数学小白学数学2：理解方差

一、认识方差的基本公式

方差是衡量一组数据离散程度的重要指标，常见的有两种计算方式：总体方差与样本方差。我们先从最基础的“总体方差”开始学习，其标准表达式如下：

总体方差公式：

σ = (1/N) × Σ(xi - μ)

虽然看起来符号复杂，但其实每个部分都有明确的实际意义，我们可以像记单词一样逐个理解：

符号	含义解释
σ	总体方差（读作“西格玛平方”）
N	数据总数量（例如奶茶店连续5天的甜度记录，则N=5）
xi	第i个具体数值（如“第3天的甜度值”）
μ	所有数据的平均值（即总体均值，读作“缪”）
(xi - μ)	单个数据与平均值之间的偏差（比如某天甜度比平均高或低多少）
(xi - μ)	将偏差取平方，防止正负值相互抵消
Σ	求和符号（表示从第一个数据到最后一个数据的所有平方偏差相加）

[此处为图片1]

二、三步走策略：轻松计算方差

与其死记硬背公式，不如掌握它的逻辑结构。下面我们以“奶茶店B的甜度数据（2, 3, 4, 5, 6）”为例，分三步完成总体方差的计算。

步骤1：计算总体平均值 μ

平均值 = 所有数据之和 ÷ 数据个数

代入数据得：

μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 5 = 20 / 5 = 4

步骤2：计算每个数据的“平方偏差” (xi - μ)

分别计算每一天甜度与平均值4的差的平方：

• 第1天（x=2）：(2 - 4) = (-2) = 4
• 第2天（x=3）：(3 - 4) = (-1) = 1
• 第3天（x=4）：(4 - 4) = 0 = 0
• 第4天（x=5）：(5 - 4) = 1 = 1
• 第5天（x=6）：(6 - 4) = 2 = 4

步骤3：求“平方偏差”的平均值

先将所有平方偏差相加：

4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

再除以总数N=5：

10 / 5 = 2

因此，奶茶店B的总体方差 σ = 2，结果准确无误！

[此处为图片1]

三、进阶知识：样本方差的小调整

当所用的数据只是整体中的一部分（即样本），比如从100家奶茶店中抽取5家作为代表时，应使用“样本方差”公式：

样本方差公式：

s = (1/(n-1)) × Σ(xi - x)

与总体方差相比，仅有两个区别：

1. 符号变化：总体均值 μ 变为样本均值 x（读作“x拔”），数据总量 N 改为样本量 n；
2. 分母不同：由 N 改为 n1，这一修正确保了对总体方差的更优估计，无需深究原理，只需记住“样本用n1”即可。

仍以上述5个甜度数据作为样本进行计算：

此时分母为 51 = 4，其余步骤完全一致。

四、核心要点：公式无需死记硬背，掌握3个步骤即可

不论是计算总体还是样本的方差，其本质逻辑始终遵循以下三个步骤。公式只是这一过程的标准化表达形式：

1. 计算数据的平均值（用 μ 表示总体均值，或用 x 表示样本均值）；
2. 求出每个数据点与平均值之间差值的平方，即“偏差的平方”；
3. 将这些“平方偏差”取平均——其中总体方差除以数据总数 N，而样本方差则除以 n1。

从实际应用角度看，通常不需要手动完成全部计算。在 Excel 中，只需输入 “VAR.P(数据范围)” 即可得到总体方差，使用 “VAR.S(数据范围)” 则可获得样本方差。[此处为图片1]

然而，理解背后的公式原理有助于更准确地解读分析结果，把握统计数值的实际含义。