前言之二较之⼆零年六⽉的版本，讲义增加了数学分析第三学期的讲义1，主要研究 Schwartz 的分布理论以及关于缓增分布的 Fouirer 变换。分布理论是⼀门重要的分析语⾔，尽管这套对函数的描述⽅式是上个世纪 40 年代才被引⼊的，但是掌握分布理论所需要的基础知识却并不多：线性代数和多元微积分就⾜够了！本课程所研究的具体问题，⼤多来⾃于物理学，譬如引⼒理论、电磁学、热传导理论等，在解决这些问题过程中，貌似抽象的分布语⾔只是提供了叙述上的便捷，实实在在的仍然是微积分各种技术和想法。这是我们选择数学分析第三学期的内容的初衷：借此学习前两个学期中漏掉的内容与技巧并巩固那些贯穿始终的思想。课程所⽤到的主要参考书是我之前在 École Polytechnique 读书时所⽤的教材：Théories desdistributions（由 G. Lebeau 和 J.-Y.Chemin 编写）以及 J.-M. Bony 教授所撰写的课本• Cours d’analyse: Théorie des distributions et analyse de Fourier.以 Laurent Schwartz 命名的数学中⼼占据了 École Polytechnique 建筑群中不起眼的⼀⾓，我还依稀记得⼀次 Bony 教授在那⾥叼着烟⽃提起这些教学的材料从 Schwartz 本⼈开始辗转经过多位数学家教授最终成为 Polytechnique 分析的标准教材。我们在课上还经常借鉴另⼀本法语的教材：• Éléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles - Cours et problèmes résolus.Claude Zuily⽐如对 Weyl 的特征值渐近公式的证明就是采取这本书的处理⽅法2。另外，这本教材有⼀系列精⼼挑选的习题，这对于讲课或者听课的⼈都是难得的财富。学期结束，从教学效果上来说课程还是有很⼤⽋缺，特别是最后两周的课程内容可能略显多余（介绍了波前集的概念，并对于线性变系数微分算⼦证明了微局部的椭圆正则性定理和微局部正则性的传播定理）。如果可以再次教授这门课程，我想更好的选择可能是更为经典的话题，⽐如说继续介绍波动⽅程有关的理论，或者研究调和函数作为课上对 Dirichlet 问题⼀部分内容的补充，或者利⽤ Littlewood-Paley 理论来刻画已有的⼏种函数空间。当然，这都是将来的事情了。2020 年 12 ⽉于静斋