}，nu：=尺寸Eu（^x，^λ）（5b）Ec（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=0}，nc：=尺寸Ec（^x，^λ）。（5c）定义2.2（鞍点特性）。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）的平衡。如果Dim Es（^x，^λ）=n（6），那么可以说，平衡满足鞍点性质（SPP）。

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2022-6-27 06:06:01

平衡（^x，^λ）表示为CSS。否则表示为CSS-. 数字（^x，^λ）：=ns- 如新大学- nc（7）称为（^x，^λ）的缺陷。缺陷d（^x，^λ）<0的平衡称为缺陷，否则称为无缺陷。如果（^x，^λ）有缺陷，且根据（^x，uo（^x，^λ））是OSS，那么（^x，uo（^x，^λ））称为有缺陷，否则称为无缺陷。提案2.1。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）的平衡，ρ>0。然后（^x，^λ）满足相应雅可比J（^x，^λ）满足| Reξ的每个特征值ξ的鞍点性质-ρ|>ρ（8）证明。Grass等人[2008]证明存在n个（不一定是不同的）复数\'ξ∈ 带Re？ξ的C≥ 0，使得相应雅可比矩阵的任何特征值ξ满足ξ=ρ+(R)ξ或ξ=ρ-ξ.这种对称性与SPP一起产生| Reξ-ρ|=Re'ξ>ρ，最后一个不等式相同，toRe'ξ>ρi eff Reξ<0。因此，n个特征值的负实数部分完成了证明。备注2.1。命题2.1允许我们通过等效公式（8）来制定SPP。要求等式（8）的PP定义的优点是，它也可以应用于分布式系统的平衡。如果依赖于稳定歧管尺寸的定义失效。2.2空间维度1的模型（1D模型）我们假设空间分布模型是通过引入一个扩散项导出的，而函数f和g与模型（1）相同。这个yieldsmaxu（·，·）Z∞ZL公司-Le公司-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdts。t。tx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+Dx（z，t）zx（z，t）z±L=0x（z，0）=x（z），z∈ [-五十、 L）]。或改造[-五十、 L]变成[0，1]yieldsmaxu（·，·）Z∞Ze公司-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdt（9a）s.t。tx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+D（2L）x（z，t）z（9b）x（z，t）z0,1=0（9c）x（z，0）=x（z），z∈ [0, 1].

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2022-6-27 06:06:04

（9d）将Pontryagin的最大值原理应用于偏微分方程，参见例如，Tr¨oltzsch【2009】，我们可以推导出（9）的规范系统，类似于公式（3），如下所示：tx（z，t）=f（x（z，t），λ（z，t））+Dx（z，t）x（10a）tλ（z，t）=ρλ（z，t）-H（x（z，t），λ（z，t））x个- Dλ（z，t）x（10b）nx（z，t）| 0,1=0（10c）nλ（z，t）| 0,1=0（10d）x（z，0）=x（z），z∈ [0, 1]. （10e）对于数值分析，我们可以使用有限元法（FEM）对公式（10）进行离散化。对于分布式浅水湖模型（参见第4节），这已在Grassand Uecker【2015】中进行。在本文中，我们想演示OCMat的功能，并将其转换为高维0D模型。对于FDM离散化，我们使用长度为h、Nh=1和N的等距网格∈ N、 ddzx（z）zi公司≈x（zi+h）- x（zi- h） 2h（11a）ddzx（z）zi公司≈x（zi- h）- 2x（zi）+x（zi+h）h（11b）Zg（z）dx≈ hN公司-1Xi=1g（zi）+g（z）+g（zN）！（11c）因此，模型（9）近似为Maxu（·），。。。，uN（·）N（Z∞e-ρtN-1Xi=1g（xi（t），ui（t））+g（x（t），u（t））+g（xN（t），uN（t））！dt）（12a）s.t.˙xi（t）=f（xi（t），ui（t））+DN（2L）（xi-1（t）- 2xi（t）+xi+1（t））（12b）x（t）- x个-1（t）=xN+1（t）- xN公司-1（t）=0，t≥ 0（12c）xi（0）=xi，0。（12d）Zi=iN，i=0，Nxi（t）：=x（zi，t），ui（t）：=u（zi，t）xi：=x（zi，·），ui：=u（zi，·）注意，我们不考虑模型（12）近似（9）的条件下的问题。Werather认为，在空间浅水湖模型的特殊情况下，模型（12）理所当然地认为ifOCMat可以处理此类问题，并将结果与Grass和Uecker【2015】的结果进行比较。模型（12）的正则系统变为˙xi（t）=f（xi（t），λi（t））+D（x）i（t）（13a）˙λi（t）=ρλi（t）- Hx（xi（t），λi（t））- D（λ）i（t）（13b）xi（0）=xi，0。（13c）安度oi=ui（xi，λi）~D：=DN（2L）D（x）i：=D（x- x） i=0D（xi-1.- 2xi+xi+1）i=1，N- 1D（xN-1.- xN）i=ND（λ）i：=D（λ- 2λ）i=0D（2λ- 2λ+λ）i=1D（λi-1.- 2λi+λi+1）i=2。

