目录

1. 了解数据结构和算法
2. 复杂度
3. 空间复杂度
4. 复杂度算法题

一、了解数据结构和算法

1. 数据结构

   数据结构（Data Structure）是计算机存储、组织数据的方式，指的是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有一种单一的数据结构适用于所有用途，因此需要学习各种各样的数据结构，如线性表、树、图、哈希等。

2. 算法

   算法是指定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生一个或一组值作为输出。简单来说，算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化为输出结果。

二、复杂度

1. 复杂度的概念：

   算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从业务和时间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

   时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度非常重视。但是随着计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很大的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2. 时间复杂度：

   算法的时间复杂度是一个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运行时间。

   时间复杂度是衡量程序的时间效率，有时候时间复杂度特别高的时候，我们无法快速地完成这个程序，这就需要我们来降低时间复杂度。

   首先给大家说一下影响时间复杂度的因素：

   1. 因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，即使同一个算法程序，在不同的编译器下编译或在不同配置的机器上运行，时间也会不同。
   2. 同一算法程序，在低配置机器和高配置机器上的运行时间也不同。
   3. 并且时间只能在程序写好后进行测试，不能在编写前通过理论思想计算评估。

   上面这些点都会影响时间复杂度，但是影响最大的还是程序的执行时间。

   程序的执行时间 = 二进制指令运行时间 + 循环次数

   几乎时间都一样的（常量）

   实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的确切执行次数，确切执行次数计算起来非常麻烦（不同的语句程序代码，编译出的指令条数都是不一样的），计算出确切执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变化时T(N)的差别。上面我们已经看到了当N不断变化时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大致执行次数，复杂度的表现通常使用O的渐进表示法。

   O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。O（n）

   推导O阶规则

   1. 时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变化时，低阶项对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。
   2. 如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项的常数系数，因为当N不断变化时，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。
   3. T(N)中如果没有N相关的项，只有常数项，则以常数1取代所有加法常数。

例题1：常见计算时间复杂度

// 请计算?下Func1中++count语句总共执?了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
    for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    {
        ++count;
    }
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
    ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
    ++count;
}
}

这里的T(N)原本为N^2+2N+10，根据上面的规则1得出T(N)=N^2.

所以时间复杂度：O(N^2)

例题2：复杂度情况不唯一

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char* str, int character)
{
    const char* p_begin = s;
    while (*p_begin != character)
    {
        if (*p_begin == '\0')
        return NULL;
        p_begin++;
    }
    return p_begin;
}

这里我们算出来它的时间复杂度根据情况改变，不唯一：

1. 若要查找的字符在字符串第一个位置，则：

   T(N) = 1

2. 若要查找的字符在字符串最后的一个位置，则：

   T(N) = N

3. 若要查找的字符在字符串中间位置，则：

   T(N) = N/2

因此：strchr的时间复杂度分为：

• 最好情况：O(1)
• 最坏情况：O(N)
• 平均情况：O(N)

通过上面我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。

例题3：时间复杂度为 O(log n) 的形式

void func5(int n)
{
    int cnt = 1;
    while (cnt < n)
    {
        cnt *= 2;
    }
}

首先先分析一下：

1. 当n=2时，执行次数为1
2. 当n=4时，执行次数为2
3. 当n=16时，执行次数为4

假设执行次数为 x，则 2^x = n

因此执行次数：x = log₂n (这个2是下标，电脑上打不出来 qaq)

三、空间复杂度

1. 示例1：常见计算空间复杂度

   ...

2. 示例2：计算递归函数的空间复杂度

   ...

四、复杂度算法题

1. 时间复杂度为：O(n^2) 的解法

   ...

2. 时间复杂度为：O(n) 的解法

   ...

3. 时间复杂度为：O(1) 的解法

   ...

所以该算法的时间复杂度为O((log n)

当n接近无穷时，底数的对结果影响不大。因此，在大多数情况下不管底数是多少都可以省略不写，即可以表示为 log n。

例题4：递归函数的时间复杂度：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
        return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

递归算法的时间复杂度 = 单次递归的时间复杂度 * 递归次数

调用一次Fac函数的时间复杂度为 O(1)，而Fac函数中存在n次递归调用Fac函数，因此：阶乘递归的时间复杂度为 O(n)

三、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为在常规情况下每个对象的差异不会很大，所以空间复杂度计算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本与时间复杂度类似，也使用O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此 空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

下面给大家一个实例：

示例1：常见计算空间复杂度

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

BubbleSort额外申请的空间有end，exchange，i 这3个局部变量，使用了常数个额外空间。因此空间复杂度为 O(1)。

示例2：计算递归函数的空间复杂度

那递归函数的空间复杂度呢，来看下面这个示例：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(N == 0)
        return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

Fac递归调用了N次，额外开辟了N个函数栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。因此空间复杂度为 O(N)。

递归算法的空间复杂度 = 单次递归的空间复杂度 * 递归次数

当然，除递归外还有空间复杂度为n的情况，比如：

int* arr = (int *)malloc(N * sizeof(int));

用malloc开辟动态内存，它的空间复杂度就为 O(N)。

四、复杂度算法题

轮转数组：

189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）

题目描述：给定一个整数数组

nums

k

k

我们正常写代码应该是这样：

1. 时间复杂度为：O(n^2) 的解法

   void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
       while(k--)
       {
           int temp=nums[numsSize-1];
           for(int i=numsSize-1;i>0;i--)
           {
               nums[i]=nums[i-1];
           }
           nums[0]=temp;
       }
   }

这个代码的时间复杂度为：O(n^2)

但是如果k足够大的话，这个代码就运行的太慢了，从而超过时间限制。

2. 时间复杂度为：O(n) 的解法

申请新数组空间，先将后k个数据放到新数组中，再将剩下的数据挪到新数组中。

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    int tmep[numsSize];
    for(int i=0;i<numsSize;i++)
    {
        tmep[(i+k)%numsSize]=nums[i];
    }
    for(int i=0;i<numsSize;i++)
    {
        nums[i]=tmep[i];
    }
}

3. 时间复杂度为：O(1) 的解法

创建函数，使用3次逆置

前n-k个逆置：

4 3 2 1
5 6 7

后k个逆置 ：4 3 2 1

7 6 5

整体逆置 ：

5 6 7 1 2 3 4

void reverse(int* nums, int left, int right)
{
    while(left<right)
    {
        int temp=nums[left];
        nums[left]=nums[right];
        nums[right]=temp;
        left++;
        right--;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    k=k%numsSize;
    reverse(nums,0,numsSize-k-1);
    reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
    reverse(nums,0,numsSize-1);
}

以上就是我分享的有关复杂度的知识，欢迎大家在评论区讨论和补充！也期待大家的点赞关注！