在 Stata 里，`mixed` 命令把“随机截距模型”拆成两件事：

1. 固定部分：你在 `||` 左边写的所有自变量，对应的就是“固定效应”回归系数 β。  
2. 随机部分：`||` 右边的“分组变量”告诉 Stata：每个分组（如学校、公司、村庄……）都有一个独有截距——这些截距被当作随机变量，而不是再额外估计 23 个哑变量。

下面用 最简例子 逐行拆解 Stata 到底在算什么。

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1  一条命令

```stata
mixed math ses || schoolid:, mle nolog
```

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2  Stata 内部等价于的统计模型

\[
\text{math}_{ij} = \underbrace{\gamma_{00} + \gamma_{10}\text{ses}_{ij}}_{\text{固定部分}}
                 + \underbrace{u_{0j}}_{\text{随机截距}}
                 + \varepsilon_{ij}
\]

- \(j\)：学校编号（schoolid）  
- \(i\)：学校 \(j\) 内的学生  
- \(\gamma_{00}\)：总平均截距（固定）  
- \(\gamma_{10}\)：ses 的平均斜率（固定）  
- \(u_{0j}\sim N(0,\tau^2)\)：第 \(j\) 所学校的随机截距（与别的学校独立，方差为 \(\tau^2\)）  
- \(\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)\)：学生层面的残差

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3  Stata 具体怎么算

1. 把数据按 schoolid 分块  
   Stata 先按 `schoolid` 把样本拆成若干“面板”。

2. 构造设计矩阵  
   - 固定部分：  
     1 列常数（对应 \(\gamma_{00}\)）  
     1 列 ses（对应 \(\gamma_{10}\)）  
   - 随机部分：  
     对每所学校只放一个“随机效应向量” \(u_{0j}\)，而不是 23 个哑变量——这就是“随机截距”。

3. 调用最大似然 (MLe)  
   `mixed` 用 自适应 Gauss-Hermite 积分 + Newton-Raphson（或 EM）最大化对数似然  
   \[
   \ell(\gamma,\tau^2,\sigma^2) = \sum_{j=1}^{J} \log
   \int \phi(\mathbf{u}_{0j})\;
   \prod_{i=1}^{n_j}\phi\!\bigl(\text{math}_{ij}-\gamma_{00}-\gamma_{10}\text{ses}_{ij}-u_{0j}\bigr)\,du_{0j}
   \]

4. 输出结果  
   ```
   Random-effects Parameters      Estimate   Std. Err.
   ------------------------------------------------------
   schoolid: Identity
            var(_cons)            3.42       0.71
   Residual:                    36.15       1.05
   ```
   - `var(_cons)` 就是 \(\hat\tau^2\)（学校间方差）  
   - `Residual` 就是 \(\hat\sigma^2\)（学生内方差）

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4  与“手动 23 个哑变量”差别

| 方法 | 参数个数 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 手动哑变量 | 23 | 完全自由 | 学校多时爆炸、无法外推到新学校 |
| 随机截距 | 2 (τ²,σ²) + 2 固定 | 参数少、可外推、可算 ICC | 假设正态分布 |

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5  一句话总结

`mixed math ses || schoolid:` 这句告诉 Stata：  
“为每一所学校估计一个服从同一正态分布的截距，而不是给每所学校单独估计一个固定哑变量。”  
Stata 内部用 最大似然 + 随机效应积分 一次性把固定效应、随机效应方差和所有随机截距的“最佳线性无偏预测”(BLUP) 都算出来。