数学分析之 课程讲义
（丘成桐数学英才班试用）
清华大学数学系 及 丘成桐数学科学中心

课程所使用的参考书目
我们在讲义和习题的编写中参考（≈ 抄）了很多⽂献，很多例⼦和掌故也是道听途说，来⾃师
长、同学或者同事。以下是主要参考书⽬，部分课题和习题选⾃这些教材：
• Richard Courant; Fritz John, Introduction to calculus and analysis. Vol. I. Reprint of the 1965 edition. Springer-Verlag, New York, 1989. xxiv+661 pp.
• Richard Courant; Fritz John, Introduction to calculus and analysis. Vol. II. Reprint of the 1974 edition. Springer-Verlag, New York, 1989. xxvi+954 pp.
• Edmond Ramis; Claude Deschamps; Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales. 3. Topologie et éléments d’analyse. Masson, Paris, 1982. viii+362 pp.
法国预科学校的经典教材，我们 Riemann 积分的处理完全跟随这⾥的节奏。
• Edmond Ramis; Claude Deschamps; Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales. 4. Séries et équations différentielles. Masson, Paris, 1988. viii+328 pp.
关于⾼维 Riemann 积分的习题课材料来⾃最后⼀部分。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc., New YorkToronto-London, 1953. ix+227 pp.
关于 Stieltjes 积分部分的讲义来⾃这⾥。
• Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis. I. Translated from the 2002 fourth Russian edition by Roger Cooke. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+574 pp.
• Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis. II. Translated from the 2002 fourth Russian edition by Roger Cooke. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xvi+681 pp.
• 陈天权，数学分析讲义，第⼀册，北京⼤学出版社，2009 年 8 ⽉.
• 陈天权，数学分析讲义，第⼆册，北京⼤学出版社，2010 年 3 ⽉.
• 常庚哲，史济怀，数学分析教程，上册，⾼等教育出版社，2003 年 5 ⽉.


课程内容
在课程知识点的选择上，有如下四个内容需要略加解释：

1) 距离空间与赋范线性空间。
我们选择在课程伊始便引⼊距离空间与赋范线性空间。收敛是贯穿分析始终的概念，⽽⼤多
数的收敛可以统⼀地⽤距离空间的语⾔叙述。尽早引⼊这些概念使得课程后续的诸多命题陈 述变得⾃然明了。实际教学也表明讲授实数收敛理论的难度与距离空间收敛理论的难度⽆论 对教师还是学⽣是⽆差别的，同学们对此接受程度很⾼。之后到多元函数的连续性、函数列 ⼀致收敛乃⾄ Lp-空间上收敛性的过渡变得⽔到渠成。
2) Riemann 积分的定义。
我们采取⽤简单函数逼近的⽅式来定义⼀元函数的 Riemann 积分。作为推论，传统的 Rie-
mann 和与 Darboux 上下和的定义⽅式可以⽤这种语⾔清楚地表达。这种积分的处理⽅式应 ⽤范围更⼴，它容许对在完备赋范线性空间中取值的映射定义积分。这也是对引⼊抽象测度 空间上的积分做铺垫。

3) ⼦流形理论。
隐函数定理的应⽤见著于数学的各个分⽀，其重要程度⽆论如何强调都不过分，然⽽它向来
都是多元微分学中较难讲解和理解的课题，甚⾄即使只要求“背过”定理的陈述也不是轻⽽易 举的事情（⾄少笔者记不住）。然⽽，⼏何的陈述通常带来直观的视觉记忆：隐函数定理说如 果⼀族函数满⾜⾮退化条件，那么它们的公共零点集是 Rn 的⼦流形。当然，引⼊⼦流形概 念不仅仅是⽅便形象地陈述和记忆隐函数定理，在学习曲线与曲⾯的积分理论时，⼦流形的概念完全⽆法避免。尤为重要的是，在⼦流形上也可以做微分，这种在弯曲空间上的微分学 可以更清晰地揭⽰微分 df 的含义，众多经典的理论例如 Lagrange 乘⼦法也变得⼀⽬了然。 ⼦流形理论是 Rn 上微分学最根本最有启发性的内容，低年级数学系同学通过这⾥的学习也 能认识到引⼊正确概念是近代数学的重要秉性。

4) 抽象测度理论
传统上，多变量函数积分的学习把⼀维 Riemann 积分理论作为原型，通过把区间替换为长
⽅体，⾼维的 Riemann 和就可以⽤来定义 Riemann 积分。然⽽，我们⽤简单函数逼近的办 法来定义⼀维 Riemann 积分，类⽐到⾼维情况，如果 A ⊂ Rn 的⾯积（测度）有定义，就可 以对其⽰性函数 1A 定义积分。所以，⼀旦明确了哪些⼦集可以定义⾯积，我们就能对它们
的⽰性函数的线性组合（即简单函数）进⾏积分，然后就对⼀切可以被简单函数逼近的函数 进⾏积分（在第⼀学期我们特意讲授了 Stieltjes 积分作为这个想法的另⼀明证）。
从计算的⾓度我们也可以做⼀番事后诸葛亮的讨论。为了计算积分，我们需要（且只需要）两 个基本⼯具：第⼀，Fubini 定理，它把⾼维积分（乘积空间上）转化为低维的来计算；第⼆， 换元积分公式，它把不规则区域上的积分转化为乘积型区域上的积分，从⽽可运⽤ Fubini 定 理。不夸张地说，相当⼀部分的积分计算只是运⽤这两个分析⼯具的代数运算。只要在抽象 积分的框架⾥建⽴这两个公式，抽象意义下定义的积分与 Riemann 积分在计算上完全⼀致。 抽象积分理论优势更明显：它囊括⼤部分可能的积分与求和，⽐如说级数的求和与概率空间 上的积分等；它拥有 Lebesgue 控制收敛等有效⼯具，所以在讨论级数的收敛、积分与求导 数可交换或者 Fourier 级数时⾮常地⽅便。还有⼀点常常被忽略：在技术层次上，抽象积分 要⽐ Riemann 积分更容易学习。Riemann 积分伟⼤之处在于能够对由长⽅体构成的 Jordan 代数／可测集进⾏刻画，然⽽其技术细节⽐抽象积分要困难，因为在抽象的场合⼈们不需要 关⼼集合具体的⼏何从⽽更⾃由。
另外，不少同学和同事认为这部分内容与实分析课程过度重合，我们认为在抽象层次上讨论 积分实际上可以尽量避免使⽤真正的实变技术，这对实分析影响甚微。