频数分布统计与分析

频数分布分析主要通过频数分布表、条形图和直方图，以及集中趋势和离散趋势的各种统计量来描述数据的分布特征。

集中趋势的常用统计量

均值：平均值，但易受极端值的影响。

中位数：作为重要的中心度量位置，当数据集为奇数时，排序后最中间的数据即为中位数；若为偶数，则排序后中间两个数据的平均值为中位数。

众数：指出现频率最高的数值，可能不唯一。

离散趋势的常用统计量

方差：用于衡量数据的波动程度，方差越小，表明数据越稳定；方差越大，数据波动越大。

若 \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\) 的平均数为 \(M\)，则方差公式可表示为：

标准差：方差的算术平方根，标准差越大，说明数据分布越分散。

范围：数据的最大值与最小值之差。

正态分布

正态分布图如下所示，该分布有两个参数：期望 μ 和标准差 σ。若随机变量 X 服从一个数学期望为 μ、方差为 σ 的正态分布，记作 N(μ, σ)。其概率密度函数由正态分布的期望值 μ 决定其位置，标准差 σ 决定分布的幅度。当 μ = 0, σ = 1 时，该分布被称为标准正态分布。

正态分布情况下的偏度和峰度

峰度：描述数据分布形态的陡峭程度。峰度的取值范围为 [1, +∞)，完全服从正态分布的数据峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖；峰度值越小，图形越平坦。

通常，如果样本的偏度接近于 0，且峰度接近于 3，则可以认为总体的分布接近于正态分布。

偏度：用于度量随机变量概率分布的不对称性。当偏度 < 0 时，概率分布图左偏；当偏度 = 0 时，表示数据相对均匀地分布在平均值两侧，但不一定是对称分布；当偏度 > 0 时，概率分布图右偏。

频数（频率）分布统计示例

以下为实验数据示例：

例如，对数学和语文成绩进行分析：

选择所需的统计量，如百分位值，查看特定百分比处的值，例如四分位数即 25%、50%、75% 处的值。也可以设置分割点，默认每 10 个分为一组，或者输入具体的百分位数。

统计结果如下所示：

从统计结果中可以看到平均值、中位数、范围等统计值。如果选择了图表选项，还可以进一步生成直方图、饼图和条形图。以直方图为例：

可以分别获得语文和数学成绩的频率分布直方图：

关于 SPSS 结果中的“峰度系数”为何会出现负数

这是因为 SPSS 中计算的是经过调整的峰度系数，即原始的峰度系数 kurtosis 减去常数 3 后的结果，称为超峰度系数 ek。因此，超峰度系数 ek 的取值范围可以包括负数。在 SPSS 中，描述统计默认计算的就是这个超峰度 ek。

判断准则为：正态分布 ek = 0；对于未知分布，当 ek < 0 时，表示分布较为扁平；当 ek > 0 时，表示分布较为尖锐。

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