列平均值包含四舍五入到五个有意义数字的值。例如，2013年3月1日在一个区间交易的ZCN13，我们得到10350×0.00096618=9.999963。这必须四舍五入到整数10，以补偿之前四舍五入的影响。差异P20130301 13:59:57-P20130228 17:00:00=P20130301,1-P20130301,1=686.50- 684.00=2.5除以δZCN 13=0.25等于10。如果会话包含多个范围，则PSN- Psget贡献来自b和CI增量，不能仅根据表16计算。19.1 Wald、Wolfowitz、Kolmogorov、Prokhoorovi与随机变量随机数之和相关的重要定理由Abraham Wald[233]、Jacob Wolfowitz[242]、Kolmogorov和YuriProkhorov[101]证明。如果ξ，ξ，ξn。是I.I.D.随机变量的有限序列，ζν=ξ+ξ+…+ξν，ν，仅取非负整数值{0，1，2，3，…}，是序列第一个成员的随机数，数学期望Eν、Eξi=a和E |ξi |=c是有限的，对于n>m，随机变量ξ和事件Sm={ν=m}是独立的，则发生theWald恒等式：Eζν=Eν。Kolmogorov和Prokhorov证明了一般结果，其中Eξn=an，E |ξn |=cn，E（ξn- an）=bn而Wald\'sidentity是一个特例。给定概率pn=P（Sn）=P（{ν=n}），表示pn=P（{ν≥ n} ）=P∞m=npm：Eζν=P∞n=1pnAn，An=Eζn=a+a+···+An。应用级数的阿贝尔变换[57，pp.305-306]证明需要p的收敛性∞n=1Pncn。该要求允许绝对收敛，因为Pn、Cn为非负。如果bn=b+b+···+bn，那么他们证明了E（ζν- Aν）=P∞n=1pnBn。

在文章【112】中，针对一种情况推导了Wald恒等式的模拟，其中一个和具有有限的数学期望。19.2瓦尔德恒等式图解估算ζνs，r=Ps，rNs，r- Ps，r，Eνs，r=Ns，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1≈Tcs，右- Tos，ra增量，r，Eξs，r=b增量，r，被代入瓦尔德恒等式，givePs，rNs，r- Ps，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1！b-增量，r≈≈（Tcs，右- Tos，r）b增量，ra增量，r=（Tcs，r- Tos，r）ρs，rba，（50），其中ρs，rba是平均b增量与平均a增量的比率。包含三个估计值的精确关系如下式14和15所示。图10支持近似版本。让我们用ZCN13来说明后者。2013年4月5日，表15和16中的平均a和b增量等于3.4886秒-0.00018459δ. 价格差异为P20130405 13:59:59- P20130404 17:00:00=617.50- 618.50 = -1 = -4δ. 单量程持续时间为Tc20130405 14:00:00-To20130404 17:00:00=75600秒-0.000184593.4886= -4.0001731≈ -4δ. 2013年3月28日75600-0.00775113.8548=-152.014≈ -152δ和差值P20130328 13:59:57- P20130327 17:00:00=676.00- 714.00 = -38 = -152δ.19.3检查b增量的调整和是否为高斯瓦尔德-沃尔福威茨-科尔莫戈罗夫-普罗霍罗夫定理揭示了ζν的均值和方差。这还不是一个分布，除非它是一个，像高斯分布一样，完全以两个矩为特征。我们是否可以期望ζν，即具有有限（？）的随机变量之和方差，服从高斯分布？为了补偿随机ν的影响，我们应该检查平均b增量，这可以被视为调整后的最后一个减第一个价格差eξ=eζνeν。这也不包括c-捐款。研究人员通常会测试今天和昨天收盘价或结算价的差异。