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2022-6-27 06:06:07

N- 2D（λN-2.- 2λN-1+2λN）i=N- 1D（λN-1.- 2λNi=N）我们引入的缩写符号xd：=（x>，…，x>N）>∈ Rn（N+1）λd：=（λ>，…，λ>N）>∈ Rn（N+1）ud：=（u>，…，u>N）>∈ Rm（N+1）。定义2.3（FOSS和POS）。Let（xd，*（·），ud，*（·））带xd，*(·) ≡ ^xd∈ Rn（N+1）和ud，*(·) ≡^ud∈ Rm（N+1）是xd（0）=^xd的问题（1）的最优解。如果^x=^x=···=^xN=^x∈ Rnthen（^xd，^ud）称为FL（同质）最优稳态（FOSS），否则称为模式化（异质）最优稳态（POSS）。定义2.4（FCSS和PCSS）。Let（^xd，^λd）∈ R2n（N+1）是正则系统的平衡。(13). 然后（^xd，^λd）被称为fl（齐次）稳态（FCSS）i ff^x=^x=····=^xN=^x（14），否则它被称为模式化（非齐次）稳态（PCSS）。如果FCSS（PCSS）满足PP，则表示为FCSS（PCSS），否则表示为FCSS-（PCS-).定义2.5（州共有状态空间）。设（xd（·），λd（·））为正则系统方程（13）的解。然后用kydjk（t）表示（kxdk（·），kλdk（·））：=NN-1Xi=1kyij（t）k+kyj（t）k+kyNj（t）k！，y=x，或y=λ，j=1，n、（15）称为状态共状态空间中的解路径。备注2.2。在Brock和Xepapadeas【2008】中，FOSS（POSS）被引入为满足SPP的规范系统的FL（模式化）最优平衡。我们出于两个原因加强了这个术语1。为了更清晰，我们决定进一步区分规范系统和最优系统。2、存在不满足SPP的最优平衡，参见第4.4.1.3节无空间差异的浅水湖模型。浅水湖模型的一个著名版本，见Wagener【2003】，可以用asmaxu（·）Z表示∞e-ρtln（u（t））- cP（t）dt（16a）s.t.˙P（t）=u（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（16b）P（0）=P>0。

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2022-6-27 06:06:10

（16c）我们有时将模型（16）称为0D浅水湖模型。根据Pontryagin的最大值原理，我们发现正则系统˙P（t）=uo（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（17a）˙λ（t）=2cP（t）+λ（t）ρ+b-2P（t）（1+P（t））（17b）P（0）=P（17c），带Uo（t） =-λ（t）。（17d）Let（P*（·），u*（·））是式（16）的最优解；然后是P*（·）是IVP的唯一解决方案˙P（t）=u*（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（18a）P（0）=P.（18b）ODE（18a）被称为u*（t）。Wagener[2003]证明了每个最优解（P*（·），u*（·））对于任意P>0，收敛到最优性系统的平衡点（^P，^u），且^u>0，通常取决于P。参数空间（b，c）中的详细分岔分析，见Wagener【2003】等，揭示了参数空间中存在的区域，其中最优系统由一个全局稳定的最优平衡点（^P，^u）组成两个局部稳定平衡（^Po，^uo）和（^Pe，^ue）。这些由以下状态值之一分隔-不稳定最优平衡的状态值^Pu（^Pu，^uu）。-一个被称为Skiba point的差异阈值PIalso。因此，我们可以对最优解决方案进行全面分类。在存在三个最优平衡的情况下，我们选择^Po和^Pesuch，即^Po<^Pu<^Pe。有一些中间情况（分歧情况），其中等式成立，但没有具体提及。我们还将^Peas称为富营养化，将^Poas称为寡营养平衡。全局稳定：对于任何初始状态P>0，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^P，^u），独立于P。见图2c。局部稳定I：对于任何初始状态0<P<^，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^Po，^u），与P无关。对于P>^put，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^Pe，^u），它独立于P。

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2022-6-27 06:06:13

对于P=^，最优解为（P*（·），u*(·)) ≡ （^Pu，^uu）。见图3c。^pu称为临界点。局部稳定II：前一个病例的前两个陈述仍然正确，取代了^Puby PI。对于P=P，存在两个最优解（P*i（·），u*i（·）），i=1，2，收敛于（^Po，^u）和（^Pe，^u），且^Po<PI<^Pe。参见图4c。PIS被称为差异阈值点或Skibapoint。从最优控制理论的角度来看，最后两种情况具有特殊的意义。firstcase通常被称为历史依赖，即最优解取决于其初始起始点。在第二种情况下，我们还观察到最优解的非唯一性，即差异。有关潜在分岔的详细讨论和描述，请参阅toKiseleva和Wagener【2010年】、Kiseleva【2011年】。表1规定了这两种典型情况的参数值。在第一种情况下，我们找到了一个差异阈值，在第二种情况下，我们找到了一个阈值。型号（16）型号（19）规格ρc b D L NI 0.03 0.5 0.65*0.5 2π/0.44 50II 0.3 3.5*0.55 0.5 2π/0.44 50表1：0D和1D模型的两种考虑方案的参数值。带上标的值*表示自由参数。分叉分析无论如何，这种分类是对正则系统方程（17）进行深入数值分析的结果。该分析包括其平衡点的分岔分析（见图1），以及相关稳定路径及其目标值的计算。数值计算是必要的，因为等式（17）中平衡点（^P，^λ）的局部性质让我们不要推断出^u=1/^λ的相应平衡点（^P，^u）是最优系统等式的最优平衡。（18a）。

