这个题ax+bx这种表示似乎有点奇怪，确定ax和bx中的x没有下角标么？如果没有下标为啥不合并同类项……不过有没有下标也不影响解题方法，只是影响结果的具体形式。就按没有下标来吧。

生产函数y=f(x)描述的是使用投入物x>=0能生产的产出品的最大数量（投入集中的投入向量x表示产出产量y所需的最低投入，这和生产函数的“最大产量”表述是对偶的）。也就是说y^2=ax+bx实际上就是等产量曲线，或者说生产函数了（当然对其进行单调变换仍然是描述同一技术的生产函数，求一个生产函数使用其原型就够了）。
但是由于y是以2次式给出的，因此要考虑生产“函数”的一一对应问题，实际上就是讨论y的范围，对值域进行取舍。

由于x>=0，因此有：当a+b>0，即a>-b时，(a+b)x>=0，此时y^2<=ax+bx等价于|y|<=[(a+b)x]^(1/2)，max{y}=[(a+b)x]^(1/2)；当a+b<=0，即a<=-b时，(a+b)x<=0，又y^2>=0，故max{y}=0。另，即便x>0，由于“允许不生产”，即0属于生产集，因此a<-b时，虽然(a+b)x<0，max{y}仍为0。

综上，生产函数为：y=[(a+b)x]^(1/2): a>-b; y=0: a<=-b。

这个题ax+bx这种表示似乎有点奇怪，确定ax和bx中的x没有下角标么？如果没有下标为啥不合并同类项……不过有没有下标也不影响解题方法，只是影响结果的具体形式。就按没有下标来吧。

生产函数y=f(x)描述的是使用投入物x>=0能生产的产出品的最大数量（投入集中的投入向量x表示产出产量y所需的最低投入，这和生产函数的“最大产量”表述是对偶的）。也就是说y^2=ax+bx实际上就是等产量曲线，或者说生产函数了（当然对其进行单调变换仍然是描述同一技术的生产函数，求一个生产函数使用其原型就够了）。

但是由于y是以2次式给出的，因此要考虑生产“函数”的一一对应问题，实际上就是讨论y的范围，对值域进行取舍。

由于x>=0，因此有：当a+b>0，即a>-b时，(a+b)x>=0，此时y^2<=ax+bx等价于|y|<=[(a+b)x]^(1/2)，max{y}=[(a+b)x]^(1/2)；当a+b<=0，即a<=-b时，(a+b)x<=0，又y^2>=0，故max{y}=0。另，即便x>0，由于“允许不生产”，即0属于生产集，因此a<-b时，虽然(a+b)x<0，max{y}仍为0。

综上，生产函数为：y=[(a+b)x]^(1/2): a>-b; y=0: a<=-b。