在对恒定失效率产品进行可靠性评估时，通常假设其寿命服从指数分布，并采用定时截尾的测试方式。根据测试过程中出现的故障数量（即失效数 r），可选择不同的置信区间类型进行 MTBF（平均无故障工作时间）估计。

当测试中发生至少一次故障（r ≥ 1）时，适用于基于卡方分布的置信区间计算方法：

• 双侧置信区间：
  下限：(2T) / χ(2(r+1), (1+γ)/2)
  上限：(2T) / χ(2r, (1γ)/2)
• 单侧置信下限：
  MTBF_L = (2T) / χ(2(r+1), 1γ)

其中，T 表示总测试时间（所有样品测试时间之和），χ(v, α) 表示自由度为 v、显著水平为 α 的卡方分位数；γ 为置信度，且满足 γ + α = 1。[此处为图片1]

若在整个测试期间未出现任何故障（r = 0），则无法获得有效的点估计值，此时直接通过置信区间来表征产品的可靠性水平：

• 双侧置信区间：
  下限：T / ln((1+γ)/2)
  上限：T / ln((1γ)/2)
• 单侧置信下限：
  MTBF_L = T / ln(1γ)

该情形下的单侧下限是最常见的工程应用场景，例如“在 95% 置信水平下，MTBF 不低于 XX 小时”。

上述公式中的自由度 v 取决于故障数 r，分别为 2r 或 2(r+1)。虽然查表法可用于获取卡方分位数，但操作较为繁琐。借助 Excel 可实现快速计算：

设定单元格含义如下：
A1：总测试时间 T
A2：故障数量 r
A3：置信水平 γ

对应公式的 Excel 实现为：

MTBF = A1/A2
MTBF_L = IF(A2>0, (2*A1)/CHISQ.INV.RT(1-A3, 2*(A2+1)), -A1/LN(1-A3))
双侧置信区间下限 = IF(A2>0, 2*A1/CHISQ.INV.RT((1+A3)/2, 2*(A2+1)), -A1/LN((1+A3)/2))
双侧置信区间上限 = IF(A2>0, 2*A1/CHISQ.INV.RT((1-A3)/2, 2*A2), -A1/LN((1-A3)/2))

通过以上公式输入至 Excel 中，即可自动完成不同场景下的 MTBF 及其置信区间的计算，提升分析效率与准确性。[此处为图片1]