根据a-b-c分类，他们忽略了b贡献的随机数和c贡献的固定数。如果Eνs在范围和会话中保持不变，则这种方法是正确的。对于这样的测试，平均b增量是一个更干净的候选者。对于每份合同，将表16中范围内的平均b增量合并到一个样本中。然后，评估样本矩、ECDF和EPDF。在表8中，每个最小值和最大值都出现过一次，相应的列替换为U-=分钟-M eanStdDevand U+=最大值-M eanStdDev。表8：从范围中提取的平均b增量的样本统计。股票大小平均最小U-最大U+标准偏差E-KZCN13 157 0.0053-0.026-1.2 0.22 8.2 0.027 5.6 35ZSN13 157 0.0049-0.31-6.1 0.37 7.1 0.051 2.1 29ZWN13 156 0.061-2-3.5 6 10 0.59 7.8 74ZBM13 75-0.0019-0.29-6.1 0.24 5.2 0.047-1.34 28ESM13 144 0.0015-0.091-6.5 0.089 6 2 0.014 1.68 31GCM13 71-0.078-1.9-3.7 1.7 3.6 0.50-1.1 7.4HGN13 91 0.022-1.7-4.1 2.3 5.8 0.39 2.0 16SIN13 92 0.097-2.4-2.2 9.5 8.2 1.2 6.149CLN13 67 0.0013-0.082-3.1 0.072 2.7 0.027-0.42 2.3GN13 70 0.00083-0.039-2.8 0.046 3.2 0.014 0.47 1.66AM13 61-2.2e-005-0.0011-6.1 0.00027 1.8 0.00017-3.8 216BM13 62 1.1e-005-0.00021-2 0.00017 1.6 0.00010-0.45-0.936CM13 63-1.6e-005-0.0016-7.0 0 0.00018 0.9 0.00023-5.8 396EM13 61 2.1e-006-0.00023-4.4 7.7e-005 1.4 5.4e-005-2.2 6 6.86JM13 60 1.6e-005-0.00021-1.6 0.00087 6.20.00014 4.0 24GEM13 63 9.5e-006-0.00014-2.5 0.00016 2.6 5.7e-005 0.28 0.91U=最大（| U-|, |U+|）是与表示瞬时偏差的平均值的最大偏差。对于标准正态分布[1，p.972]p（{U≥5} ）+P（{U≤ -5}) = 2(1 - 0.9999997133) = 0.0000005734. 我们需要2000000次会议才能观察到这样或更大的偏差。具有≈ 每年247个交易日这是8097年的交易日。

然而，对于ZCN13、ZSN13、ZWN13、ZBM13、ESM13、HGN13、SIN13、6AM13、6CM13和6JM13，在不到160个范围内观察到的偏差大于投资标准偏差。GCM13和6EM13具有超过Gaussianzero的7.4和6.8的额外峰度。剩余的CLN13、NGN13、6BM13和GEM13具有较低的超额峰度、偏度和U，可以应用皮尔逊χ检验。即使这项工作成功了，也不会主要改变情况：不仅是b增量，而且它们在数千个刻度范围内获得的平均值都不是高斯分布。统计价格和时间属性可能会随时间显著变化，如图1、16、19所示。同一合同在其有效期内流动性达到最大值时，它们会发生变化，见表15和16中的列大小。这可能就是原因。20 c增量c增量是按价格划分的不同链接绑定范围和会话，见表17。所有这些都是不可分解的，并且与比b增量更大的持续时间相关。图27描述了它们的EPDF。图27:2013年3月至7月在Globex上交易的期货的c增量EPDF，以δ表示。NGN13的c增量除以10个先验图。在治疗过程中，绝对平均c-增量明显大于绝对平均b-增量，表17和表16。对于绝对极端b增量来说，情况并非如此。它们大于绝对平均c增量，并且在许多情况下可比（ZWN13、GEM13）或大于绝对极端c增量（ZSN13、ZBM13、HGN13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13），如图23和27所示。这意味着，在下一个交易日前持仓的风险可能大于在电子交易日之间持仓的风险。

我们需要记住，电子会议之间的停顿比pit会议之间的停顿要短。将平均绝对c增量与表16中的| Size×mean |进行比较也是有意义的。后者是最后一个和第一个价格的绝对差异。这提供了一个想法，即价格是在交易期间还是在交易期间变化更大。例如，对于2013-04-02、2013-04-03、201304-04和2013-04-05的ZCN13会议，三种产品为35930×-0.00030615 = -11δ, 9δ,-53δ，和-4δ. 前面四个c增量分别为1δ、3δ、4δ和1δ。在这些交易日中，价格在交易日内的变动幅度大于交易日之间的变动幅度。绝对值的平均值为19.25δ≈ 19δ和2.025δ≈ 2δ. 比值ρsbc=PsNs- PSP- 聚苯乙烯-1Ns-1=PSN- 如果在一个方向上进行两次移动，则Psc增量（51）为正，否则为负。未定义零c增量的比率。ρsbc越大，表示会话对暂停的贡献越大。在示例中，ρbc=-11，ρbc=3，ρbc=-13.25，ρbc=-表17包含整个c增量系列的样本统计数据。关于节假日的信息，ch增量，是谷物中最完整的信息。这包括耶稣受难日、阵亡将士纪念日和独立日。后者不适用于7月之前到期的合同。此外，由于技术原因，与阵亡将士纪念日相关的信息已被遗漏，以供将来参考。ch增量具有说明性意义，不能支持统计结论。这一时期和合同的一个更明确的结论是，周末的平均cw增量的绝对值大于正常工作日的平均cr增量。HGN13和6JM13除外。会话中两个范围之间的ci增量仅适用于ZCN13、ZSN13、ZWN13和ESM13。

