假设你有两种风险资产，A和B，它们的期望收益率分别为10%和15%，标准差分别为20%和30%，相关系数为0.5。你还有一种无风险资产，其收益率为5%。你想要在这三种资产中分配你的资金，使得你的投资组合具有最高的夏普比率，即超过无风险利率的风险溢价除以标准差的比值。
为了找到最优风险组合，你需要先确定两种风险资产构成的投资组合可行集，即所有可能的期望收益和标准差的组合。根据单因素模型，你可以用以下公式计算投资组合可行集上任意一点的期望收益和标准差：
E(rp​)=wA​E(rA​)+(1−wA​)E(rB​)
σp​=wA2​σA2​+(1−wA​)2σB2​+2wA​(1−wA​)ρAB​σA​σB​​
其中wA​是投资于资产A的比例，1−wA​是投资于资产B的比例，ρAB​是资产A和B的相关系数。
你可以用不同的wA​值代入上述公式，得到一系列的期望收益和标准差，然后用它们绘制出投资组合可行集的曲线。
接下来，你需要引入无风险资产，并找到与有效边界相切的资本配置线（CAL），即斜率最大的直线。这条直线表示了在无风险利率和最优风险组合之间分配资金的投资者所面临的风险和收益之间的关系。如下图所示：
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从图中可以看出，CAL与有效边界相切于点P，该点是最优风险组合，也就是你要找的金融题风险最优组合。你可以用以下公式计算CAL的斜率：
Sp​=σp​E(rp​)−rf​​
其中Sp​是夏普比率，rf​是无风险利率。为了使CAL斜率最大，你需要求解以下优化问题：wA​max​Sp​=wA​max​wA2​σA2​+(1−wA​)2σB2​+2wA​(1−wA​)ρAB​σA​σB​​wA​E(rA​)+(1−wA​)E(rB​)−rf​​
使用拉格朗日乘子法或者求导法，你可以得到最优解为：
wA∗​=(E(rB​)−rf​)σA2​+(E(rA​)−rf​)σB2​−2(E(rA​)−rf​)(E(rB​)−rf​)ρAB​σA​σB​(E(rB​)−rf​)σA2​−(E(rA​)−rf​)ρAB​σA​σB​​
将已知的数据代入上式，你可以得到：
wA∗​=(0.15−0.05)×0.22+(0.1−0.05)×0.32−2(0.1−0.05)(0.15−0.05)×0.5×0.2×0.3(0.15−0.05)×0.22−(0.1−0.05)×0.5×0.2×0.3​≈0.38
因此，最优风险组合的权重为wA∗​=0.38和wB∗​=1−wA∗​=0.62，即投资于资产A的比例为38%，投资于资产B的比例为62%。你可以用这些权重代入前面的公式，得到最优风险组合的期望收益和标准差为：
E(rP​)=wA∗​E(rA​)+wB∗​E(rB​)≈0.38×0.1+0.62×0.15=0.131
σP​=(wA∗​σA​)2+(wB∗​σB​)2+2wA∗​wB∗​ρAB​σA​σB​​≈ 

见解析

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