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2022-6-27 06:06:16

在正则系统存在多重平衡的情况下，这一点尤其正确。因此，最优系统和正则系统的分岔之间不存在一一对应关系。唯一最优平衡在b=0.75的情景I中，稳定路径数值分析的重要性尤为明显。在图2中，我们可以看到，在标准系统中存在三个平衡点（两个鞍座和一个不稳定焦点），而最优系统仅由一个全局稳定平衡点组成。差异阈值b=0.65时，标准系统的平衡数量和性质保持不变，但最佳系统由两个局部稳定的平衡组成，由差异阈值PI分离，见图3。因此，平衡的局部稳定性分析必须得到相应稳定流形的全局分析的支持。即使可以解析地实现firsttask，也只能在极少数情况下解析地计算稳定路径。通常，特别是在我们的情况下，我们必须求助于数值方法来解决后一项任务。场景II的差异点c=3.5，典型系统显示两个鞍座和一个不稳定节点（见图4a）。计算稳定路径并比较目标值，我们发现不稳定平衡是一个阈值（见图4b）。这种不稳定平衡将两个局部稳定平衡的吸引区域分开，这两个平衡对应于两个鞍座（参见图。

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2022-6-27 06:06:19

4c）。第二种情况（c=3.0825）产生了定性相同的结果，未进行描述。4具有空间差异的浅水湖模型Maxu（·，·）Z给出了将浅水湖模型（16）扩展到空间分布模型类的建议inBrock和Xepapadeas【2008年】∞e-ρtZOhmln（u（x，t））- cP（x，t）dx dt（19a）s.t。tP（x，t）=u（x，t）- bP（x，t）+P（x，t）1+P（x，t）+DxP（x，t）（19b）nP（x，t）|Ohm= 0（19c）P（x，t）| t=0=P（x），x∈ Ohm = [-五十、 L] R、（19d）与Brock和Xepapadeas【2008】相反，我们制定了Neumann条件方程（19c）的问题，即所谓的零flux边界条件，而不是周期性边界条件。从解释的角度来看，我们假设湖泊连续排列，有0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80.20.40.60.811.21.41.61.8b | P | CSS0CSS-（a）平衡分岔图2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40.40.50.60.70.80.911.11.21.3c | P |（b）平衡分岔图1：表示满足SPP和表示不满足SPP的平衡。第一行中的图显示了分叉参数与（绝对）状态值的关系。在第二行中，绘制了平衡范数与分岔参数的关系图。面板（a）（ρ=0.03，c=0.5，变化b）表明存在两个分离的平衡分支。在区间[0，0.727]存在三个平衡。面板（b）（ρ=0.3，b=0.55和变化的c）表明存在一个平衡分支。

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2022-6-27 06:06:22

在区间[2.566，3.556]中存在三个平衡。0 0.5 1 1.5-7.5-7.-6.5-6.-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5PλCSS0CSS-（a）州-成本0.5 1 1.5-72-71-70-69-68-67-66-65-64PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.4P˙P OSS0（c）最优系统图2：对于ρ=0.03、c=0.5和b=0.75，正则系统（a）中存在三个平衡。最优系统（c）只包含一个全局最优平衡点。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座不稳定的焦点。在图（c）中，o表示全球稳定平衡。0 0.5 1 1.5-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3PλCSS0CSS-（a）州-成本0.5 1 1.5-81-80-79-78-77-76-75-74-73-72-71-70PsPJ（b）状态-目标值0 0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3PsP˙P OSS0ITP（c）最优系统图3：对于ρ=0.03、c=0.5和b=0.65，标准系统（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由一个差异阈值点（Skiba点）PI分离，在PI处有一个不连续的动力学。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座不稳定的焦点。在图（c）中，表示局部稳定平衡。0 0.5 1 1.5-25-20-15-10-50PλCSS0CSS-（a）州-成本0.5 1 1.5-35-30-25-20-15-10-5PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3P˙P OSS0OSS-（c）最佳体系图4：对于ρ=0.3、c=3.5和b=0.55，规范体系（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由最优不稳定平衡^Pu分离。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座，不稳定的节点。在面板（c）中，表示局部稳定的最优平衡和表示最优不稳定节点。湖外无水流。

