横截性条件[transversa五ty e.‘面田;Tpa“e.epca二‘- HocTH yc月0.lle」 具有可变端点的变分问题中最优性的一个必要条 件.E川er方程(E川er eqUation)的解依赖的任意常数 借助于横截性条件而被决定.横截性条件是泛函的一 阶变分为零的一个必要条件. 对具有可变端点的变分法中最简单的问题， t2 ，(二)一J;(。，、，*)己亡， t. 其中点 It:，x(t，)，rZ，x(tZ))=(rt，xt，tZ，xZ) 是不固定的但可属于某一确定的流形，横截性条件可 写成关系式 [(F一又F、)dt+F;dxl卜0(l) 的形式，对边界条件流形的切向微分dt:，dx，，dtZ， dx:的任何值它必须被满足. 如果极值曲线的左的和右的端点可以沿着指定曲 线x=中:(t)和x=中2(t)移动，则由于 d二、一舀，(t)dt，，dxZ一币2(t)d。2 凡变分dt、和dtZ是独立的，(l)蕴涵 F‘。、x二交、+飞 一}仍.【r .1一X、}r」「.无，、X .j一VI 户t rX，X，，十{ +l甲2(艺，)一义“]户灸(rZ，“2，x，’一”·) 如果左和右的端点沿着它移动的曲线的方程由隐 式。.(t，x)=0和田:(t，x)二0给出，则横截性条 件(l)可写成形式 F一戈几F.、._) 二‘一二兰‘乙二二止‘在左端点，} 田.田、} >(3、 F一戈F。F，，、.卜._} 立--二立二三二止止‘在右端点.} 田2:田2二J 如果在一个端点上没有约束.则在此端点，由于相应的 切微分dt和dx的独立性，横截性条件取形式 F=0，F、=0.(4) 关系式(2)，(3)，(4)称为横截性条件. 以下，在对条件极值的变分问题的更一般情况 下，给出横截性条件.考虑R月Za问题(Boha prob· lenl)，即在出现等式型的微分约束 势(t，x，又)=o，沪:R xR”xR”~R“， m超曲面业，二0(拼=l，…，川移 动. 按照横截性条件，存在常数(Lag份n罗乘子(Lag- 几ulgemul石pliers))e，，户=1，二，户，以及乘子兄。 和元(O、!二1，二，爪，使得除了边界条件(6)以 外，对由(6)定义的流形的切微分 d tl，d二}，dtZ，dx盆，i=l，·‘’，，z(8) 的任何选取，以下关系式在极值曲线的端点成立: 「(厂一客‘又*厂加·公l凡“小 了乒 +“。“g十蒸le，‘d妙一“·‘9， 在(9)中，F指表达式 F一F(t，x，又，劝=几.!j(t，戈，又)十 +艺几(。)甲.(:，x，又).(10) ，=I 在大多数实际问题中，由设元.、二1使Lagrallge乘子 规范化(值元。一O对应于非规范的情形，见【1」). 乘子几;(t)(i一1，…，”:)由E田er微分方程组 _d_ F一言F、一“，‘一’，‘~，”，(川 和m个形如(5)的方程 甲.(t，x，交)=o，i=l，二，。，， 的解与x‘(t)(i=1，…，n)一起被确定.这个含有 n+m个未知函数x‘(t)，i=l，…，n，和几:(t)，i二 1，…，m的n个二阶微分方程和m个一阶微分方 程的方程组的通解依赖于2。个任意常数.事实上，如 果令 又‘=u:，i二1，…，n，(一2) 则得到Zn个一阶常微分方程的组(11)，(12)和n1 个有限关系式 毋(t，x，u)=0，i=I，一，m.(13) 利用(13)函数。中有m个可用其他的函数来表示 (在相应的函数行列式不为零的假设下)，再将这些 代人(H)，(12)，得到一个有Zn个未知函数的 Zn个一阶微分方程的组，其通解依赖于Zn个任意 常数.与值tl和t:一起，给出了Zn+2个任意常 数，决定变分问题(5)一(7)的解.然后借助于横截 性条件，得到同样个数的关系式使得能够确定这些任 意常数. 在最优控制问题和在no”Tp，uH最大值原理 (Pontryagill~mulnp~iPIe)中，必要的横截性条 件可类似于(9)写出，只是取代 F一艺又’F、和F、， 赶二l 必须在(9)中代人Hanlilton函数H，取相反符号， 以及共扼变量少，. 为了得出由解带可变端点的变分问题而化成的一 个封闭边值问题，必要的横截性条件给出了不足的边 界条件.
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