Peak Over Threshold POT estimator

Extreme Value Theory（EVT）极值理论

Extreme Value Theory（EVT）极值理论是参数法的一种，中心趋势统计量对正常值的分析可根据中心极限定理进行计算，但是中心极限定理并不适用于极值理论，极端值的统计应按照EVT理论。

极端值的确定方式

(1) Peak Over Threshold-POT 法

对所有样本数据，确定一个阀值，超过阀值的样本数据，都称为极端值，这种方式叫做POT法(Peak Over Threshold)

由这部分极端值形成新的极端值分布，称为广义帕累托分布图(Generalized Pareto Distri]

---极值分布的统计值（均值、方差）意义不大。

---阀值的选择是POT法最重要的。

---极端值扎堆（Cluster）现象会使得数据不具备统计学意义。

(2) Block Maxima Method-BMM法

称为广义极值分布图GEV(Generalized Extreme Value Distribution)。

方式：将数据分组，每组抽出最大值，形成极端值分布。

优点：这样就避免了POT法中出现的极端值扎堆的问题。

缺点：容易存在数据损失的问题，分组后可能会过早的将部分极端值未挑选进最后的极端值分布中。

GEV分布分为Frechet分布（厚尾）、Gumbel分布为薄尾（正态或对数正态），Weibull分布非常薄尾分布。

其中，最常用的就是第一种Frechet，Weibull几乎不使用。

在选择分布时，采用尾巴最厚的分布Frechet分布。一般采用极大似然估计，回归等方式来估算分布等估计参数。

（3）GEV和POT的比较

---GEV可能会存在数据损失

---POT的问题主要在阀值的选择，GEV不存在这个问题

---EVT中阀值的选择需要寻求平衡，阀值选择太大，数据量会太少，如果阀值选择太小，数据量会太大。

图1 和图2 ，分别是 PDF 和 CDF 。

图1

图2

R 程序拟合的参数值：

Title: Tail Fit: GPDKernel Fit: normalTail Estimation Method:  
mle Upper Tail:
-----------------------------------------
Estimated Parameters:     xi    beta
                                  0.07136 0.00581
Threshold: 0.01103
-----------------------------------------
Lower Tail:-----------------------------------------
Estimated Parameters:     xi    beta
                                   0.07881 0.00636
Threshold: -0.01019
-----------------------------------------
Description

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POT 采用的阈值是同行的 10%

图3 与 图4 ， 半参数估计与尾部绘图；
图3
图4

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