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2022-6-27 06:06:25

周期性边界条件指的是环形湖泊。Brock和Xepapadeasargue认为，他们使用周期性边界条件来排除端点条件引起的影响。无论如何，由于这一点没有触及我们的论点，即有必要分析最优控制系统的全局行为，因此我们在这方面更改了模型公式。使用第2.2节中提出的（FDM）离散化，我们发现Maxu（·），。。。，联合国（·）Z∞e-rtG（P（t），PN（t），u（t），uN（t））dt（20a）s.t.˙Pi（t）=ui（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））（20b）P（t）- P-1（t）=PN+1（t）- PN编号-1（t）=0，t≥ 0（20c）Pi（0）=Pi，0>0（20d），其中xi=iN，i=0，N、 D：=DN2LPi（t）：=P（xi，t），ui（t）：=u（xi，t）Pi：=P（xi，·），ui：=u（xi，·）G（P，…，PN，u，…，uN）：=NN-1Xi=1g（Pi，ui）+g（P，u）+g（PN，uN）g（Pi，ui）：=ln（ui）- CPI将Pontryagin极大值原理应用于等式。（11）产生正则系统˙Pi（t）=uoi（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（P）i（t）（21a）˙λi（t）=ciPi（t）+λi（t）ρ+b-2Pi（t）（1+Pi（t））- D（λ）i（t）（21b）Pi（0）=Pi，0>0，i=0，N（21c）uoi（t）=-2λi（t）i=0，N-λi（t）i=1，N- 1（21d）ci：=（c i=0，N2c i=1，…，N- 1D（P）i（t）：=D（P（t）- P（t））i=0D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））i=1，N- 1D（PN-1（t）- PN（t））i=ND（λ）i（t）：=D（λ（t）- 2λ（t））i=0D（2λ（t）- 2λ（t）+λ（t））i=1D（λi-1（t）- 2λi（t）+λi+1（t））i=2，N- 2D（λN-2（t）- 2λN-1（t）+2λN（t））i=N- 1D（λN-1（t）- 2λN（t））i=在附录B中，解释了OCMat中模型（20）的实施细节。4.1标准/最优系统的平衡标准系统方程（17）的CSS与标准系统方程（21）推论4.1的FCSS之间存在密切关系。Let（^Pd，^ud）∈ R2N+2be FOSS则（^Pd，1/（2u））是正则系统等式（17）的平衡。推论4.2。

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2022-6-27 06:06:28

设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的平衡。然后，^Pd：=（^P，…，^P）和^λd：=（2^λ，^λ，…，^λ，2^λ）是FCS。推论4.3。设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的鞍。然后对于足够小的^D（^Pd，^λD）∈ 推论4.2中定义的R2N+2为FCSS。PCS通常不能用解析方法计算，因此我们必须求助于数值方法。利用推论4.2，我们可以用等式（17）的平衡来开始等式（21）的分岔分析。PCS从分叉曲线的分支点出现。Grass和Uecker【2015】使用pde2path进行了相应的分岔分析，pde2path是一个用于椭圆PDE分岔分析的MATLAB软件包，参见Uecker等人【2014】和Dohnal等人【2014】。由于实际模型（16）是具有有限状态数（N+1）的0最优控制模型，等式（21）的分歧分析是使用CL MATCONT的修改版本进行的。我们分析了表1中规定的两种不同情况。第一种情况，图5a中描述了与b相关的相应分叉分析。黑色曲线表示FCS的分叉曲线。这些曲线的形状与图1a中0D模型对应的分叉曲线相同。对于较低的分支，我们还发现了四个分支点o, PCS的分支发出（红色、绿色、品红和青色）的地方。沿着PCS的分岔曲线，我们发现了额外的分岔点，并计算了相应的分岔曲线（棕色、深绿色和橙色）。因此，对于b=0.65，我们总共发现两个FCS（对应于0D模型中的寡营养和富营养平衡），一个FCS-,十三个PCS-和一个PCS。

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kedemingshi

2022-6-27 06:06:31

事实上，棕色和深绿色分支由两条具有空间对称平衡的明显分叉曲线组成。第二种情况，图5b描述了与c相关的分叉分析。FCSS的黑色分叉曲线由一个分支组成，显示出两个分支和六个分支点o. 这六个分支点由PCS的三条分支曲线（红色、品红和绿色）连接。红色和绿色曲线由两个空间对称的分支组成。从品红PCSS分叉曲线中，又发出两条PCSS分支（棕色和橙色）。在第4.4节中，我们考虑了c=3.5和c=3.0825的两种特殊情况。在第一种情况下，存在两个FCS（对应于0D模型中的贫营养和富营养平衡），一个FCS-, 10个PCS-和两个PCS。在后一种情况下，存在两个FCS，一个FCS-和四个-.4.2第一种情况下的最佳解决方案以两种情况为例具体情况b=0.75和b=0.65的大多数结果已在Grassand Uecker【2015】中讨论过。因此，我们只做了一个简短的总结，并将重点放在使用OCMat更容易获得的一些方面。对于b=0.75，存在一个FOSS，在结构上再现了相应0D模型的结果。对于b=0.65，主要结果是，作者可提供此修改版本。0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.760.20.40.60.811.21.41.6^Pd，oFSS0^PdHSS0^Pd，eFSS0^PdFSS0b | | Pd | 2 FSS0FSS-BPHSS0HSS-（a）第一种情况b，ρ=0.03，c=0.52.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60.30.40.50.60.70.80.911.11.21.3^PdHSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，oFSS0^PdHSS-^PdHSS-c | | Pd | 2（b）第二种情况c，ρ=0.3，b=0.55图5：正则系统方程（21）的分岔分析如（A）和（b）所示。

