有限时间的美式期权还没有闭合解，所以无所谓不同

拿看涨期权(看跌期权原理一样)来说：

欧式看涨期权的价值，在到期日，设到期日为T, V(T)=payoff at T=max(S(T)-X,0),V(T)是期权在T时刻的价值，而到期日前任一时刻t (即t<到期日T), V(t)=exp(-r*(T-t))*E[V(T)], 其中exp(-r*(T-t))是折现因子（此处假设利率r为常数），而E[  ]表示（在风险中性测度下的）数学期望。

而美式看涨期权的的价值，在到期日，是V(T)=payoff at T=max(S(T)-X,0),与欧式无差别，但是对于到期日前任一时刻t (即t<到期日T), V(t)=max(exp(-r*deltat)*E[V(t+deltat)],S(t)-X). 这里deltat是很小（趋近于0）的t的增量,所以t+deltat即t后面的紧接着t的下一个时刻。S(t)-X表示在t时刻行权之所得,exp(-r*deltat)*E[V(t+deltat)]是在t时刻hold住不行权的价值。

很抽象？如果你会用二叉树计算欧式期权和美式期权就会明白的。

会用二叉树计算，但是好像不是很复杂，挺晕的，以前搞懂了，现在又混了，记着好像只是公式不同！

就二叉树来说
欧式期权只能到期才能决定行权，所以是max(ST-K,0),max(K-ST,0)，（是大T），然后折现就行了

而美式期权，到期也是max(ST-K,0),max(K-ST,0)，（是大T），但是每次往前折一步都要比较继续持有的value和立即行权的value，如果立即行权的value更大，那就用立即行权的value替换继续持有的value。然后继续往前折

立即执行的value就是max(St-K,0),max(K-St)，（是小t）即那时候的股价，而继续持有的value就是用大T时候的value折到现在（t时刻）的值。

你说的公式不准确，这个不是公式，是payoff function，真正的公式指的是option在任意时候的value，比如欧式期权的BS公式等。有限时间的美式期权没有闭合解，无限期的美式期权可以用布朗运动的停时分布解出解析解。