从单独处理的cr、cw和ch增量来看，绝对平均ci增量最小。21价格与时间：b与a的增量悬浮在液体中的小爱因斯坦粒子的平均位移与时间的平方根成比例【46】。Bachellier通过两种不同的途径【12】、【33，第29-33页和33-36页】获得了价格x的数学预期，正是这种性质。爱因斯坦要求“……时间间隔τ……与观测到的时间间隔相比非常小，但是，……其大小使得一个粒子在两个连续间隔内执行的运动……是相互独立的……数学布朗运动的现代定义见[185，p.1]. 在不太严格的形式下，如果1）B=0，2）B是t的连续函数，则B是布朗运动≥ 0，3）每t，h≥ 0增量Bt+h-B独立于业务部门：0≤ u≤ t和具有均值为0且方差为h的高斯分布。定义了一个与一系列信息集{It}相关的维纳过程，但没有提及高斯分布：1）配对It，Wt是一个W=0和E[（Wt）的平方可积鞅- Ws）]=t- s、 s≤ t、 2）WT的曲率随时间t连续【169，p.148】。Neftci引用了L'evy定理，指出任何维纳过程都是布朗运动。考虑到价格，这些结果意味着b和a增量之间存在统计关系。每个b增量与a增量相关联。绘制前者与后者的对比图并没有显示曲线，如图28左上角所示。分别为0、1、2采样b增量。a增量创建sampleconditional分布。如果过程是布朗运动，那么不仅每个样本应该服从高斯分布，而且应该服从StdDev（b增量）∝√a-增量。图28右上角并未证实这种比例。

我们也不能依赖单个样本的高斯特性。例如，表18将极端b增量16和17以及STDEV 0.36379与零a增量相关联。这是-44和47个标准差。最大尺寸为508004和20357的两个样本几乎都不是高斯分布。爱因斯坦没有提出平均粒子位移与时间平方根成比例与价格有关系。如果平均价格位移，即平均b增量，与时间的平方根a增量成正比，则图28左下角应显示y∝√x、 相反，这些点位于水平标高附近。使用维纳过程，可以预期均方b增量与a增量成比例。相反，图28左-右显示的是一条水平线。b增量和a增量避开了价格变化和已知布朗运动时间平方根之间的关系。如果在价格和时间增量（即b增量和a增量之和）中观察到这些属性，那么在“经济价格和时间原子的微观世界”中，可伸缩性和自相似性是有限的。根据公式50 | b-增量，r |≈|PNs，r-1i=1b增量，ri | Tcs，r- Tos，ra增量，r.（52），因此，对于具有一个| Ps，rNs，r的选定范围-Ps、r |和较小的a1和a2增量预计平均b增量和a增量之间存在线性相关性。这在价格和时间之间没有内在的依赖性。22关于差异的评论作者进行了一次差异实验，图29、30、表9。图28:ESM13 2013年4月5日。左上：539882个点（a-增量inseconds，b-增量inδ），由于离散性，许多点重叠；右上角：b增量（表18 StdDev）与相关a增量（表18 a增量）的样本标准偏差；左下：样本平均绝对B增量±STDEV vs。

相关a-增量±1 s，表19；右下：样本均方b-增量±STDEV（平方）vs.a-增量±1s，表20。使用i-Phone 4S的秒表测量时间，精度为0.1秒。Papala VMC Corp.提供的透明开放式塑料盖13.7×3.1×1.3 cm，用于黄鲈鱼诱饵，在家中供水处填充5 mm厚的一层。高锰酸钾（KMnO）晶体放在水平牙签的顶部，旋转容器一侧后迅速掉落，形成条纹。第二部手机用来拍照。用纪念尺测量品红正面的距离，误差为0.5 mm。正面侵蚀在距离测量中引入了更大的误差和主观性（图片可用）。为了不让家人和一只猫摇动桌子，大家都很小心。出于同样的原因，靠近手机盖的i-Phone的铃声和振动模式也被切换了。室温为22.5±0.5oC=295.65oK。结果如图30所示。图29：扩散实验。标记1和2（左上）表示测量F1和F2的两条线。22.1“炼金术”专注地盯着正在侵蚀的品红正面，作者认为这两个i-phone、尺子、水、渔具盖和高锰酸钾是否可以解释“男人的疯狂”。除了i-phone以外，这些朴素的工具类似于炼金术士的手段。牛顿知道冷却和力学定律，今天以他的名字命名，为了阐述他的关于疯狂的论文，他不得不损失（或在其他版本中得不到）20000英镑。一些人将其转换为现代的5000000美元。