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2022-6-27 06:06:34

符号：o表示满足SPP的平衡，不满足SPP和o 平衡流形的分支点。FOSS曲线为黑色，HOSS曲线为彩色。沿着红色HOSS曲线出现两次分叉，这些分叉之间的HOSS候选符合SPP。o没有一个PCS是最优的。o这两个FCSSA是最佳的。o相应的景点盆地由差异阈值流形分隔开。o在Grass和Uecker【2015】中，我们计算了一个同质和模式的差异阈值点。同质差异阈值与模型（16）中差异阈值的值一致。接下来，我们详细解释了收敛到满足SPP的平衡的解的计算。随后解释了检测差异阈值的必要步骤。OCMat中的计算详情见附录B.4.3 A局部最优模式平衡。为了证明PCS（^PdPCSS，^λdPCSS）是一个最优平衡，见图5a，我们必须证明不存在其他解（Pd（·），ud（·）），Pd（0）=产生更大目标值的PdPCSS。存在满足SPP的其他两个平衡，即两个FCS，寡营养（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和富营养FCS（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）（见图5a）。对于这些平衡中的每一个，都可能存在Pd（0）=^Pdpcss的路径，并收敛到贫营养/富营养平衡。为了确定这些路径，我们考虑相应的同伦问题等式（25），其中x分别从平衡点（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）开始被^pdpcs代替。4.3.1与平衡溶液的比较这些计算结果如图6所示。图6a说明了“嵌入”等式。

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2022-6-27 06:06:37

（25b）。绿色歧管从富营养状态^Pd、EFC开始，蓝色歧管从富营养状态^Pd、OFCSS到模式状态^PDPCS。在κ从零延续到一的过程中，初始状态位于这些流形中。在图中。6b和6c显示了κ=0.5的溶液路径的状态及其范数（绿色和蓝色）。此外，还描述了平衡解的状态和范数。图6d至6f显示了κ=1的最终结果，还包括控制路径图。此外，图6g和图6e揭示了共状态的值以及因此Pd（0）=^Pdpcsass的三种溶液的控制是不同的。图6h显示了状态共状态空间中的切片流形（见定义A.1）。每个标记×表示一个连续步骤。在图6e中，绘制了沿切片流形的目标值，即根据初始点的（范数）绘制了目标值。我们发现，κ=1的最终解具有更高的目标值，而富营养化的解收敛到FCSS，从而控制了其他解。另一方面，曲线的梯度表明它们最终相交。这种交叉点表征了一个差异阈值点（0D模型见图3b）。4.3.2差异阈值点的检测和延续。为了沿着切片流形找到目标值的可能交点，我们必须确保切片流形具有可比性，并且必须检查它们是否相交（见定义a.2）。例如，图6h中所示的片状流形是不可比较的，这仅仅是因为流形{Pd，oFCSS+（1- α）（^PdPCSS-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {^Pd，eFCSS+（1- α）（^PdPCSS-^Pd，eFCSS）：α∈ R} 。是不同的。参见图6a），其中绿色和蓝色曲线描绘了这些歧管的（部分）。

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kedemingshi

2022-6-27 06:06:40

只有当切片流形具有可比性且具有非空交点时，这意味着对应于切片流形交点的解从相同的初始状态开始，然后可以比较它们的目标值。无论如何，由于解从^PdPCSS开始并收敛到FCSSis，我们可以用x（0）=^PdPCSS+（1）开始同伦BVP（25- κ）（^Pd，oFCSS-^PdPCSS）。在这种情况下，歧管{^Pd，oFCSS+（1- α）（^PdPCSS-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {^PdPCSS+（1- κ）（^Pd，oFCSS-^PdPCSS）：κ∈ R} 。微小重合，切片流形具有可比性，见图7a。此外，切片manifoldsintersect和相应的目标值曲线在不同阈值点pdi，1处相交（见图7d）。在图7b和图7e中，示出了相应的状态Pde、o（·）和控制路径ude、o（·））。对三个两个FCS和PCSS重复相同的程序，我们发现PCSS不是最优的，我们再次发现进一步的差异阈值PdI，2。图7c和图7f中描绘了相应的解决方案。看看我们如何在PdI 1和PdI 2之间找到差异阈值是一个有趣的问题。让我们回顾一下，我们通过n+1维空间（Pd，J（Pd（0）））中两个n维流形（n=n+1状态数Pd）的交点发现了差异阈值点。一般来说，这会产生一个n- 1=N维歧管。对于离散化N=50，其维数太大，无法恢复整个差异阈值流形（在原始PDE问题中，维数实际上增加到了整数）。无论如何，我们可以沿着线性连接PdI，2+（1）搜索差异阈值点- κ）（PdI，1- PdI，2）。结果显示在嵌入图7e的动画中。

