换个角度看线性代数（风萧萧） (it-ebooks) (Z-Library).pdf
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《换个角度看线性代数》是由风萧萧所著的一本关于线性代数的读物，全书共分为六章，内容包括线性代数的基本概念、矩阵乘法、行列式、相似矩阵、特征值和特征向量、奇异值分解等。作者在前言中自嘲地表示自己不是数学专家，也不是数学理论的权威，而是试图从一个非专业数学者的视角重新审视线性代数，通过几何和图形的角度来理解和解释这个学科。

这本书的特点在于它不拘泥于传统的线性代数教材的严格定义和公式推导，而是更多地关注于直观和几何上的理解。例如，在讨论矩阵乘法时，作者会强调其几何意义，而在讲解行列式时，则会结合图形来说明其物理意义。这种独特的视角使得读者能够更直观地把握线性代数的核心思想，并且更容易理解复杂的概念。

此外，《换个角度看线性代数》还特别适合那些对数学有一定兴趣但缺乏系统学习背景的读者。它不仅适合数学专业的学生，也适合其他领域的专业人士或爱好者，帮助他们更好地理解线性代数在实际应用中的重要性。总的来说，这本书提供了一种全新的视角和方法来学习和理解线性代数，使读者能够在轻松愉快的氛围中掌握这一重要的数学分支。

风萧萧在《换个角度看线性代数》中采用了几何和图形方法来解释线性代数的概念。具体来说，他通过重新审视线性代数，试图从几何和图形的角度来理解线性代数。这种方法不仅帮助读者直观地表达问题的本质和解决方法，而且在实际问题的解决过程中也能够利用几何图形来进行分析。例如，可以通过多维数组存储信息，并使用各种线性代数方法进行处理，如傅立叶变换分析光场的频域。

《换个角度看线性代数》中对奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的解释和应用主要集中在以下几个方面：

奇异值分解是一种矩阵分解方法，适用于所有实矩阵。它将一个m×n的矩阵A分解为三个特殊矩阵的乘积：U、Σ和V^T。其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，其对角线元素非负且按降序排列。

从几何的角度来看，奇异值分解可以理解为将一个向量空间的变换分解为三个基本的几何操作。具体来说，假设有一个m×n的矩阵A，每一列可以看作是一个向量，这些向量组成了一个n维的向量空间。通过奇异值分解，我们可以将这个向量空间的变换分解为三个基本的几何操作。

奇异值分解在多个领域有重要应用，包括信号处理、统计学、图像压缩、数据降维和推荐系统等。例如，在图像压缩中，通过奇异值分解可以去除冗余信息，从而达到压缩图像的目的；在数据降维中，奇异值分解常用于主成分分析（PCA），以提取数据的主要特征并减少数据维度。

奇异值分解与特征值分解有着紧密联系。尽管两者都用于提取矩阵的重要特征，但奇异值分解可以应用于任何矩阵，而特征值分解则仅适用于方阵。此外，奇异值分解也可以解释为矩阵函数的特征值分解，其中左奇异向量是AA^T的特征向量，右奇异向量是A^TA的特征向量，非零奇异值是A^TA的特征值的平方根。

在机器学习算法中，奇异值分解被广泛使用。例如，在PCA降维算法中，通过奇异值分解可以有效地提取出数据的主要成分，并进行降维处理。这使得奇异值分解成为许多机器学习算法的基石。