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何人来此

2022-6-27 06:06:43

附录A.2.2给出了该问题数值解的相应BVP。-10-5051000.510.60.811.21.4xiuPd0，u（a）初始分布歧管-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）κ=0.50 20 40 60 80 1000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（c）κ=0.5时的状态范数-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（d）κ=1时的状态路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（e）κ=10 20 40 60 80 1000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（f）κ=10 20 40 60 80 1004567810t |λd | 2（g）κ=10.6 0.8 1 1.2 1.44567910 | Pd | 2时状态的范数| |λd | | 2（h）切片歧管0.6 0.8 1 1.2 1.4-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2J（i）切片Manifold的目标值图6：该图显示了从atPd（0）=PDPcss开始并收敛到寡营养和富营养FCS的连续过程的步骤。颜色是指营养（蓝色）、寡营养（绿色）和图案（品红）溶液。在（a）中，描述了通过延拓的初始分布的流形。对于continuationparameterκ=0.5，状态路径和相应的范数如（b）和（c）所示。最终结果如（d）（状态路径），（e）（控制路径），（f）（共状态路径）和（g）（规范）所示。在（h）中，相应的切片流形显示在状态共状态空间中。

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2022-6-27 06:06:46

（i）中切片流形解的目标值表明，在以Pd（0）=^PdPCSS开始的所有解中，收敛到寡营养平衡的路径是等时的。-10-5051000.510.60.811.2xiuPd0，u（a）初始分布歧管-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）Skiba解决方案的状态路径-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（c）Skiba解决方案的状态路径0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2JPdI（d）目标值交叉-10-505100501000.10.150.20.25xitud（e）Skiba溶液控制路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（f）Skiba溶液的控制路径图7：该图显示检测到有图案的Skiba分布及其在Skiba流形上的不同Skiba分布的延续。要接收与面板（a）、（b）和（e）相关的动画文件，请联系作者。4.4第二种情景在b=0.65的第一种情景中，我们只发现富营养和寡营养平衡为自由／开源。这在某种程度上类似于0D模型，其中CSS不会出现在最佳系统中（见图3）。第二种情况下0D模型的结果表明，除了富营养化和寡营养化CSS之外，不稳定节点（CSS-) 显示为两个CSS的景点区域限制。因此，我们可以预期FCSS-在模型（20）中是最优的。因此，也包括PCSS-不能排除为最佳。因此，我们分析了两种不同的情况，c=3.5，其中PCS均不满足SPP，c=3.0825，其中一种PCS满足原始浅水湖模型的SPP（16）。这两种情况在性质上是相同的（见图4）。4.4.1模式平衡不满足SPP对于c=3.5，我们试图找到从FCS状态开始的解决方案-（^PdFCSS-) 还有一个-并向富营养化（寡营养化）FCS汇合。图8描述了该分析的主要结果。

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2022-6-27 06:06:49

第一列（a、d和g）中描述的示例类似于图4所示的0D模型中的情况。因此，不可能从FCS的初始状态开始找到解决方案-并汇合到富营养化或营养化的FCSS。相反，在延续过程中，^pdfcs的初始状态-已接近，但无法访问。在图8a中，绘制了最终结果的相位图，这类似于0D中的状态共状态空间（参见图4a）。在图8c中，我们看到均匀初始分布的目标值是连续的（参见图4b）。因此，对于空间均匀的初始分布，最优路径是唯一的，其中^PdFCSS-分离富营养（贫营养）平衡^Pd、eFCSS（^Pd、oFCSS）的吸引区域。精确从^PdFCSS开始的解的最优状态路径-（平衡溶液，黑色）和附近（蓝色和绿色）如图8d所示。对于每个PCS重复这些步骤，图8最后两列中描绘了两个示例，得出这些平衡中的每一个都是最优的，即，都是pos。由于没有一个PCS满足SPP，这些平衡和它们的稳定流形将FOSS的吸引区域分开。在这一点上，有几个问题仍然没有解决平衡点的缺陷是否不满足状态离散化的SPP常数这对最初的PDE问题意味着什么我们能说不满足SPP的平衡点及其稳定流形将满足SPP的解的吸引区域分开吗PDE问题的状态空间是什么？4.4.2图案平衡满足SPP在本节中，我们用数值检查c=3.0825的唯一图案平衡PCSS是否为POSS（见图5b）。

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2022-6-27 06:06:51

因此，我们必须证明，不存在从^pdpcs开始的正则系统方程（21）的其他解路径，从而产生更大的目标值。唯一其他候选的是富营养和贫营养FCS的稳定路径。图9d和图9e描绘了寡晶与图案化平衡的数值比较结果。找到满足Pd（0，1）=^PdpcsandLimt的可行路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））→∞（Pd（t，κ），λd（t，κ））=（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和κ∈ [0，1]我们从常数平衡解（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）开始求解同伦问题方程（25）。延续过程表明，不可能找到κ=1的可行路径，而是接近某个值κ<1。最后计算的路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））与相应的切片流形（黑色虚线）一起显示在图9a中。接下来，我们重复了反向同伦问题的步骤，从恒定模式解（PdPCSS，λdPCSS）开始，并试图找到可行路径（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ））满足Pd（0，0）=^Pd，OFCSANDLIMT→∞（Pd（t，1- κ），λd（t，1- κ））=（^PdPCSS，^λdPCSS）带κ∈ [0, 1].继续过程再次表明，不可能找到κ=0的可行路径，而是大约1的某个值- 接近κ。该溶液（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ））在图9b中由蓝色溶液路径和黑色切片流形表示。两个连续过程的最后两条解路径表明，寡营养FCSS和PCSS的吸引区域存在一个分离流形。该分离歧管的一个可能候选歧管是PCS的稳定歧管-有缺陷-1（参见在图9c）中）。为了验证这个猜想，我们解决了同伦问题方程（29）的缺陷平衡。