该书通过结合实际应用案例来展示线性代数的重要性，具体方法包括：

• 精选工程、经济、自然科学研究以及日常生活中的案例：这些案例从分析、模型建立与求解、结论三个方面对应用案例进行剖析，使得线性代数理论在纵深方向得以延展。

• 展示丰富的应用案例：通过具体的案例，如图像处理中线性代数的运用，深入理解与掌握线性代数理论与计算，提升创新意识、数学建模及数值计算的能力。

• 使用MATLAB软件进行计算：结合MATLAB软件进行计算，帮助学生更好地理解和掌握线性代数的理论和应用。

• 课堂讲授与多媒体教学：采用课堂讲授为主，辅以多媒体、数位手写板等工具，结合作业和小测验，培养学生的抽象思维及分析问题的能力。

• 答疑解惑与知识拓展：针对学习过程中遇到的问题进行答疑解惑，并通过典型例题选讲和知识拓展，让学生领略丰富多彩的应用案例。

• OBE理念下的教学改革：将OBE（Outcome-Based Education）理念融入线性代数课程建设中，从教学目标、内容、方法、评价体系等方面进行全面改革与创新，以更好地满足学生的需求和兴趣。

  
  

针对非专业数学者，风萧萧在设计教材内容时采取了多种策略以确保他们能够理解和掌握线性代数的基础知识。以下是详细的设计方法：

风萧萧在教材中注重从基础概念入手，逐步深入讲解更复杂的理论和方法。例如，《线性代数》一书的内容包括矩阵、行列式、矩阵的秩与线性方程组、向量空间、特征值问题等，这些内容覆盖了高等院校非数学专业"线性代数"课程的全部基本内容。

考虑到工科及理科非数学专业的学生主要学习线性代数是为了实际应用，风萧萧在教材中配以大量涉及各领域的例题，开拓学生的思路，侧重应用性。通过具体的实例帮助学生理解抽象的理论，并且结合实际问题进行分析和解决。

在教材中引入Maple和Matlab等计算机软件，通过仿真和数值计算来加深学生对行列式和矩阵基础知识的理解。这种方法不仅提高了学生的学习兴趣，还培养了他们的动手能力和综合素质。

风萧萧在教材编写过程中避免了复杂的理论推导和证明，力求简明、准确地讲解基本概念和原理。这种设计方式使得非专业数学的学生更容易理解和掌握核心内容。

通过结合典型题目对解题方法及技巧给出详细解释，站在一个新的高度重新审视和研究线性代数的基本理论与基本方法。这有助于学生更好地理解并应用所学知识。

风萧萧可能还利用了微课和在线慕课（MOOC）等现代教育手段，通过精心设计的视频课程和互动环节，使学生能够更加顺畅、高效地理解和掌握线性代数中的基本概念和方法理论。

《换个角度看线性代数》在教学方法和技巧上与传统线性代数教材有显著的不同，主要体现在以下几个方面：

该教材强调通过互动式教学和案例分析来提高学生的学习效果和兴趣。例如，在矩阵运算的教学中，教师会提出具体问题，要求学生在Matlab软件中生成并处理大尺寸稀疏矩阵，并通过编程完成加法、减法和乘法等运算，从而培养学生的动手能力和解决实际问题的能力。

教材充分利用计算机和数学软件（如Matlab、Mathematica）作为辅助工具，将理论知识与实际应用相结合。这种方法不仅增强了学生对线性代数的理解，还提高了他们使用专业知识解决实际问题的能力。

该教材采用探究式学习和线上线下混合式教学模式，鼓励学生主动探索和思考，同时利用线上资源进行自主学习，以达到更好的学习效果。

在课程内容中引入数学史、几何解释和应用背景的介绍，使学生能够更好地理解线性代数的实际应用，从而提高他们的学习兴趣和知识掌握程度。

根据独立学院学生的专业特点，编写了丰富的教学案例集，优化教学内容，使“线性代数”更加适应于不同专业的学生需求。此外，完善了课程考核体系，以更全面地评估学生的学习成果。

教材注重启发式讲授，逐步引导学生建立n维空间的概念，摒弃三维直观空间的习惯束缚，培养学生的抽象思维和科学计算能力。

借助计算机动态演示，增加内容的直观性，帮助学生更好地理解和掌握抽象的线性代数概念。

将线性代数知识点与学生的专业背景相结合，充分利用计算机、大数据等专业优势，提高学生的学习兴趣和动手能力，培养创新实践能力。