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2022-6-27 06:06:54

对于x（1），我们取Pd（0，κ）（第一个同伦问题的最后一个连续步骤的初始状态）并设置V：=（1，…，1）∈ RN+1，满足秩条件等式（29d）。该同伦问题的最后一个解（Pd（·，1），λd（·，1））如图9d中的蓝色虚线所示，并为我们的猜想提供了大量的数值论证。整体图（图9d）表明，对于每个ε>0，存在κ和κ，因此存在溶液（Pd（·，κ），λd（·，κ））和（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ） k（Pd（0，κ），λd（0，κ））的同伦问题- （Pd（0，1），λd（0，1））k<ε和k（Pd（0，1- κ），λd（0，1- κ)) - （Pd（0，1），λd（0，1））k<ε，甚至强ERK（Pd（·，κ），λd（·，κ））- （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε和k（Pd（·，1- κ），λd（·，1- κ)) - （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε。绘制沿相应切片流形的解评估的目标值，表明目标函数在Pd（0，1）附近是连续的，见图9e。类似的结果可用于比较向富营养化FCSS和PCSS收敛的稳定路径。这很好地证明了FCSS和PCSSas的最优性。同样，根据c=3.5的情况，有缺陷平衡的稳定模式将满足SPP的平衡的吸引区域分开。图9f显示了c=3.0825的状态共状态空间中的相图（部分）。平衡点的下标表示相应平衡点的缺陷。因此，存在两个FCS（^Pd、EFCS和^Pd、OFCS）和一个PCS（^PdPCSS）。此外，还绘制了一些路径，这些路径汇聚到^Pd、eFCSS、^Pd、oFCSS和^PdPCSS（纯蓝）以及PCS-有缺陷-1（蓝色虚线）。图9d和图9c分别说明了收敛到寡营养平衡（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和模式平衡（^PdPCSS，^λdPCSS）的溶液的具体情况。

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2022-6-27 06:06:57

9e。5结论本文的目的是提出一个数值框架，使我们能够对一维空间分布最优控制问题进行数值实验。数值实验在哈维西德的意义上是有意义的，他声称数学是一门实验科学，参见哈维西德（1893）。0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | 2 | |λd | | 2 F SS0F SS-（a）继续到Pd（0）≈^PdFCSS-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | 2 | |λd | 2 F SS0HS S-（b）继续到Pd（0）≈^PdPCSS-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11213141516171819202122 | | Pd | | 2 | |λd | 2 F SS0HS S-（c）延续到Pd（0）≈^PdPCSS--10-5051005001000.50.60.70.80.9xitPd（·）（d）从^PdFCSS附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（e）在^pdpcs附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（f）在^pdpcs附近开始的状态路径-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（g）沿切片歧管的目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（h）沿切片歧管的目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（i）沿切片歧管的目标值图8：该图描述了FCS最优性的数值证明-和PCS-c=3.5时，即不满足SPP的平衡的最优性，以三个平衡为例。在第一行（a）-（c）中，相应连续过程的切片流形在赋范状态共状态空间中进行了描述。第二行（d）-（f）显示了从FCS及其附近开始的解决方案的状态路径-和PCS-, 分别地最后一行（g）-（i）说明了目标函数在FCSS的常数平衡解附近是连续的-和PCS-.

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2022-6-27 06:07:00

因此，不满足SPP的平衡也是最优的。0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.515115.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | 2 FCSS0（Pd1（·，κ0），λd1（·，κ0））S（F（0），H（0），κ）（a）同伦FCSSto PCSS0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51616.51717.517 8 | | Pd | | 2 | |λd | 2 HCSS0（Pd2（·，1- κ0），λd2（·，1- κ0）S（F（0），H（0），1- κ）（b）同伦PCSTO FCSS0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | Pd | 2 |λd | 2 HCSS-（Pd3（0，1），λd3（0，1））（Pd3（·，1），λd3（·，1））（c）同伦PCS-至P（0，κ）0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.5151515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | | 2（d）切片流形和求解路径13 14 15 16 18-19-18-17-16-15-14-13-12-11 | |（Pd，λd）| | 2J（e）目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.21314151617181920F（0）F(-4） F（0）小时(-3） H类(-2） H类(-1） H（0）小时(-1） H类(-2） | | Pd | | 2 | |λd | | 2（f）相图9:In（f）描绘了状态共状态空间中的一些溶液路径和平衡。（d）和（e）中所示的解决方案是连续过程的结果，当我们试图从POSS状态开始找到解决方案，并收敛到寡养FOSS，反之亦然。延续过程接近PCS稳定流形（蓝色虚线）上的状态-有缺陷-因此，对于初始状态与有缺陷的稳定流形的状态重合的情况-1沿着稳定流形收敛到有缺陷的POSS是最优的-1、在这些初始状态的附近，最好是收敛到寡养FOSS或满足POSS的SPP。要接收与面板（d）相关的动画文件，请联系作者。因此，我们能够找到分布式模型中出现（差异）阈值分布的数字证据。

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2022-6-27 06:07:03

此外，这指向鞍点性质的可能推广，在多个正则稳态（CSS）的情况下，鞍点性质与多个最优解的存在密切相关。尽管这种简单的FDM也可以应用于空间二维模型，但这种方法将立即在数值上变得难以处理。因此，这是有限元离散化方法的中间步骤，在Grassand Uecker【2015】中提出，在Uecker【2015】中扩展。所提出方法的进一步研究结果的不同方向。显而易见的下一步是前面提到的有限元离散化应用。这是作为MATLAB软件包pde2path的附加工具箱（p2pOC）实现的，pde2path是二维椭圆系统中用于延拓和分岔的数值工具，参见Uecker等人【2014年】。实际方法的一个主要缺点是难以处理（不平等）约束。为了正确使用所用BVP阀，动力学的rhs必须至少连续可区分。当约束处于活动状态时，将违反此属性。我们通过考虑解路径的不同弧来解决这个问题，其中每个弧都满足可微性条件。对于非分布式模型，这通常是一种可行的方法，但对于分布式模型，这很难实现。因为对于从一个电弧到另一个电弧的每次过渡，必须说明相应的切换条件。

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kedemingshi

2022-6-27 06:07:06

对于高维离散化系统，这种ansatz很快变得难以处理。因此，我们将致力于开发基于有限元离散和共轭梯度法并结合连续步骤的解算器。在本节中，我们阐述了计算收敛到正则系统平衡点的路径的基本方法。A、 1核心问题必须解决的核心问题如下。给定平衡（^x，^λ）和初始分布x，我们希望找到一条满足等式（3）以及边界条件x（0）=x和limt的路径（x（·），λ（·））→∞（x（t），λ（t））=（^x，^λ）。（22）相应特征空间0的尺寸<尺寸Es（^x，^λ）=ns≤ n、然后，式（22）中的边界条件可以用所谓的渐近边界条件来近似【比照Lentini，1978，Lentini和Keller，1980】Ohm>^x^λ-x（T）λ（T）= 0∈ R2n-ns，Ohm ∈ R2n×（2n-ns）和Ohm⊥ Es（^x，^λ）（23），T>0足够大。对于紧凑表示法，我们引入X：=xλ式（21）表示为˙X（t）=F（X（t））。可从以下网站免费下载http://www.staff.uni-oldenburg.de/hannes.uecker/pde2path.Then之前的BVP写入为˙X（t）=t F（X（t）），t∈ [0，1]（24a）X（i，…，ins）（0）=X（i，…，ins）（24b）Ohm>（^X- X（1））=0。（24c）如果^X satis SPP，则ns=n，等式（24b）简化为X（1，…，n）（0）=X。为了保持符号简化，我们假设X的坐标已排序，以便（i，…，ins）=（1，…，ns）=：（ns）。然后。（24b）可以重写，因为x（ns）（0）=x（ns）（24b’）通常无法解析求解BVP（24），因此必须应用数值方法。这些数值方法需要一些初始函数▄X（·）。

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2022-6-27 06:07:09

这样一个初始函数不需要满足BVP（24），但根据问题的性质，它或多或少有一个良好的近似。如果没有这样一个初始函数，我们该怎么办？A、 2嵌入同伦问题如果方程（24）的解Y（·）可用，且Y（n）（0）=x（n）6=x（n），我们可以将方程（24）嵌入相应的同伦问题˙x（t）=t F（x（t），u），t∈ [0，1]（25a）X（n）（0）=X（n）+（1- κ）（x（n）- x（n））（25b）Ohm>（^X- X（1））=0。（25c）然后Y（·）求解公式（25），对于κ=0和κ=1，得到BVP（24）的解。OCMat使用弧长延拓法求解同伦Bvp（25）[库兹涅佐夫，1998年，Allgower和Georg，2003年]。因此，在每个同伦步骤i>0时，前面的解（X（i-1）（·），κi-1） BVP（25）与附加方程Z（X（i）（t）一起求解（X（i）（·），κi）- X（i）-1）（t））>V（i-1）（t）dt+（κi- κi-1）五（一）-1），κ=0（25d），其中（V（i-1）（·），V（i）-1），κ）满足线性化BVP˙V（i-1）（t）=t FX（X（i-1）（t），u）V（i-1）（t），t∈ [0，1]（25e）V（n）（i）-1）（0）=V（i-1），κ（x（n）- x（n））（25f）Ohm>V（1）=0。（25g）溶液（V（i-1）（·），V（i）-1），κ）称为第一步的切解- 1、在实际的OCMat实施中，BVP（25a）–（25g）离散化，提供不同的离散化方案，依赖于两个本地MATLAB BVP解算器bvp4c、bvp5c【比照Kierzenka和Shampine，2001年、2008年】和适配解算器bvp6c【比照Hale，2006年，Hale和Moore，2008年】。离散化切线在每个牛顿步计算。这是一种特殊的弧长延拓，称为MoorePenrose延拓，参见Kuznetsov【1998年】。随后，我们引入一些术语来明确区分稳定路径和在延拓过程中计算的初始点集。定义A.1（切片歧管）。设X（·，κ（s）），s∈ 我 R，I为非空区间，k（·）∈C（I，R）是每s的等式（25）的解∈ 我

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